FUNCIONES LINEALES Y MATRICES

(1)

FUNCIONES LINEALES Y MATRICES

En los grupos abelianos, que aqu´ı siempre denotaremos aditivamente,

“se repet´ıa” sobre los números enteros Z, tomando a + a + a + ... + a = na cuando en la izquerda hay n aes. Se tomó además 0 · a = 0 y (−n)a = −(na).

Estudiaremos las implicaciones de tomar las repeticiones no sobre Z sino sobre un campo cualquierda K, los casos m´as usuales son K = R, K = C.

Espacios Vectoriales 1.1 Definici´on:

i Sea V un grupo abeliano y K un campo. Llamamos una multiplicaci´on por escalar en V , a una funci´on K × V → V tal que, si denotamos la imagen de (α, v) por α · v, entonces:

M.E.1 ∀α, β ∈ K, ∀v ∈ V , (α + β) · v = α · v + β · v.

M.E.2 ∀α ∈ K, ∀v, w ∈ V , α · (v + w) = α · v + α · w.

M.E.3 ∀v ∈ V , 1 · v = v.

M.E.4 ∀α, β ∈ K, ∀v ∈ V , α · (β · v) = (α · β) · v.

ii A una tripla (V, K, K×V → V ) en donde V es un grupo abeliano, K es un campo y K × V → V una multiplicaci´on por escalar se le llama un espacio vectorial.

1

(2)

Cuando digamos, “sea V un espacio vectorial sobre K” entendemos que V es un grupo abeliano, K es un campo y que una multiplicaci´on por escalar K × V → V ha sido seleccionada.

1.2 Ejemplos:

i Sea K un campo. Entonces Kⁿ = KL K L ... L K (n copias de K) es un grupo abeliano con suma coordenada a coordenada, si x = (x1, x2, ..., xn) y tomamos α · x = (αx1, αx2, ..., αxn) entonces Kⁿ es un espacio vectorial sobre K. En particular K es un espacio vectorial sobre K.

ii Sean V1, V2, ..., Vn espacios vectoriales sobre K, entonces V₁L V₂L ... L V_n= {(v₁, v₂, ..., v_n) | v_i ∈ V , ∀i ∈ I}

es un grupo abeliano con suma coordenada a coordenada. Si tomamos α · (v₁, v₂, ..., v_n) = (α · v₁, α · v₂, ..., α · v_n) entonces esta es una multiplicaci´on por escalar y

n

M

i=1

Vies un espacio vectorial.

iii En particular K^mL K^mL ... L K^m = (K^m)ⁿ es un espacio vectorial sobre K. En este caso se da un nombre y una escritura especial. A una n-upla





 X¹ X² ... Xⁿ







donde Xⁱ ∈ K^m se llama una matriz n × m, donde Xⁱ = (a_i1, a_i2, ..., a_im).

y :





 X¹ X² ... Xⁿ







=







a₁₁ a₁₂ · · · a_1m a21 a22 · · · a2m

... ... ... an1 an2 · · · a_nm







= (aij)^i=1,...,n

j=1,...,m

(3)

Cuando no hay posibilidad de error se escribe simplemente





 X¹ X² ... Xⁿ







= (a_ij)

Se tiene pues que (a_ij) + (b_ij) = (a_ij+ b_ij) y α(a_ij) = (αa_ij).

iv Sea V un espacio vectorial sobre K y sea A un conjunto cualquiera.

Entonces V^A= {f : A → V | f es funci´on} es un grupo abeliano para la suma: (f + g)(a) = f (a) + g(a) y para el producto por escalar: (αf )(a) = αf (a). En particular cuando A = [a, b] y V = R.

v Si K es un campo, K[x], el conjunto de los polinomios con coeficientes en K (indeterminada x) es un grupo abeliano para la suma:

∞

X

i=0

aixⁱ+

∞

X

i=0

bixⁱ =

∞

X

i=0

(ai+ bi)xⁱ

que es la suma corriente de polinomios. (Recuerde que en un poli- nomio

∞

X

i=0

aixⁱ, ai = 0 S.P.U.N.F.I se toma

∞

X

i=0

aixⁱ =

∞

X

i=0

(αai)xⁱ).

vi K_n[x] = {p(x) ∈ K[x] | grp(x) ≤ n} es un subgrupo de K[x]. Se toma la misma multiplicaci´on por escalar, que en el ejemplo iv.

Funciones Lineales

1.3 Definici´on:

Sean V y W espacios vectoriales sobre K, se dice que f : V → W es una funci´on K-lineal (o morfismo de K-espacios) si f : V → W es homomorfismos de grupos abelianos que preserva el producto por escalar

f (α · v) = αf (v), ∀α ∈ K, ∀v ∈ V

(4)

Note que en una funci´on f : V → W es K-lineal si y s´olo si ∀v1, v2 ∈ V ,

∀α₁, α₂ ∈ K, f (α₁v₁+ α₂v₂) = α₁f (v₁) + α₂f (v₂).

1.4 Definici´on:

Una funci´on f : V1 → V₂ K-lineal se dice un isomorfismo si es biyectiva.

1.5 Ejemplos:

i Si V es un K-espacio vectorial, 1_V : V → V es una función K-lineal. Más aún es un isomorfismo.

ii Si f : V → W es un isomorfismo tambi´en lo es f⁻¹ : W → V . iii Si f : V → W y g : W → Z son funciones K-lineales tambi´en lo

es g ◦ f : V → Z y si f y g son isomorfismo tambi´en lo es g ◦ f . iv D × D[a, b] → C[a, b] dado por D_X(f ) = f⁰ (la derivada de f ) es

una funci´on (operador) lineal.

v Sean V y W espacios vectoriales sobre K. Sean HomK(v, w) = {f : V → W | f es K-linea}. Es claro que Hom_K(V, W ) es un subespacio de W^V. En particular Hom_K(K, K) es un espacio sobre K.

vi Sea φ : K → Hom_K(K, K) dada as´ı: Para k ∈ K, ϕ(k) denota la funci´on ϕ(k) : K → K con ϕ(k)(x) = kx, ∀x ∈ K. Se tiene pues que ϕ es un isomorfismo.

vii Consideremos VÂ y a ∈ A, existe una función llamada la eva- luación en a Ea : VÂ→ V dado por Ea(f ) = f (a). Entonces Ea es una función K-lineal cuando V es un K-espacios vectorial.

viii Si f : V₁ → W y g : V₂ → V son funciones K-lineales tambi´en lo es V1L V₂→ W (denotada a´un f + g) dada por (f + g)(v1, v2) = f (v1) + g(v2).

ix Si F : V1L V₂ → W es una funci´on K-lineal entonces F es por fuerza una funci´on del tipo numerado en viii. En efecto, si denotamos i₁ : V₁ → V₁L V₂ e i₂ : V₂ → V₁L V₂ las funciones

(5)

v 7→ (v, 0) y v 7→ (0, v) respectivamente (o si lo prefiere i1(v) = (0, v)) entonces i₁, i₂son K-lineales (si V₁, V₂, W son K-espacios) y adem´as F = (F ◦ i₁) + (F ◦ i₂). La pareja de funciones F ◦ i₁ y F ◦ i2 se llama la descomposici´on a izquierda de F y se denota F¹ y F².

x Si F : R²L

R³ → R⁴, ((a, b), (c, d, e)) 7→ (2a + 4c, 6b + 7e, 0, 0).

Entonces F es una función R-lineal y la descomposición a izquierda de F será

F¹(a, b) = F ((a, b), (0, 0, 0))= (2a+4·0, 6b+7·0, 0, 0) = (2a, 6b, 0, 0) F²(x, y, z) = F ((0, 0), (x, y, z)) = (2 · 0 + 4x, 6 · 0 + 7z, 0, 0)

= (4x, 7z, 0, 0)

xi Si fⁱ : Vⁱ → W es K-lineal, i = 1, 2, ..., n, tambi´en lo es

n

X

i=1

fⁱ

n

M

i=1

Vⁱ→ W

!

dada por

n

X

i=1

fⁱ

! (x) =

n

X

i=1

fⁱ(x_i) si x = (x₁, x₂, ..., x_n).

xii Si F :

n

M

i=1

Vⁱ → W es K-lineal tambi´en lo es F ◦ i_j = F^j :

Vi → W en donde i_j : Vⁱ →

n

M

i=1

Vⁱ, x 7→ (0, ...,

∧i

x, 0, ..., 0) en donde ∧ significa “en la i-´ⁱ esima coordenada”, as´ı pues si n = 3, i1 : V¹ → V¹L V²L V³ estar´a dada por i1(v) = (v, 0, 0) y F¹(v) = (F ◦ i₁)(v) = F (i₁(v)) = F (v₁, 0, 0). i₂ : V² → V¹L V²L V³ est´a dada por i₂(v) = (0, v, 0) y F² : V² → W con F²(v) = (F ◦ i2)(v) = F (i2(v)) = F (0, v2, 0).

De la misma manera se tiene que para i₃ y F³. Se tiene entonces que F = F¹+ F²+ F³ en efecto

(F¹+ F²+ F³)(v1, v2, v3) = F¹(v1) + F²(v1) + F³(v3)

= F (v1, 0, 0) + F (0, v2, 0) + F (0, 0, v3)

= F ((v₁, 0, 0) + (0, v₂, 0) + (0, 0, v₃))

= F (v1, v2, v3)

(6)

xiii Pi :

n

M

i=1

Vⁱ → V_j dada por Pj(v1, v2, ..., vn) = vj es una función K-lineal la cual se llama la j-ésima proyección.

xiv Si fi : W → Vⁱ es K-lineal, entonces tambi´en lo es F : W →

n

M

i=1

Vⁱ dada por F (w) = (f1(w), ..., fn(w)) en este caso F se denota F = (f1, f2, ..., fn) = (fi)i. Es decir que (fi)i(v) = (f1(v), f2(v), ..., fn(v)). Ahora bien si F : W →

n

M

i=1

Vⁱ entonces la n-upla de funciones Fi = Pi◦ F se llama la descomposici´on de F a derecha. Se tiene que F = (F₁, F₂, ..., F_n) = (F_i)_i.

Primer Teorema de Caracterización de Funciones Lineales Sea K un campo. Deseamos dar, de ser posible, una caracterización de todas las funciones lineales K^m→ Kⁿ. Deseamos saber si podemos decir a “ojo” (son solo mirar la fórmula de la imagen) si una función K^m→ Kⁿ dada es K-lineal.

Veamos para iniciar un caso “peque˜no”. Supogamos que F : R³→ R² lineal. Entonces F = (F₁, F₂) en donde F₁ : R³ → R, (F1 = P₁◦ F ), F2 : R³ → R, (F2 = P2 ◦ F ). Por otra parte F₁ : R³ → R tiene descomposici´on a izquierda,

R→ Rⁱ¹ ^{3 F}→ R,¹ R→ Rⁱ² ^{3 F}→ R,¹ R→ Rⁱ³ ^{3 F}→ R¹ o lo que es lo mismo

F₁◦ i₁ = (F_i)¹, F₁◦ i₂= (F₁)², F₁◦ i₃ = (F₁)³ Si es complicado escribir (F1)ⁱ entonces escribirmos F₁ⁱ y tenemos que

F1 = F₁¹+ F₁²+ F₁³

y de la misma manera F₂ = F₂¹+ F₂²+ F₂³ as´ı pues F = (F₁, F₂) = (F₁¹+ F₁²+ F₁³, F₁¹+ F₁²+ F₁³) en donde F_jⁱ : R → R es una funci´on

(7)

lineal. Del ejemplo 1.5, parte v se tiene que f : R → R es R-lineal si y sólo si existe a ∈ R tal que f (x) = ax, ∀x ∈ R. En efecto a = f (1). Se tiene entonces que cada uno de los F_jⁱ está dada por un número real as´ı:

F₁¹(x) = a¹₁x F₂¹(x) = a¹₂x F₁²(x) = a²₁x F₂²(x) = a²₂x F₁³(x) = a³₁x F₂³(x) = a³₂x Veamos como es pues la funci´on F .

F (x, y, z) = (F1(x, y, z), F2(x, y, z))

= ((F₁¹+ F₁²+ F₁³)(x, y, z), (F₂¹+ F₂²+ F₂³)(x, y, z))

= (F₁¹(x) + F₁²(y) + F₁³(z), F₂¹(x) + F₂²(y) + F₂³(z))

= (a¹₁(x) + a²₁(y) + a³₁(z), a¹₂(x) + a²₂(y) + a³₂(z))

= (a¹₁x + a²₁y + a³₁z, a¹₂x + a²₂y + a³₂z)

As´ı pues, toda función F : R³→ R² está determinada y determina, de manera única números a¹₁, a²₁, a³₁, a¹₂, a²₂, a³₂; para facilitar el recordarlo lo escribimos en forma de matriz

a¹₁ a²₁ a³₁ a¹₂ a²₂ a³₂

Se nota que a¹₁x+a²₁y+a³₁z se obtiene de los vectores (triplas) (a¹₁, a²₁, a³₁) y (x, y, z) multiplicando coordenada a coordenada y despu´es sumando los resultados, esto da lugar a una funci´on, R³× R³→ R, llamada un producto escalar (distinto de “por” escalar), as´ı:

(x₁, x₂, x₃)(y₁, y₂, y₃) = x₁y₁+ x₂y₂+ x₃y₃ Se tiene entonces que hay una matriz

A1

A₂

determinada y que determina a F .

El proceso que hicimos indica como determinar la matriz de F . Adem´as es claro como dar la funci´on lineal de una matriz

A₁ A2

. Est´a dada

(8)

de la siguiente manera (en la cual usaremos notaci´on



 a b c



en cambio de (a, b, c) para aconstumbrarnos a un uso corriente en ´algebra lineal.

F (X) =

A1· X A₂· X

que tambi´en se escribe

A1· X A₂· X

=

A1

A₂

· X Por ejemplo si A1= (2, 3, 4), A2= (−2, 6, 3) entonces:

F (x, y, z) =

2 3 4

−2 6 3



 x y z





=

(2, 3, 4) · (x, y, z) (−2, 6, 3) · (x, y, z)

=

2x + 3y + 4z

−2x + 6y + 3z

Ahora bien 2x + 3y + 4z es una combinación lineal de x, y, z es decir es una suma de productos de x, y, z cada uno por un escalar (en R en este caso). De la misma manera −2x + 6y + 3z es una combinación lineal de x, y, z. Se nota entonces F : R³ → R² es una función lineal sobre R si cada una de las coordenadas de F (x, y, z) es una combinación lineal de x, y, z con coeficientes en R.

Miremos ahora las propiedades del producto escalar.

1.6 Proposici´on:

Sean x, y, z ∈ Kⁿ. Entonces:

i x · y = y · x.

ii x · (y + z) = x · y + x · z.

(9)

iii (αx) · y = α(x · y).

1.7 Proposici´on:

Sea





 A₁

... A_n





 una matriz de n × m de elementos de K (o con coordenadas en K), es decir A_i ∈ Kⁿ, entonces la funci´on F : K^m→ Kⁿ dada por

F (X) =







A1· X A2· X

... An· X







(denotado tambi´en A · X si A =





 A1

A2

... An





 )

es una funci´on K-lineal.

1.8 Proposici´on:

Sea F : K^m → Kⁿ una funci´on K-lineal entonces existe una matriz A ∈ Mn×m(K) tal que F (X) = A · X, ∀X ∈ Kⁿ.

Demostraci´on:

Puesto que F : K^m → Kⁿ es K-lineal F se descompone en F = (F₁, F₂, ..., F_m) en donde F_j : K^m → K es lineal, como F_j es lineal, F_j se descompone en:

F_j¹ : K → K F_j² : K → K · · · F_j^m : K → K

o lo que es lo mismo F_j =

m

X

i=1

F_jⁱ con F_jⁱ : K → K lineal.

Como F_jⁱ : K → K entonces existe a_ij ∈ K tal que F_jⁱ(x) = a_ij(x),

∀x ∈ K. As´ı pues

F_j(x) =

m

X

i=1

F_jⁱ(x_i) =

m

X

i=1

a_ijx_i = (a_1j, a_2j, ..., a_mj)(x₁, x₂, ..., x_m)

(10)

Si denotamos Aj = (a1j, a2j, ..., anj) entonces Fj(X) = Aj· X, se tiene entonces escribiendo en forma de columna

F (X) =







F₁(X) F2(X)

... Fn(X)







=







A₁· X A2· X

... An· X







= A · X, si tomamos A =





 A₁ A2

... An







1.9 Nota:

A la matriz A que se hizo corresponder a F : Kⁿ→ K^m en 1.7 la llamaremos F y la denotaremos M (F ).

Note que la escritura en forma de columna tiene m´as ventajas. As´ı si F : R³ → R⁴ es la funci´on

F (X) =







2x + 3y + 4z 5x + 6z 7x + 9y + 8z 9y + 6z





 Entonces es claro que F es lineal sobre R puesto que

F



 x y z



=







2x + 3y + 4z 5x + 0y + 6z 7x + 9y + 8z 0x + 9y + 6z







Y cada coordenada de F (X) (cuando x = (x, y, z)) es una combinaci´on lineal de x, y, z. Adem´as es obvio que

M (F ) =







2 3 4 5 0 6 7 9 8 0 9 6







O sea la matriz de los coeficientes de las combinaciones lineales orde- nadas. En efecto si A es la matriz dicha

A · X =







(2, 3, 4) · X (5, 0, 6) · X (7, 9, 8) · X (0, 9, 6) · X







=







2x + 3y + 4z 5z + 0y + 6z 7x + 9y + 8z 0x + 9x + 6y







= F (X)

(11)

Los Elementos del Caso General V → W

Si nos preguntamos ahora bajo que condiciones una funci´on K-lineal f : V → W , en donde V y W son K-espacios cualesquiera, se puede dar por medio de una matriz como en el caso acotado para poder responder a esta pregunta se requiere tratar algunos elementos fundamentales.

En efecto un elemento fundamental que usaremos, fue que en Kⁿ un elemento tiene “coordenadas”, y de hecho est´a determinado de manera

´

unica por ellas. Usaremos además “combinaciones lineales”. Estos dos elementos están además conectados. He aqu´ı los elementos básicos que nos permitiran generalizar el problema.

1.10 Definici´on:

Sea V un K-espacio vectorial y S un subconjunto de V . A una suma de la forma k1s1+ K2s2+ ... + knsn en donde ki∈ K y s_i ∈ S,

∀i = 1, ..., n, lo llamamos una combinaci´on lineal de elementos de S.

En los elementos de 1.10 resulta que 0 es una combinación lineal de elementos de S. En efecto 0 = 0s con s ∈ S es una combinación lineal de elementos de S. En efecto s = 1 · s. Esto último lo sabemos, es la condición M.E.3. Para lo segundo comencemos por remediar la omisión de las propiedades elementales de un espacio vectorial.

1.11 Proposici´on:

Si V es un espacio sobre K entonces:

i ∀v ∈ V , 0v = 0.

ii (−α)v = −(αv), ∀α ∈ K, ∀v ∈ V .

Por otra parte se nota que las combinaciones lineales de elementos de S forman un subgrupo de V . En efecto, una suma (finita) de productos de la forma αs con α ∈ K, s ∈ S. Sumando con otra suma de elementos de la misma forma es de nuevo una suma del mismo estilo.

Más aún, note que al restar combinaciones lineales de elementos de S da una combinación lineal de elementos de S: (α₁s₁+α₂s₂+...+α_ts_t)−

(12)

(β1s⁰₁+β2s⁰₂+...+βqs⁰_q) = α1s1+α2s2+...+αtst+(−β1)s⁰₁+(−β2)s⁰₂+ ... + (−β_q)s⁰_q y sabemos que 0 es combinación lineal de elementos de S. Qué estructura está revuelta en este subgrupo? Se completa a algo como subespacio? La respuesta es s´ı. He aqu´ı la formalización del concepto.

Subespacios Vectoriales

1.12 Definici´on:

Sean W y V espacios vectoriales sobre K. Se dice que W es un subespacio de V (sobre K) si W ⊆ V y la suma y el producto de W son las restricciones de la suma y el producto en V .

Dado un subconjunto W de un espacio vectorial V sobre K diremos que W es un subespacio de V (sobre K) si W es cerrado para las operaciones suma y producto por escalar y W con las operaciones incluidas en un subespacio de V . Se tiene un teorema correspondiente al caso de grupos abelianos.

1.13 Proposici´on:

Sea V un espacio vectorial sobre K. Sea W ⊆ V , W 6= φ.

Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

i W es un subespacio de V sobre K.

ii W es un subgruupo de (V, +) cerrado para el producto por escalar.

iii ∀w1, w2∈ W , ∀α ∈ K, w₁− w₂∈ W , αw₁∈ W . iv ∀w1, w2∈ W , ∀α₁, α2∈ K, α₁w1+ α2w2∈ W .

1.14 Ejemplos:

i 0 y V son subespacios de V llamados los subespacios triviales.

ii K_n[x] es un subespacio de K[x] sobre K.

(13)

iii Para K un campo, sea T = {(0, a2, a3, 0, a5) | ai ∈ K} es un subespacio de K⁵.

iv C[a, b] = {f : [a, b] → R | f es continua} es un subespacio de R^[a,b] sobre R.

v D[a, b] = {f : [a, b] → R | f es diferenciable} es un subespacio de C[a, b].

La propiedad fundamental que nosotros queremos es.

1.15 Proposici´on:

Sea S ⊆ V . Sea < S > el conjunto de las combinaciones lineales de elementos de S (con coeficientes en K). Entonces < S > es un subespacio de K 2

1.16 Definici´on:

i < S > de la proposici´on anterior se conoce como el subespacio generado por S.

ii Si G =< S > decimos que S es un conjunto de generadores de G.

Estamos frente a una parte de la teor´ıa de grupos abelianos que “pasan”

de manera directa (´unicamente teniendo cuidado de “preservar la multiplicaci´on por escalar”) del caso de grupos abelianos al caso de espacios vectoriales. All´ı se ten´ıa el subgrupo generado por un subconjunto.

Aqu´ı también hay la noción de generación y podr´ıa haberse usado la misma técnica que allá. As´ı se podr´ıa haber demostrado que la inter- sección de subespacios es un subespacio, en tal caso se tendr´ıa que:

∩{W | W subespacio de V , W ⊇ S}

es un subespacio que contiene a S y al más pequeño, por el mismo procedimiento de construcción. Que este subespacio y < S > coinciden se tiene porque

(14)

1.17 Proposici´on:

< S > es el subespacio m´as peque˜no de V sobre K que cotiene a S. Es decir el subespacio < S > cumple que si T es un subespacio

< S > cumple que si T es un subespacio de V y T ⊇ S entonces

< S >⊆ T 2

Note que la parte de homomorfismo de grupos abelianos produce propiedades conocidas que se extienden tambi´en a la preservaci´on del producto por escalar. As´ı por ejemplo, si f : A → B es un homomorfismo de grupos abelianos, entonces, Im f es un subgrupo de B.

La propiedad correspondiente en el caso que estudiamos ser´ıa (tradu- ciendo): Si f : A → B es K-lineal entonces Im f es un subespacio de B. La parte correspondiente a grupos ya se conoce. En efecto sabemos que si f es K-lineal entonces es un homo de grupos abelianos, por tanto Im f es un subgrupo de B. Resta demostrar que es cerrado para el producto por escalar: Si x ∈ Im f y α ∈ K entonces αx ∈ Im f . En efecto: x ∈ Im f ↔ x = f (a) para a ∈ A. As´ı que αx = αf (a) = f (αa) ∈ Im f .

Las propiedades tambi´en pueden ser demostradas directamente, por ejemplo la anterior demostraci´on de manera directa ser´ıa: Sean x, y que pertencene a Im f , α, β ∈ K y veamos que αx + βy ∈ Im f . Pero como x, y ∈ Im f , x = f (a), y = f (b) con a, b ∈ A. Se tiene entonces

αx + βy = αf (a) + βf (b) = f (αa + βb) ∈ Im f

De las propiedades siguientes aconsejamos que la mitad que haga de manera directa y la mitad usando el caso correspondiente a grupos abelianos.

1.18 Proposici´on:

Sea f : V1→ V₂ una funci´on K-lineal entonces:

i Si W₁ es un subespacio de V₁, f (W₁) es un subespacio de V₂. ii Si W2 es un subespacio de V2, f⁻¹(W2) es un subespacio de V1. iii Im f es un subespacio de V2.

iv Ker f es un subespacio de V₁.

(15)

v f es 1 − 1 si y s´olo si ker f = 0.

Tenemos además una relación con generación que nos interesa.

1.19 Proposici´on:

Sea f : V1 → V₂ una funci´on K-lineal sobreyectiva. Si S genera a V₁ entonces f (S) genera a V₂.

Demostraci´on:

En efecto si y ∈ V₂ entonces y = f (x) con x ∈ V₁. Entonces x =

n

X

i=1

α_is_i con s_i ∈ S, α_i∈ K. As´ı que

y = f (x) = f

n

X

i=1

α_is_i

!

=

n

X

i=1

f (s_i) ∈< f (S) > 2

Bases

Ahora bien, en el caso de grupos abelianos se ten´ıan descomposiciones muy precisas cundo se pod´ıa minimizar el conjunto de generadores.

Por ejemplo, en el caso de un elemento se encontraron los grupos c´ıclicos. Si G es un grupo c´ıclico G ∼= Z ó G ∼= Zp para algún p. En el caso nuestro la relación es mucho más precisa. Antes extenderemos el simbolo ∼=.

1.20 Definici´on:

Sea V y W K-espacios vectoriales. Decimos que V es isomorfo a W si y s´olo si existe f : V → W que es un isomorfismo.

Como siempre se tiene.

1.21 Proposici´on:

Entre espacios vectoriales sobre K, ∼= es una relaci´on de equiva- lencia.

(16)

Ahora bien, el caso de Z y Zp para espacios vectoriales as´ı.

1.22 Proposici´on:

Si V es un espacio vectorial sobre K tal que V =< a > para alg´un a ∈ V , entonces V ∼= K.

Demostraci´on:

f : V → K, αa 7→ α es claramente un isomorfismo. Aqu´ı juega un papel muy importante el hecho que {a} es el m´ınimo conjunto (en cuanto a n´umero) de generadores posibles.

Decimos que S es un conjunto minimal de generadores de V si G =< S >

y si s⁰ ∈ S (propiamente) entonces < S⁰ >⊆ G. Estos conjuntos se caracterizan as´ı:

1.23 Proposici´on:

Sea S ⊆ V . Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes.

i S es un conjunto minimal de generadores de V .

ii α1s1 + ... + αtst = 0 (con t ∈ N, αi ∈ K, s_t ∈ S con los s_i distintos) implica αi= 0, ∀i = 1, 2, ..., t.

iii Cada elemento v de V se escribe de una ´unica manera como combinaci´on lineal de elementos de la base.

Antes de hacer la demostraci´on notemos lo siguiente: En cambio de ii se dice que S es linealmente independiente sobre K. Aqu´ı resumimos escribiendo LIK. La parte iii quiere decir que si S1 y S2

son dos conjuntos finitos de S y consideramos los elementos X

s∈S1

α_ss y X

t∈S2

β_tt (α_s, β_t6= 0) es decir un elemento de < S₁ > y uno de < S₂ >

entonces si X

s∈S1

α_ss = X

t∈S2

β_tt → s₁ = S₂ ∧ α_s= β_s, ∀s ∈ S₁= S₂

(17)

Dicho en cristiano: Si usted toma x ∈< S > lo escribe como com- binación lineal de elementos de S y simplifica y si lo escribe de otra manera y también simplifica entonces en últimas, las dos escrituras son identicas salvo por el orden.

Demostraci´on Proposici´on 1.23:

i → ii Suponga que S es minimal y suponga que α1s1+ ... + αtst = 0.

Si alg´un α_i 6= 0, por ejemplo el primero entonces s₁ = α₂ α1

s₂+ α3

α1

s3+ ... +αt

α1

stcon lo que se puede eliminar si como generador porque es ya generado por s₁,...s_t. Es decir S − {s₁} genera a V (si por ejemplo x = β1s1+ αv + δw con v, w ∈ S entonces

V = β₁α₂

α₁s₂+ β₁α₃

α₁s₃+ ... + β₁α_t

α₁s_t+ αv + δw

y el s₁se elimina cambiando por la combinaci´on lineal de s₂, ..., s_t).

ii → i Suponga que S₁, S₂ son finitos y S₁∩ S₂ = T y que X

s∈S1

αss = X

t∈S2

β_tt con α_s 6= 0 y β_t 6= 0 entonces X

s∈S1

α_ss − X

t∈S2

β_tt = 0, simplificando

X

s∈S1−S₂

α_ss + X

s∈S1∩S₂

(α_s− β_s)s + X

t∈S2−S₁

(−β_tt) = 0

entonces αs = 0, ∀s ∈ S1− S₂, βt= 0, ∀t ∈ S2− S₁ y αs = βs,

∀s ∈ S₁ ∩ S₂. Como α_s, β_t 6= 0 por hip´otesis, S₁ − S₂ = φ, S2− S₁= φ, as´ı que S1 = S1∩ S₂= S2 y αs= βs, ∀s ∈ S1∩ S₂. iii → ii Si T ⊂ S y G =< T >=< S >, entonces existe s ∈ S tal que

s /∈ T . Entonces como s ∈< T >,

s = α1t1+ ... + αqtq con αi ∈ K, t_i ∈ T , α_i6= 0

Por escritura ´unica de S y como si, ti ∈ S, entonces solo hay un sumando en la derecha digamos s = α₁t₁ y adem´as α₁ = 1 y s = t₁ puesto que t_i ∈ T entonces s ∈ T 2

(18)

1.24 Definici´on:

Un conjunto S que cumpla cualquiera de las condiciones equivalentes i, ii, iii (entonces todas) de la proposici´on previa y si Y =< S >

se le llama una base de V sobre K.

Recordemos de M

i∈I

Vi= {f : I → [

i∈I

Vi| f (i) ∈ V_i, f (i) = 0 S.P.U.N.F.I}

como grupo abeliano. Adem´as (αf )(i) = α(f (i)) define un producto escalar en M

i∈I

Vi as´ı que es un espacio vectorial sobre K. Cuando Vi = V se escribeM

I

V .

1.25 Proposici´on:

Si S es una base de V sobre K entonces V ∼=M

S

K.

Demostraci´on:

Sea ϕ : V →M

S

K la funci´on dada as´ı ϕ X

S

α_sS

!

es un elemento de L K; por tanto para describirla debo dar su i-´esima coordenada.

ϕ X

s∈S

α_sS

!!

(i) = α_i

Como cada elemento de V tiene escritura ´unica con base en S y est´a bien definida, veamos que

ϕ X

s∈S

α_sS +X

s∈S

β_sS

!

= ϕ X

s∈S

α_sS

!

+ ϕ X

s∈S

β_sS

!

En efecto calculando la i-´esima coordenada en los dos lados tenemos:

ϕ X

s∈S

α_sS +X

s∈S

β_sS

!!

(i) = ϕ X

s∈S

(α_s+ β_s)S

!

(i) = α_i+ β_i

(19)

ϕ X

s∈S

α_sS

!

+ ϕ X

s∈S

β_sS

!!

(i) ^(∗)= ϕ X

s∈S

α_sS

!!

(i)

+ ϕ X

s∈S

β_sS

!!

(i) = α_i+ β_i (∗) Recuerde que la i-´esima coordenada de una suma es la suma de las i-´esimas coordenadas, o sea (f + g)(i) = f (i) + g(i).

Si ϕ X

s∈S

αsS

!

= 0 entonces ϕ X

s∈S

αsS

!

(i) = 0, ∀i ∈ S. Es decir αi= 0, ∀ ∈ S. As´ı que X

s∈S

αsS = 0 por tanto ϕ es 1 − 1.

Finalmente si f ∈ M

S

K entonces f (s) ∈ K, ∀s ∈ S y f (S) = 0 S.P.U.N.F.I. Consideremos x = X

s∈S

f (s)s y veamos que ϕ(x) = f . En efecto calculamos la i-´esima coordenada de cada lado y veamos que coinciden.

(ϕ(x))(i) = ϕ X

s∈S

f (s)S

!

(i) = f (i)

El procedimiento del teorema anterior es m´as general. En efecto cons- tituye la base fundamental de la construcci´on de las funciones lineales.

1.26 Teorema:

Sea S una base de V sobre K y f una función de S (que es un conjunto) en un espacio W , entonces f se extiende de manera única a una función K-lineal F : V → W tal que F (S) = f (S), ∀s ∈ S.

Demostraci´on:

Por escritura ´unica F X

s∈S

α_sS

!∗

= X

s∈S

α_sf (s) est´a bien definida

(20)

puesto que (adem´as) las sumatorias son finitas (αs = 0 S.P.U.N.F.I).

Además F (s) = f (1s) = 1f (s) = f (s). Que F es lineal se deja como ejercicio. La parte ∗ muestra la única posible definición de F .

1.27 Ejemplos:

i e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) generan R² sobre R. En efecto, (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a(1, 0) + b(0, 1). Adem´as, {e1, e2} es L.I.R. En efecto si αe₁+βe₂= 0 entonces α(1, 0)+β(0, 1) = (α, 0)+(0, β) = (α, β) = 0. As´ı que α = β = 0 y por tanto R² =< (1, 0), (0, 1) >

o lo que es lo mismo {e1, e2} forman una base de R² sobre R llamada la base (en el orden) can´onica.

ii e₁ = (0, ..., 1ⁱ, ..., 0) ∈ Kⁿ se llama el i-´esimo vector unitario coordenado de Kⁿ. Se tiene que {e1, e2, ..., en} es una base de Kⁿ sobre K.

iii Sea ei ∈M

I

K donde se tiene ei(j) =

0 si i 6= j

1 si i = j . Entonces e_i se llama el i-´esimo vector unitario coordenado deM

I

K y forma una base deM

I

K sobre F .

iv {1, X, X², ..., Xⁿ} forma una base de K_n[x] sobre K.

v Si (a, b) y (c, d) están en la recta y = mx entonces _a^b = ^d_c o sea ad − bc = 0. Suponga que (a, b) 6= (0, 0) 6= (c, d) y que (a, b) y (c, d) no están sobre una misma recta que pase por el origen de R². Entonces {(a, b), (c, d)} es una base de R² sobre R. En efecto, α(a, b) + β(c, d) = 0 ↔ (αa + βc, αb + βd) = 0 ↔ αa + β = 0 ∧ αb + βd = 0 se tiene que α = 0 y β = 0 de otra manera si por ejemplo β 6= 0 entonces (multiplicando la primera igualdad por b y la segunda por a) se eliminan términos con α y se recibe β(bc − ad) = 0 lo cual implica bc − ad = 0.

Además si se deben hallar x, y ∈ R tales que x(a, b) + y(c, d) = (R, S) entonces por la condición ad−bc 6= 0 se despejan fácilmente del sistema de ecuaciones en R,

ax + yc = r bx + yd = s

(21)

vi Pregunta: Hay una funci´on lineal F : R² → R³ que env´ıe (2, 1) en (3, 4, 6) y (−2, 1) en (−3, 4, 6)? C´uantos de ellos hay?

Solución: Como (−2, 1) y (2, 1) no están en una recta que pase por el origen entonces forman una base de R² sobre R. As´ı pues existe una única función lineal F : R² → R³ que env´ıa (2, 1) en (3, 4, 6) y (−2, 1) en (−3, 4, 6). Recordemos como se construye. Primero, si (x, y) ∈ R² buscamos α, β ∈ R tal que α(2, 1) + β(−2, 1) = (x, y). Es decir

2α + 2β = x α + β = y

↔ α = x + 2y

4 , β = 2y − x 4

por tanto (x, y) = ^(x+2y)₄ (2, 1) + ^(2y−x)₄ (−2, 1) (ver´ıfiquelo). As´ı pues

F (x, y) =^(x+2y)₄ F (2, 1) +^(2y−x)₄ F (−2, 1)

= ^(x+2y)₄ (3, 4, 6) + ^(2y−x)₄ (−3, 4, 6)

=^3(x+2y)₄ +^−3(2y−x)₄ , (x + 2y)+(2y − x),^6(x+2y)₄ +^6(2y−x)₄

= ³₄(2x), 4y,⁶₄(4y)

= ³₂x, 4y, 6y

Expl´ıcitamente F (x, y) = ³₂x, 4y, 6y.

Ahora si f : I → J es una funci´on 1 − 1 y sobre se ve f´acilmente que F : M

I

K → M

J

K. Dada por F (e_i) = e_{F (i)} (según e teorema es suficiente dar la función sobre la base) es un isomorfismo. El inverso es también es cierto pero solo lo enunciamos.

1.28 Teorema:

M

I

K ∼=M

J

K sobre K si y s´olo si I ∼= J 2

(22)

1.29 Corolario:

i Kⁿ∼= K^m → n = m.

ii Si S1 y S2 son bases sobre K entonces S1∼= S2.

Demostraci´on de ii:

V ∼=M

S1

K y V ∼=M

S2

K por tanto M

S1

K ∼=M

S2

K → S1 ∼= S2.

El último teorema que enunciamos pero no demostramos es esta parte tiene la siguiente base intuitiva: Supongamos que < S >= V^S sobre K con, digamos S = {S₁, S₂, ..., S_n}. Bien S es un minimal o no lo es. Si no lo es se puede eliminar un elemento (digamos Sn) y tener aún un conjunto de generadores S − {S_n} el cual es o no minimal. De esta manera se encuentra en S un subconjunto minimal de generadores y por tanto una base. Ahora bien, uno puede encontrar siempre un conjunto de generadores: V =< V > pero como no siempre puede encontrar uno finito, el proceso de eliminar generadores sobrantes puede no tener fin. También se podr´ıa iniciar con un conjunto LIK. Si S es LIK es decir V no está generado por S. Entonces S ∪ {v} es linealmente independiente. Si no, α_v + α₁s₂ + ... + α_ts_t = 0 con no todo αi = 0. As´ı que α 6= 0 de otra manera α1s1+ ... + αtst= 0 y como S es LIK, α₁ = α₂ = ... = α_t= 0.

De nuevo se tiene < S ∪ {v} >= V o no, sino existe v₁∈ V − S ∪ {v}, as´ı que S ∪ {v} ∪ {v1} es LI. El proceso puede continuar pero nadie garantiza que se agote. De hecho may casos en que no se agota, peero tenemos el teorema que no demostramos.

1.30 Teorema:

Si S es LIK en V , entonces existe una base B de V sobre K tal que S ⊆ B 2

As´ı que si V 6= 0 entonces tiene una base. En efecto si V 6= 0, {v} es LIK.

(23)

1.31 Definici´on:

i A los espacios con bases finitas se les llama finito dimensio- nales y al n´umero de elementos de cualquier base se le llama la dimensi´on del espacio.

ii Si un espacio no tiene base finita se le dice infinito dimensional.

Hagamos enf´asis en el siguiente punto: Si V es un espacio sobre K y {b₁, b2, ..., bn} es una base de V sobre K entonces cada elemento x de V se puede escribir de una ´unica manera salvo por el orden en la forma X =

n

X

i=1

αiβi.

Descomposici´on en Suma Directa

Ahora bien, sabemos que en tal caso V ∼= Kⁿ= KL ... L K cada una de estas copias de K está representada por < bi > (en V ) que es un subespacio de dimensión 1 sobre K. Pero el orden de colocación puede ser cualquiera. En realidad el isomorfismo se puede ver internamente y permite seleccionar un orden con el cual trabajar.

1.32 Definici´on:

Sea W1, W2, ..., Wnsubespacios de V . Decimos que V se descompone en la suma directa de W₁, W₂, ..., W_n si

i V = W1+ W2+ ... + Wn.

ii w₁+ w₂+ ... + w_n= 0 (w_i ∈ W_i) entonces w_i= 0, ∀i = 1, 2, ..., n.

En tal caso denotamos V = W1L W₂L ... L W_n. 1.33 Proposici´on:

Si V se descompone en suma directa de W_i, i = 1, 2, ..., n entonces V ∼= W1L W₂L ... L W_n.

(24)

Demostraci´on:

Es claro que si x ∈ V , x = v₁ + v₂ + ...v_n con v_i ∈ W_i de manera

´

unica. Por que si v₁ + v₂+ ... + v_n = w₁ + w₂ + ... + w_n entonces (v1− w₁) + ...(vn− w_n) = 0 y por tanto vi− w_i = 0, ∀i o sea vi = wi, se tiene que ϕ : V → W₁L W₂L .... L W_n, (w₁+ w₂+ ... + w_n) 7→

(w₁, w₂, ..., w_n) es un isomorfismo.

Funciones Lineales y Matrices

Pero note que si V y W son espacios V L W 6= W 6= V as´ı que cuando escribimos V = W₁L ... L W_nestamos asegurando que hemos fijado un orden de escritura de los elementos. Se tiene entonces que V = w1L ... L w_n se comporta como suma. Compare 1.5 − x hasta 1.9.

1.34 Proposici´on:

Suponga que V = w1L ...w_n entonces:

i W_j → V , v^L^j _j 7→ v_j es lineal.

ii Si fi : Vi → W entonces V → W dado por F (P v^F _i) =P f_i(v) es lineal. Denotado

n

X

j=1

F ◦ ij.

iii Si F : V → W es lineal entonces F =

n

X

j=1

F ◦ i_j 2

Si denotamos F ◦ ij = Fⁱ se tendr´a en iii de 1.34 que F =

n

X

j=1

F^j.

1.35 Proposici´on:

Si V = W₁L ... L W_n entonces:

i P_j : V → W_j,

n

X

j=1

v_j → v_j es una funci´on lineal.

(25)

ii Si hj : W → Wj es lineal tambi´en lo es H : W → V dado por H(v) =P h_j(v). Denotemos H = (h_j)_i.

iii Si H : W → V y denotamos W → V^H → V^P^j _j por H_j entonces H = (H_i)_i.

Se tiene que si V = V₁L ... L V_n y W = W₁L ... L W_m entonces una funci´on F : V → W se descompone en F = (Fj)j=1,...,m en donde F_j : V → W_j por tanto F_j =

n

X

i=1

F_jⁱ donde F_jⁱ: V_i→ W_j.

Si los espacios Vi y Wi son espacios complicados entonces lo hecho no ayuda mucho. Pero si son espacios de dimensión 1 entonces el procedimiento ayuda. En este caso la función f :< a >→< b > lineal está determinada y determina un escalar. Si k ∈ K entonces la función ϕ :< a >→< b > tal que ϕ(a) = kb es lineal por supuesto. Además para hallar el escalar que determina a ϕ se halla la imagen de a. Si ϕ(a) = kb entonces k determina a ϕ. De hecho ϕ(αa) = αϕ(a) = k(αb).

Supongamos entonces que Vi =< ai> y Wj =< bj >, entonces existe kⁱ_j que determina a F_jⁱ. De hecho tenemos que F_jⁱ(αa_i) = αF_jⁱ(a_i) = αk_jⁱb_j.

La escritura se facilita si usamos coordenadas. En

V =< a1 >M ...M

< an>=

n

M

i=1

< ai > (∗)

Si X = α1a1+ α2a2+ ... + αnan lo escribimos

x =





 α1

... αn







(26)

y llamamos a αi la coordenada i-´esima de X en (*). De nuevo





 α₁ α2

... αn







·





 B₁ B2

... Bn







=

n

X

i=1

α_iB_i

Se tiene entonces como antes:

1.36 Teorema:

Sean V =

n

M

i=1

< ai >, W =

m

M

j=1

< bj >. Entonces para la funci´on lineal F : V → W existe una y una sola matriz

A =





 A1

A2

... An







∈ M_n×M(K)

Total que

F (X) =







A₁· X A₂· X

... A_n· X







= A · X, ∀X ∈

n

M

i=1

< ai>

Demostraci´on:

F (X) =

n

X

j=1

F_j(X) =

n

X

j=1 m

X

i=1

F_jⁱ(x_ja_j)

!

=

n

X

j=1 m

X

i=1

x_jk_jⁱb_j

!

=

m

X

i=1

x_jkⁱ_j

! b_j =

n

X

j=1

(A_jX)b_j =





 A1X

... AnX





= A · X en donde A_j = (k_j¹, k²_j, ..., k_jⁿ) 2

(27)

1.37 Teorema:

Para F :

n

M

i=1

< ai >→

m

M

j=1

< bj > sea M (F ) la matriz del teorema previo. Entonces

M : HomK





n

M

i=1

< a_i >,

m

M

j=1

< b_j >



→ M_n×M(K), F 7→ M (F ) Es una funci´on 1 − 1 y sobre.

(28)

PROBLEMAS

1 Demuestre que si R² =< x, y > entonces {x, y} es una base de R².

2 Considere las ecuaciones en R

ax + by = 0 cx + dy = 0

a Muestre que el sistema tiene solución única (x = 0, y = 0) si y sólo si ad − bc 6= 0.

b Sea a, b, c, d ∈ R tales que ax + cy = 0 bx + dy = 0

→ x = 0 ∧ y = 0

Muestre que

a c b d

6= 0.

c Muestre que si aij, i, j = 1, 2, 3 son tales que a11x + a21ya31z = 0

a12+ a22ya32z = 0 a₁₃+ a₂₃ya₃₃z = 0







→ x = 0, y = 0, z = 0

entonces

a11 a21 a31

a₁₂ a₂₂ a₃₂ a13 a23 a33

6= 0

3 Muestre que en R² si {x, y} es L.I.R entonces {x, y} es una base de R² sobre R.

4 Son 1,2 y 3 ciertos en general para un campo K cualquiera?

5 Muestre que < V₁, ..., V_n>= V sobre K entonces {V₁, V₂, ..., V_n} contiene una base de V . (Use inducci´on sobre n).

6 Muestre que si dim V = n y < V₁, V₂, ..., V_n >= V entonces {V₁, V₂, ..., V_n} es una base de V .

(29)

7 Muestre que si dim V = n y dim W = m sobre K entonces dim (V L W ) = n + m. O dicho de otro modo dim (V L W ) = dim V + dim W . Use este teorema para demostrar dim Kⁿ= n.

Muestre que KⁿL K^m ∼= K^n+m.

8 Muestre que si dim V = n y {V1, ..., Vn} es L.I.K entonces {V₁, V₂, ..., V_n} es una base de V sobre K.

9 Muestre que si S₁ ⊆ S₂ ⊆ V , entonces < S₁ > es un subespacio de < S₂ > y que < S₂ > es un subespacio de V y V es de dimensi´on finita, entonces dim < S1 >≤ dim < S2>≤ dimV . 10 D´e todos los subespacios de R sobre R.

11 D´e todos los subespacios de R² sobre R que tienen dimensi´on 1.

Graf´ıquelos en R². En seguida d´e todos los subespacios de R²en R de dimensi´on 2.

12 Clasifique y gr´afique los subespacios de dimensi´on 1, 2, 3 de R³. 13 Muestre que si f : V → W es k-lineal y 1 − 1 entonces V ∼= f (V ).

En tal caso se dice que f (V ) es una representaci´on de V en W .

a D´e tres representaciones de R en R² (graf´ıquelos).

b Dé cuatro representaciones de R² en R³. c Dé una representación de R en R⁴. d Dé una representación de R³ en R⁴.

14 Muestre que si V₁ tiene una representación en V₂ y V₂ tiene una representación en V3 entonces V1 tiene una representación en V3. Muestre que si V₁ tiene una representación en V₂ y V₁ tiene una representación en V₁ entonces V₁∼= V2.

15 Cu´antas funciones R-lineales R^{2 F}→ R³ existe tales que f (1, 2) = (3, 4, 6) y f (2, 6) = (5, 3, 7).

16 Muestre que si f : V → W es k-lineal y 1 − 1 (o como tambi´en se conoce k-singular o singular cuando no hay confusi´on con el

(30)

k) entonces f preserva la independiencia lineal. D´e un ejemplo de una funci´on k-lneal que preserva la independencia lineal pero que no es k-singular. Muestre que si f preserva la independencia lineal entonces es singular o dim kerf = 1.

17 Sea S₁ ∩ S₂ = φ y S₁ ∪ S₂ una base de V sobre K entonces V =< S1 >L < S₂ >.

18 Sea f : V → W es k-lineal. Suponga que ker f 6= 0. Sea S una base de ker f . Sea T una base de V que contiene a S. (C´omo sabe que T existe?). Muestre que:

a V = ker fL < T_S >.

b f |<T −S>:< T − S >→ W es 1 − 1.

c f (T − S) es una base de Im f .

d Si V es finito dimensional entonces dim V = dim ker f + dim Im f .

19 En cada caso damos un conjunto S y un elemento (vector X) de un emporio V , decida si S en una base de V y halle las coordenadas de X en la base dada con el orden dado.

V S X

i R² {(1, 2), (3, 4)} (−3, 1) ii R² {(3, 4), (1, 2)} (−3, 1) iii R³ {(1, 2, 3), (3, 4, −1)} (1, 6, 7) iv R³ {(1, 2, 3), (3, 4, 0)} (1, 6, 7) v R³ {(1, 2, 3), (3, 4, 0), (2, 0, 1)} (1, 6, 7)

20 Puede una funci´on f : R³ → R² lineal sobre R ser 1 − 1? Puede una funci´on f : R² → R³ lineal sobre R ser sobre?

21 Sea f : R³ → R² dado por f (x, y, z) = (2x + y, y + z). Diga a Im f = 0.

b dim Im f = 1.

c dim Im f = 2.

(31)

22 Sea f : R³ → R² dado por f (x, y, z) = (2x + y, y + z). Calcule f [x, y, z] cuando se usa la base ordenada S de R³ y T de R².

S T

i {e₁, e₂, e₃} {(2, 1), (3, 1)}

ii {(1, 2, 3), (3, 4, 0), (2, 0, 1)} {(2, 1), (3, 1)}

23 C´alcule M (f ) en 21 cuando S y T son como en 22 − ii.

24 Considere S y T como en 22 − ii.

i Calcule M (f ) si f : R² → R³ est´a dado por f ((x, y)) = (2x + 3y, x + 5y, 6x).

ii Si M (f ) =





1 2

−3 −5

4 6



 para S y T d´e f (x, y) cuando se consideran bases can´onicas.

(32)

.