Ejercicios del cap´ıtulo I.5 (Tema 5)
1) Compl´etese la demostraci´on del lema I.5.1.
2)Pru´ebese que siσes una proyectividad de un plano distinta de la iden- tidad y con toda una recta r de puntos dobles, entoncesσ es una homolog´ıa.
Indicaci´on: real´ıcese el razonamiento dual al expuesto en la demostraci´on del teorema I.5.1.
3) Demu´estrese que una homolog´ıa de un plano no tiene m´as puntos dobles que el centro y el eje, ni m´as rectas dobles que el eje y las que pasan por el centro.
4) Sea σ : P → P una proyectividad con dim P ≥ 2. Demu´estrese que si hay en P dos hiperplanos distintos H y H0 compuestos por puntos dobles, entonces σ = 1P.
5) Las definiciones de proyectividad central y homolog´ıa pueden exten- derse a espacios proyectivos de dimensi´on n ≥ 2 de forma obvia: de una proyectividad σ : P → P se dir´ıa que es central si existe un C ∈ P tal que cada hiperplanoHque contenga aCes doble (σ(H) = H). A la proyectividad central σ se la llamar´a homolog´ıa cuando σ 6= 1P. Pues bien, si σ : P → P es una homolog´ıa con dim P ≥ 2, pru´ebense las siguientes propiedades:
i) Cada recta por el centro es doble.
ii) El centro C de σ es ´unico.
iii) Cada hiperplano doble que no pasa por C est´a lleno de puntos dobles.
iv) Existe un ´unico hiperplano compuesto por puntos dobles (esta es la generalizaci´on del teorema I.5.1).
6) En un plano proyectivo P, sea σ una homolog´ıa de centro C y eje r.
En este ejercicio se estudiar´an las restricciones deσa un plano af´ınA = P −s, con s una recta distinta del eje. En tales circunstancias, ya se vio que C ha de quedarse en el infinito. Ll´amese τ a la restricci´on de σ al af´ın.
i) Demu´estrese que el conjunto
{P τ (P ) : P 6= τ (P ), P ∈ A}
constituye un haz de rectas paralelas.
ii) SiC /∈ r, pru´ebese queτ opera en cada rectaAτ (A)como una homotecia, esto es, existe un escalarλ tal que τ (A) − P = λ(A − P )para cada punto A fuera del eje, conP = Aτ (A) ∩ r1. Indicaci´on: puede facilitar bastante el trabajo usar el ejercicio I.4.19 y el hecho de que la raz´on doble es invariante por perspectividades.
iii) Si C ∈ r, compru´ebese que τ restringida a cada recta paralela al eje es una traslaci´on2.
iv) Dense m´etodos gr´aficos para el c´alculo de dilataciones y transvecciones conocidos el eje r y un par de puntos hom´ologos (A, A0), conA /∈ r.
7) En´unciese el dual del teorema de Pappus3. Si es posible, h´agase lo propio con el teorema menor de Pappus.
8) Compru´ebese que en un plano af´ın la composici´on de dos homotecias del mismo centroC y razones respectivasλ yµes otra homotecia de centroC y raz´onλµ. Util´ıcese este hecho y el teorema I.5.5 para dar una demostraci´on alternativa del teorema de Pappus.
9)Seanr, s, t, a, b, c, a0, b0, c0 nueve rectas distintas de un plano proyectivo tales que a ∩ a0 ∈ s, b ∩ b0 ∈ s, c ∩ c0 ∈ s, c ∩ b0 ∈ r, a ∩ c0 ∈ r, b ∩ a0 ∈ r, b0∩ a ∈ t y a0∩ c ∈ t. Demu´estrese que c0∩ b ∈ t.
10) El teorema de Desargues ha sido comprobado en espacios proyecti- vos bidimensionales. Exam´ınese la prueba para eliminar de ella las restric-
1 En tal situaci´on, se dice deτ que es unadilataci´on de raz´on λ. 2 A τ se la llama entonces una transvecci´on.
3 En cierta literatura lo llaman el teorema de Brianchon
ciones sobre la dimensi´on. Dicho de otra forma, pru´ebese que dos tri´angulos hom´ologos y no coplanarios de un espacio proyectivo de dimensi´on mayor o igual que 2son tales que sus lados hom´ologos, adem´as de cortarse, lo cual no resulta autom´atico en estas dimensiones, lo hacen seg´un puntos de la misma recta.
11) Sean (A, B, C, D) y (A0, B0, C0, D0) dos tetraedros dados por sus v´ertices de un espacio proyectivo tridimensional tales que las rectas AA0, BB0, CC0 y DD0 pasan todas por un punto O distinto de los ocho primeros.
i) Pru´ebese que las parejas de caras hom´ologas se cortan seg´un rectas copla- narias. El t´ermino hom´ologo se entiende en sentido obvio, por ejemplo, la cara A0 + B0 + C0 es la hom´ologa de la cara A + B + C. La anterior es una analog´ıa tridimensional del teorema de Desargues.
ii) Demu´estrese el rec´ıproco, esto es, si dos tetraedros de un espacio tridi- mensional satisfacen que sus parejas de caras hom´ologas se cortan seg´un tres rectas del mismo plano, entonces las rectas determinadas por parejas de v´ertices hom´ologos concurren en un punto.
iii) En´unciese alguna otra analog´ıa en dimensi´on cuatro.
12) Demu´estrese que si en un plano proyectivo el tri´angulo (A, B, C) es hom´ologo con el (A0, B0, C0) y con el (B0, C0, A0), entonces tambi´en lo es con el (C0, A0, B0).
13) Obt´engase el rec´ıproco de la propiedad de Pappus aplicando el di- recto a convenientes ternas de puntos. Con mayor concreci´on, en un plano proyectivo sean A, B y C tres puntos de una recta, y P, Q y R otros tres puntos arbitrarios. Consid´erense los puntos X = AQ ∩ BP,Y = BR ∩ CQ y Z = AR ∩ CP. Pru´ebese que si X, Y y Z est´an alineados, entonces el punto R ha de pertenecer a la recta P Q.
14) Si tres tri´angulos de un plano son hom´ologos dos a dos respecto a mismo centro de homolog´ıa, compru´ebese que los ejes de homolog´ıa concurren en un punto.
* 15) En un plano af´ın consid´erese un cuadriv´ertice (A, B, C, D). Sean
P la intersecci´on de AD con la paralela a CD por B, y Q, el punto de corte de BC con la paralela a AB por D. Util´ıcese el teorema de Pappus para demostrar que P Q y AC son rectas paralelas4.
16)SeanA, B, C,Dcuatro puntos y a, b, c, dcuatro rectas de un plano tales que b ∩ c ∈ AD, c ∩ a ∈ BD, a ∩ b ∈ CD, a ∩ d ∈ BC y b ∩ d ∈ AC.
Pru´ebese quec ∩ d ∈ AB.
17) Resu´elvase el ejercicio I.3.5 utilizando tan solo el teorema de Desar- gues.
18)Dado un pent´agono(A, B, C, D, E) de un plano, seanF = AB ∩ CD yM = AD ∩EF. Demu´estrese que los puntosP = AE ∩BM,Q = DE ∩CM y R = BC ∩ AD est´an alineados.
19)En un plano af´ın sup´ongase que tanto(A, B, C, D)como(A, B0, C, D0) son paralelogramos. Pru´ebese que (B, B0, D, D0) es otro paralelogramo.
20)Obt´engase una demostraci´on anal´ıtica (es decir, que haga uso de las coordenadas homog´eneas) del teorema I.5.9. Indicaci´on: Si A, B y C son los v´ertices de un tri´angulo (no degenerado, claro), P es el punto del infinito de AB, y Q, el de AC, t´omese un sistema de coordenadas homog´eneas del tipo {A, P, Q; U }, para cualquier U que haga las veces de punto unidad. En ´el, A tiene coordenadas (1, 0, 0), mientras que las de B son (1, β, 0), y (1, 0, γ) las de C.
21) En un plano af´ın sobre un cuerpo de carcater´ıstica 3 se considera el cuadriv´ertice{A, B, C, D}de puntos diagonalesE = AB ∩CD,F = AC ∩BD y G = AD ∩ BC. Sea H la intersecci´on de la diagonal F G con el lado CD. Demu´estrese que las rectas AH, EF y BC concurren. Int´entese una argumentaci´on sint´etica que utilice el ejercicio I.4.20. Si no se consigue, se permite al lector recurrir a coordenadas.
22)Pru´ebese el rec´ıproco de la segunda parte del teorema I.5.9, es decir, que en caracter´ıstica 3, las medianas de un tri´angulo son rectas paralelas. De nuevo deber´ıa acometerse un razonamiento sint´etico apoyado en el ejercicio
4 A este hecho se le conoce como propiedad especial de Pappus.
anterior, y solo acabar usando coordenadas en caso de desesperaci´on.
