Sistemas de Control y Proceso Adaptativo. Reguladores y Comunicación

Sistemas de Control y Proceso Adaptativo. Reguladores

y Comunicación

1.

Controladores y calibración. Testado funcional

Cuando se desea diseñar un sistema de control, deben conocerse las especificaciones determinadas para que realice el desempeño requerido (exactitud o precisión, estabilidad relativa, tiempo de respuesta, etc.), únicas para cada aplicación. Es conveniente que estas especificaciones no sean demasiado rígidas debido a que el sistema a controlar puede variar o no presentar un comportamiento igual al estimado.

El método de diseño de un sistema de control depende del tipo de sistema y de cómo se presenten las especificaciones. Para sistemas de una sola entrada y una sola salida, el método más básico es el de tanteo y modificación, en el que se diseña un modelo que sea capaz de realizar la tarea pertinente, posteriormente se realizan medidas y se comparan con las especificaciones, modificándolo en un sentido u otro según se desvíe de estas.

En otras ocasiones hay partes de un sistema que no cambian, sobre las que no se puede actuar, obligando a utilizar otra forma de modificar o compensar el sistema. Por ello se hace necesaria la utilización de elementos que permitan adaptar el sistema de control diseñado a la función requerida. Un primer paso en compensación es la variación de la ganancia de lazo abierto, pero este método no siempre es válido ya que tiene limitaciones, por lo que se necesita introducir nuevos elementos que compensen las derivaciones y las adapten a las especificaciones. Estos elementos son las llamadas redes de compensación.

1.1. Redes de Compensación

Figura 1: compensación serie (arriba) y paralelo.

Como ya se ha indicado, la forma más simple de modificar el comportamiento de un sistema es modificando su ganancia, sin embargo, esto puede empeorar el comportamiento con respecto a la estabilidad, exactitud, etc., haciéndose necesaria la utilización de bloques o redes de compensación.

Existen tres tipos de redes de compensación en función de las necesidades que se presenten:

• Redes de adelanto: son aquellas en las que la salida en estado estable presenta un adelanto de fase con respecto a la entrada. Mejoran la estabilidad del sistema sin variar la exactitud. Aumentan en una unidad el orden del sistema.

Figura 2: ejemplo de red de adelanto.

Figura 3: curva de magnitud logarítmica y ángulo de fase de una red de adelanto.

El adelanto máximo de fase ɸm vendrá determinado por la tangente a la

circunferencia y se producirá para

T

m α

ω = 1

La pendiente de la curva de transferencia es de 6 dB/oct.

T j T j E E Ts Ts Cs R R Cs R E E i o i o ωβ ω β + + = ⇒ + + = + + + = 1 1 1 1 1 ) ( 1 2 1 2 donde Cs R T = ₂ y 1 2 2 1+ > = R R R β

Figura 4: ejemplo de una red de atraso

Figura 5: curva de magnitud logarítmica y ángulo de fase de una red de atraso.

• Redes de adelanto-atraso: son aquellas en las que aparecen tanto un atraso como un adelanto de fase, pero en regiones de frecuencia distintas. El atraso se produce en la zona de baja frecuencia y el adelanto en la zona de alta frecuencia. Aumentan en dos unidades el orden del sistema.

      ₊       ₊ + + = + + + + + = s T s T s T s T s C R s C R s C R s C R s C R E E i o β β1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( siendo R1C1= ; T1 R2C2 = ; T2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 + + =β + _β ⇒β > T T C R C R C R

Figura 6: ejemplo de una red de adelanto-atraso.

1.2. Reglas de Calibración

Para la calibración de los sistemas de control se utilizan diversos métodos. Entre estos, los más utilizados son el método del lugar de las raíces y el método de la respuesta en frecuencia. Cada uno de estos métodos se aplicará de forma diferente si se utilizan redes de adelanto, atraso o adelanto-atraso.

1.2.1. Método del lugar de las raíces

El método del lugar de las raíces permite conocer cómo afecta la ganancia en bucle abierto en el comportamiento de un sistema realimentado (estabilidad, oscilaciones, rapidez al variar la ganancia). Normalmente solo se emplea cuando hay especificaciones sobre la respuesta transitoria.

Se denomina lugar de las raíces al lugar geométrico de los polos de G(s) al variar el valor de la ganancia (u otro parámetro del sistema) desde cero hasta infinito o en un margen determinado.

Figura 8: ejemplo de representación del lugar de las raíces.

desarrolló en 1948 un método para su cálculo en el que se dibujan las raíces de la ecuación característica para todos los valores de un parámetro. Se trata de conocer en qué lugar están los polos de la función de transferencia de un sistema en función de un parámetro, generalmente la ganancia.

Mediante este método el diseñador puede conocer los efectos que tendrán sobre el sistema la ganancia o la adición de ceros y polos.

Básicamente, para calibrar un sistema mediante este método, se vuelven a construir los lugares geométricos de las raíces mediante un compensador de tal forma que se puedan colocar polos dominantes en lazo cerrado en la posición deseada para que el sistema sea estable y cumpla las especificaciones requeridas.

La adición de ceros al sistema desplaza los polos en lazo cerrado hacia la izquierda, haciendo el sistema más estable. La adición de polos en lazo abierto empeora la estabilidad al desplazar los polos ya existentes hacia la derecha.

La determinación del lugar geométrico de las raíces es una tarea laboriosa. En la actualidad existen programas informáticos que permiten su determinación mediante una programación sencilla, por ejemplo el programa gratuito Scilab. Siendo un sistema realimentado tal que

) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( s H s G s G s R s C + =

para calcular los polos de la función de transferencia el denominador deberá igualarse a cero, con lo que

   = = + ± = ∠ ⇒ = + 1 ) ( ) ( ...) 3 , 2 , 1 , 0 ); 1 2 ( º 180 ) ( ) ( 0 ) ( ) ( 1 s H s G k k s H s G s H s G

Considerando una ganancia en el sistema de valor k, G(s)H(s) se podrá expresar en función de sus polos y ceros como:

) )...( )( )( ( ) )...( )( )( ( ) ( ) ( 2 1 0 2 1 0 l k p s p s p s p s z s z s z s z s k s H s G − − − − − − − − =

Para dibujar el lugar geométrico de las raíces hay que seguir las siguientes reglas:

1.- El número de ramas es igual al número de polos de la función de transferencia en lazo abierto.

2.- Cada rama comienza en un polo (ks=0) y termina en un cero (ks=

∞

). Si el

numero de ceros z es inferior al número de polos p, existirán p-z ceros en el infinito, hacia los que irán p-z ramas siguiendo p-z asíntotas.

3.- Los puntos del eje real con un número impar de polos y ceros a su derecha

pertenecen al lugar geométrico de las raíces (ks>0), y si es par, al lugar inverso

(ks<0), teniendo en cuenta que ambos lugares son simétricos con respecto al eje real.

4.- las p-z asíntotas se cortan en el punto:

z p z pi i − − =

∑

∑

0 σ

5.- Los ángulos de las asíntotas con el eje real se obtienen mediante las expresiones: z p q k_{s a} − + = 〉0 θ (2 1)π z p q k_{s a} − = 〈0 θ 2 π siendo q= 0,1,2,..., p-z-1

6.- Los ángulos de salida de los polos y llegada de los ceros se obtienen aplicando el criterio del argumento.

π θ π θ (2 1) (2 1) , 0 1 1 , 1 1 , = − − − + + = − − − − + 〉

∑

∑

∑

∑

= = = = q p s z s q z s p s k Si p i i z i i polo salida z i i p i i polo entrada s π θ π θ s p s z q s z s p q k Si p i i z i i polo salida z i i p i i polo entrada s 0, 2 2 1 1 , 1 1 , = − − − + = − − − − 〉

∑

∑

∑

∑

= = = = siendo q= 0,1,2,..., p-z-1

7.- Los puntos de ruptura son aquellos donde los lugares geométricos entre dos polos dejan el eje real y vienen determinados por

0 =

ds dk_s

8.- Los puntos de intersección de los lugares de las raíces con el eje imaginario se calculan aplicando el criterio de Routh a la ecuación característica, o bien

sustituyendo s por jω en dicha ecuación y obteniendo los valores de ω y k,

9.- Se puede calcular la ganancia en cualquier punto del lugar de las raíces aplicando la expresión:

∏

∏

= = − − = _z j i p i i z s p s k 1 1

Esta técnica puede adaptarse a otros parámetros diferentes a la ganancia. Una vez conocido el lugar de las raíces del sistema, se han de tener en cuenta las

características de ξ y ωn de respuesta transitoria. Para que cumpla las

especificaciones hay que ver si el lugar de las raíces pasa por los puntos definidos por estos parámetros y, si no lo hacen, hacerlos pasar.

Este método solo se emplea cuando se tienen especificaciones de respuesta transitoria.

1.2.2. Método de la respuesta en frecuencia

Con este método se analiza la respuesta del sistema ante una señal senoidal cuya frecuencia se varía en un determinado margen.

Las representaciones gráficas más utilizadas son los diagramas de Bode y el diagrama de Nyquist.

A partir de los diagramas en función de la frecuencia quedan determinadas una serie de características del sistema. El ajuste del régimen transitorio se realiza por aproximaciones sucesivas. Dependiendo de las características exigidas se utilizará un diagrama u otro.

Estos métodos presentan la ventaja de que no es necesario conocer la función de transferencia de la planta. Además nos proporciona información sobre su respuesta en frecuencia:

- Baja frecuencia: da una idea de la exactitud y permite calcular los coeficientes estáticos.

- Frecuencias medias: permite conocer la estabilidad, margen de frecuencia, margen de ganancia y respuesta transitoria.

1.2.1.1 Diagramas de Bode

Los diagramas de Bode están formados por dos gráficas frente a la frecuencia: el logaritmo de la magnitud de la función de transferencia y el ángulo de fase.

La principal ventaja de la representación logarítmica es que la multiplicación de magnitudes se convierte en suma, por lo que su representación se puede llevar a cabo conociendo como afecta cada uno de los términos de la función de transferencia. Para el caso de los factores integral y de derivada, su representación corresponde a rectas con pendientes de -20 dB/década y 20 dB/década y ángulos de -90º y 90º respectivamente, por lo que analizando cada uno de los términos se puede realizar una representación asintótica de la curva exacta.

Otra de las ventajas es que se puede hacer una representación asintótica en función de la frecuencia. Al trabajar en escala logarítmica se podrá representar toda la gama de frecuencias sin llegar al cero.

Igualmente existen programas que realizan esta representación gráfica con una programación sencilla, como es el caso de Scilab.

Figura 9: ejemplo de representación de los diagramas de Bode mediante Scilab.

En la curva se representa mediante un valor 20 log│k│

Si k > 0 → ϕ = 0º Si k < 0 → ϕ = -180º

- Factor integrador o derivador [jω]±1:

Para ωj 1 su módulo será ω ω 20log 1 log 20 =− j

Si se produce en una década

década dB 20 10 log 20 log 20 10 log 20 1+ 1 =− =− − ω ω

Si se produce en una octava

octava dB 6 2 log 20 log 20 2 log 20 1+ 1 =− =− − ω ω

-Factor de primer orden [1+jωT]±1:

[

]

       〉〉 = 〈〈 ⇒ + ⇒ + octava dB década dB T dB T T j 6 20 log 20 0 1 log 20 1 log 20 1 2 2 _{ω ω} ω ω ω

El cruce de estas dos rectas se producirá cuando

T T =1⇒ω= 1

ω La fase de este factor será:

     ≈ ∞ → = = ≈ → = º 90 º 45 1 º 0 0 ϕ ω ϕ ω ϕ ω ω ϕ T T arctg

Si este factor estuviera en el denominador se obtendrían signos de pendientes contrarios. -Factor cuadrático 1 2 2 1 ±               + + n n j j ω ω ω ω ξ :

realizando operaciones matemáticas se tiene que:

      =    = 〉〉 = 〈〈 〈 dB oct dB déc dB dB Si n n n 0 12 40 log 40 log 20 0 1 log 20 1 ₂ 2 ω ω ω ω ω ω ω ω ξ     → ⇒ ∞ → → ⇒ = → ⇒ → = º 180 º 90 º 0 º 0 1 ϕ ω ϕ ω ω ϕ ω ξ n Si

1.- Se descompone la función sinusoidal en factores de los tipos que se han visto anteriormente.

2.- Se ven las distintas frecuencias de corte y se halla la pendiente entre dos frecuencias consecutivas.

Si el sistema es de tipo 0 la representación comienza con una recta paralela al eje real. Si el sistema es de tipo 1 comenzará con una recta de pendiente -6 dB/oct hasta llegar a la primera frecuencia de corte. Si el sistema es de grado 2, la pendiente será de -12 dB/oct.

Ejemplo: ) 2 4 16 )( 8 ( ) 2 ( 128 ) ( ₂ s s s s s s G + + + + =

Normalizando esta función queda como:

              + + ⋅       +       + ⋅ = ⇒       + + ⋅       + ⋅       + ⋅ 2 2 4 4 2 1 8 1 2 1 2 ) ( 16 4 2 1 8 1 8 16 2 1 128 2 ω ω ω ω ω ω j j j j j j G s s s s s

De esta forma, las pulsaciones de corte serán:

Figura 10: representación de la variación de la ganancia en el ejemplo.

1.2.1.1 Diagrama de Nyquist o traza polar

El diagrama de Nyquist o traza polar es una representación de una

magnitud de la función de transferencia G(jω) (generalmente la ganancia) con

respecto al ángulo de fase de esta magnitud, cuando ω varía desde cero hasta

infinito. Por lo tanto la traza polar es el lugar geométrico de los vectores

( )

jω G

( )

jω

G ∠ , cuando ω varía desde cero hasta infinito. El criterio de estabilidad

de Nyquist relaciona la respuesta frecuencial en lazo abierto con la estabilidad en lazo cerrado.

Una ventaja de esta gráfica es que representa las características de la respuesta en frecuencia en el espectro completo.

Las gráficas anteriormente presentadas se han realizado con el programa Scilab, para una planta con función de transferencia:

(

0,9)

)

20 2 − = z z G

La programación utilizada es la siguiente:

// Diagramas clear z=poly(0,'z'); // vector de tiempos t=0:0.1:32; //

//modelo discreto de la planta g=20/(z*z*(z-0.9));

// //

//función de transferencia lazo abierto gla=g;glas=syslin('c',gla);

//

//función de transferencia lazo cerrado gu=1;glc=gla/.gu;

glcs=syslin('c',glc); //

//Programación de las herramientas xset('window',1)

xname('Análisis de la planta con varias herramientas') //

//Respuesta a un escalón unitario //lazo cerrado

subplot(2,2,1);xgrid(4)

plot2d(t,csim('step',t,glcs),style=2)

xtitle('Respuesta a un escalón unitario','tiempo','y(t)') //

//lugar de las raices subplot(2,2,2);xgrid(4) evans(glas,2.5)

sgrid([0.75 0.4],[0.5 0.75],2) //

subplot(2,2,3) nyquist(glas) // //diagrama de bode subplot(2,2,4) bode(glas,0.001,10)

//---Cada tipo de factor de la función de transferencia tiene una representación específica:

- Factor integrador o derivador [jω]±1: este tipo de factor es un vector de módulo ω

sobre el eje imaginario, y sentido positivo o negativo.

   = = º 90 φ ω ω G j    − = = º 90 1 φ ω ω G j

- Factor de primer orden [1+jωT]±1: este factor equivale a una recta paralela al eje

imaginario y que pasa por el punto ωT del eje real. Cuando está elevado a -1,

equivale a una semicircunferencia que comienza en el eje real y termina en 0.

(

)

( )

    = + = + T arctg T G T j ω φ ω ω 1 2 2 1    = = ⇒ T ω Im 1 Re

(

)

_

_{( )}

 − = + = + T arctg T G T jω _φ ω_ω 2 2 1 1 1 1    − = = =    − = = ∞ =    = = = ⇒ º 45 2 1 1 º 90 0 º 0 1 0 φ ω φ ω φ ω G T G G -Factor cuadrático 1 2 2 1 ±               + + n n j j ω ω ω ω

ξ : su representación comienza en el eje

2 2 1 _      + + n n j j ω ω ω ω ξ    = ∞ = ∞ =    = = =    = = = ⇒        ≡       − ≡ ⇒ º 180 º 90 2 º 0 1 0 2 Im 1 Re 2 φ ω φ ξ ω ω φ ω ω ω ξ ω ω G G G n n n                 − − =       +               − = ⇒       + + ₂ 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 n n n n n n arctg G j j ω ω ω ω ξ φ ω ω ξ ω ω ω ω ω ω ξ             − = = ∞ =    − = = =    = = = ⇒ º 180 0 º 90 2 º 0 1 0 φ ω φ ξ ω ω φ ω G G G n

• Técnicas de compensación de adelanto basadas en el método de la respuesta en frecuencia:

A partir del diagrama de Bode se pretende aumentar la fase, mejorando la estabilidad, intentando conseguir que esa máxima fase pase por la pulsación de cruce. Se desplaza la curva hacia arriba para no variar la ganancia a baja

frecuencia, para ello se multiplica por un factor 1/α:

α αω ω α ω ω = ⇒ + + = = n i o i o E E T j T j E E 1 1

Se intenta cambiar o modificar la forma de la curva dando un suficiente grado de adelanto para conseguir compensar un excesivo retardo de la fase. Los pasos a seguir son:

1.- Fijar el valor de la ganancia en lazo abierto para alcanzar las especificaciones en cuanto a los coeficientes de error.

2.- Para la K calculada, obtener el margen de fase del sistema sin compensar. 3.- Viendo la diferencia entre el margen de fase pedido y el dado, calcular cual es

el adelanto que hay que introducir, calculando ɸmáx.

4.- Calcular α.

5.- Ver sobre el sistema no compensado para qué frecuencia existe un nivel de

10logα. Observar donde se va a producir la nueva frecuencia de corte ωn.

Dado el sistema y los datos siguientes, ¿cómo ha de compensarse el sistema para obtener las características anteriores?.

dB M M seg K G F v 10 º 50 20 1 〉 〉 = − 1.- K_v = K =20⇒K =10⇒Ganancia 2 4

2.- Margen de la fase del sistema sin compensar (figura ): el MG=∞ ya que la

representación de fase no corta a la línea de 180º.

3.- MF: º 38 º 33 º 33 º 17 º 50 − = ⇒MF ↑ ⇒φm ≈ 4.- α?: 24 , 0 1 1 = ⇒ + − = α α α φm sen

dB 2 , 6 24 , 0 log 10 log 10 α = =−

Según la gráfica, el nivel de -6,2 dB nos determina la nueva frecuencia de corte ωn=9      = = = ⇒ = 4 , 18 1 41 , 4 1 227 , 0 1 T T T T n α α ω

El nuevo sistema será:

• Técnicas de compensación de atraso basadas en el método de la respuesta en frecuencia:

Habrá que atenuar suficientemente a frecuencias altas, además no interesa que el retardo a frecuencias medias sea muy grande, aproximándose entre sí y al origen las frecuencias de cambio de pendiente.

Los pasos a seguir son:

1.- Calcular la ganancia en lazo abierto para obtener los coeficientes estáticos de error definidos en las características especificadas.

2.- Dado el valor de K, y en la red sin compensar, para ese valor de K realizar el

diagrama y obtener MG y MF.

3.- Si no se cumplen las especificaciones se buscará la frecuencia o pulsación para la cual la fase es -180º más el margen de fase requerido

. º

180 M req

f ⇒ϕ_f =− + _F Posteriormente se bajará la curva para hacer coincidir la

frecuencia de cruce con la que se haya obtenido teniendo en cuenta la fase introducida por la red, que tomaremos entre 5º y 12º.

). º 12 º 5 ( º 180 + + → − = ⇒ M req f ϕ_{f F}

4.- Se hará coincidir esa frecuencia con la de cruce de ganancia β log 20 = dBf Nivel

5.- Se tendrá que lograr que la pulsación de corte más grande 1/T se encuentre entre 1 octava a 1 década inferior a la frecuencia obtenida anteriormente.

• Técnicas de compensación de adelanto-atraso basadas en el método de la respuesta en frecuencia:

Los pasos a seguir serán:

1.- Se ve la ganancia que debe tener el sistema para calcular los coeficientes estáticos de error.

2.- Se dibuja la ganancia y si se cumplen las especificaciones.

3.- Ver qué red de retardo se necesita, determinando la nueva frecuencia de cruce.

4.- En esta nueva frecuencia de cruce realizar el adelanto de fase.

En este tipo de red, una vez definida β, solo habrá que definir la distancia entre

frecuencias, es decir, desplazar T1 con respecto de T2 lo que se desee. En todo

caso se deberán utilizar constantes de tiempo físicamente realizables.

1.3. Test funcionales

Una vez implementado el sistema de compensación o control es necesario proceder a realizar las pruebas necesarias para comprobar que se cumplen las especificaciones de diseño. Los test a realizar dependerán del tipo de compensador, del tipo de proceso y del tipo de especificaciones.

Bibliografía

• K. Ogata, Ingeniería de Control Moderna.