ESPAÇAMENTO CERTO - GARANTIA DE LUCRO AO CAFEICULTOR: UMA PROPOSTA DE MODELAGEM MATEMÁTICA
Alessandra Cristina do Nascimento Faculdade de Apucarana – Apucarana [email protected]
Denis de Aquino Umbezeiro Faculdade de Apucarana – Apucarana
Renato Francisco Merli Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Campus Toledo
Resumo: Este trabalho está fundamentado nos pressupostos da Educação Matemática Crítica e na Modelagem Matemática enquanto alternativa pedagógica. Nesta perspectiva, realizamos, inicialmente, algumas considerações sobre a Modelagem Matemática, já que a mesma, por meio de tratamento, apresentação, análise, interpretação e conclusão dos dados estuda fenômenos sociais, econômicos e naturais, o que nos sugere uma contribuição na formação de cidadãos capazes de raciocinar matematicamente e criticamente; em seguida, abordamos o tema: opções de plantio de café arábica para o estado do Paraná e por fim, desenvolvemos uma atividade de Modelagem Matemática que procura estabelecer o melhor espaçamento entre as ruas de café para que o produtor possa atingir a máxima produção.
Palavras-chave: Educação Matemática; Modelagem Matemática; Educação Matemática Crítica; Café Arábica.
Introdução
ressalta a importância da interação entre EM (Educação Matemática) e EC (Educação Crítica), já que esta interação desenvolve no estudante um espírito crítico com relação à sociedade e propicia também uma aprendizagem mais significativa1 e interessante.
Ainda de acordo com o mesmo autor, considera-se a EC aquela que não reproduz passivamente as relações sociais existentes, questiona as relações de poder, desempenha um papel ativo na identificação e combate a disparidades sociais.
O ensino de matemática tem que ser próximo da realidade social, neste sentido Skovsmose (2001, p. 24) aponta como alternativa para a Educação Matemática o pragmatismo que é uma vertente didática-pedagógica, ou seja, ele orienta o problema, contudo “na EC, é essencial que os problemas se relacionem com situações e conflitos sociais fundamentais, e é importante que os estudantes possam reconhecer os problemas como ‘seus próprios problemas’” (SKOVSMOSE, 2001, p. 24); ideia esta contida nos pressupostos da Modelagem Matemática, conforme vemos em Almeida, Silva e Vertuan (2012).
Neste contexto desenvolvemos uma atividade de modelagem, que fez parte do processo de avaliação da disciplina de Modelagem Matemática do curso de Licenciatura em Matemática com Ênfase em Informática da Faculdade de Apucarana. O objetivo desta atividade foi ajustar o espaçamento entre as ruas de café de forma que atenda às necessidades do cafeicultor, e seja adequado aos recursos disponíveis, variedade e tipo de manejo, para assim resultar na máxima produção de café. Além disso, esta modelagem se justifica pelo fato de que o cafeicultor cada vez mais deve expandir seus horizontes em busca da qualidade de produção para vencer a competitividade no comércio, tendo em vista que os consumidores querem garantias da qualidade dos produtos.
A Modelagem Matemática e o Modelo Matemático
Tratando-se especificamente de Modelagem Matemática, D’Ambrósio (1989, p. 3) afirma que ela “tem sido utilizada como uma forma de quebrar a forte dicotomia existente entre a matemática escolar formal e a sua utilidade na vida real”. Corroborando com isso, Bassanezi (2010, p. 16) diz que “a modelagem matemática consiste na arte de
1 O termo significativa aqui não se refere ao termo cunhado por David Ausubel, mas indica apenas a
transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo real”. Já para Barbosa (2001, p. 6) a “modelagem é um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são convidados a indagar e/ou investigar, por meio da matemática, situações oriundas de outras áreas da realidade”.
Mas, o que vem a ser um modelo matemático?
Segundo Biembengut (1999, p. 11) a “própria noção de modelo está presente em quase todas as áreas: Arte, Moda, Arquitetura, História, Economia, Literatura, Matemática. Aliás, a história da Ciência é testemunha disso!”. Podemos ainda comparar o modelo com uma matriz de livro que serve para fazer moldes a fim de imprimir milhares de outros livros. Em termos matemáticos, D’Ambrósio (1989, p. 3) afirma que “os modelos matemáticos são formas de estudar e formalizar fenômenos do dia-a-dia”. Já Bassanezi (2010, p. 20) concebe modelo matemático como sendo “um conjunto de símbolos e relações matemáticas que representam de alguma forma o objeto estudado”. No entanto para se chegar a um modelo é necessário percorrer um processo, neste panorama Biembengut (1999, p. 20) confirma que “modelagem matemática é o processo que envolve a obtenção de um modelo”, o que de certa forma está em consonância com a concepção de que o processo de modelagem é constituído por diversas etapas.
Neste contexto, faremos aqui uma comparação entre as etapas que constituem o processo de modelagem matemática proposta por Bassanezi (2010) e Burak (1998; 2004). De forma detalhada para Bassanezi (2010) a Modelagem Matemática é um processo, composto pelas seguintes etapas: experimentação: é uma atividade que tem por finalidade a obtenção de dados; abstração: é o procedimento onde se estabelece a seleção de variáveis, problematização, formulação de hipóteses e simplificação, a fim de se chegar à formulação dos modelos matemáticos; resolução: é a substituição da linguagem natural das hipóteses por uma linguagem matemática coerente; validação: é a verificação se o modelo é válidoou não, para se chegar em uma conclusão coerente, é preciso comparar e testar o modelo e suas hipóteses com valores do sistema real; modificação: caso o modelo não seja aceito, esta etapa é destinada a modificação e reconstrução das etapas anteriores.
e materiais para a elaboração eexecução da proposta; 3) levantamento dos problemas: é a etapa de elaboração dos problemas e de fazer conjecturas sobre as relações do tema com a matemática; 4) resolução dos problemas e o desenvolvimento do conteúdo matemático no contexto do tema: é responder os problemas levantados por intermédio da matemática; e 5) análise crítica das soluções: nesta etapa final é preciso ter um senso crítico e afiado com relação à matemática e a outros aspectos tais como os sociais, econômicos e os naturais envolvidos no processo, enfim é preciso refletir acerca dos resultados obtidos do modelo a fim de aceitá-lo ou não.
É possível afirmar com esta pequena comparação que há algumas divergências nos pensamentos dos pesquisadores citados, contudo, ambos procuram evidenciar o caráter procedimental pelo qual, uma modelagem perpassa.
Quando o professor planeja, por intermédio da Modelagem Matemática desenvolver em sua sala de aula uma atividade, este propicia aos alunos estudar matemática por meio daquilo que é real e possui (ou procura ter) significado, desta forma é de suma importância a adoção da Modelagem Matemática para o desenvolvimento de atividades e por consequência para o desenvolvimento de uma aprendizagem dinâmica e viva; já que o professor neste tipo de aula deixa de ser o centro do processo de aprendizagem e o passa para os alunos, de modo que estes se tornem co-responsáveis. Neste panorama, Barbosa (2004, p. 5) organiza o ambiente de uma aula de Modelagem em três casos distintos, conforme Figura 1.
Figura 1 – Casos da Modelagem Matemática.
Fonte: Barbosa, 2004.
coleta dos dados e a resolução do problema é de inteira responsabilidade do aluno, no entanto é importante ressaltar que em nenhum momento deste processo o professor fica ausente, sendo assim, o professor assume o papel de mediador.
Enfim, a Modelagem Matemática se faz presente e torna-se fundamental para a geração de inquietações nos educandos, tornando-os críticos, conscientes de sua posição em relação à realidade de suas vidas.
Sobre o tema: Espaçamento correto entre ruas de café para o plantio no estado do Paraná.
O café há mais de mil anos caiu no gosto dos brasileiros, tornando-se a bebida matinal mais consumida, isto porque não há nada melhor do que um bom cafezinho pela manhã para tirar aquela sonolência e dar disposição. Santos e Loureiro (2014, p. 50) notificam que,
um estudo realizado por investigadores do Centro de Neurociência da Universidade de Coimbra, centrado na doença de Alzheimer e realizado em modelos animais, aponta também que doses moderadas de café consumidos de modo crónico apresentam diversos benefícios, diminuindo os problemas associados à perda de memória. Mais recentemente, os investigadores estenderam a investigação às depressões e os resultados foram idênticos. Como conclusão deste estudo português, a cafeína presente numa chávena de café pode ajudar a tratar doenças do cérebro como Alzheimer, Parkinson e depressões (SANTOS; LOUREIRO, 2014, p. 50).
Além de trazer benefícios para a saúde o café proporciona para muitos brasileiros o pão de cada dia, já que de acordo com Zambolim et al (2009, p. 346) “a cafeicultura ainda é uma das atividades mais importantes do país, pois propicia oportunidade de trabalho para milhões de pessoas numa época em que a oferta de mão-de-obra é infinitamente superior à demanda”.
população média de 1500 a 2000 pés/ha2”. Com o plano de Renovação e Revigoramento aumentou-se o número de pés/ha e consequentemente a produção de café, este sistema se aperfeiçoou ao longo dos anos e atualmente o plantio de café é adensado e compreende espaçamentos que resultam numa população cafeeira variando de 5 mil a 10 mil plantas/ha.
Figura 2 – Espaçamento entre ruas e entre pés de café.
Fonte: Da Autora, 2014.
Corroborando com esse plano, Androciolli (2002, p. 5) diz que “a densidade e a forma de disposição das plantas na área interferem em todo o sistema de produção de café”. Assim, quando o assunto é produtividade, a distância correta entre rua e entre pé de café possui extrema importância. Nesta linha de pensamento Androciolli (2002, p. 5) também afirma que a “obtenção de alta produtividade de café por unidade de área consiste basicamente na capacidade dos modelos tecnológicos em manter grande quantidade de nós produtivos por área, com maior número de frutos por nó e maior peso de sementes por fruto”.
Neste contexto, o espaçamento correto no plantio de café faz com que haja um equilíbrio nutricional das plantas, promovendo uma produção maior por hectare e por consequência maior lucro ao cafeicultor.
2 Um hectare (símbolo; ha) é uma unidade de medida de área, equivalente a uma região de 10.000
Uma proposta de Modelagem Matemática
Por entender que os problemas não podem pertencer a uma realidade do faz de
conta, nossa proposta de Modelagem Matemática visa estudar o plantio adensado para a cultura de café arábica no Estado do Paraná, já que essa é uma prática que vem ganhando força na região produtora Centro-Sul do Brasil. No entanto, os cafeicultores ainda tem dúvida, quanto a melhor opção de distância entre cada rua de café a utilizar no plantio.
Diante desta situação, propõe-se a seguinte questão problema: Qual é a melhor
distância entre cada rua de café, para que o produtor possa atingir a máxima produção?
Com o intuito de coletar informações necessárias para responder à questão problema apresentada, entramos em contato, via telefone e e-mail, com a Cooperativa de Cafeicultores de Maringá Ltda - COCAMAR, a qual nos forneceu as informações que são apresentadas na Tabela 1 e na Tabela 2.
Tabela 1 - Relação: distância entre rua de café, o número de pés e sua produtividade.
Distância entre rua (metros) N° de pés de café por ha Produção em grãos por planta
2,0 6.250 3840
2,5 5.000 4800
2,8 4.464 4704
3,0 4.167 5040
Fonte: Da Autora, 2014.
Tabela 2 – Relação: distância entre rua de café e entre pé de café e o potencial de produtividade.
Distância entre rua e entre pé de café
(metros) Potencial de produtividade (ano)
2 por 0,80 8
2,6 por 0,80 12
2,8 por 0,80 15
3 por 0,80 20
Fonte: Da Autora, 2014.
Além disso, sabemos que:
Feito isto, admitimos cinco hipóteses para obtenção do modelo procurado;
•H1: Como medida entre as ruas serão consideradas 2,0; 2,5; 2,8; 3,0 metros; •H2: Para o espaçamento entre os pés na rua será considerado um valor fixo de 0,80 centímetros;
•H3: Cada grão de café pesa 1 0 10, . 4
− quilograma;
•H4: Iremos estudar a produção de café beneficiado3 apenas;
•H5: Usaremos o método dos mínimos quadrados para associar os valores da primeira com a terceira coluna da Tabela 1.
Observando a Tabela 1 e a Tabela 2 pode-se afirmar que a produção de café por hectare ajusta-se a uma função que relaciona a distância (d) entre dois pés de café consecutivos de mesma rua e a quantidade (q) de café por planta. Neste sentido temos:
P (d, q) = (peso de um grão de café * quantidade de grãos de café por planta) * (n° de planta por rua * quantidade de ruas).
De modo que, com os dados fornecidos, obtemos:
, 1 . 10 . .100
0,80 .100 1
No entanto o modelo tem que ficar apenas em função da distância entre cada rua de café. Assim com o objetivo de relacionar o espaçamento entre cada rua de café com a produção de cada planta é que fizemos uso da primeira e terceira coluna da Tabela 1.
Cabe ressaltar que para criar a relação de função da primeira e terceira coluna da Tabela 1, fizemos uso do método dos mínimos quadrados, que pode ser usado para gerar o que se chama em Estatística: Regressão Linear ou Ajuste Linear. Este método consiste em determinar o coeficiente angular a e o coeficiente linear b da equação da reta: y = a.x + b, ou seja, o método encontra a melhor relação funcional de uma variável dependente y quando relacionada com a variável independente x.
Segundo Chuquipoma (2012, p. 10) o coeficiente angular a e o coeficiente linear b da equação da reta é calculado da seguinte maneira:
∑
∑ ∑
∑
∑ ,
∑
∑ ∑ ∑
∑
∑
Onde xi no nosso caso representa a distância entre cada rua de café e yi a quantidade de grãos de café por pé. Para facilitar os cálculos do coeficiente angular e linear montamos a Tabela 3.
Tabela 3 - Cálculos preliminares para obtenção do coeficiente angular e linear.
Distância (d) entre rua de café. (metro)
Produção em grãos por planta.
(d) * (Produção em grãos por planta).
(d2)
2,0 3840 7680 4,0
2,5 4800 12000 6,25
2,8 4704 13172 7,84
3,0 5040 1520 9
∑4n =1 = 10,3 metros ∑4n =1 = 18383 ∑4n =1 = 47972 ∑4n =1 = 27,09
Fonte: Da Autora, 2014.
Montada a Tabela 3, executamos os cálculos que seguem:
∑ 10,3
. ∑ 18383 4 ∑ 47972
∑ 10,3
4 ∑ 27,09
2543,1
2,27 1120
∑ 10,3
. ∑ 47972 ∑ 27,09 .∑ 18383
∑ 10,3
4 ∑ 27,09
3884
2,27 1711
Logo a melhor função que representa a quantidade de grãos de café de acordo com a distância é q (d) = 1120 d + 1711.
Substituindo no modelo (1) fica:
1 . 10 . 1120 & 1711. 100
0,80 .100 2
Fazendo as devidas alterações algébricas no modelo (2) obtemos o modelo final (3) que permite responder ao problema.
'()*.,+
( (3)
Após a obtenção do modelo, procuramos validar o mesmo, conforme seguem os cálculos a seguir.
2 1120 & 1711.1,252 2469 -. / 01é 345 6.
2,8 1120 & 1711.1,252,8 2164 -. / 01é 345 6.
3 1120 & 1711.1,253 2113 -. / 01é 345 6.
Convém sublinhar que se substituirmos as distâncias apenas na equação q (d) = 1120.d + 1711 obteremos valores muito próximos dos valores da terceira coluna da Tabela 2, o que valida o modelo encontrado. Quando colocamos esta equação no modelo (1) e obtemos o modelo (2), torna-se possível deixar tudo em função de uma única variável e assim o modelo (2), expressa de forma mais apurada a produção de café por hectare em função da distância (d) entre duas ruas de café.
Depois de validado o modelo, apresentamos os resultados para o Engenheiro Agrônomo da COCAMAR, o qual concordou com os resultados e certificou que o modelo obtido representa bem a situação. Feito isto, fizemos uma análise do potencial de produtividade de cada espaçamento entre rua e montamos a Tabela 4.
Tabela 4 – Relação: distância entre ruas de café e entre pés de café com potencial de produtividade e produção de toda vida útil do café.
Distância entre rua e entre pés de café
(metros/centímetros)
Potencial de produtividade.
(ano) Produção de toda a vida útil do café (kg / ha)
2 por 0,80 8 19752
2,6 por 0,80 12 27060
2,8 por 0,80 15 32460
3 por 0,80 20 42260
Fonte: Da autora, 2014.
Os resultados da terceira coluna da Tabela 4 foram obtidos da multiplicação feita entre o potencial de produtividade e quantidade de kg de café/ha. Por exemplo, 8*2469 = 19752 kg/ha.
Considerações Finais
Podemos dizer que, com o uso de uma metodologia inovadora como a Modelagem Matemática, um leque de perguntas, respostas e desafios moveram novas experiências, como por exemplo, obter a informação de que, quanto menor for o espaçamento entre cada pé de café maior será sua altura, e por meio de estudo (pesquisa), concluir que o desenvolvimento da altura da planta compete com a produção de grãos.
Esse ‘trabalhar’ com um problema real possibilita aprender a partir de uma atividade ligada diretamente ao contexto social do educando e isto propiciou, por intermédio de cálculos matemáticos, o desenvolvimento de uma reflexão sobre atos mais conscientes a respeito da importância do café no mercado financeiro, desta forma é possível afirmar que a modelagem é uma alternativa metodológica que possibilita a construção de cidadãos mais conscientes e críticos em relação à sociedade.
No que se refere ao modelo construído aqui, este possui extrema importância para os cafeicultores da região Metropolitana de Londrina, um dos fatores que justifica esta afirmação é o fato que o comércio internacional do café pressupõe cada vez mais uma postura correta em relação à qualidade do grão e a produção. Cabe ressaltar que o modelo já foi usado para plantio, o que se espera agora é o resultado, ou seja, a colheita. Se tudo correr bem quanto ao clima, o cafeicultor já saberá o quanto a lavoura produzirá graças ao modelo matemático, isto prova que a ação de fazer matemática faz toda diferença na sociedade.
Assim como para muitas pessoas a cafeína é a fagulha para dar partida no motor pela manhã, esperamos que este trabalho se torne a fagulha que ilumine e contribua para o progresso da aprendizagem matemática.
Referências
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BIEMBENGUT, M. S. Modelagem Matemática e Implicações no Ensino-Aprendizagem de Matemática. Blumenau: Furb. 1999.
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CHUQUIPOMA, J. A. D. Modelagem Matemática. São João Del Rei: UFSJ, 2012.
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ROCHA, A. C; CEOTTO, O. L; PREZOTTI, L. C. Diversos espaçamentos para o plantio de café catuai na região serrana do espírito santo. Pesquisa dos Cafés do Brasil, Poços de Caldas, v.2, n.1, p.4, 2000. Disponível em: <http://www.sbicafe.ufv.br/handle/10820/208>. Acesso em: 18 jul. 2014.
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SKOVSMOSE, O. Educação matemática crítica. Campinas, SP: Papirus, 2001.
