Matemática. Desafío. GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Cuerpos geométricos GUICEN032MT22-A16V1

Mat

emática

Desafío

Una semiesfera tiene un área total de 4π cm2. Si se corta por la mitad, de manera de formar

dos cuartos de esfera iguales, el volumen de cada uno de estos cuartos de esfera mide A) 8₂₇

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π cm

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π cm

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π cm

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π cm

�

π cm

Mis observaciones

Resolución

Marco teórico

Cuerpos geométricos

Poliedros: cuerpos geométricos cuyas caras son polígonos.

Arista: segmento donde se encuentran dos caras.

Cara: cada una de las superficies que limitan el cuerpo.

Cuerpos redondos: cuerpos geométricos que poseen al menos una de sus caras curva.

Vértice: punto al que concurren tres o más aristas.

vértice arista

cara

Cuerpo geométrico: es una figura tridimensional que ocupa un lugar en el espacio.

Tipos de poliedros

Poliedros regulares convexos o sólidos platónicos: todas sus

caras son polígonos regulares congruentes entre sí. Tetraedro (4 triángulos equiláteros) Cubo o hexaedro regular (6 cuadrados) Octaedro (8 triángulos equiláteros) Dodecaedro (12 pentágonos regulares) Icosaedro (20 triángulos equiláteros) Pirámide: poliedro que

tiene solo una cara basal. Sus caras laterales son triángulos y concurren a

un mismo vértice.

Altura

base Prisma: poliedro que

tiene dos caras basales paralelas y congruentes.

Sus caras laterales son paralelógramos.

Altura

base

Paralelepípedo: prisma de seis caras, cada una de las cuales es un

paralelógramo.

alto ancho largo

Tipos de cuerpos redondos

Cono: se forma por el giro de un triángulo rectángulo en torno a

uno de sus catetos. Cilindro: se forma por el

giro de un rectángulo en torno a uno de sus lados.

Esfera: se forma por el giro de un semicírculo en torno a su diámetro. altura radio base radio altura radio generatriz

Área y volumen de cuerpos geométricos

como la suma de las áreas que limitan el cuerpo.

Prisma

Paralelepípedo Pirámide

Cubo

Cilindro Área lateral = 2π• radio • altura

Área total = 2π• radio • altura + 2π• radio2

Volumen = largo • ancho • alto Volumen = área base • altura

Volumen = 1₃ • área base • altura

Área = 6 • arista2 Volumen = arista3

Volumen = π• radio2_{• altura}

Cono Área lateral = π• radio • generatriz

Área total = π• radio • generatriz + π• radio2

Volumen = 1₃ •π• radio2• altura Área = 2 •(largo •ancho + largo •alto + ancho •alto)

Esfera

Área = 4π• radio2 _{Volumen =} 4

Ejercicios PSU

1. El área total de un cubo es 384 cm2_{. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?}

I) La suma de todas las medidas de las aristas del cubo es 96 cm. II) El volumen del cubo es 24 cm3_.

III) La diagonal del cubo mide 8

�

A) Solo I D) Solo I y III B) Solo III E) I, II y III C) Solo I y II

2. Si la capacidad de un cubo es 8 litros, entonces la suma de las medidas de todas las aristas del cubo es

A) 72 cm D) 200 cm B) 96 cm E) 240 cm C) 180 cm

3. La razón entre las áreas de dos cubos es 9 : 16. ¿Cuál es la razón entre sus volúmenes? A) 729 : 4.096 D) 9 : 12

B) 27 : 64 E) 3 : 4 C) 9 : 16

4. Si un paralelepípedo mide 8 cm de largo, 6 cm de ancho y 3 cm de alto, entonces su área total mide

A) 84 cm2 _{D) 510 cm}2

B) 90 cm2 _{E) 1.020 cm}2

C) 180 cm2

5. Un cubo tiene arista 2a y otro cubo mayor tiene arista 4a. Si a > 0, ¿cuántas veces el volumen del cubo menor está contenido en el volumen del cubo mayor?

A) 2 D) 16

B) 4 E) 64

6. La medida del ancho, alto y largo de un paralelepípedo suman 18 cm y están en la razón 2 : 3 : 4. Su volumen mide

A) 96 cm3 _{D) 384 cm}3

B) 192 cm3 _{E) ninguna de las medidas anteriores.}

C) 208 cm3

7. La cantidad de caras de un icosaedro es

A) 4 D) 12

B) 6 E) 20

C) 8

8. En la figura, el prisma recto tiene una altura de

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�

�

B)

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C) 3

�

D) 6

�

E) ninguna de las medidas anteriores.

9. Un cubo es un cuerpo geométrico clasificado dentro del grupo de los I) poliedros.

II) prismas.

III) paralelepípedos. Es (son) verdaderas

A) solo III. D) I, II y III.

B) solo I y II. E) ninguna de ellas. C) solo I y III.

10. Un prisma recto tiene como base un hexágono regular de lado 4 cm. Si todas las caras del prisma tienen igual área, ¿cuánto mide el volumen del prisma?

A) 64 cm3 _{D) 192}

_�

B) 96

�

C) 144

�

11. En la figura, la pirámide tiene base cuadrada de lado 15 cm y una altura de 22 cm. ¿Cuánto mide su volumen? A) 220 cm3 B) 330 cm3 C) 660 cm3 D) 1.650 cm3 E) 4.950 cm3

12. Una pirámide recta de base cuadrada tiene todas sus aristas de igual medida. La razón entre el área basal y el área lateral de la pirámide es

A)

�

�

B)

�

�

C)

�

13. En la figura, ABCD es un rectángulo y AB : BC = 2 : 1. Si se rota indefinidamente el rectángulo ABCD en torno al lado AB, se genera un cuerpo geométrico cuyo volumen mide

B C D A 30 cm A) 900π cm3 B) 3.600π cm3 C) 6.750π cm3 D) 13.500π cm3

14. El radio de un cilindro mide 4 cm y su altura mide 6 cm. ¿Cuánto mide su área total?

A) 40π cm2 _{D) 64π cm}2

B) 48π cm2 _{E) 80π cm}2

C) 52π cm2

15. Se tiene un recipiente cilíndrico de 4 cm de radio y 10 cm de altura con 34 de su capacidad lleno _{de agua. La cantidad de agua que tiene el recipiente es} A) 160π cm3 _{D) 30π cm}3

B) 120π cm3 _{E) ninguna de las medidas anteriores.}

C) 40π cm3

16. Considerando

π = 3 en el cilindro de la figura, ¿cuánto mide la altura del cilindro si se llena

20 cm h cm A) 1,0 cm B) 2,5 cm C) 3,4 cm D) 4,0 cm E) 6,5 cm

17. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado

�

D _C A _B A) 16π B) 8π C) 16π₃ D) 8π₃

18. Si el segmento PQ de coordenadas P(6, 3) y Q(3, 7), se rota indefinidamente en torno a la recta x = 3, entonces el volumen del cuerpo generado, en unidades cúbicas, es

A) 6π D) 36π

B) 12π E) faltan datos para determinarlo. C) 18π

19. Un triángulo ABC isósceles y rectángulo en C, se rota indefinidamente en torno a la trasversal de gravedad que nace en el ángulo C. Si la hipotenusa mide 10 cm, ¿cuál es el volumen que se genera?

A) 1.000π cm3 _D) 125π

3 cm3

B) 1.000π₃ cm3 _{E) Ninguna de las medidas anteriores.}

C) 125π cm3

20. Sean A(0, a), B(3a, a) y C(3a, 3a) tres puntos en el plano cartesiano, tal que a es un número real positivo. Si se gira indefinidamente el triángulo ABC en torno al lado BC, el volumen generado es A) 4πa3 _{D) 18πa}3

B) 6πa3 _{E) 27πa}3

C) 9πa3

21. Con respecto a un cono recto, siempre es verdadero que I) la generatriz es mayor que el radio.

II) el área lateral es mayor que el área basal. III) el radio es menor que la altura.

A) Solo I D) Solo II y III B) Solo III E) I, II y III C) Solo I y II

22. Sea un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 15 cm y 20 cm. Al girar indefinidamente el triángulo en torno a su hipotenusa, el volumen del cuerpo generado mide

A) 1.200π cm3 _{D) 1.800π cm}3

B) 1.348π cm3 _{E) 3.600π cm}3

23. Si el volumen de una esfera mide 24π cm3_{, entonces su área mide}

A) 4π₃ •

�

_�

B) 8π•

�

_�

C) 3π•

�

24. Si el diámetro de una esfera mide 6 cm, entonces su volumen mide A) 8π cm3 _{D) 36π cm}3

B) 12π cm3 _{E) ninguna de las medidas anteriores.}

C) 24π cm3

25. Si el radio de una esfera aumenta en un 20%, ¿en qué porcentaje aumenta su volumen?

A) 20% D) 72,8%

B) 60% E) 80%

C) 66,6%

26. Una esfera de plasticina de área A se divide en dos partes iguales. Una de esas partes se amolda de manera que toma forma de esfera. El área de esta esfera es

A) A_{4 D)} A

�

�

�

27. Se puede determinar el área de un cubo si: (1) La diagonal del cubo mide 6

�

A) (1) por sí sola. D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). B) (2) por sí sola. E) Se requiere información adicional.

C) Ambas juntas, (1) y (2).

28. El rectángulo de la figura, se rota indefinidamente en torno a AC. Se puede determinar el volumen del cilindro generado si:

D C

B A

(1) El área de una de las caras circulares del cuerpo formado es 16π cm2 _{y el área del rectángulo}

es 32 cm2_.

(2) La altura del cilindro formado mide 8 cm.

A) (1) por sí sola. D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). B) (2) por sí sola. E) Se requiere información adicional. C) Ambas juntas, (1) y (2).

29. Se puede determinar el volumen de un cono si: (1) El perímetro de la base mide 12π cm. (2) La altura del cono mide 9 cm.

A) (1) por sí sola. D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). B) (2) por sí sola. E) Se requiere información adicional. C) Ambas juntas, (1) y (2).

30. Se puede determinar el área de una esfera si: (1) El radio de la esfera mide 9 cm.

(2) El volumen de la esfera mide 972π cm3_.

A) (1) por sí sola. D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). B) (2) por sí sola. E) Se requiere información adicional. C) Ambas juntas, (1) y (2).

Tabla de corrección

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Item Alternativa Habilidad

1 ASE 2 Aplicación 3 ASE 4 Aplicación 5 Comprensión 6 Aplicación 7 Comprensión 8 Aplicación 9 ASE 10 ASE 11 Aplicación 12 ASE 13 ASE 14 Aplicación 15 Aplicación 16 Aplicación 17 Aplicación 18 ASE 19 Aplicación 20 Aplicación 21 ASE 22 ASE 23 Aplicación 24 Aplicación 25 ASE 26 ASE 27 ASE 28 ASE 29 ASE 30

ASE