UNIDAD 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1.- Resolver, con el método de Gauss, los sistemas siguientes:a) 1 1 1 z y x z y x z y x b) 1 2 3 9 2 2 3 2 y x y x y x c) 1 6 4 2 5 9 4 8 y x z y x z y x
2.- Resuelve utilizando la regla de Cramer:
a) 7 5 6 3 2 3 y x y x b) 4 2 2 4 3 0 2 z y x z y x z y x
3.- Analizar la compatibilidad del sistema siguiente:
1 5 1 2 2 2 2 2 y x y x y x y x
4.- Discutir el sistema siguiente en función del parámetro a:
1 2 2 y a x a y ax
5.- Discutir y resolver el sistema siguiente:
a z y x a z ay x z y x a 1 2 1 0 2 ) 1 (
6.- Discutir, en función del parámetro a, cuándo es aplicable la regla de Cramer en cada uno de los casos siguientes:
2 3 0 2 3 1 3 2 ) 3 2 2 0 2 2 3 ) z y az ay x z y ax b z y ax z y x az y x a
7.- Sea el sistema: 4 8 2 my x y x
determinar el valor de m para que tenga: a) Solución única.
b) Solución múltiple c) La solución x = 0. d) La solución x = 8. e) La solución x = k.
f) Para que sea incompatible.
8.- Discutir los siguientes sistemas en función del parámetro, y resolverlos cuando se pueda: k z y x k z y x k z y x c m mz y x m z my x z y mx b z m y x z y m x z y x m a 2 2 2 ) 1 ) 0 ) 8 ( 4 2 0 2 ) 4 ( 2 0 2 ) 4 ( ) 2
9.- Un campesino cultiva en sus tierras manzanas de tres tipos, A, B y C. En promedio cada árbol del tipo A produce 50 kg de manzanas por cosecha; cada árbol del tipo B, 30 kg; y cada árbol del tipo C, 40 kg.
Sabemos que actualmente obtiene 230 t de manzanas por cosecha y nos proporciona la siguiente información:
- Si arrancara todos los manzanos del tipo B y los sustituyera por manzanos del tipo A, cosecharía 250 t.
- Si arrancara todos los manzanos del tipo C y los sustituyera por manzanos del tipo B, cosecharía 200 t.
¿Cuántos manzanos de cada clase tiene plantados actualmente?
10.- Consideremos el sistema de ecuaciones lineales siguiente, en el que a, b y c son coeficientes dados y x, y , z las incógnitas.
a cy bz b az cx c bx ay
Demostrar que si a, b y c son no nulos, el sistema tiene solución única; halla dicha solución.
11.- Encontrar un número de tres cifras que verifique las siguientes propiedades: a) La suma de sus cifras es 24.
b) Si se intercambian las cifras de las unidades y decenas, el número disminuye en 9 unidades.
c) Si se intercambian las cifras de las centenas y de las decenas, el número disminuye en 90 unidades.
Justifica la respuesta.
12.- Un piloto, por los años cuarenta del siglo pasado, hacía corrientemente los viajes Barcelona – Zaragoza – Madrid – Sevilla – Tetuán, empleando tres tipos de aviones A, B y C. Dicho piloto voló en un mes un total de 65 horas, habiendo recorrido, con aviones del tipo A 3900 km; con los del tipo B, 7500 km, y con los de tipo C, 10500 km. Además se sabe que en un viaje Barcelona – Madrid empleó 1 h y 54 minutos de vuelo, habiendo efectuado el trayecto Barcelona – Zaragoza (260 km) con un avión del tipo A y el resto del recorrido Zaragoza – Madrid (270 km) con un avión del tipo B. En otro viaje Madrid – Tetuán empleó en el recorrido Madrid – Sevilla (400 km) un avión del tipo B, y en el trayecto Sevilla – Tetuán (210 km) un avión del tipo C, empleando un tiempo entre los dos trayectos de 1 h y 50 minutos. Calcula las velocidades
( suponiéndolas constantes) de cada uno de los tipos de avión.
13.- Discutir y resolver, en los casos en los que sea posible, el sistema
1 1 1 az y x z ay x z y ax
14.- Estudiar la compatibilidad del sistema siguiente según los valores del parámetro a, y resolverlo cuando sea posible:
z x a z y y x 3 2 5
15.- Consideremos el sistema siguiente en función del parámetro a: a z y x a az y x a z y x 3 2 2
a) Discutir dicho sistema en función del parámetro a. b) Resolver en el caso a 0.
16.- A un compañero le piden que clasifique y resuelva el sistema
5 6 3 3 3 kz x z y ky x para el
valor del parámetro k R que él desee. Obtiene, correctamente para dicho valor, que el sistema es compatible indeterminado, y que una expresión de sus soluciones en forma paramétrica es x = 1+2t , y = ….., z = …. . Determina para qué valor del parámetro k ha clasificado y resuelto el sistema, y calcula las expresiones de las incógnitas “y” y “z” que faltan en la solución anterior.
17.- Contesta razonadamente a las siguientes cuestiones para un sistema A X B en forma matricial:
a) ¿Puede un sistema homogéneo ser incompatible?
b) Si la matriz A es de orden 2x3, ¿puede ser el sistema S.C.D.?
18.- Discute y resuelve en función del parámetro a Rel sistema siguiente:
0 0 2 0 ay x az y y ax 19.- Clasifica el sistema 0 0 ) 1 ( 2 0 2 0 2 z y x z a y x z ay az y x
en función del parámetro a R, y
20.- Sean las matrices 0 0 0 0 , 1 5 0 4 1 3 2 0 1 1 O y z y x X k k k A
a) Calcula, en función del parámetro k, el rg(A).
b) ¿Existe algún valor de k para que el sistema de ecuaciones A X O sea incompatible?
c) ¿Para qué valor del parámetro k el sistema A X O es compatible indeterminado?
21.- He pensado en tres números, de manera que la suma de los dos primeros es igual al tercero. Si al triple del primero le resto el doble del segundo, también obtengo el tercero. Si al doble del primero le resto la mitad del segundo, también obtengo el tercero. Por último, si al doble del primero le resto el segundo y sumo uno, de nuevo vuelvo a obtener el tercero.
a) Plantea un sistema de ecuaciones que recoja la información anterior y clasifícalo. b) Determina, si el planteamiento tiene solución, los tres números que he pensado.
22.- a) Enuncia el Teorema de Rouche-Fröbenius.
b) Demostrar que el sistema siguiente no es incompatible para ningún valor del parámetro a: 5 2 3 1 2 4 3 3 az y x z y x z y x
c ) Resolver el sistema para los valores de a en los que sea compatible indeterminado.
23.- a) Razona por qué un sistema de tres ecuaciones lineales con cuatro incógnitas no puede ser compatible determinado.
b) Determina los valores del parámetro a para los que el sistema siguiente es incompatible: a t z y x z y x t z y x 6 5 8 1 2 5 2 2 3 2
SOLUCIONES 1.- a) S.C.D. Solución: (1,1,1) b) SI (incompatible) c) S. C. I. Sol.: , | R 7 4 7 1 , 7 4 7 8 2.- a) ( 1 , -1 , 0) b) , 1 3 1 3.- SI 4.- R Sol I C S a Si D C S a Si | ) , 1 ( : . . . 1 . . . 1 5.-le Incompatib es Sistema El a Si R Sol I C S a Si D C S y a Si 2 | ) , 3 1 , 1 ( : . . . . 0 . . . 2 0
6.- a) Es aplicable la Regla de Cramer si a 2 y 2 b) Es aplicable La Regla de Cramer si a 3y 3.
7.- a) m 2 S. C. D. b) No existe m tal que sea S. C. I. c) m = -1. d) No existe m. e) 8 2 8 k k m . f) m = -2. 8.- a) S. C. D. (sol trivial) m 4,6 3 2 y6 3 2.
Para m 4,6 3 2 y6 3 2, el sistema es S. C. I. . Por ejemplo para m = 4 la solución es 2 , , 2 | R
b) S. C. D. m 1y 2
m = 1 S. C. I. (Grado 2) (1 , , )| , R . m = -2 Sistema Incompatible.
c) Para todo k real el sistema es S. C. D., su solución en función de k es: 4 , 4 , 4 k k k 9.- 1600 de A , 1000 de B y 3000 de C 11.- 987 12.- A : 260 km/h. B : 300 km/h. C: 420 km/h 13.- Si a 1, 2 el sistema es S. C. D. 2 1 , 2 1 , 2 1 : a a a Sol
Si a = 1 el sistema es S. C. I. de grado 2 Sol: (1 , , )/ , R
Si a = -2 el sistema es Incompatible 14.- Si a 10 el sistema es Incompatible
Si a = 10 el sistema es S.C.D. con sol: (11 , 6 , 4).
15.- a) Si a 0 el sistema es S.C.D. Si a = 0 el sistema es S.C.I. b) ( a 1,a 1, 1)
16.- k = 2. Solución: x = 1 + 2t , y = 3t , z = 2 – t. 18.- Si a 0 el sistema es SCD co solución trivial. Si a = 0 el sistema es SCI con S (0,0, )/ R
19.- a) a 2,3 sistema SCD con solución trivial. Si a = -2 o a = 3, SCI de grado 1. b) Para a = -2 solución: S (0, , ) / R
20.- c) k = 1 , k = -1 21.- b) S C D x = 3 , y = 2 , z = 5 22.- c) Sol 1,1 , | R 23.- b) a=5
