Capitulo 6 Distribuciones Probabilisticas Discretas

(1)

Capítulo seis

Distribuciones

probabilísticas discretas

OBJETIVOS

Al terminar este capítulo podrá:

UNO

Definir los términos de distribución de probabilidad y variable aleatoria.

DOS

Distinguir entre una distribución de probabilidad discreta y una continua.

TRES

Calcular la media, la variancia y la desviación estándar de una distribución pobabilística discreta.

CUATRO

Describir las características y calcular las probabilidades usando la distribución de probabilidad binomial.

(2)

Capítulo seis

continuación

Distribuciones

probabilísticas discretas

OBJETIVOS

Al terminar este capítulo podrá:

CINCO

Describir las cracterísticas y calcular las probabilidades usando la dsitribución hipergeométrica.

SEIS

Describir las características y calcular las probabilidades usando la distribución de Poisson.

(3)

Variables aleatorias

• Una

variable aleatoria

es un valor

numérico determinado por el resultado

de un experimento.

(4)

EJEMPLO 1 continuación

• El espacio muestral para este experimento será: TTT, TTH, THT, THH, HTT, HTH, HHT, HHH.

(5)

EJEMPLO 1 continución

• El resultado “cero caras” ocurrió una vez.

• El resultado “una cara” ocurrió tres veces.

• El resultado “dos caras” ocurrió tres veces.

• El resultado “tres caras” ocurrió una vez.

(6)

Distribuciones probabilísticas

• Una distribución probabilística es la enumeración de todos los resultados de un experimento junto con las probabilidades asociadas. Para el

EJEMPLO 1

,

Número de caras Probabilidad de los resultados

0 1/8 = .125

1 3/8 = .375

2 3/8 = .375

3 1/8 = .125

(7)

Características de una distribución porbabilística

• La probabilidad de un resultado siempre debe estar entre 0 y 1.

(8)

Variable aleatoria discreta

• Una variable aleatoria discreta es una variable que

puede tomar sólo ciertos valores diferentes que son el resultado de la cuenta de alguna característica de

interés.

• EJEMPLO 2: sea X el número de caras obtenidas al lanzar 3 veces una moneda.

(9)

Variable aleatoria continua

• Una variable aleatoria continua es una variable que puede tomar un número infinito de valores.

(10)

Media de una distribución probabilística discreta

• La media:

· indica la ubicación central de los datos.

· es el promedio, a la larga, del valor de la variable aleatoria.

· también se conoce como el valor esperado, E(x), en una distribución de probabilidad.

(11)

Media de una distribución probabilística discreta

• La media se calcula con la fórmula:

• donde  representa la media y P(x) es la probabilidad de los diferentes resultados x.

)]

(

*

[

=

)

(

=

E

x

P

x

(12)

Variancia de una distribución probabilística discreta

• La variancia mide la cantidad de dispersión (variación) de una distribución.

• La variancia de una distribución discreta se denota por la letra griega (sigma cuadrada).

• La desviación estándar se obtiene tomando la raíz cuadrada de .



2

(13)

Variancia de una distribución probabilística discreta

• La variancia de una distribución de probabilidad discreta se calcula a partir de la fórmula



2 







2

(14)

EJEMPLO 2

• Dan Desch, propieatario de College Painters,

estudió sus registros de las últimas 20 semanas y obtuvo los siguientes números de casas

pintadas por semana:

# de casas pintadas Semanas

10 5

11 6

12 7

(15)

• Distribución probabilística:

Número de casas

pintadas,

X

Probabilidad, P(

X

)

10 .25

11 .30

12 .35

13 .10

(16)

EJUEMPLO 2 continuación

• Calcule el número medio de casas pintadas por semana:









E x

( )

[

xP x

( )]

( )(. ) ( )(. ) ( )(. ) ( )(. )

.



10 25

11 30

12 35

13 10

(17)

• Calcule la variancia del número de casas pintadas por semana:



2



2

4225

0270

1715

2890

91 











[(

)

( )]

.

x

P x

(18)

Distribución probabilística binomial

• La distribución binomial tiene las siguientes características:

· un resultado de un experimento se clasifica en una de dos categorías mutuamente excluyentes -éxito o

fracaso.

· los datos recolectados son resultados de contar.

· la probabilidad de éxito es la misma para cada ensayo.

(19)

• Para elaborar una distribución binomial, sea

· n el número de ensayos

· x el número de éxitos observados

(20)

• La fórmula para la distribución de probabilidad binomial es:

P x

n

x n x

x

n x

( )

!

!(

)!

(

)



(21)

EJEMPLO 3

• La Secretaría del Trabajo del estado de Alabama reporta que 20% de la fuerza de trabajo en Mobile está

desempleada. De una muestra de 14 trabajadores,

calcule las siguientes probabilidades con la fórmula de la distribución binomial (n=14, =.2, ):

· tres están desempleado s: P(x=3)=.250

(22)

• Nota: éstos también son ejemplos de distributions probabilísticas acumulativas:

· tres o más están desempleados:

P(x  3)=.250 +.172 +.086 +.032 +.009 +.002=.551

· al menos un trabajador está desempleado: P(x  1) = 1 - P(x=0) =1 - .044 = .956

(23)

Media y variancia de la distribución binomial

• La media está dada por:

• La variancia está dada por:





n





2 



1

(24)

EJEMPLO 4

• Del

EJEMPLO 3

, recuerde que



=.2 y

n=14.

• Así, la

media

= n



= 14(.2) = 2.8.

(25)

Población finita

• Una población finita es una población que consiste en un número fijo de individuos, objetos o medidas conocidos.

(26)

Distribución hipergeométrica

• Fórmula:

• donde N es el tamaño de la población, S es el número de éxitos en la población, x es el número de éxitos de interés, n es el tamaño de la muestra, y C es una

combinación.

P x

C

S x N S n x

N n

(27)

Distribución hipergeométrica

• Use la distribución hipergeométrica para encontrar la probabilidad de un número específico de éxitos o

fracasos si:

· la muestra se selecciona de una población finita sin reemplazo (recuerde que un criterio para la

distribución binomial es que la probabilidad de éxito es la misma de un ensayo a otro).

(28)

EJEMPLO 5

• La National Air Safety Board tiene una lista de 10 violaciones a la seguridad reportadas por ValueJet.

Suponga que sólo 4 de ellas son en realidad violaciones y que el Safety Board sólo podrá investigar cinco de las violaciones. ¿Cuál es la probabilidad de que tres de las cinco violaciones seleccionadas al azar para

(29)

P

C

( )

3 *

4 *

15 .

252

238

4 3 6 2

10 5



(30)

Distribución de Poisson

• La distribución de probabilidades binomial se hace cada vez más sesgada a la derecha conforme la probabilidad de éxitos disminuye.

• La forma límite de la distribución binomial donde la

(31)

• La distribución de Poisson se puede describir matemáticamente por la fórmula:

• donde  es la media aritmética del número de

ocurrencias en un intervalo específico de tiempo, e es la constante 2.71828 y x es el número de ocurrencias.

P x

e

x

x u

( )

!





(32)

• El número medio de éxitos  se puede determinar en

situaciones binomiales por n , donde n es el número de ensayos y  la probabilidad de éxito.

(33)

EJEMPLO 6

• La Sylvania Urgent Care se especializa en el cuidado de lesiones menores, resfriados y gripe. En las horas de la tarde de 6-10 PM el número medio de llegadas es 4.0 por hora.