Criterio de la primera derivada
Criterio de la primera derivada
Habilidades a desarrollar
Al terminar el presente tema, Usted estará en la
capacidad de:
1) Usar el criterio de la primera derivada para
identificar intervalos de crecimiento y
decrecimiento de una función.
Criterio de la primera derivada
Problema motivador
Manuel fue al banco para invertir su dinero y preguntó si de alguna manera su capital podría incrementarse. El banco le ofreció un interés anual cuyo porcentaje dependería del tiempo (en años) que dura la inversión. Para conocer la ganancia de Manuel, el banco se basó en la siguiente expresión:
donde:
• indica el interés anual obtenido.
• indica el número de años que dure la inversión.
Criterio de la primera derivada
Funciones crecientes y decrecientes: su relación
con la derivada
Sea una función continua con ecuación , definida en un intervalo . La siguiente es la representación gráfica de en el intervalo .
En la representación gráfica se puede
observar que la función es:
1) Creciente en los intervalos
2) Decreciente en los intervalos
Criterio de la primera derivada
Funciones crecientes y decrecientes: su relación
con la derivada
También se tiene que cuando la pendiente de la recta tangente es positiva, la función crece; y cuando la pendiente de la recta tangente es negativa, la función decrece.
𝑎
𝑥
1𝑥
2𝑥
3𝑏
Criterio de la primera derivada
Teorema
Sea una función continua en un intervalo cerrado y derivable en el intervalo abierto .
1) Si para todo en , entonces la función es creciente en .
Criterio de la primera derivada
Ejemplo. Determinaremos los intervalos en que crece o decrece la función con ecuación .
Resolución
Para ello calculemos la primera derivada de :
Hallando el intervalo de crecimiento: , o sea, si , entonces es creciente para .
Hallando el intervalo de decrecimiento: , o sea, si , entonces es decreciente para .
𝑓 ′
Criterio de la primera derivada
Ejemplo. Determinaremos los intervalos en que crece o decrece la función con ecuación .
Resolución
Para ello calculemos la primera derivada de :
Vamos analizar el signo de , para ello es necesario primero hallar los valores de tal que
−
3
3
Valor de
prueba:
𝑥
=
−
4
𝑥
=
0
𝑥
=
5
− ∞
+
∞
Valor de :
𝑓 ′
(− 4)=−14
Signo de :
𝑓 ′
(0)=18 𝑓 ′(5)=−32
Negativo Positivo Negativo
𝑓 ′(𝑥)=18−2𝑥2=2(9− 𝑥2)=2(3−𝑥)(3+𝑥)
Concluimos que:
es creciente en
Criterio de la primera derivada
Criterio de la primera derivada
Criterio de la primera derivada
Definición [Extremo local]
El término extremo local
(relativo) se utiliza para denotar a un máximo local o bien
a un mínimo local.
Criterio de la primera derivada
Criterio de la primera derivada
Criterio de la primera derivada
Ejemplo. Determine los valores críticos de la función
Resolución
Como , entonces
𝑓
′(
𝑥
)
=
4
𝑥
−
4
𝑥
3Ahora: si y sólo si
¿
4
𝑥
(
1
−
𝑥
2)
4
𝑥
(
1
+
𝑥
) (
1
−
𝑥
)
=
0
⟷ 𝑥
=
0
, ó
𝑥
=
−
1
, ó
𝑥
=
1
¿
4
𝑥
(
1
+
𝑥
)(
1
−
𝑥
)
Criterio de la primera derivada
Criterio de la primera derivada para determinar los máximo y los mínimo de una función.
Sea un punto crítico de la función . Entonces:
Si para justo antes de y justo después de , entonces es un
Criterio de la primera derivada
Criterio de la primera derivada para determinar los máximo y los mínimo de una función.
Sea un punto crítico de la función . Entonces:
Criterio de la primera derivada
Criterio de la primera derivada para determinar los máximo y los mínimo de una función.
Sea un punto crítico de la función . Entonces:
Si tiene el mismo signo
para justo antes de y
para justo después de ,
entonces no es un
Criterio de la primera derivada
Ejemplo. Encuentre los extremos locales de la función .
Resolución
Para ello calculemos la primera derivada de :
Vamos analizar el signo de , para ello es necesario primero hallar los valores de tal que
−
3
3
Valor de
prueba:
𝑥
=
−
4
𝑥
=
0
𝑥
=
5
− ∞
+
∞
Valor de :
𝑓 ′
(− 4)=−14 Signo de :
𝑓 ′
(0)=18 𝑓 ′(5)=−32
Negativo Positivo Negativo
𝑓 ′
(𝑥)=18−2𝑥2=2(3−𝑥) (3+𝑥)
Concluimos que:
Máximo local:
Mínimo local:
Criterio de la primera derivada
Ejemplo. Manuel fue al banco para invertir su dinero y preguntó si de alguna manera su capital podría incrementarse. El banco le ofreció un interés anual cuyo porcentaje
dependería del tiempo (en años) que dura la inversión. Para conocer la ganancia de Manuel, el banco se basó en la siguiente expresión:
donde:
• indica el interés anual obtenido.
• indica el número de años que dure la inversión.
¿Es verdad que el mayor tiempo que le conviene a Manuel invertir su dinero es 2 años?
Resolución
𝑇′ (𝑡)=− 20(𝑡+2)(𝑡−2)
(𝑡2+4)2 𝑇′
(𝑡)=0→20(𝑡+2) (𝑡−2)=0
⟷ 𝑡
=
−
2
ó
𝑡
=
2
𝐷𝑜𝑚(𝑇 )=¿
Valor crítico es .
Analizando el signo de la derivada
0
2
+
∞
𝑇 ′(𝑡)
+¿
−
𝑇 (𝑡)
Criterio de la primera derivada
Conclusiones:
1) La primera derivada de una función, permite identificar
los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una
función.
2) Si la función es creciente en un intervalo de , entonces su
derivada tiene signo positivo en dicho intervalo de .
3) Si la función es decreciente en un intervalo de , entonces
su derivada tiene signo negativo en dicho intervalo de .
Ingrese el tema
Bibliografía
• [1] Arya, Jagdish C. (2009) Matemática aplicada a la Administración.
Ed 5. México, D.F. Pearson.
• [2] Haeussler, Ernest F. (2008). Matemática para Administración y
