Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas
INSTITUTO DE ECONOMÍA
APUNTES DE MATEMÁTICAS PARA EL CURSO
MACROECONOMÍA II
1ÍNDICE
1. El concepto de valor presente………. 3
2. El concepto de derivada……….. 4
2.1 Derivada como un límite………. 4
2.2 Derivada como la pendiente de la tangente en un punto dado……… 5
2.3 Reglas para hallar derivadas……… 10
2.4 El Teorema de Young……….. 11
2.5 La diferencial total……… 12
2.6 Homogeneidad y Teorema de Euler……… 13
2.7 Derivada total de una función de función……… 14
2.8 Funciones implícitas……… 15
2.9 Teorema de la envolvente……… 15
3. Optimización estática………. ….19
3.1 Máximos locales y máximos globales……… 19
3.2 El concepto de maximización (función de una variable)……… 20
3.3 Optimización sin restricciones, función objetivo de varias variables……… 22
3.4 Optimización con restricciones de igualdad, función objetivo de varias variables 24 4. Funciones cóncavas y convexas... 32
4.1 Funciones cóncavas... 32
1. Concepto de Valor Presente (VP).
Si nos paramos en el tiempo cero (0) y existen flujos de recursos en períodos posteriores, debemos notar que le flujo de cada período t no tiene el mismo valor en el presente. Si consideramos una tasa de interés r constante, debemos actualizar cada uno de estos flujos con esta tasa r. Una unidad del bien dejada para el siguiente período se transforma en 1+ r unidades del bien, es decir, 1 hoy es lo mismo que 1 + r mañana. De esta manera, para actualizar un flujo futuro, en el siguiente período, debemos dividirlo por 1 + r . Para actualizar un flujo dos períodos más adelante hay que traerlo a un período adelante, es decir 1/ 1 + r, y de ahí al presente es 1/ (1 + r)2 . Por lo tanto, el valor presente de una secuencia de flujos F
testá dada por,
En el caso más general en que las tasas de interés fluctúan, donde rt es la tasa vigente en el
período t , tenemos que el valor presente está dado por,
Problema 1.1:
Encontrar el valor presente de $1,000 que se deben pagar después de 3 años si la tasa de interés es del 9% compuesto mensualmente.
R: Utilizando la fórmula de valor presente de un flujo tenemos,
Esto significa que $764.15 deben ser invertidos al 9% compuesto mensualmente para tener $1000 dentro de 3 años.
Problema 1.2:
R: Queremos el valor presente de $24,000 que se pagarán dentro de 15 años. Esto es,
Esto significa que invirtiendo $8,550.68 hoy a una tasa del 7% obtendremos $24,000 en 15 años más.
Problema 1.3:
Una deuda de $3,000, que se debe pagar dentro de 6 años a partir de ahora, y en lugar de eso será saldada por medio de tres pagos: $500 ahora, $1,500 dentro de 3 años y un pago final al término de 5 años. ¿Cuál será este pago si se supone un interés del 6% compuesto anualmente?
R: Sea x el pago final a los cinco años. Sabemos que el valor presente de la deuda de $3,000 pagadera dentro de 6 años debe ser equivalente a la suma del valor presente de los tres pagos con que ésta será saldada, de manera que obtenemos la siguiente ecuación de equivalencia,
De donde, al despejar, obtenemos x = $475.68
2. El concepto de derivada.
2.1 Derivada como límite:
El cambio de una variable x es el aumento o disminución que experimenta dicha
variable, desde un valor a otro . Así pues, , o bien . Si
se da un incremento a la variable x, (es decir si x pasa de a ), la función
se verá incrementada en a partir del valor . El
cociente (incremento de y dividido por incremento de x) recibe el nombre de cociente
medio de incrementos de la función en el intervalo comprendido entre hasta
.
,
siempre que exista. Este límite se denomina también cociente instantáneo de incrementos (o
simplemente cociente de incrementos) de y con respecto a x en el punto .
En el cálculo de derivadas se suele prescindir del subíndice 0 con lo que la derivada de
y = f(x) con respecto a x se escribe en la forma,
Por ende, se denomina derivada de una función y = f(x) con respecto a x al cociente
cuando las variaciones de x son muy pequeñas. Formas alternativas de representar la derivada
de y = f(x) con respecto a x son las siguientes, , y en el caso en que se
desea señalar explícitamente el punto en el que va a evaluarse la derivada, .
En el caso de una función de varias variables, como por ejemplo , las
únicas pendientes que nos interesarán son las que se obtienen aumentando una de las x y manteniendo constante toda las demás variables. Están pendientes se denominan derivadas
parciales. Así, la derivada parcial de y con respeto a se representa de las formas siguientes:
, con , o bien,
Se comprende que cuando se calcula esta derivada, se mantienen constantes todas las demás x.
Debe hacerse hincapié en que el valor numérico de esta pendiente depende del valor de y de
los valores (asignados previamente) de . Las derivadas parciales con respecto a las
demás variables se calcularían de manera similar.
2.2 Derivada como pendiente de la tangente en un punto dado:
Figura 2.2.1: Líneas tangentes a un círculo
Sin embargo, esta idea de la tangente no es muy útil en otras clases de curvas. Por ejemplo, en
la figura 2.2.2(a), las líneas y intersectan la curva en exactamente un solo punto, P. Si
bien no es la tangente en este punto, sí lo es. En la figura 2.2.2(b) podríamos considerar
intuitivamente que es la tangente en el punto P, aunque interfecta la curva en otros
puntos.
P
(a) (b) Figura 2.2.2: Línea tangente a un punto
De los ejemplos anteriores puede ver usted que debemos abandonar la idea de que una tangente es simplemente una línea que intersecta una curva en un solo punto. Para obtener una definición conveniente de línea tangente, usamos el concepto de límite y la noción geométrica de línea secante. Una línea secante es una línea que intersecta una curva en dos o más puntos.
Observe el gráfico de la función en la figura 2.2.3. Queremos definir la línea
tangente en el punto P. Si Q es un punto diferente sobre la curva, la línea PQ es una línea secante. Si Q se mueve a lo largo de la curva y se acerca a P por la derecha (ver figura 2.2.4),
PQ`, PQ``, etc., son líneas secantes típicas. Si Q se acerca a P por la izquierda, , etc.,
y = f(x)
Q
P
Figura 2.2.3: Línea secante PQ
PQ
Q PQ’
PQ1 PQ’’
PQ2 PQ’’’
P
Posición límite (tangente en P)
Figura 2.2.4: La línea tangente es una posición límite de las líneas secantes
Ahora que tenemos una definición conveniente de la tangente a una curva en un punto, podemos definir la pendiente de una curva en un punto. La pendiente de una curva en un punto P es la
pendiente, en caso de que exista, de la línea tangente en P. Como la tangente en P es una
posición límite de las líneas secantes PQ, consideraremos las pendientes de las líneas secantes
conforme Q se acerca a P. Por ejemplo, consideremos la curva y las pendientes de
y
Q (2.5, 6.25)
Línea tangente
Y = f(x) = x2
P (1, 1)
x
Figura 2.2.5: Línea secante a por los puntos (1, 1) y (2.5, 6.25)
El cuadro 2.2.1 incluye otros puntos Q sobre la curva así como las correspondientes pendientes de PQ.
Q Pendiente de PQ
(2.5, 6.25) 3,5
(2, 4) 3
(1.5, 2.25) 2,5
(1.25, 1.5625) 2,25
(1.1, 1.21) 2,1
(1.01, 1.0201) 2,01
Cuadro 2.2.1: Pendientes a las líneas secantes a la curva en P = (1,1)
Observe que conforme Q se acerca a P, las pendientes de las líneas secantes parecen aproximarse al valor 2. Entonces, podemos esperar que la pendiente de la línea tangente en el punto (1,1) sea 2. Generalicemos nuestro procedimiento.
Para la curva , en la figura 2.2.6, encontraremos una expresión para la pendiente en
y
(x2, f(x2)) Q
Y = f(x)
(x1, f(x1))
P
x2 x
Figura 2.2.6: Línea secante por P y Q
Si llamamos h a la diferencia , podemos escribir como . Se debe tener en
cuenta que , pues si h = 0, entonces y no existirá línea secante. Entonces,
Conforme Q se mueve a lo largo de la curva hacia P, entonces se acerca a . Esto significa
que h se aproxima a cero. El valor límite de las pendientes de las líneas secantes, que es la
pendiente de la línea tangente en , es el siguiente límite:
,
o, más precisamente,
,
justamente la definición a la que llegamos previamente.
Por ende, podemos establecer que una derivada es la pendiente de la línea tangente de una función en un punto dado.
De acuerdo a los resultados obtenidos anteriormente podemos concluir lo siguiente:
Si f’’(x) (la segunda derivada de la función y = f(x) con respecto a x) es positiva (negativa), la relación anterior (positiva o negativa) entre la variable x y la función y = f(x) se dará a tasa crecientes (decrecientes).
La línea recta es un caso especial en que la primera derivada es constante y la segunda derivada es cero.
Como podemos ver en la figura 2.2.7, en el caso de una función de utilidad que depende del nivel de consumo (c) , si la primera derivada es positiva y la segunda negativa, un aumento en el nivel de consumo producirá un aumento en la utilidad del individuo, pero a tasas decrecientes, es decir, ante un aumento igual en el nivel de consumo la utilidad se irá incrementando cada vez menos. En el caso de que la primera derivada sea positiva, pero la segunda negativa (ver figura 2.2.8), el aumento en la utilidad del individuo a medida que aumenta el nivel de consumo será a tasas crecientes. Por último, en la figura 2.2.9 vemos que si la función de utilidad es una línea recta, en donde la primera derivada es negativa y la segunda derivada cero, un aumento en el nivel de consumo hará caer la utilidad del individuo, a tasas constantes. El análisis de los demás casos se hace de manera similar y queda como tarea para el lector.
U(c) U(c)=Ln c U(c) U(c)= c2
U'(c) = 1/c > 0 U’(c) =2c > 0 U’’(c) = -1/c2 < 0 U’’(c) = 2 >0
c c
Figura 2.2.7: Función de utilidad logarítmica, Figura 2.2.8: Función de utilidad cuadrática
U(c)
U’(c) = -1 < 0 U’’(c) = 0
U(c) = -c
c
2.3 Reglas para hallar derivadas:
1. Si b es una constante, entonces,
2. Si a y b son constantes y , entonces,
3.
4. para una constante a
Un caso particular de esta regla es . La función es la única función que es su
propia derivada.
Supongamos que f(x) y g(x) son dos funciones de x y que f`(x) y g`(x) existen. En este caso,
5.
6.
7. siempre que
8. si y = f(g(z)), entonces . Este resultado se denomina a veces regla de la
derivación en cadena .
2.4 El Teorema de Young:
El teorema de Young establece que el orden en que se realiza la diferenciación parcial para evaluar las derivadas parciales de segundo orden no cuenta. Es decir,
o de manera más general,
,
para cualquier par de variables . Este teorema se puede explicar intuitivamente mediante
la siguiente analogía. El aumento de la altitud a la que se encuentra un alpinista depende de la dirección en que se avance y de la distancia que recorra, pero no del orden en que ocurra. Es decir, el aumento de la altitud es independiente de la senda real que tome el alpinista, siempre que vaya de un conjunto de coordenadas del mapa a otro. Por ejemplo, puede avanzar una milla hacia el norte, una milla hacia el este o proceder en sentido contrario y avanzar primero una milla hacia el este y después una milla hacia el norte. En cualquiera de los dos casos, el aumento de la altitud es el mismo, ya que en ambos casos el alpinista va de un lugar a otro.
2.5 La diferencial total:
En una función de la forma , la variación total de y es la suma de las
variaciones obtenidas alterando cada una de las x. Intuitivamente, la variación total de y será
igual a la variación de multiplicado por el efecto que produce un cambio en dicha variable
sobre la función y (esto es, ), más la variación en multiplicado, nuevamente, por el
efecto que produce un cambio en sobre la función y (esto es, ), y así sucesivamente.
Por ende la variación total de y se define de la siguiente forma,
Similarmente, si quisiéramos obtener la variación total de la diferencial de y, es decir, la diferencial total “segunda” de y, llegaríamos a la siguiente expresión,
2
Con los resultados anteriores se puede demostrar que en el caso de una función dependiente de una única variable, por ejemplo y = f(x), la derivada de y con respecto a x es análogo a la división de la diferencial de y entre la diferencial de x, tal como se puede apreciar en la siguiente demostración:
2.6 Homogneidad y Teorema de Euler:
Mucha de las funciones de utilidad en el análisis económico comparten la propiedad de ser homogéneas. Se dice que una función z = f(x,y) es homogénea de grado n (n es una
constante) si, para todo valor real positivo de ,
En palabras, si tanto x como y se multiplican por el mismo número real positivo, entonces el valor de la función resultante es una potencia del número multiplicada por el valor de la función
f(x,y). Por ejemplo, si
entonces,
Así, f es una función homogénea de tercer grado.
Una función homogénea importante en economía es la función de producción Cobb-Douglas:
( y A son constantes).
Tenemos,
Así, f es homogénea de grado 1, lo cual implica que un cambio proporcional en cada factor de entrada de producción conduce al mismo cambio proporcional en la producción.
Considere el lado izquierdo de la ecuación anterior. Si hacemos y , la ecuación adquirirá la forma,
Ahora tomaremos la derivada parcial en cada lado con respecto a . Para el lado izquierdo, por
la regla de la cadena, tenemos,
Siguiendo el mismo procedimiento para el lado derecho de la ecuación, nos queda,
Igualando ambas expresiones, tenemos,
En particular, si , entonces r =l y s = k, por lo que . Así,
y
Llegamos así, al llamado Teorema de Euler para funciones homogéneas:
Ahora, si f es homogénea de grado 1, como la función Cobb-Douglas, entonces n = 1 y la ecuación anterior queda expresada de la siguiente manera,
Concluimos que al multiplicar el producto marginal de cada insumo por la cantidad de insumo, la suma es igual a la producción total.
2.7 Derivada total de una función de función:
2.8 Funciones implícitas:
Este tipo de derivación cobra importancia cuando tenemos una ecuación de la que no se puede despejar una variable en función de la otra, pero queremos conocer la derivada para saber si tienen una relación creciente o decreciente. La metodología para resolver este tipo de problemas consiste en diferenciar ambos lados de la ecuación, tal como lo muestra el siguiente ejemplo,
2.9 Teorema de la envolvente:
Se refiere a la manera en que varía el valor óptimo de una función cuando varía un
parámetro de la función. Supongamos que y depende de un conjunto de x y de un
parámetro de interés, por ejemplo, a,
Para hallar un valor óptimo de y, habría que resolver n ecuaciones de primer orden de la forma,
y una solución de este proceso daría los valores óptimos de estas x que dependerían
implícitamente del parámetro a. Suponiendo que se cumplen las condiciones de segundo orden, en este caso se aplicaría el teorema de la función implícita y garantizaría que podemos hallar
cada explícitamente en función del parámetro a:
Introduciendo estas ecuaciones en la función original obtenemos una expresión en la que el
valor óptimo de y (por ejemplo, ) depende del parámetro a tanto directa como indirectamente
a través de la influencia de a en las .
Pero debido a las condiciones de primer orden todos estos términos, salvo el último, son iguales a 0 si las x se encuentran en sus valores óptimos. Por lo tanto, tenemos el resultado de la envolvente,
Las variaciones que experimenta el valor óptimo de y cuando se altera el parámetro pueden calcularse directamente a partir de la función inicial por medio de la diferenciación parcial, ya que se supone que todas las x se ajustan a sus valores óptimos.
Problema 2.1:
Encontrar la derivada, por medio de su definición, de la función f(x) = x2.
R:
Al aplicar la definición de derivada se obtiene,
Observe que al tomar el límite tratamos a
x
como una constante porque era
h
y no
x
la
que estaba cambiando.
Si la derivada
f`(x)
puede evaluarse en
x = x
1,
el número
f`(x
1)
resultante se llama
derivada de
f
en
x
1y se dice que la función
f
es diferenciable en
x
1.Problema 2.2:
Si
, encontrar una ecuación de la línea tangente a la función
f
en
R:
Determinamos primero la pendiente de la línea tangente calculando la derivada y
evaluándola en
x = 1.
Luego, usamos este resultado y el punto (1, 7) en la forma
punto-pendiente de la ecuación para una línea recta y obtenemos así la ecuación de la línea
tangente.
Tenemos,
La línea tangente a
f
en (1,7) tiene entonces pendiente de 6. Por lo tanto, la ecuación
buscada es,
y – 7 = 6(x – 1)
y = 6x + 1
Problema 2.3:
Encuentre la derivada de p con respecto a y, si
.
Problema 2.4:
Si , siendo P el nivel de precios, M la cantidad de dinero, V la velocidad de
circulación del dinero, y el producto de pleno empleo, demuestre que la inflación estará determinada por el crecimiento en la cantidad de dinero sólo si el producto de pleno empleo y la velocidad de circulación del dinero permanecen constantes.
R:
Si
Nota:
lo anterior es una aproximación para cambios porcentuales pequeños, ya que A1/
A0 = B1C1/B0B1, o sea dado que X1/X0 es 1+x, donde x es el crecimiento porcentual
de X, entonces tenemos (1+a) = (1+b)(1+c), lo que resulta en a = b+c+bc, para b y c
pequeños bc se desprecia, por ejemplo el 5% de 5% es 0,25%.
Problema 2.5:
Si , donde , ,
determinar y .
R:
Problema 2.6:
Si calcule la diferencial total de z.
R:
Problema 2.7:
Siendo y, a su vez, , con , determine .
R:
3. Optimización estática.
3.1 Máximos locales y máximos globales:
x* es máximo global si
x* es un máximo global estricto si
x* es un máximo local si que perteneciendo a X, se encuentre en
una vecindad de x*.
x* es un máximo local estricto si que perteneciendo a X, se
3.2 El concepto de maximización (función de una variable):
Supongamos que un directivo de una empresa desea maximizar los beneficios
generados por la venta de un determinado bien. Supongamos también que los beneficios
obtenidos sólo dependen de la cantidad vendida (x) del bien. En términos matemáticos
. La figura 3.2.1 muestra una posible relación entre y x..
y y*
y =f(x)
x1 x2 x* x3 x
Figura 3.2.1: Relación hipotética entre la cantidad producida y los beneficios
Es evidente que para obtener los máximos beneficios posibles, el directivo debe producir la
cantidad x*, que genera los beneficios . Si se produjera una cantidad superior o inferior a
ésta, no se maximizarían los beneficios. ¿Cómo haya el directivo este punto de máximos beneficios?. Si se dispusiera de un gráfico como el de la figura 3.2.1, parecería sencillo hacerlo, por ejemplo, con una simple regla.
Supongamos, sin embargo, algo más probable, a saber, que el directivo no tiene una idea tan precisa de la situación del mercado. En este caso, puede tratar de alterar q para ver cuándo se
obtienen unos beneficios máximos. Por ejemplo, comenzando con , los beneficios derivados
de las ventas serían . A continuación, el directivo puede probar con el nivel de producción
y observar que los beneficios aumentan a . La idea de sentido común que los beneficios
aumentan en respuesta a un incremento de q puede formularse en términos formales de la manera siguiente:
ó
Mientras tenga un valor positivo, los beneficios aumentarán y el directivo continuará
incrementando la producción. Sin embargo en el caso de los incrementos situados a la derecha
de x* , tendrá un valor negativo, por lo que el directivo se dará cuenta de que ha
cantidad producida hasta el punto en que una variación muy pequeña de x no provea de una ganancia adicional. En otras palabras, para que una función de de una variable alcance su valor máximo en un punto, la derivada en ese punto (si existe) debe ser cero. Por lo tanto, si un directivo pudiera estimar la función f(x) a partir de algún tipo de datos del mundo real, teóricamente, elegiría el punto en que,
Esta es la llamada condición de primer orden (CPO) para hallar un máximo.
Sin embargo, un directivo desprevenido podría dejarse engañar por una ingenua aplicación de esta regla solamente. Supongamos, por ejemplo, que la función de beneficios se parece a la que muestra la figura 3.2.2(a) o la figura 3.2.2(b) Si la función es la que muestra la figura 3.2.2(a) ,
el directivo, produciendo en el punto en el que , elegirá el punto . Este punto
genera, en realidad, unos beneficios mínimos, no máximos, al directivo. Asimismo, si la función
de beneficios es la que muestra la figura 3.2.2(b), el directivo elegirá el punto , que aunque
genera unos beneficios mayores que los de cualquier punto inferior a , es, desde luego,
inferior a cualquier nivel de producción superior a . Estas situaciones indican el hecho
matemático de que es una condición necesaria pero no suficiente, para alcanzar un
máximo. Para asegurarse de que el punto elegido es realmente un punto máximo, debe imponerse otra condición más.
y y
ya* yb*
xa* x xb* x (a) (b)
Intuitivamente esta condición adicional es clara: los beneficios que pueden obtenerse produciendo una cantidad algo superior o algo inferior a x* deben ser menores que los que
pueden obtenerse con x*. En términos matemáticos, debe ser mayor que 0 cuando
x < x* y menor que 0 cuando x > x*. Por lo tanto, en x*, debe ser decreciente. Otra
manera de expresarlo es decir que la derivada de debe ser negativa en x*. A esta última
condición se le llama condición de segundo orden (CSO) para hallar un máximo. Para evaluar esta condición se pueden seguir las siguientes reglas prácticas:
Si en el punto donde la primera derivada es cero (punto crítico) entonces
dicho punto es un máximo.
Si en el punto donde la primera derivada es cero (punto crítico) entonces
dicho punto es un mínimo.
Si se debe seguir derivando hasta encontrar la primera derivada no cero
cuando se evalúa en el punto crítico. Si la enésima derivada es la primera derivada distinta de cero y:
Si n es impar se trata de un punto de inflexión.
Si n es par y es mayor que cero se trata de un mínimo.
Si n es par y es menor que cero se trata de un máximo.
Si f(x) no tiene punto crítico no se puede maximizar y el máximo es infinito (Ej: f(x) = 3).
3.3 Optimización sin restricciones, función objetivo de varias variables:
Partiendo de la función , siguiendo el mismo razonamiento que para el caso
de una variable, la condición necesaria para alcanzar un máximo ( o un mínimo) es que la diferencial total de y (dy) sea igual a cero para cualquier combinación de pequeñas variaciones de las x. La única manera de que ocurra esto es que en el punto considerado,
Esta condición es la condición de primer orden para el caso de una función de varias variables. Intuitivamente, si una de las derivadas parciales fuera mayor (menor) que cero, sería posible aumentar y aumentando (reduciendo) la x correspondiente a dicha derivada parcial. Un punto que cumpla con las ecuaciones descritas por la condición anterior se denomina punto crítico. Sin embargo, una vez más, la condición anterior no son suficientes para conseguir un máximo. Al igual que en el caso de una única variable, necesariamente deberemos examinar las derivadas parciales de segundo orden de la función f.
En este caso la primera derivada no es una sino varias primeras derivadas (una para cada variable), con lo cual la segunda derivada es un conjunto de segundas derivadas. En este caso, cada primera derivada descrita se debe derivar respecto de cada una de las variables. De aquí surge el concepto de Hessiano . El Hessiano de una función es una matriza que se define como,
,
donde , siendo por el Teorema de Young
El requisito de que la segunda derivada sea negativa en el caso de un máximo y positiva en el caso de un mínimo se cambian por el requisito de que el Hessiano sea negativo definido en caso de un máximo y positivo definido en caso de un mínimo.
Matriz negativa definida: Una matriz es negativa definida si los determinantes de sus submatrices alternan de signo con el primer determinante menor que cero. En otras palabras, si
los puntos óptimos serán un máximo.
Matriz positiva definida: Una matriz es positiva definida si los determinantes de sus submatrices no alternan de signo, con el primer determinante mayor que cero. En otras palabras,
si , y así sucesivamente, los puntos óptimos serán un
mínimo.
Matriz semidefinida: Para que una matriz sea negativa semidefinida o positiva semidefinida, los requisitos de menor o mayor que cero descritos pasan a ser de menor o igual o de mayor o igual. En este caso, se puede tratar de un máximo, mínimo o punto de inflexión. En el caso de una variable, para determinar a cuál caso correspondía, se debía seguir derivando hasta llegar a la primera derivada no cero cuando se evaluaba en el punto crítico. En el caso de varias variables, ello significa derivar el Hessiano con respecto a cada una de las variables; luego dicho conjunto de derivadas respecto, nuevamente, a cada una de las variables, y así sucesivamente.
Otras matrices: Si el Hessiano evaluado en el punto crítico, es decir, el punto donde la primera derivada es cero, no corresponde a ninguna de las definiciones anteriores, entonces el punto crítico es un punto de inflexión.
Finalmente, se debe señalar que la caracterización del óptimo basada en las primeras y segundas derivadas se refiere a óptimos locales, no necesariamente globales. Sin embargo, si la segunda derivada, o el Hessiano , tiene un signo único para cualquier valor de la o las variables, entonces el óptimo local es también global. Por otra parte, el hecho que una función tenga una segunda derivada negativa, por ejemplo, para cualquier valor de la variable, no significa que dicha función tenga necesariamente un máximo local y en consecuencia global. Tal sería el caso de una función que converge asintóticamente a un valor dado.
3.4 Optimización con restricciones de igualdad, función objetivo de varias variables:
restricciones es el método del multiplicador de Lagrange, que implica un inteligente truco matemático que también tiene una útil interpretación económica. El razonamiento en el que se basa este método es bastante sencillo. En el punto anterior hemos analizado las condiciones necesarias para alcanzar un máximo local y hemos mostrado que en el punto óptimo, todas las
derivadas parciales de f deben ser cero. Por lo tanto hay n ecuaciones ( para i = 1,…,n).
con n incógnitas (las x). Generalmente, estas ecuaciones pueden resolverse para hallar los valores óptimos de las x. Sin embargo, cuando las x están sujetas, por ejemplo, a m
restricciones, hay m ecuaciones adicionales (las restricciones), pero ninguna variable adicional. Por lo tanto el sistema de ecuaciones está sobredeterminado. La técnica de Lagrange introduce
m variables adicionales o multiplicadores, que no sólo nos ayuda a resolver el
problema (ya que ahora hay n + m ecuaciones con n + m incógnitas), sino que tienen una interpretación útil en una variedad de circunstancias económicas. El problema formal se plantea de la siguiente manera:
Maximizar s/a
Para caracterizar el óptimo se hace uso del Langrangeano, que en este caso es igual a:
donde son variables auxiliares
(multiplicadores de Lagrange). El multiplicador de Lagrange constituye una medida de cómo
afectaría el valor de f una suavización global de la restricción ( ). asigna, en
esencia, un precio sombra a la restricción. Si su valor es alto, quiere decir que f podría incrementarse significativamente suavizando la restricción. Por ende, si la restricción no es
activa, tendrá un valor de cero, indicando así que la restricción no restringe el valor de la
función objetivo.
Las condiciones de primer orden son:
Observe que hay n + m ecuaciones (n para cada x y m para cada restricción) con n + m
incógnitas. Al resolver este sistema de ecuaciones se obtienen los valores óptimos. Esta solución tiene dos propiedades: 1) las x obedecen las restricciones ya que las últimas m ecuaciones del sistema anterior imponen esta condición; y 2) entre todos los valores de las x que satisfacen la restricción, los que resuelven el sistema de ecuaciones anterior hacen que L (, por lo tanto, f) sea lo mayor posible. Por lo tanto, el método del multiplicador de Lagrange permite hallar una solución al problema de maximización sujeta a restricciones que hemos planteado al principio. Naturalmente, las ecuaciones anteriores sólo son condiciones necesarias para alcanzar un máximo. También hay condiciones de segundo orden que deben satisfacerse para asegurarse de que la solución calculada es realmente un máximo local (ver problema 3.8).
Problema 3.1:
Encontrar el óptimo para sujeto a la restricción que
R:
CPO:
Al resolver el sistemas de ecuaciones anterior, obtenemos:
Problema 3.2:
Suponga un individuo que vive dos períodos cuya función de utilidad separable es de la
siguiente forma , cuya restricción presupuestaria se representa mediante la siguiente
ecuación . Además, usted sabe que este individuo descuenta el futuro a
una tasa subjetiva .
R:
Maximizar
b) Encuentre el/los punto(s) crítico(s) del problema planteado anteriormente.
R:
CPO:
Dividiendo (1) en (2), nos queda:
Reemplazando (4) en (3):
c) Demuestre que el óptimo anterior se alcanza en el punto en que la pendiente de la función objetivo (en este caso la función de utilidad) es igual a la pendiente de la restricción
presupuestaria.
Aplicando el teorema de la función implícita:
Por otra parte:
Igualando la pendiente de la función objetivo y la de la restricción presupuestaria tenemos:
Reemplazando los puntos óptimos encontrados anteriormente tenemos
d. Grafique el óptimo obtenido. C2
C2 -(1+r)
C1 C1
Figura 3.4.1: Maximización de una función de utilidad
Problema 3.3:
Encontrar los puntos críticos para sujeta a las restricciones
R:
Maximizar
CPO:
Al sustituir de la ecuación (3) en la ecuación (2) y simplificar obtenemos la ecuación
, por lo que
(6)
Sustituimos ahora la ecuación (6) en la ecuación (1) y resulta
Sustituyendo la ecuación (7) en la ecuación (4) se obtiene , de donde
, con lo cual de la ecuación (5) resultan cuatro puntos críticos:
Problema 3.4:
Elija los valores y que maximizan sujeto a la restricción lineal
(donde c, , son parámetros constantes en el problema). Además,
compruebe que los valores obtenidos corresponden efectivamente a un óptimo, comprobando la condición de segundo orden.
R:
Para obtener las condiciones de primer orden, primero formulamos el Langrageano, el cual se expresa de la siguiente manera:
La diferenciación parcial con respecto a y , nos da,
Estas ecuaciones pueden resolverse en general para hallar los valores óptimos de y .
Para asegurarse de que el punto obtenido de esa forma es un máximo local, debemos examinar de nuevo los desplazamientos a partir de los puntos críticos utilizando la diferencial total “segunda” 3,
Sin embargo, ahora no todas las pequeñas variaciones de las x son permitidas. Sólo pueden
considerarse alternativas válidas al punto crítico los valores de que continúan
satisfaciendo la restricción. Para examinar esas variaciones, debemos calcular la diferencial total de la restricción,
La ecuación anterior muestra las variaciones de y que son permisibles en el examen de
los movimientos a partir del punto crítico. Para avanzar más en este problema, necesitamos utilizar las condiciones de primer orden. Las dos primeras implican que,
y combinando este resultado con la ecuación de la diferencial total de la restricción, tenemos que,
Ahora sustituimos por esta expresión en la diferencial total “segunda” para demostrar las
condiciones que deben cumplirse para que sea negativa,
Por consiguiente para que , debe cumplirse lo siguiente:
4. Funciones cóncavas y convexas.
4.1 Funciones cóncavas:
Una función es cóncava si para cada par de puntos y y se cumple que,
El término es simplemente un promedio ponderado de y . Por otra parte,
es la función valorada en dicho punto. Suponiendo que la función es de una
variable, lo anterior se puede graficar como de la siguiente manera,
f(x)
x
Figura 4.1: Función cóncavaEn relación con el lado derecho, es un promedio ponderado de y
. Gráficamente,
f(x2)
f(x1)
Lo que se requiere para que una función sea cóncava es, por lo tanto, que la función, que la función no pase nunca por la recta que une dos puntos arbitrarios. Los siguientes gráficos muestran casos de funciones cóncavas.
f(x) f(x) f(x)
x x x
(a) (b) (c)
Figura 4.3: Funciones cóncavas de distinto tipo
Si la función es diferenciable, la definición de concavidad se puede hacer en términos de la primera derivada de la función. En el caso de funciones de una variable, la función f(x) es
cóncava si para cualquier par de puntos y se cumple que,
Gráficamente,
f(x)
f(x1)+f’(x1)(x2-x1)
f(x2)
f(x1)
x1 x2 x
Figura 4.4: Función convexa
En otras palabras, para que una función diferenciable sea cóncava, se requiere que la recta tangente en cualquiera de sus puntos no esté nunca por debajo de la función.
Si la función diferenciable es de varias variables, para que ésta sea cóncava se requiere que para
,
donde es la derivada parcial de la función respecto evaluada en el punto . Esto
quiere decir que el plano tangente a la función, en cualquiera de sus puntos, no puede estar nunca por debajo de la función.
Por último, si la función es doblemente diferenciable, entonces se requiere que el Hessiano sea negativo semidefinido para que ésta sea cóncava o negativo definido para que sea estrictamente cóncava.
4.2 Funciones convexas:
Análogo al análisis anterior, una función es cóncava si para cada par de puntos y y
se cumple que,
Los siguientes gráficos muestran distintas funciones convexas.
f(x) f(x) f(x)
(a) (b) (c) Figura 4.5: Funciones convexas de distinto tipo
Si la función es diferenciable, para que ésta sea convexa se requiere que para cualquier par de
puntos y , se cumpla que,
donde es la derivada parcial de la función respecto evaluada en el punto . Esto
quiere decir que el plano tangente a la función, en cualquiera de sus puntos, no puede estar nunca por encima de la función.
Es conveniente señalar que una línea recta es cóncava y convexa a la vez.
Problema 4.1:
De termine si la siguiente función es cóncava o convexa: .
R:
El Hessiano de esta función es,
,
el cual es negativo definido. Esto implica que la función es estrictamente cóncava.
En relación con este problema, a continuación se comprobará que también se cumple la condición de concavidad basada en la primera derivada. Supóngase, a modo de ejemplo, los
puntos y . En este caso,
Las primeras derivadas de la función respecto de y son,
las cuales evaluadas en el punto son iguales a -9 y -10, respectivamente.
Por último, reemplazando en la condición de concavidad basada en la primera derivada, se debe cumplir que,
