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La línea recta en el plano

Una vez dotado el plano de un sistema de coordenadas cartesianas xy, las curvas en él pueden ser descritas a partir de ecuaciones. Se entiende por ecuación para una curva_Cdel plano una igualdad que involucra las variables x, y de tal manera que dicha igualdad la satisfacen los puntos

µ x y ¶

de la curva_C y solamente ellos. Por ejemplo, una ecuación para la circunferencia de centro en el origen y radio r es

° ° ° ° µ

x y

¶°°_° °=r

ya que un punto µ

x y ¶

del plano pertenece a esa circunferencia si y sólo si cumple dicha ecuación . Es claro que la ecuación anterior es equivalente a la ecuación

x2+y2 =r2

la cual es también, una ecuación para la circunferencia en consideración.

En este capítulo obtendremos distintas ecuaciones para una línea recta en el plano.

3.1

Ecuación vectorial y ecuaciones paramétricas

Una línea recta queda completamente determinada dando dos puntos distintos por donde ella pasa o también dando un punto sobre ella y un vector geométrico no nulo paralelo a la recta. Se entiende que un vector no nulo−−→ABes paralelo a una recta_Lsi sus extremosA, B están sobre _L o sobre alguna recta paralela a _L. Cualquier vector no nulo−−→AB paralelo a una recta se dirá unvector director de dicha recta.

Figura 3.1.

Vemos que_L está conformada por los puntos X tales que el vector−−→P0X es paralelo al vector−−→OD(ver figura 3.1), es decir, _Lestá conformada por los puntos X tales que

−−→

P0X =t−−→OD, t∈R (3.1) Ahora bien, como−−→P0X =−−→OX−−−→OP0 entonces (3.1) es equivalente a

−−→

OX₋−−→OP0=t−−→OD, t∈R

que también podemos escribir como

−−→

OX =−−→OP0+t−−→OD, t∈R

condición que podemos expresar de manera simplificada, usando vectores algebraicos, en la forma

X=P0+tD, t∈R.

Así, la recta_Lque pasa porP0 y tiene vector director−−→ODconsiste de todos los puntos X de la forma

X =P0+tD (3.2)

cont_∈R, como se ilustra en lafigura 3.2 en la cual se muestran los puntos P0, P0+1₂D y P0+D correspondientes, respectivamente, at= 0, t= 1₂ yt= 1.

3.1. Ecuación vectorial y ecuaciones paramétricas 77 La ecuación (3.2) se dice una ecuación vectorial paramétrica o simplemente una

ecuación vectorial para la recta _L; la variable tes elparámetro. A cada valor de ten

Rcorresponde un punto de_L, el puntoX =P0+tD; a valores distintos detcorresponden puntos distintos de_Ly al dar attodos los valores en_Rse obtienen todos los puntos de la recta_L.

En adelante diremos indistintamente que −−→ODes un vector director de_Lo queD es un vector director de _L.

Nótese que si la recta _L pasa por el origen entonces tomandoP0 = µ

0 0

¶

en (3.2), esta ecuación se reduce a

X =tD (3.3)

Como dicha recta consta de todos los múltiplos escalares del vectorD (ver figura 3.3) nos referiremos a ella como la recta generada por el vectorD.

Figura 3.3.

Retornemos a la ecuación (3.2). Si en ella X =

µ x y ¶

, P0 = µ

x0 y0

¶

y D =

µ d1 d2

¶ se obtiene

µ x y ¶

=

µ x0 y0

¶

+t µ

d1 d2

¶

ecuación vectorial que equivale al par de ecuaciones escalares ½

x=x0+td1

y =y0+td2 (3.4)

las cuales son llamadasecuaciones escalares paramétricas o simplementeecuaciones paramétricasde la recta que pasa por

µ x0 y0

¶

y que tiene vector director µ

d1 d2

¶ .

Ejemplo 3.1

Sea_L la recta que pasa por el puntoP0 = µ

2 3

¶

y tiene vector director D=

µ

3 1

¶

.(Figura 3.4).

a) Halle una ecuación vectorial y ecuaciones paramétricas para_L. b) Halle un punto de la recta_L distinto deP0.

c) Use las ecuaciones paramétricas para determinar si el punto µ

3 10/3

¶

Figura 3.4.

Solución:

a) Una ecuación vectorial para_L esX =P0+tD, es decir, µ

x y ¶

=

µ

2 3

¶

+t µ

3 1

¶

y unas ecuaciones paramétricas son ½

x= 2 + 3t y= 3 +t

b) Dando atun valor distinto de0 en la ecuación vectorial hallada en a) se obtiene un punto de la recta distinto de_µ P0.Por ejemplo, sit= 1 se obtiene el punto

x y ¶

=

µ

2 3

¶

+

µ

3 1

¶

=

µ

5 4

¶ .

c) El punto µ

3 10/3

¶

es de_Lsi y sólo si existe t_∈Rtal que (

3 = 2 + 3t

10

3 = 3 +t

es decir (

1 = 3t

1 3 =t

Como se ve, las ecuaciones anteriores se satisfacen cont= 1

3,así que

µ

3 10/3

¶

es un punto de_L. ¥

Ejemplo 3.2

a) Demuestre que una ecuación vectorial para la recta_Lque pasa por dos puntos distintos P yQes

X=P +t(Q₋P) (3.5)

b) Halle una ecuación vectorial y ecuaciones paramétricas para la recta que pasa por los puntos

µ

−1 3

¶ y

µ

2

−1

¶ .

Solución:

3.2. Ángulo de inclinación y pendiente 79

Figura 3.5.

ComoP yQ son puntos de_L yP ₆=Qentonces el vector−−→P Qes un vector director de L; ahora, como−−→P Q=−−→ODconD=Q₋P,entoncesDes un vector director para _Ly por tanto una ecuación vectorial para_L es

X=P+tD

es decir,

X=P +t(Q₋P).

b) De acuerdo con lo hecho en a) y tomando P =

µ

−1 3

¶

y Q =

µ

2

−1

¶

se tiene que una ecuación vectorial para la recta que pasa por los puntos

µ

−1 3

¶ y

µ

2

−1

¶ es

X =

µ

−1 3

¶

+t µµ

2

−1

¶

−

µ

−1 3

¶¶

es decir,

X=

µ

−1 3

¶

+t µ

3

−4

¶ .

Unas ecuaciones paramétricas para dicha recta son ½

x=₋1 + 3t

y= 3₋4t . ¥

Observe que la ecuación (3.5) con0_≤t_≤1describe el segmento de rectaP Q. Se tiene así que:

Dados dos puntosP yQ,

P Q=©X_∈R2 _ÁX =P+t(Q₋P), 0_≤t_≤1ª

3.2

Ángulo de inclinación y pendiente

de_Lal ánguloαque se forma partiendo del ejexy avanzando en sentido antihorario hasta encontrar por primera vez a_L. (Verfigura 3.6).

Figura 3.6.

Si_Les una recta horizontal diremos que su ángulo de inclinación es de0o(o0radianes). Nótese que el ángulo de inclinación αde cualquier recta es tal que 0o _≤α < 180o (o

0_≤α < πsi αse mide en radianes).

Es claro que una recta en el plano queda completamente determinada al dar su ángulo de inclinación y un punto por donde ella pasa, y que dos rectas del plano son paralelas si y sólo si tienen el mismo ángulo de inclinación.

Ahora bien, en lugar de trabajar directamente con el ángulo de inclinación α resulta más conveniente hacerlo con el número

m= tanα

el cual es llamadopendientede la recta correspondiente. Obsérvese que la pendiente queda definida para todas las rectas del plano, exceptuando únicamente las verticales (para las cuales el ángulo de inclinación es de90o).

Obsérvese, además, que si dos rectas no verticales son paralelas entonces ellas tienen la misma pendiente (pues tienen el mismo ángulo de inclinación). El recíproco de esta afirmación también es cierto. Veámoslo:

Digamos que _L1, _L2 son dos rectas no verticales con ángulos de inclinación α1, α2 y pendientesm1, m2 respectivamente.

Si m1 = m2 entonces tanα1 = tanα2 y como 0o ≤ α1 < 180o y 0o ≤ α2 < 180o entonces tiene que ser α1 = α2, así L1 y L2 tienen el mismo ángulo de inclinación y en consecuencia son paralelas. Se tiene así que:

Dos rectas no verticales son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente.

La pendientem,al igual que el ángulo de inclinaciónα,es una medida de la inclinación de la recta y se tiene que

m >0 si y sólo si 0o< α <90o

m <0 si y sólo si 90o < α <180o

3.2. Ángulo de inclinación y pendiente 81 como se ilustra en la figura 3.7

Figura 3.7.

Ejemplo 3.3

Halle la pendiente de la recta _Lque pasa por los puntos P1 = µ

1 2

¶

yP2 = µ

4 3

¶ .

Solución:

Consideremos lafigura 3.8

Figura 3.8.

Para hallar la pendientem de_L podemos apoyarnos en el triángulo rectánguloP1QP2 en el cual (como se muestra en la figura) el ánguloQP1P2 coincide conα, por ser ángulos correspondientes. Así, de dicho triángulo se tiene que

m= tanα= longitud de QP2

longitud de P1Q

= 3−2 4₋1 =

1

3. ¥

En el ejemplo anterior se calculó la pendiente m a partir de dos puntos dados sobre la recta. Ahora, razonando como en dicho ejemplo, se puede probar que siP1 =

µ x1 y1

¶ y P2 =

µ x2 y2

¶

son dos puntos distintos cualesquiera de una recta no vertical _L entonces la pendientem de dicha recta, como se ilustra en la figura 3.9, es

m= y2−y1

x2−x1

Figura 3.9.

Más aún, no importa cuál punto denotemos P1 y cuálP2,pues y2−y1

x2−x1

= −(y1−y2)

−(x1−x2)

= y1−y2

x1−x2 .

Ahora, si en lugar de dos puntos conocemos un vector director D =

µ d1 d2

¶

para una recta no vertical_L, entonces la pendientem de _L es m= d2

d1

, como se ilustra en lafigura 3.10.

Figura 3.10.

Por otra parte, si m es la pendiente de una recta _L entonces D =

µ

1

m ¶

es un vector director de_L, ya queD=

µ

1

m ¶

es un vector director de la recta_L0 que pasa por los puntos µ

0 0

¶ y

µ

1

m ¶

3.3. Ecuaciones escalares no paramétricas 83

Figura 3.11.

3.3

Ecuaciones escalares no paramétricas

Sea_L una recta paralela al ejex que pasa por el puntoP0= µ

x0 y0

¶

.Es claro que un punto µ

x y ¶

de _R2 pertenece_L si y sólo si y=y0;por tanto, una ecuación para L es

y=y0 (3.7)

De manera similar, si _L es paralela al eje y y pasa por el punto P0 = µ

x0 y0

¶

,entonces una ecuación para_L es

x=x0

En la figura 3.12 se ilustran estos dos casos

Figura 3.12.

Supongamos ahora que _Les una recta que no es paralela al eje xni al eje y. Digamos que un punto de esta recta es P0 =

µ x0 y0

¶

y que un vector director es D =

µ d1 d2

¶

. Como sabemos, unas ecuaciones paramétricas para _Lson

x=x0+td1 y=y0+td2

Comod1 6= 0 yd2 6= 0 (pues L no es vertical ni horizontal) despejando el parámetrot en cada una de las ecuaciones anteriores e igualando se obtiene la ecuación

x₋x0 d1

= y−y0

d2

Así, todo punto µ

x y

¶

de _L satisface la ecuación (3.8); recíprocamente, si un punto µ

x y ¶

satisface la ecuación (3.8) entonces él satisface las ecuaciones paramétricas tomando

t= x−x0

d1

= y−y0

d2

Por tanto (3.8) es una ecuación para la recta_L,de la cual se dice que es unaecuación en forma simétrica. Ahora, es claro que dicha ecuación es equivalente a la ecuación

y₋y0 = d2 d1

(x₋x0)

es decir, a la ecuación

y₋y0=m(x−x0) (3.9)

dondem=d2/d1 es la pendiente de L, como ya se sabe. De la ecuación (3.9) se dice que es una ecuación para la recta_L en laforma punto-pendiente.

Nótese que la ecuación (3.7) para una recta horizontal se puede obtener de la ecuación (3.9) conm= 0.

Si en la ecuación (3.9) se escoge el puntoP0 como el punto µ

0

b ¶

donde la recta_Lcorta al ejey,entonces (3.9) se convierte en

y₋b=m(x₋0)

o, equivalentemente, en

y=mx+b (3.10)

El númerob,el cual es la ordenada del punto donde la recta_Lcorta al ejey,es llamado

intercepto de _L con el eje y; por ello, de la ecuación (3.10) se dice que es una ecuación para la recta_L en laforma pendiente-intercepto.

3.3. Ecuaciones escalares no paramétricas 85

Sea_Luna recta en el plano que pasa por el punto P0 = µ

x0 y0

¶ . • Si_L es horizontal, una ecuación para_L es

y=y0

• Si_L es vertical, una ecuación para _Les x=x0

• Si _L no es horizontal ni vertical y un vector director de _L es D =

µ d1 d2

¶ , una ecuación para_L es

x₋x0 d1

= y−y0

d2

• Si_L tiene pendiente m,una ecuación para_L es y₋y0 =m(x−x0)

• Si_Ltiene pendientemy corta al ejeyen el punto µ

0

b ¶

,una ecuación para L es

y=mx+b

Ejemplo 3.4

a) Halle una ecuación en la forma pendiente-intercepto para la recta_L1 que pasa por el punto P0 =

µ

−3 2

¶

y tiene ángulo de inclinación de 30o_.

b) Halle una ecuación para la recta vertical_L2 que pasa por el punto P0 = µ

−3 2

¶ .

c) Halle una ecuación para la recta horizontal_L3 que pasa por el puntoP0 = µ

−3 2

¶ .

d) Halle una ecuación en la forma punto-pendiente para la recta_L4 que pasa por el punto Q0=

µ

2

−1

¶

y es paralela a la recta_L1 descrita en el literal a).

e) Halle unas ecuaciones paramétricas para la recta _L4 descrita en el literal d).

Solución:

a) Como el ángulo de inclinación de _L1 es α = 30o entonces la pendiente de _L1 es m= tan 30o= 1/√3.Por tanto, una ecuación para_L1 en la forma punto-pendiente es

y₋2 = _√1

3(x+ 3)

Ahora, de la ecuación anterior podemos obtener una ecuación en la forma pendiente-intercepto para_L1,despejando la variable y así:

y= _√1 3x+

µ

3

√

3+ 2

es decir,

y= √1

3x+

³_√

3 + 2´

la cual es una ecuación para _L1 en la forma pendiente-intercepto; en dicha ecuación se observa que el intercepto con el ejey de la recta es√3 + 2.

b) Una ecuación para la recta vertical_L2 que pasa por P0 = µ

−3 2

¶

es x=₋3. c) Una ecuación para la recta horizontal_L3 que pasa porP0 =

µ

−3 2

¶

esy = 2. d) Como_L4 es paralela a_L1 y la pendiente de_L1 esm= 1/√3entonces la pendiente de _L4 también es m = 1/√3. Luego, una ecuación en la forma punto-pendiente para la recta_L4 es

y₋(₋1) = _√1

3(x−2)

es decir,

y+ 1 = _√1

3(x−2)

e) Como _L4 tiene pendiente m = 1/√3 entonces un vector director para _L4 es el vector D =

µ

1 1/√3

¶

. Ahora bien, otro vector director para _L4, más cómodo para su manejo algebraico, es D0 = √3D =

µ√

3 1

¶

. Usando este vector D0 y el punto µ

2

−1

¶ ,

tenemos que unas ecuaciones paramétricas para_L4 son ½

x= 2 +√3t

y=₋1 +t ¥

Hemos visto que toda recta en el plano tiene una ecuación de una de las formas si-guientes:

y₋y0=m(x−x0), y=mx+d, x=x0 (3.11) Ahora, como cada una de estas ecuaciones puede llevarse a la forma

ax+by=c (3.12)

cona, b, c constantes,a₆= 0o b₆= 0,podemos afirmar que toda recta en el plano tiene una ecuación de la forma (3.12).

Por otra parte, toda ecuación de la forma (3.12) es equivalente a alguna ecuación del tipo de las que aparecen en (3.11). En efecto, si en (3.12) se tiene b ₆= 0, despejando la variabley de ella se obtiene la ecuación equivalente

y=₋a

bx+ c b

la cual es del tipoy=mx+dy por tanto corresponde a la recta con pendientem=₋a/b y que corta al ejey en el punto

µ

0

c/b ¶

.Si b = 0, entonces (3.12) se reduce a la ecuación ax=c cona₆= 0,la cual es equivalente a la ecuación

x= c

3.3. Ecuaciones escalares no paramétricas 87 que es del tipo x=x0 y por tanto corresponde a la recta vertical que corta al eje x en el punto

µ c/a

0

¶ .

Resumimos la discusión anterior en el siguiente resultado:

Toda recta en el plano tiene una ecuación de la forma ax+by =c

cona, b, c constantes,a₆= 0o b₆= 0, y toda ecuación de esta forma corresponde a una recta en el plano.

De una ecuación como (3.12) para una recta, se dice que está enforma general. Nótese que si en la ecuaciónax+by =cse tiene c= 0entonces la recta correspondiente pasa por el origen ya quea(0) +b(0) = 0.Recíprocamente, si la recta con ecuaciónax+by=cpasa por el origen entonces tiene que serc= 0(pues c=a(0) +b(0) = 0).Así que,

Toda recta que pasa por el origen tiene una ecuación de la forma ax+by= 0

cona, bconstantes,a₆= 0o b₆= 0, y toda ecuación de esta forma corresponde a una recta que pasa por el origen.

Ejemplo 3.5

Dada la recta_L1 con ecuación

2x+ 3y= 6 (3.13)

obtenga una ecuación en forma general para la recta_L2 que es paralela a_L1 y pasa por el punto

µ

1 4

¶ .

Solución:

Empecemos determinando la pendiente de _L1,para lo cual basta despejar la variable y de (3.13). Al hacerlo se obtiene

y=₋2 3x+ 2.

Luego, la pendiente de _L1 es m = ₋2/3. Ahora, como _L2 es paralela a _L1 entonces la pendiente de_L2también esm=₋2/3y como_L2pasa por

µ

1 4

¶

entonces (usando la forma punto-pendiente) una ecuación para_L2 es

y₋4 =₋2

3(x−1).

Llevamos ahora esta ecuación a la forma general:

3(y₋4) = ₋2(x₋1) 3y₋12 = ₋2x+ 2

2x+ 3y = 14 (3.14)

3.4

Ecuación en forma normal

Una recta en el plano también queda completamente determinada dando un punto por donde ella pasa y un vector geométrico no nulo perpendicular a la recta. Se entiende que un vector no nulo−→n es perpendicular a una recta_Lsi −→n es perpendicular a algún vector director−→d de _L. Todo vector no nulo −→n perpendicular a una recta_L, se dirá unvector normal a _L. Si −→n = −−→ON, en lugar de decir que −→n es un vector normal a _L también diremos queN es un vector normal a _L.

Consideremos una recta _L y seanP0 un punto fijo de L y−−→ON un vector normal aL, como se ilustra en lafigura 3.13.

Figura 3.13.

Empleando el producto escalar podemos obtener para _L una ecuación vectorial muy simple, distinta a la ecuación vectorial (3.2). En efecto, un puntoX del plano está en _Lsi y sólo si el vector−−→P0X es perpendicular al vector −−→ON (ver figura 3.13), es decir, si y sólo si

−−→

P0X·−−→ON = 0 (3.15)

ecuación que podemos expresar de manera simplificada, usando vectores algebraicos, como

(X₋P0)·N = 0

o bien como

X_·N =P0·N (3.16)

Así, (3.16) es una ecuación (vectorial no paramétrica) para_L, de la cual se dice que es unaecuación en forma normal.

Observe que si X =

µ x y

¶

yN =

µ a b ¶

,al sustituir en la ecuación (3.16) y realizar los productos escalares indicados en ella, tal ecuación toma la forma

ax+by=c (3.17)

dondec=P0·N.

Por otra parte, si (3.17) es una ecuación para una recta_Lentonces escogiendo un punto P0 de L, dicha ecuación puede escribirse en la forma (3.16) con N =

µ a b ¶

, o equivalen-temente, en la forma (3.15), de lo cual se sigue que N =

µ a b ¶

es un vector norma a _L. Algo más, si N =

µ a b ¶

3.4. Ecuación en forma normal 89

vector director de _L; en particular, los vectores D1 = µ

−b a

¶

y D2 = µ

b

−a ¶

son vectores directores de_L pues ambos son ortogonales a N.

Se tiene así lo siguiente:

• Si N =

µ a b ¶

es un vector normal a una recta _L entonces una ecuación para_L es

ax+by=c

para cierta constantec.

• Siax+by=c es una ecuación para una recta_L entoncesN =

µ a b ¶

es un vector normal a _L yD1 =

µ

−b a

¶

y D2 = µ

b

−a ¶

son vectores directores de _L. (Veafigura 3.14).

Figura 3.14.

Ejemplo 3.6

Considere la recta_Lque pasa porP0 = µ

1 1

¶

y que tiene vector directorD=

µ

−2 3

¶ .Halle una ecuación en forma normal para _L y obtenga a partir de ella una ecuación en forma general para _L.

Solución:

Un vector normal a _L es N =

µ

3 2

¶

pues N _·D = 0, y como _L pasa por el punto P0 =

µ

1 1

¶

entonces una ecuación en forma normal para _Les µ

x y ¶

· µ

3 2

¶

=

µ

1 1

¶ ·

µ

3 2

¶

Realizando los productos escalares indicados, se obtiene

3x+ 2y= 5

3.5

Rectas perpendiculares

Ahora nos referiremos a condiciones bajo las cuales dos rectas del plano son perpendicu-lares.

Sean_L1,L2 dos rectas dadas. En primer lugar estas rectas son perpendiculares (lo cual denotamos _{L1 ⊥ L2}) si y sólo si un vector director D1 de L1 es ortogonal a un vector directorD2 deL2.

Ahora obtendremos un criterio de perpendicularidad en términos de las pendientes, para el caso en que ninguna de las rectas es vertical.

Supongamos entonces que ninguna de las rectas _L1,_L2 es vertical y que ellas tienen respectivamente pendientesm1 ym2;recordamos que en tal caso los vectoresD1=

µ

1

m1 ¶

yD2 = µ

1

m2 ¶

son vectores directores de _L1 y L2 respectivamente. Se tiene entonces que: L1 ⊥L2⇔D1 yD2 son ortogonales

⇔D1·D2 = 0

⇔1 +m1m2 = 0

⇔m1m2 =−1

Así hemos probado que:

Si las rectas_L1,_L2 tienen pendientesm1, m2 respectivamente entonces L1⊥L2 si y sólo si m1m2 =−1.

Ejemplo 3.7

Halle una ecuación para la recta mediatriz del segmento de rectaP QdondeP =

µ

3

−7

¶ y Q=

µ

−5 3

¶ .

Solución:

La mediatriz del segmentoP Qes la recta_L1 que pasa por el punto medio deP Q y es perpendicular a la recta_L2 determinada porP yQ.

El punto medio del segmentoP QesM = 1₂(P+Q) =

µ

−1

−2

¶

y la pendiente de _L2 es

m2=

3₋(₋7)

−5₋3 = 10

−8 =− 5 4.

así, la recta_L1 (que es perpendicular a _L2) tiene pendiente m1 =−1/m2 = 4/5; y como L1 pasa porM =

µ

−1

−2

¶

entonces una ecuación para la mediatriz _L1 es

y₋(₋2) = 4

5(x−(−1))

es decir,

y+ 2 = 4

3.6. Ángulo entre rectas 91

3.6

Ángulo entre rectas

Cuando dos rectas _L1,_L2 se cortan se forman cuatro ángulos con vértice en el punto de corte. Dos cualesquiera de esos ángulos o son opuestos por el vértice, y por tanto son congruentes, o son adyacentes, y por tanto son suplementarios. Llamaremos ángulo de

L1 a _L2 al ángulo medido en sentido antihorario desde_L1 hasta encontrar por primera vez L2.En la figura 3.15 dicho ángulo esθ y180o_{−θes el ángulo deL2 a L1.}

Figura 3.15.

A continuación obtendremos una fórmula para el ángulo de _L1 a_L2 en términos de sus pendientes.

Consideremos la figura 3.16 en la cual θ es el ángulo de _L1 a _L2, φ el de _L2 a _L1 y θ1, θ2 los ángulos de inclinación deL1 yL2, respectivamente.

Figura 3.16.

De la figura se deduce queθ2=θ1+θ,puesθ2 es un ángulo exterior al triánguloABP y por elloθ2 es la suma de los ángulos interiores no adyacentes θ1 yθ.Así que

θ=θ2−θ1 (3.18)

Si ninguno de los ángulos θ, θ1 yθ2 es recto entonces

tanθ= tan (θ2−θ1) =

tanθ2−tanθ1

1 + tanθ1tanθ2

Ahora, sim1ym2 son las pendientes deL1 yL2 respectivamente entoncestanθ1 =m1 ytanθ2 =m2 por lo tanto

tanθ= m2−m1 1 +m1m2

igualdad que determina de manera única al ánguloθ,pues 0o_≤θ <180o. Nótese el orden de las pendientes en el numerador del lado derecho en (3.19).

Se advierte al lector que la igualdad (3.19) se dedujo de la figura 3.16, y que para una figura diferente quizás no se cumpla la igualdad (3.18), pero paraθ₆= 90osiempre se tendrá que

tanθ= tan(θ2−θ1)

como podrá comprobar el lector considerando otrasfiguras. En cuanto al ángulo φtenemos queφ= 180o₋θ y por tanto

tanφ= tan (180o₋θ) =₋tanθ= m1−m2 1 +m1m2

de manera que la única diferencia entre las fórmulas paratanφytanθ está en el orden en que aparecen las pendientes en el numerador, como era de esperarse.

Nótese que la fórmula (3.19) no es aplicable cuando alguna de de las rectas es vertical o cuando las rectas son perpendiculares. Ahora, si por ejemplo_L1 es vertical, el ángulo de L1 a _L2 puede hallarse fácilmente a partir del ángulo de inclinación de_L2.

Ejemplo 3.8

Halle el ángulo de la recta_L1 a la recta_L2 sabiendo que_L1 y_L2 tienen, respectivamente, ecuaciones

2x+ 3y= 5 y 5x+y =₋3. Solución:

Las pendientes de _L1 y_L2 son respectivamente m1 =−2/3 ym2 =−5.Aplicando la fórmula (3.19) tenemos que el ánguloθ de_L1 a L2 en sentido antihorario es tal que

tanθ= m2−m1 1 +m1m2

= −5−

¡

−23 ¢

1 + (₋5)¡₋2₃¢=

−133 13

3

=₋1.

Ahora, como tanθ <0 entonces90o _{< θ <180}o _{y por tanto}

θ= tan−1(₋1) + 180o=₋45o+ 180o = 135o. ¥

3.7

Distancia de un punto a una recta

Consideremos una recta_L con ecuaciónax+by=c y un puntoX0= µ

x0 y0

¶

del plano. Se desea hallar una expresión para la distanciad del puntoX0 aL (Figura 3.17).

3.7. Distancia de un punto a una recta 93 Una manera de obtener una tal expresión para d, empleando vectores, es la siguiente: elijamos un punto cualquiera P =

µ e f ¶

de _L y consideremos el vector −−→P X0 y también el vectorN =

µ a b ¶

,el cual es normal a la recta _L.(Verfigura 3.17).

Es claro que la distancia de X0 a Les la magnitud del vector P roy−−→_ON−−→P X0,así que

d =

° °

°P roy−−→_ON−−→P X0 ° ° °

= _kP roy_N(X0−P)k

=

° ° ° °

N_·(X0−P) kN_k2 N

° ° ° °

= |N ·X0−N·P|

kN_k .

Ahora, N _·X0 = ax0+by0 yN ·P =ae+bf, y como P es un punto de L entonces ae+bf =c,luegoN _·P =cy por tanto

d= |ax_√0+by0−c|

a2_+b2 .

Hemos probado así que:

La distanciaddel puntoX0 = µ

x0 y0

¶

a la recta _Lcon ecuación ax+by=c,es

d= |ax_√0+by0−c|

a2_+b2 .

(3.20)

Ejemplo 3.9

Considere la recta _Lcon ecuación µ x y ¶ = µ −1 3 ¶ +t µ 2 −4 ¶

y el puntoX0 = µ

−1/2 5

¶ .

a) Halle la distanciadde X0 a L.

b) Muestre que la recta _L0 con ecuación 10x+ 5y = 7 es paralela a _L y encuentre la distanciad0 entre estas dos rectas.

Solución:

a) Empecemos por hallar una ecuación en forma general para la recta _L.Como D=

µ

2

−4

¶

es un vector director de_LentoncesN =

µ

4 2

¶

es un vector normal a esta recta y así una ecuación en forma general para_L es 4x+ 2y =c en la cual sólo resta determinar el valor de la constantec. Ahora, como un punto de_L es

µ

−1 3

¶

entonces4 (₋1) + 2 (3) =c y asíc= 2;luego una ecuación para _Les4x+ 2y= 2,la cual es equivalente a2x+y= 1.

Según (3.20) la distancia de X0 a Les d=

¯

¯2¡₋1₂¢+ 1 (5)₋1¯¯

√

22_{+ 1}2 =

3

√

5.

para hallar la distancia d0 entre _L y _L0 basta elegir un punto en _L0 y luego calcular la distancia de él a_L. Como un punto de_L0 es

µ

0 7/5

¶

entonces

d0 =

¯

¯2 (0) + 1¡7₅¢₋1¯¯

√

22_{+ 1}2 =

2

5√5. ¥

3.8

Ecuaciones lineales, combinaciones lineales, dependencia

e independencia lineal

Hemos visto que toda ecuación de la forma

ax+by=c

cona₆= 0ob₆= 0(a, b, cconstantes) es la ecuación de una línea recta en el plano cartesiano xy.Por ello las ecuaciones de la forma

ax+by=c

se denominanecuaciones lineales(en las variablesx, y), y también por ello una expresión del tipo

ax+by

se dice unaexpresión lineal en las variables x, y.

Es más, si −→u y−→v son vectores geométricos del plano, todo vector de la forma a−→u +b−→v

conay b escalares, se dice unacombinación lineal de los vectores−→u y−→v . De manera similar, siX yY son vectores de _R2,todo vector de la forma

aX+bY

conaybescalares, se dice una combinación linealde los vectoresX yY. Ejemplo 3.10

a) ¿Es el vector µ

1

−1

¶

una combinación lineal de los vectores µ

2

−1

¶ y

µ

1/2 3

¶ ? b) ¿Es el vector

µ

7 8

¶

una combinación lineal de los vectores µ

1 2

¶ y

µ

3 6

¶ ?

Solución:

a) Veamos si existen escalaresaybtales que a

µ

2

−1

¶

+b µ

1/2 3

¶

=

µ

1

−1

¶

es decir, tales que

2a+ 1

2b = 1

3.8. Ecuaciones lineales, combinaciones lineales, dependencia e independencia lineal 95 Despejandoaen la segunda ecuación y reemplazando en la primera se obtiene b=₋2/13;

sustituyendo este valor de b en la segunda ecuación se obtiene a = 7/13.Por lo tanto, el vector

µ

1

−1

¶

sí es combinación lineal de los vectores dados:

µ 1 −1 ¶ = 7 13 µ 2 −1 ¶

−₁₃2

µ

1/2 3

¶

. ¥

b) Veamos si existen escalaresaybtales que

a µ 1 2 ¶ +b µ 3 6 ¶ = µ 7 8 ¶

es decir, tales que

a+ 3b = 7

2a+ 6b = 8 (3.21)

Despejando a en la primera ecuación y reemplazando en la segunda se obtiene que

14 = 8.Luego, no existen escalaresa, bque satisfagan (3.21), es decir, el vector µ

7 8

¶ no es una combinación lineal de los vectores dados. ¥

Sea _L una recta que pasa por el origen y por un punto D, con D ₆= O. Recordamos que para X _{∈ R}2 _{se tiene que X ∈ L si y solamente si X es múltiplo escalar de D. Se} sigue de lo anterior que dos vectores dados de_R2 están sobre una misma línea recta que pasa por el origen si y sólo si alguno de los dos vectores es múltiplo escalar del otro. Por ello, dos vectoresX, Y de_R2_{se dicenlinealmente dependientes (L.D.) si alguno de los} dos es múltiplo escalar del otro; si esto último no se da, los vectores se dicenlinealmente independientes (L.I.). De igual forma, dos vectores geométricos−→u y−→v se dicen lineal-mente dependientes (L.D.) si alguno de los dos es múltiplo escalar del otro, es decir, si son paralelos; en caso contrario los vectores se dicenlinealmente independientes (L.I.).

Ejemplo 3.11 Como µ 4 2 ¶ = 2 µ 2 1 ¶

entonces los vectores µ 4 2 ¶ y µ 2 1 ¶

son linealmente dependientes (están sobre una misma línea recta que pasa por el origen).

Por otra parte, los vectores µ 4 2 ¶ y µ 2 3 ¶

son linealmente independientes (no están sobre una misma línea recta que pasa por el origen) pues no existet_∈R tal que

µ 4 2 ¶ =t µ 2 3 ¶ .

Figura 3.18.

3.9

Ejercicios

1. Encontrar una ecuación vectorial para la recta_Ldescrita en cada literal: a) _L pasa por el origen y tiene vector directorD=

µ

−1 3

¶ .

b)_L pasa por los puntos P =

µ

2

−3

¶ yQ=

µ

−1 4

¶ .

c)_L contiene el puntoP0= µ

3 2

¶

y es paralela al vector −−→ODconD=

µ

−5 1

¶ .

2. Probar que las ecuaciones vectoriales µ x y ¶ = µ 2 5 ¶

+t1 µ

−4 3

¶

, t1∈R y

µ x y ¶ = µ 6 2 ¶

+t2 µ

8

−6

¶

, t2∈R.

son ecuaciones de una misma línea recta.

3. Para cada literal, hallar una ecuación en forma general para la recta que satisface las condiciones dadas.

a) Tiene pendiente4 y pasa por el punto µ

−1 4

¶ .

b) Tiene pendiente₋2 y corta el ejex en el punto µ

−2/3 0

¶ .

c)Pasa por el punto µ

−3 5

¶

y es paralela al eje y. d) Pasa por los puntos

µ −1 3 ¶ y µ 4 −5 ¶ .

e) Intersecta al eje y en el punto µ

0 2

¶

y es perpendicular a la recta con ecuación y =₋2₃x+ 5.

f) Pasa por µ

1 3

¶

y es paralela a la recta que contiene los puntos µ −3 5 ¶ y µ 1 −2 ¶ .

3.9. Ejercicios 97

a) x−3

3 =

y₋5 4 , P =

µ

−1 0

¶

b) 2x₋y₋14 = 0, P =

µ

−1 1

¶

c) y= 7, P =

µ −2 0 ¶ d) ½

x= 1 +t

y= 1₋t , P = µ

2 5

¶

5. Para cada literal, hallar una ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto P y es perpendicular a la recta que tiene la ecuación dada.

a) P =

µ 3 4 ¶ , x 7 + y

7 = 1 b) P =

µ

−3 2

¶

,2x₋5y= 4

c) P =

µ

−1 0

¶

, x=₋5 d) P =

µ

0 0

¶ , y= 3

e) P =

µ

−1 3

¶

, y= 1₃x+ 5

6. Sea _L la recta que corta al ejex en P =

µ a

0

¶

y al eje y en Q=

µ

0

b ¶

.Probar que si a₆= 0yb₆= 0, una ecuación para_L es

x a+

y b = 1

7. Seana, b, c ydnúmeros reales. Probar que:

a) Las rectas con ecuaciones ax+by=c y ax+by=dson paralelas. b) Las rectas con ecuacionesax+by=c y bx₋ay=dson perpendiculares. 8. Para cada literal, hallar todos los valores dekpara los cuales se satisface la condición

indicada.

a) Las ecuaciones 3x+ 6ky= 7y9kx+ 8y₋15 = 0 representan rectas paralelas. b)Las ecuaciones3kx+8y₋5 = 0y6y₋4kx=₋1representan rectas perpendiculares. 9. Seak un número real cualquiera. Hallar una ecuación en forma general para la recta

que pasa por el puntoP =

µ

−1 7

¶

,tiene vector directorD=

µ

5

k ¶

y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos

µ k 3 ¶ y µ −6 2 ¶ .

10. Determinar el ángulo de_L1 a L2 para cada par de rectas dadas. a) _L1 :√3x₋y= 5; _L2 :x₋√3y=₋3

b) _L1:x₋y=₋1; _L2 :√3x₋y= 2

c) _L1 :

½

x=₋1₋t

y=t , t∈R; L2 :x−y= 0

d) _L1 : x

2 =

y₋1

4 ; L2 :x−2 =

y

4

12. Estudiar la posición relativa (paralelas, perpendiculares, se cortan) de cada par de rectas y si se cortan, hallar el punto de intersección de ellas.

a)

½

L1: 2x₋y+ 1 = 0

L2: 5x−3y+ 2 = 0 b)

½

L1 :y= 2x+ 1

L2 :−4x+ 2y+ 5 = 0

c)

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

L1: µ

x y

¶

=

µ

1 1

¶

+t µ

−2 1

¶

L2:x−2 = y+ 3

2

, t_∈R.

13. Considere la recta _L con ecuación2y₋3x= 4y el puntoP =

µ

1

−3

¶ .

a) Encontrar unas ecuaciones paramétricas de la recta _L1 que pasa porP y es per-pendicular a _L.Dibujar_L y_L1.

b) Hallar la distancia del puntoP a la recta_L.

14. a) Probar que el conjunto de puntos del plano equidistantes de dos puntos dados P =

µ a1 b1

¶ yQ=

µ a2 b2

¶

es la mediatriz del segmentoP Q.

b) Hallar una ecuación en forma general para la mediatriz del segmento P Q con P =

µ

−1 3

¶ yQ=

µ

−5 7

¶ .

15. Sea _L1 la recta que pasa por el puntoP =

µ

1 1

¶

y es paralela al vectorD1 = µ

1 2

¶ y sea _L2 la recta que pasa por el punto Q =

µ

2 1

¶

y es paralela al vector D2 = µ

3 8

¶ .

Hallar el punto de intersección de _L1 y_L2.

16. Para cada literal, hallar una ecuación para la bisectriz del ángulo agudo que forman las rectas con ecuaciones dadas.

a) x₋√3y= 5, x= 2 b)y = 3

4x, y= 2

17. Para el triángulo de la figura

3.9. Ejercicios 99 c)Hallar el ortocentro (punto de intersección de las rectas que contienen las alturas). d) Comprobar que los tres puntos hallados ena), b) yc) son colineales.

18. SeanP =

µ

5 8

¶ , Q=

µ

−1 10

¶

y_L la recta con ecuaciónx+ 2y₋7 = 0.

a) Determinar el puntoR de la recta_L tal que el triánguloP QR es isósceles. b) Hallar la longitud de la altura del triánguloP QR relativa al ladoP Q. c) Calcular el área del triánguloP QR.

19. Determinar si los puntos dados en cada caso son colineales. a) P =

µ

1

−4

¶ , R=

µ

2 6

¶ , S =

µ

−3 2

¶

b) P =

µ

1

−3

¶ , R=

µ

−1 4

¶ , S=

µ

−3 11

¶

20. Probar que los puntos P =

µ

−6 1

¶ , Q =

µ

−4 6

¶ , R =

µ

4

−3

¶

y S =

µ

6 2

¶

son los vértices de un rectángulo.

21. Hallar un punto P del eje x tal que la recta que pasa por P y por Q =

µ

−3 4

¶ es perpendicular a la recta que pasa por P y por R=

µ

1 1

¶ .

22. Si _L es la recta con ecuación 5x ₋y = 1, encontrar las ecuaciones de las rectas perpendiculares a_L que forman con los ejes coordenados un triángulo de área igual a5 unidades cuadradas. (Dos soluciones).

23. La gráfica de una ecuación que relaciona la temperatura en grados centígrados con la temperatura en grados fahrenheit es una recta. El agua se congela a0oC y a32oF y el agua hierve a100oC y a 212oF.

a)SiF grados fahrenheit corresponden aCgrados centígrados, escribir una ecuación que relacioneF conC.

b) Dibujar la gráfica de la ecuación del literal a).

c) ¿Cuál es la temperatura en grados fahrenheit que corresponde a 20 grados centí-grados?

d)¿Cuál es la temperatura en grados centígrados que corresponde a86grados fahren-heit?

e) ¿Existe alguna temperatura para la cual sea C=F?

24. Hallar un vector normal a la recta con ecuación dada en cada literal: a) µ x y ¶ = µ 1 3 ¶ +t µ 3 1 ¶

, t_∈R b) y= 2x₋5

c) x+ 1

2 =

y₋3

3 d)

½

x= 1 +t

y=₋3t , t∈R

e) 2 (x₋1) + 5 (y+ 2) = 0 g) x

2 +

y

25. Considere la recta _L que pasa por los puntosP =

µ

−1 7

¶ yR=

µ

3 5

¶ .

a) Hallar una ecuación en forma normal para_L. b)Encontrar la distancia del punto X0 =

µ

2 3

¶

a la recta _L.

c) Encontrar la distancia del origen a la recta perpendicular a _L que pasa por el punto S =

µ

−1 1

¶ .

26. En cada literal, hallar la distancia del punto P a la recta dada: a) P =

µ

0 0

¶

, 3x+ 4y₋10 = 0

b) P =

µ

3/2 2/3

¶

, 2x₋y+ 5 = 0

27. Considere la recta _L1 generada por el vectorV =

µ

2 3

¶ . a) Encontrar la distancia del punto X0 =

µ

3 7

¶

a la recta _L1.

b)Hallar una ecuación en forma general para la recta_L2 que es paralela aL1 y pasa por el punto P =

µ

3

−4

¶ .

c)Encontrar la distancia entre las rectas _L1 yL2.

28. Describir mediante ecuaciones el lugar geométrico de todos los puntos P =

µ x y

¶ del plano, cuya distancia a la recta con ecuación 3x+ 4y₋15 = 0 es igual a 3.

29. Sea_L una recta y N es un punto de_L tal que −−→ON es un vector normal a _L.Probar que una ecuación para_L es

(cosα)x+ (senα)y =ρ.

donde ρ=

° ° °−−→ON

° °

° yαes la dirección del vector−−→ON.

30. Sea _L1 la recta con ecuaciónx+y₋2 = 0 y sea_L2 la recta paralela a _L1 que pasa por el punto P =

µ

5 0

¶

. Hallar el área del trapecio limitado por las rectas_L1, _L2 y los ejes coordenados.