Modelo para la selección de proyectos de inversión en la industria petrolera

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(1)Modelo para la selección de proyectos de inversión en la industria petrolera. Trabajo de Tesis Presentado al Departamento de Ingeniería Industrial. Por Carlos Yamid Méndez Almario Asesor: Andrés L. Medaglia. Para optar al titulo de Ingeniero Industrial. Ingeniería Industrial Universidad de los Andes Enero 2005.

(2) II.05(02).65. Reconocimientos Agradezco a mi asesor Andrés L. Medaglia por su apoyo y confianza en el desarrollo de este trabajo. Al equipo de profesionales de la Gerencia del Magdalena Medio de Ecopetrol S.A., en especial a los ingenieros Oscar Bravo Mendoza y Freddy Garzón por su constante colaboración y tiempo. A. Jorge Sefair por sus oportunos aportes y. orientaciones. También quiero agradecer a mis hermanos por su apoyo y a mis padres, quienes me han enseñado mucho y quienes me brindaron la posibilidad de recibir una excelente educación universitaria.. 2.

(3) II.05(02).65. Tabla de Contenido. Lista de Tablas. 4. Lista de Figuras. 5. I. Introducción. 6. II. Rentabilidad y Riesgo aplicados a la Industria Petrolera. 9. 2.1 Aproximación a la semivarianza del portafolio.. 12. III. Modelo. 15. IV. Implementación del Modelo. 20. 4.1 Información General. 20. 4.2 Resultados. 23. 4.3 Análisis de sensibilidad. 25. V. Conclusiones. 30. Bibliografía. 32. Anexo 1. 36. Modelo de reversión a la media.. 37. 3.

(4) II.05(02).65. Lista de Tablas. 1. Inversiones requeridas. ........................................................................................21 2. Precedencias entre proyectos...............................................................................22. 4.

(5) II.05(02).65. Lista de Figuras. 1. Distribución del VPN. .........................................................................................14 2. VPN y semivarianza de cada proyecto................................................................22 3. Selección Óptima. Caso extremos frontera eficiente. .........................................23 4. Comportamiento de los parámetros en el tiempo. ...............................................24 5. Frontera eficiente de portafolios óptimos............................................................25 6. Selección óptima inversión MMUS $50.Casos extremos frontera eficiente.......26 7. Comparación del comportamiento de los parámetros en el tiempo. ...................28 8. Selección óptima con cota de costo por barril. Casos extremos frontera eficiente .............................................................................................................................29 9. Comportamiento de los parámetros en el tiempo, con restricción de costo por. barril. ...................................................................................................................29. 5.

(6) II.05(02).65. Capitulo I. Introducción Uno de los problemas más frecuentes en el entorno del sector petrolero es la toma de decisiones en cuanto a qué proyectos se deben realizar, debido al alto nivel de incertidumbre que se maneja en las áreas de exploración, perforación y explotación [26]. El desarrollo de herramientas matemáticas ha facilitado la toma de decisiones evitando que la selección se realice bajo criterios subjetivos contribuyendo a la generación de valor para la empresa. Estos modelos matemáticos se diseñan para describir situaciones complejas de una manera sencilla, proponer soluciones acorde a la situación y servir de apoyo al ente encargado de la decisión [4]. Más aún no es un proceso que se puede automatizar completamente con el uso de software, no obstante lo sofisticado que puede llegar a ser el programa, sin embargo estas herramientas de análisis pueden proporcionar una base excelente para la decisión, proporcionando la dirección en la cual las combinaciones de los proyectos, sus interacciones pueden satisfacer con mayor probabilidad los objetivos corporativos [24].. Diversas técnicas se han aplicado al problema de selección de proyectos. Entre las que se encuentran programación lineal [2, 9, 18] programación lineal multiobjetivo [20] [21], programación entera [1], programación por metas [3,18], valoración con opciones reales [5, 27, 22], algoritmos evolutivos [17], entre otras; con el objetivo de encontrar aquel conjunto de proyectos que maximice el retorno monetario bajo restricciones. 6.

(7) II.05(02).65 típicas de presupuesto. También se encuentran investigaciones que han incluido el ordenamiento de proyectos dentro de sus modelos, que pretender responder a ¿cuáles proyectos realizar? y ¿cuándo realizarlo? conjuntamente. Dentro de este grupo encontramos los trabajos realizados por Benli & Yaruz [4], Gupta, Kyparasis [10] y Coffin & Taylor [6].. Uno de los primeros trabajos que integró el concepto de riesgo en la selección de portafolio fue Markowitz [14]. Esta técnica de optimización obtenía el portafolio de mínimo riesgo para una tasa de retorno dada, usando la desviación estándar como medida de riesgo [19], pero cuyo trabajo está centrado en acciones y bonos. Finalmente Sefair & Medaglia [25] proponen un modelo que permite seleccionar y ordenar en el tiempo los proyectos bajo dos criterios, maximizar rendimiento y minimizar riesgo.. Enfocado a la industria petrolera Orman & Duggan [19] incorporan el riesgo reemplazando la varianza por la semivarianza del valor presente neto como medida de riesgo, debido a la cuestionable utilización de la varianza como medida de riesgo [24]. Cuando el criterio de la varianza es reemplazado por el de la semivarianza en la selección eficiente de portafolios, sólo el riesgo del portafolio es minimizado y no las oportunidades [23]. Ahora bien, la selección de un portafolio óptimo depende fuertemente de la definición de riesgo [15].. Con el uso de diversas técnicas de optimización el uso del análisis de portafolio se ha incrementado en la industria petrolera. Este análisis provee una manera robusta de evaluar y fijas metas corporativas [13], creando un puente entre la visión de la compañía o la estrategia de negocio y la colección de proyectos que traerá a que la estrategia o misión puedan llevarse acabo [16]. Este análisis se centra en estimar la. 7.

(8) II.05(02).65 probabilidades que el portafolio alcance las metas corporativas [24], tales como niveles de producción, niveles de rentabilidad, costos mínimos de producción entre otros.. Ahora bien, para que la selección de proyectos, sea la mas convenientes para la compañía, el modelo que se defina para seleccionar proyectos , requiere que los activos se encuentren adecuadamente valorados y con los niveles de riesgo bien definidos, donde se incluyan todas las variables que inciden en los proyectos; para que la optimización se lleve acabo de la manera mas eficiente y de esta forma poder definir la mejor combinación de activos para cierto nivel de riesgo especifico, es decir que se construya la frontera eficiente para los activos. Este tipo de modelos, deberían ser muy flexibles para incluir restricciones adicionales. De esta forma que se puede decidir cual es la estrategia óptima que se adapta mejor a los objetivos de la empresa, al combinarse con las limitaciones presupuestales y el nivel de tolerancia al riesgo deseado. En este trabajo se presenta un modelo de programación entera como herramienta para la selección de proyectos integrando tanto la maximización de la rentabilidad como la minimización del riesgo, bajo restricciones típicas de la industria petrolera encaminada a la consecución de metas preestablecidas para la organización. A partir del cual es posible generar una frontera eficiente de portafolios donde el decisor puede encontrar un balance entre riesgo y rentabilidad. Se desarrollo en base al trabajo previo realizado por Sefair & Medaglia [25].. Este trabajo se divide en 4 capítulos. El capítulo 2 presenta los criterios de rentabilidad y riesgo que se utilizaran en el modelo. El capítulo 3 presenta el desarrollo del modelo a partir de los resultados presentados en el capítulo 2. En el capítulo 4 se presentan resultados experimentales de un conjunto real de proyectos, que incluye análisis de sensibilidad como también la construcción de la frontera eficiente. El capítulo 5 presenta las conclusiones de este trabajo.. 8.

(9) II.05(02).65. Capítulo II. Rentabilidad y Riesgo aplicados a la Industria Petrolera Como medida de rentabilidad, Markowitz usó la tasa interna de retorno. Esta medida es inadecuada para comparar proyectos de diferentes períodos de vida. El valor presente neto (VPN ) es la medida generalmente aceptable del portafolio [12]. Para definir el k ) es necesario hacer las siguientes definiciones: Sea valor presente del portafolio (VPN p. P el conjunto de proyectos a seleccionar. Sea xi una variable binaria que toma el valor. de 1 si el proyecto i se selecciona y 0 de lo contrario. Sea VPN i el valor presente neto del proyecto i . De esta forma el valor presente neto va a ser la suma de los VPN de aquellos proyectos que se seleccionen, expresado de la siguiente forma:. k = VPN x VPN ∑ ii p i∈P. El valor presente neto es la suma de los flujos de caja de cada período descontados a una tasa. Estos flujos se expresan en términos de los principales parámetros como lo son: costos operacionales, nivel de inversiones, precio del petróleo, niveles de producción esperada, etc. Debido a que no se conoce con certeza el valor de algunos de. 9.

(10) II.05(02).65 estos es necesario hacer uso de la simulación de Monte Carlo [22]. Esta se concentra en las incertidumbres de los valores de algunos de los parámetros mencionados, haciendo uso de distribuciones estadísticas para modelarlos. Bajo esta metodología estos valores son seleccionados aleatoriamente en base a las distribuciones asignadas para poder calcular un valor posible de VPN para cada proyecto. Al repetir este procedimiento es posible generar un histograma de valores posibles de VPN y poder calcular el VPN promedio y el riesgo de cada uno de los proyectos. También es posible obtener información como la probabilidad esperada de que el VPN exceda un valor dado, las correlaciones existente entre cada proyecto, e identificar las incertidumbres que más afectan el beneficio de cada proyecto, lo que es de gran ayuda para la administración de portafolios.. La medida de riesgo comúnmente utilizada es la varianza (o desviación estándar) del VPN. Es apropiado usarla como medida de riesgo sólo cuando la distribución de los retornos es simétrica, el usarla para selección de proyectos petroleros implicaría asumir que la distribución de los retornos de cada proyecto se aproxima a una distribución normal y típicamente estas se aproximan a un comportamiento lognormal [15]. Además, al hacer uso de esta medida de riesgo en el caso de selección de portafolio por medio de la minimización del riesgo, se penalizará de igual forma tanto las alzas como las caídas con respecto a la media [8], es decir como una dispersión total. Pero un inversionista piensa en riesgo [19] como aquellas situaciones de menor valor desde su punto de referencia que bien puede ser retornos menores a cero o al valor promedio.. La medida de riesgo que resuelve el problema de asimetría y que esta acorde con la visión del inversionista es la semidesviación estándar (raíz de la semivarianza). La fórmula que se encuentra en la literatura es idéntica a la de la varianza, con una excepción: “la semivarianza sólo toma en cuenta observaciones por debajo de la. 10.

(11) II.05(02).65 media”. Usando el criterio de minimización de la semivarianza, un proyecto con un pequeño valor de semivarianza (como medida de riesgo) es preferible sobre un proyecto con un igual valor esperado y varianza pero con una gran semivarianza [22]. En experimentos realizados con 27 proyectos de la industria petrolera de Colombia, se encontró que efectivamente las distribuciones de los retornos son asimétricas. La figura 1 muestra la distribución de algunos de estos proyectos. Es importante aclarar que estas distribuciones se obtuvieron después de 1000 simulaciones simultáneas de las dos variables aleatorias, el precio del petróleo y los niveles de producción de cada periodo futuro. Debido a esto se hará uso de la semivarianza como medida de riesgo en el presente trabajo.. La semivarianza de cualquier proyecto se puede calcular de la siguiente forma:. σi. 2. ((. ) ). 1 n = ∑ ⎡⎢ min VPN k − VPN , 0 ⎤⎥ ⎦ n k =1 ⎣. 2. Donde n es el número de observaciones posibles del VPN de dicho proyectos, VPN k la observación k del VPN del proyecto y VPN el valor presente neto promedio.. El interés está centrado en la semivarianza del rendimiento del portafolio. En la literatura no se encuentra una definición formal de la semivarianza para un portafolio, por lo que fue necesaria una aproximación experimental (que se describe a continuación) que tiene en cuenta el número de proyectos, la contribución de cada proyecto al riesgo del portafolio como la interacción entre ellos, como lo hace la varianza de un portafolio.. 11.

(12) II.05(02).65 2.1 Aproximación a la semivarianza del portafolio. La varianza de un portafolio se define como:. σ p 2 = ∑∑ xi x jσ iσ j ρij i∈P j∈P. Donde P el conjunto de proyectos a seleccionar, xi una variable binaria que toma el valor de 1 si el proyecto i se selecciona y 0 de lo contrario, estándar del proyecto i y. σ i es la desviación. ρij el coeficiente de correlación entre los proyectos i y j .. Partiendo de este hecho, se pretende averiguar si la semivarianza de un portafolio se puede aproximar de una manera similar al cálculo de la varianza del portafolio reemplazando la desviación estándar por la semidesviación de la siguiente forma:. σjp2 ∑∑ xi x j σii σii ρjij. (1). i∈P j∈P. σii. Donde. ∑ (VPN n. ρj = ij. k =1. ik. es. )(. la. semidesviación. − VPNi VPN jk − VPN j. σii σjj. ) .. 12. estándar. y. donde.

(13) II.05(02).65 El procedimiento que se siguió para la aproximación es el siguiente:. Paso 1: Se crearon 30 proyectos, para cada uno de ellos se generaron 1000 posibles valores de VPN.. Paso2: Se calculo la semivarianza para cada uno de estos proyectos haciendo uso de la ecuación (1).. Paso 3: Se crearon 100 diferentes. portafolios, de diferentes números de. proyectos integrando el portafolio.. Paso 4: Se calculó la semivarianza de estos 100 portafolios de manera directa. Sea P* es el conjunto de proyectos que integran el portafolio. Sea VPN l ,k el posible valor presente neto del proyecto l ∈ P* en la observación k . Así el VPN del portafolio de la observación k va a ser igual a:. VPN k =. ∑ VPN. l ,k. ∀k. j∈P. *. Con lo que se puede calcular la semivarianza del portafolio haciendo uso de la ecuación (1), a éste valor lo llamaremos semivarianza real.. Paso 5: Se calculó la semivarianza de los 100 diferentes portafolio haciendo uso de la definición de semivarianza, a éste valor lo llamaremos semivarianza calculada.. Paso 6: Calcular el error porcentual entre la semivarianza real y calculada.. 13.

(14) II.05(02).65 Los pasos 1 al 6 se repitieron 150 veces presentando un rango de error porcentual que oscila entre 0.00462% y 4.00632%, donde el error no aumenta con el número de proyectos que integren el portafolio. Con base en esto se usará esta aproximación para calcular la semivarianza del portafolio, en el modelo que se presentara en el siguiente capitulo. Nótese la no linealidad de la ecuación (1).. Figura 1: Distribución del VPN.. 14.

(15) II.05(02).65. Capítulo III. Modelo Teniendo en cuenta los resultados de las secciones anteriores es posible formular un problema de programación entera biobjetivo que maximice el retorno del portafolio y a la vez minimice el riesgo de éste, involucrando restricciones típicas de la industria petrolera. A continuación se definen los conjuntos, parámetros y variables de decisión.. Sea P el conjunto de proyectos a seleccionar. Sea R el conjunto de precedencias entre proyectos. Si la realización del proyecto i ∈ P implica la realización del proyecto j ∈ P , entonces ( i, j ) ∈ R . Sea t el índice para los periodos de tiempo, t = 1...T .. Sea Qit la producción de barriles de petróleo del proyecto i ∈ P en el periodo t . Sea Cit el costo por barril del proyecto i ∈ P en el periodo t . Sea I it la inversión de capital. requerida por el proyecto i ∈ P en el periodo t . Sea Wt la producción mínima de barriles de petróleo requerida por la organización para suplir sus metas en el periodo t . Sea K t la cantidad de recurso disponible a invertir en el periodo t . Sea Cut el límite superior del costo por barril en el periodo t .. 15.

(16) II.05(02).65 Sea xi una variable binaria que toma el valor de 1 si el proyecto i se selecciona y 0 de lo contrario. Y por último sea la variable Z ij una variable binaria que toma el valor de 1 si los proyectos i y j son seleccionados para conformar el portafolio y 0 de lo contrario. Esta variable se introduce con el objetivo de eliminar la linealidad en la ecuación (1).. Las dos funciones objetivo del problema de selección de proyectos óptimos se presentan en las ecuaciones 2 y 3.. max ∑ VPN i xi. (2). j min ∑∑ zij σii σjj ρ ij. (3). i∈P. i∈P j∈P. La primera restricción de este problema, esta relacionada con la necesidad de cumplir una metas preestablecidas por la organización, en este caso en cuanto a los niveles mínimos de producción. Esta restricción se puede expresar matemáticamente de acuerdo con la ecuación 4.. ∑Q x i∈P. it i. ≥ Wt. t = 1,..., T. (4). En (5) muestra la restricción de presupuesto de inversión. Esta restricción es de mucha utilidad en especial en empresas estatales donde es poco común acumular capital de un periodo a otro y donde los recursos pueden ser limitados.. 16.

(17) II.05(02).65. ∑I i∈P. x ≤ kt. t = 1,..., T. it i. (5). Adicionalmente, es posible controlar el costo de producción, buscando que no sobrepase los niveles tolerables de la organización. Matemáticamente se puede expresar de acuerdo con la ecuación 6.. ∑C x i∈P. it i. ≤ Cut. t = 1,..., T. (6). La restricción que condiciona la selección de proyectos, es decir que si el proyecto i se selecciona se debe seleccionar el proyecto j donde ( i, j ) ∈ R pero no lo contrario, se presenta en la ecuación 7.. xi ≤ x j. (i, j ) ∈ R. (7). Por último, como se presentó en el capitulo anterior la expresión de la semivarianza es no lineal, el conjunto de ecuaciones 8 presenta las restricciones que eliminan el problema de no linealidad de la ecuación de la semivarianza de un portafolio expresada ecuación (1). Este conjunto de ecuaciones esta presente en el trabajo de Sefair & Medaglia [25].. 2 zij. ≤ xi + x j. zij + 1 ≥ xi + x j i, j ∈ P. 17. (8).

(18) II.05(02).65 La solución de este problema, se divide en dos etapas. En la primera etapa se busca maximizar/minimizar uno de los dos objetivos expresados en las ecuaciones 2 y 3 respectivamente, sujeto a todas las restricciones. En la segunda etapa se maximiza/minimiza el segundo objetivo con todas las restricciones más una adicional que impida el deterioro del primero objetivo seleccionado. Estas restricciones adicionales se muestran en las ecuaciones 9 y 10. La ecuación 9 se utiliza cuando en le k• el primera etapa se ha maximizado el VPN del portafolio en la primera etapa. Sea VPN. valor presente neto del portafolio hallado en la primera etapa. La ecuación 10 se utiliza cuando en la primera etapa se ha minimizado el riesgo del portafolio. Sea. 2• σk el valor. del riesgo del portafolio hallado en la primera etapa.. ∑ VPN i∈ P. ∑∑ρ i∈ P j ∈ P. ij. i. x i ≥ Vk PN •. 2• σl i σl j z ij ≤ σk. (9) (10). Ahora bien, para construir la frontera eficiente de portafolios óptimos, la metodología antes descrita proporciona los casos extremos de dicha frontera. Entonces por medio de k• , es un proceso iterativo donde se minimiza σjp2 sujeta a niveles variables de VPN. posible generar una frontera, donde cada punto de la frontera satisface todas las restricciones y representa una selección diferente de proyectos.. En cada paso del proceso iterativo se minimiza el riesgo del portafolio (ecuación 2) sujeto a las restricciones 4, 5, 6, 7, 8, y 9. En cada iteración se obtiene un conjunto de proyectos, el riesgo y el VPN de éste portafolio, además como se expreso anteriormente k • debe variar, de esta forma en la iteración r el VPN k • = VPN k r −1 + ∆ , donde el VPN. 18.

(19) II.05(02).65 k r −1 es el VPN del portafolio obtenido en la iteración r − 1 y ∆ el incremento. El VPN k • sea mayor o igual al mayor VPN que se puede proceso debe parar cuando VPN. alcanzar.. 19.

(20) II.05(02).65. Capítulo IV. Implementación del Modelo. 4.1 Información General Para el desarrollo de estos experimentos se hizo uso de información de proyectos reales de la industria petrolera, facilitados por La Empresa Colombiana de Petróleos – ECOPETROL- de una de sus Gerencias (GMM). Esta Gerencia cuanta con 27 proyectos de inversión. Para cada una de las alternativas se cuenta con información acerca de inversiones de capital, producción de crudo, costos de operación, costos y gastos de administración, costos de comercialización, costos de transporte, y del precio del crudo promedio desde año 2006 a 2035. Algunos de los riesgo técnicos de cada proyecto están incluidos en tres perfiles de producción, con los que se creo una distribución triangular de producción para cada proyecto, permitiendo así la aplicación de simulaciones de Monte Carlo. La tabla 1 muestra las inversiones requeridas por cada proyecto.. 20.

(21) II.05(02).65 Proyectos. Periodos de Inversión (MMUS$) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. P1. 6.77. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. P2. 3.51. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. P4. 2.90. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. P5. 9.63. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. P7. 3.31. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. P8. 3.67. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. P10. 0.34. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. P11. 0.74. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. P12. 1.82. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. P16. 12.06. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. P17. 15.17. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. P18. 8.22. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. P19. 14.83. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. P20. 5.09. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. P21. 10.07. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. P22. 19.65. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. P23. 11.38. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. P24. 9.14. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. P25. 0.00. 8.65. 31.34. 51.08. 34.85. 34.85. 35.23. 16.88. 16.88. 16.88. P27. 14.67. 14.83. 16.50. 13.23. 3.88. 0.19. 0.00. 0.00. 0.00. 0.00. Tabla 1: Inversiones requeridas.. De igual forma la Gerencia precisó los parámetros de las restricciones mencionadas en el capítulo anterior. La inversión en cada periodo no debe ser superior a MMUS $100, la producción de crudo en el primer período deber ser mayor o igual a 20 mil barriles y el costo de producción por barril sin cota superior.. En cuanto a las precedencias entre proyectos estas se muestran en la tabla 3. Indicando por ejemplo, que si se selecciona el proyecto 16 se debe seleccionar el proyecto 1, al seleccionar el proyecto 24 se debe seleccionar el proyecto 5 pero no lo contrario.. 21.

(22) II.05(02).65. Tabla 2: Precedencias entre proyectos.. Para calcular el VPN de cada uno de los proyectos vinculando tanto los valores determinísticos e incluyendo el componente aleatorio de los niveles de producción y del precio del petróleo, se hicieron 1000 simulaciones del comportamiento de estas variables. Para simular el precio del petróleo se hizo uso del modelo de Dixit & Pindyck de reversión a la media [7,11]. Los apartes de este modelo se encuentran en el anexo 1. A partir de ésto se obtuvo el VPN promedio y la semivarianza de cada uno de los proyectos. En la figura 2 se muestran estos valores, en donde como era de esperarse aquellos que poseen mayor VPN son los que presentan un mayor riesgo. La tasa de descuento utilizada fue del 14%.. Figura 2 : VPN y semivarianza de cada proyecto.. 22.

(23) II.05(02).65 4.2 Resultados Los resultados de la selección óptima se muestran en la figura 3. También se muestra el valor del VPN del portafolio y la semivarianza del mismo bajo la selección óptima cuando se da solución al problema por medio de las dos etapas mencionadas anteriormente, para cada uno de los objetivos expresados matemáticamente en las ecuaciones 2 y 3. La figura 3a minimizando el riesgo en la segunda etapa y la figura 3b cuando se maximiza el VPN en la segunda etapa. Debe notarse el cumplimiento de las restricciones de proyectos expresadas en la tabla 2, ya que en el portafolio que tuvo en cuenta el VPN en la primera etapa están incluidos todos estos; el otro portafolio óptimo no se seleccionó ningún proyecto que obligara a la selección de otro.. Figura 3: Selección Óptima. Casos extremos frontera eficiente.. El comportamiento de los principales parámetros del modelo se muestra en la figura 4. En ella puede notarse el cumplimiento de las restricciones impuestas por la organización y no solo eso sino que presenta un rango de posibilidades para cada uno de ellos. Este rango esta marcado por la brecha entre el comportamiento de estos parámetros a lo largo del tiempo.. 23.

(24) II.05(02).65. Figura 4: Comportamiento de los parámetros en el tiempo.. A partir de los anteriores resultados es posible construir una frontera de portafolios óptimos, en la cual cada punto de ésta tiene una conformación diferente de los proyectos que hacen parte del portafolio óptimo. De esta forma dado el nivel de aversión al riesgo del decisor seleccionará aquel en donde encuentre un balance entre sus preferencias entre riesgo y beneficio neto, despreocupándose de las restricciones pues cada punto cumple con estas. Mediante el proceso iterativo descrito en el capítulo anterior se construyó la figura 5 en el que se minimizaba el riesgo del portafolio para niveles variables de VPN.. 24.

(25) II.05(02).65. Figura 5: Frontera eficiente de portafolios óptimos.. De esta forma la cantidad máxima de proyectos va a ser de 23 (portafolio B) y la mínima de 11 proyectos (portafolio A). El pasar del portafolio C al B lleva a que se seleccionen 7 proyectos más, en donde los proyectos P18 y P27 no integran el portafolio B. El aumentar el VPN del portafolio no implica necesariamente aumentar el número de proyectos seleccionados. Por ejemplo en el portafolio D lo integran 18 proyectos, entre tanto el portafolio E son 7 proyectos menos, y no solo esto este portafolio tiene 10 periodos de inversión de capital y el otro tan solo 1. Esto contribuye a que la administración de riesgo cuente con una herramienta adicional para la toma de decisiones, ya que en cada punto es posible generar distribuciones de frecuencias y así calcular probabilidades de cumplir con las metas organizacionales que incluye tolerancia al riesgo, como el comportamiento de los parámetros en el tiempo.. 4.3 Análisis de sensibilidad Este tipo de análisis busca resaltar aspectos importantes del modelo que pueden ser importantes para la administración de portafolio que vayan acorde con la idea de. 25.

(26) II.05(02).65 generar valor. Entre los aspectos a tener en cuenta, se tiene el capital a invertir y el nivel de costo por barril que se está dispuesto a tolerar.. Suponga que se tienen dos posibles escenarios de capital disponible a invertir, el primero es reducir a MMUS $50 y el segundo aumentar a MMUS $200 para cada periodo. Las figuras 6a y 6b muestran los resultados del primer escenario. Cuando se tiene en cuenta la minimización del riesgo en la segunda etapa (grafica 6a), como era de esperarse se disminuyó el número de proyectos seleccionados, pasando de 23 a 17 proyectos. Esta disminución significó una reducción del 22% en el VPN del portafolio y una reducción del 46% en el riesgo. Al tener en cuenta la maximización del VPN en la segunda etapa, no se observa ningún cambio en la selección óptima. Los resultados del segundo escenario cuando se tiene en cuenta la minimización del riesgo en la segunda etapa muestran que se seleccionan la totalidad de los proyectos en consideración incrementando el VPN del portafolio en 3.02% y el riesgo en 7.03%. Como era de esperarse el segundo escenario es ampliamente mejor que el primero, pero no lo es respecto al nivel actual de capital disponible para invertir, aún cuando se seleccionan todos los proyectos, pues al contar con la inclusión de 4 proyectos más, el aporte es más significativo en riesgo que en VPN y habría que entrar a evaluar la conveniencia de asignar mayor capital en cuanto a nivel de generación de valor.. Figura 6: Selección óptima inversión MMUS $50.Casos extremos frontera eficiente.. 26.

(27) II.05(02).65 Tan importante como la selección óptima, también lo es el comportamiento de los parámetros del modelo bajo estos escenarios durante el periodo de vida de los proyectos, pues esto constituye parte importante en la administración de portafolio. La figura 7 presenta de forma comparada el comportamiento de estos en los escenarios antes mencionados, cuando se minimiza el riesgo en la segunda etapa. En el primer escenario, al disminuir el número de proyectos que se seleccionan el costo por barril se incrementa a medida que transcurre el tiempo (respecto a un nivel de inversión máximo de MMUS $100), esto se debe a que el costo por barril y nivel de producción presenta una relación inversa y este último una directa con la cantidad de proyectos seleccionados. Los incrementos alcanzan niveles de 38%. En el segundo escenario, que implica una mayor aporte de capital se puede observar que al incrementar el aporte de capital disponible, no se logra una brecha amplia con la producción con capital disponible de MMUS $ 100, lo que lleva a una pequeño margen diferencial entre los beneficios generados por cada uno estos portafolios, y aquí es donde el decisor evalúa las conveniencias de aumentar el capital a invertir en un 50% aproximadamente para conformar un portafolio que le generará un incremento de 3.02% en VPN.. Esto. muestra que, el no hacer una análisis integro puede llevar a una posible asignación ineficiente de recursos, haciendo que la empresa no pueda acceder a mejores retornos bajo un nivel tolerable de riesgo.. 27.

(28) II.05(02).65. Figura 7: Comparación del comportamiento de los parámetros en el tiempo.. Suponga ahora que por políticas organizacionales, se debe hacer selección óptima de proyectos pero teniendo en cuenta que el costo por barril periodo a periodo no supere US $ 30. Las figuras 8a y 8b muestra los resultados. En ambos casos se observa una disminución del número de proyectos seleccionados reduciendo el VPN del portafolio y el riesgo del mismo, pero en el caso en el que se maximiza el VPN en la segunda etapa el. VPN. del. portafolio. aumentó. en. 2%. reemplazando. los. proyectos. P 4, P9, P10, P14, P 26, y P 27 por el P5 , reduciendo la distancia entres los puntos. extremos del conjunto de portafolios óptimos que se pueden encontrar de forma iterativa, lo que se traduce en la reducción entre los niveles máximos y mínimos de los principales parámetros que se han tenido en cuenta, como se muestra en la figura 9 .. 28.

(29) II.05(02).65. Figura 8: Selección óptima con cota de costo por barril. Casos extremos frontera eficiente. Figura 9: Comportamiento de los parámetros en el tiempo, con restricción de costo por barril.. Finalmente, un efectivo análisis del portafolio proporciona una manera robusta de evaluar y de fijar metas corporativas, debido a que el uso del análisis de portafolio dentro de las etapas del diseño de la estrategia de la organización y del presupuesto de inversión, proporciona una método disciplinado y sistemático de analizar las relaciones entre ellos, para ello se debe contar con un modelo flexible donde se permita la comparación de estrategias.. 29.

(30) II.05(02).65. Capítulo V. Conclusiones El modelo presentado se constituye en buena herramienta para seleccionar portafolios de máximo retorno al mínimo riesgo que tiene en cuenta las metas organizacionales que típicamente se expresan en términos de restricciones del modelo, constituyéndose en una herramienta más completa para la toma de decisiones que busca asignar eficientemente los recursos. Permite hacer un control sobre las principales variables de incertidumbre con la inclusión de simulaciones de Monte Carlo. Además estas simulaciones se constituyen en herramienta indispensable para el cálculo del riesgo de cada proyecto, ya que al ser proyectos nunca antes realizados no se cuenta con información histórica que permitan obtener el riesgo del portafolio. La estructuración del modelo permite la inclusión de restricciones adicionales de tal forma que se pueda decidir cual es la estrategia óptima que se adapta mejor a los objetivos de la organización, al combinarse con las limitaciones presupuestales y el nivel de tolerancia al riesgo.. Al usar en el modelo la semivarianza como medida de riesgo, permite la creación de una frontera eficiente con portafolios que tienen una menor probabilidad de tener un beneficio inferior al promedio, siendo esta una mejor cuantificación del riesgo pues si la. 30.

(31) II.05(02).65 dispersión superior con respecto a la media no se constituye en un riesgo sino en una gran oportunidad de mejorar los beneficios.. Finalmente el modelo no esta limitado por el número de variables aleatorias que se decidan incluir, pero si los resultados ya que al no incluir una variable que afecta los flujos de caja se pueden tomar decisiones erróneas que imposibiliten la consecución de las metas organizacionales.. 31.

(32) II.05(02).65. Bibliografía [1] Beged-Dov, A.G. (1965). Optimal assignment of R&D projects in a large company using an integer programming model. IEEE Transactions on Engineering Management. EM-12: 138-142: 138-142. [2] Benhard, R.H. (1969). Mathematical programming models for capital budgeting a survey, generalization, and critique. Journal of Financial and Quantitative Analysis. Vol. 4. No. 1: 111-158.. [3] Benjamin, C.O. (1985). A linear goal programming model for public sector project selection. Journal of the Operational Research Society. Vol. 36. No. 1: 13-23. [4] Benli, O. & Yavuz, S. (2002). Making project selection decisions: a multi-period capital budgeting problem. International Journal of Industrial Engineering. Vol. 9. No.3: 301-310. [5] Bravo, O. (2003). Metodología para el Cálculo de Opciones Reales en la Industria Petrolera Nacional. ACIPET.. [6] Coffin, M. & Taylor, B. (1995). Multiple criteria R&D project selection and scheduling using fuzzy logic. Computer and Operational Research. Vol. 23. No. 3. 32.

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(37) II.05(02).65. Anexo 1 Modelo de reversión a la media. En la literatura económica y financiera se encuentran diferentes formas de modelar un proceso de reversión a la media. Este proceso fue estudiado por Dixit & Pindyck (1994) [7] y es conocido como modelo Geométrico Ornstein-Uhlenbeck o Modelo de Dixit & Pindyck. Suponga que el precio del petróleo P sigue un proceso geométrico de reversión a la media que puede describirse de la siguiente forma:. Donde, M es el precio de equilibrio de largo plazo, η es la fuerza de reversión, σ la volatilidad del precio y dz el incremento Wiener.. Simulación de Monte Carlo de Reversión a la Media. Considere el siguiente proceso aritmético Ornstein-Uhlenbeck (siendo este el modelo mas básico de un proceso de reversión a la media) para una variable estocástica x(t ) :. dx = η ( x − x) dt + σ dz. 37.

(38) II.05(02).65 Esto significa que hay una fuerza de reversión sobre la variable x que la tira hacia un nivel de equilibrio x y la velocidad del proceso de reversión esa dada por el parámetro. η . La anterior ecuación diferencial es soluble y tiene la siguiente solución en términos de la integral de Ito.. Ahora bien, para realizar simulaciones es necesario obtener la ecuación para tiempo discreto. La ecuación en tiempo discreto útil para la simulación de la trayectoria de x(t ) inclusive para largos ∆t es:. Como x(T ) se distribuye normal [7] con media E [ x(T ) ] = x(0) e−ηT + x (1 − e−ηT ). y varianza Var [ x(T ) ] = (1 − e −2ηT ). σ2 2η. debido a esto puede tomar valores negativos. Pero en este caso en el caso de P precio del petróleo se necesita que solo tome valores positivos. Para aplicar el modelo de simulación del precio del petróleo se asume que este sigue un proceso de reversión a la media hacia donde, x = ln( M ). 38.

(39) II.05(02).65 x = ln( P). E [ P (T ) ] = exp { E [ x(T )]}. de tal forma que se pueda calcular el precio del petróleo en cualquier instante T . El proceso directo seria P (t ) = exp { x(t )} pero se debe hacer un ajuste en términos de la varianza por la particularidad de la exponencial de una distribución normal. La siguiente ecuación se presenta una forma fácil de simular el precio del petróleo, calculando primero el valor de x(t ) y luego el de P (t ) .. P(t ) = exp { x(t ) − 0.5Var (t )} Para estimar los parámetros del modelo de reversión a la media se corre la regresión x(t ) − x(t − 1) = a + b x(t − 1) + ε (t ) , donde ε (t ) esta distribuido normalmente con media. cero y varianza σ ε , y se calculan de la siguiente forma:. m=. −a b. η = − ln(1 + b). σ = σε. 2 ln (1 + b ). (1 + b ). 39. 2. −1.

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