Facultad de Ingeniería
Universidad de Buenos Aires
TORSION
Luis A. de Vedia Hernán Svoboda
6. TEORIA INGENIERIL DE TORSION DE EJES Y
TUBOS DE PAREDES DELGADAS.
6.1 Torsión de un eje de sección circular.
Sea un eje de sección circular de radio R y longitud L sometida a un momento torsor T como se muestra en la Fig. 6.1.
Asumiremos que secciones planas antes de la deformación permanecen planas después de la deformación, lo que se verifica experimentalmente para ejes de sección circular pero que no es cierto en general para otras secciones.
Una fibra tal como la OA adoptará luego de la deformación la posición OB, de modo que
siendo
de modo que
Si se asume además que un diámetro del eje antes de la deformación, lo continua siendo luego de la misma, puede escribirse
Fig. 6. 1 O
A B
γ
=
tg
α α
≅
α
=
AB
=
θ
L
R
L
γ
=
R
θ
donde r es la distancia al centro del eje y γr representa la deformación angular en esa posición.
La condición de equilibrio exige
Ahora bien, como
resulta
de modo que
donde J es el momento de inercia geométrico polar de la sección. Resulta entonces
donde
Obsérvese que dado que
γ
rr
θ
L
=
T
rdA
r
r dA
o R
o R
=
z
τ
=
z
τ
d i
2τ
rG
γ
rG
r
θ
L
=
=
τ
rθ
r
G
L
Cte
=
=
.
T
r
r dA
r
J
r R r
=
τ
z
2=
τ
0
τ
rTr
J
=
J
=
π
D
4
32
resulta
donde GJ/L es la Rigidez Torsional del eje.
Resulta ilustrativo extender los resultados anteriores al caso de un eje de sección circular levemente variable como se muestra en la Fig. 6.2.
Podemos escribir
Por ser la sección levemente variable, podemos aplicar la 6.2 al elemento de longitud dx y radio r para el que obtenemos
G
TR J
R
L
TL
J
r
r
=
τ
=
=
γ
θ
θ
/
/
θ =
TL
=
GJ
T
GJ L
/
(6. 2)Fig. 6. 2
r
a
b a x
L
= +
b g
−
J
D
r
a
b a x
L
=
=
=
L
+
−
NM
O
QP
π
4π
4π
432
2
2
de modo que
Integrando obtenemos
6.2 Tubos de paredes delgadas.
Consideremos el caso de un tubo largo de paredes delgadas de sección con forma arbitraria, como se muestra en la Fig. 6.3.
d
Tdx
G
a
b a x
L
θ
π
=
+
−
L
NM
O
QP
2
4b
g
θ
π
π
=
+
−
L
NM
O
QP
=
F
HG
−
I
KJ
−
F
HG
I
KJ
=
z
+
−
F
HG
I
KJ
L
N
MM
MM
O
Q
PP
PP
2
2
1
3
3
4 0 01
T
G
dx
a
b a x
L
T
G
L
b a
L La
b a x
L
b
g
(
)
=
−
F
HG
−
+
I
KJ
2
3
1
1
3 3
TL
G b a
π
b
g
b
a
(6. 3)A diferencia de la sección circular considerada anteriormente, la sección ahora considerada puede alabearse. Asumimos no obstante que no habiendo restricción para este alabeo, no hay generación de tensiones de tracción o compresión en la dirección longitudinal.
Aislando un elemento de volumen, dado que el espesor es pequeño, puede considerarse razonablemente que las tensiones tangenciales son constantes en el espesor y que adoptan la dirección tangente a la línea media del contorno, como se muestra en la figura.
El equilibrio en la dirección tangencial exige
mientras que el equilibrio en la dirección longitudinal requiere
Ahora bien, como
surge inmediatamente que
Por otra parte, por condiciones de equilibrio se cumple
de manera que
De modo que el producto q = τt es constante a lo largo del contorno del tubo y se denomina flujo de tensiones tangenciales. Representa la fuerza de corte por unidad de longitud de periferia medida sobre la línea media del espesor.
F
1=
F
2F
3=
F
4F
3=
τ
3 1t dx
,
F
4=
τ
4 2t dx
τ
3 1t
=
τ
4 2t
τ
3=
τ
' ,
3τ
4=
τ
'
4τ
'
3 1t
=
τ
'
4 2t
Ahora bien, teniendo en cuenta la Fig. 6.4 puede escribirse
donde A es el área encerrada por la línea media del contorno del tubo. De modo que
y
Para estimar el ángulo de torsión θ no es posible ahora asumir que las distorsiones varían linealmente con la distancia al eje longitudinal. Por lo tanto, considerando el elemento de volumen visto en la dirección n, como se indica en la Fig. 6.4, tenemos que la fuerza tangencial que produce la distorsión del elemento, es
y el trabajo resulta
Como G = τ/γ, puede escribirse el trabajo sobre toda la periferia por unidad de longitud, como
T
=
z
qrdS q rdS q
=
z
=
z
2
dA
=
2
Aq
0 2π
q
T
A
=
2
τ =
T
tA
2
(6. 4)
(6. 5)
Fig. 6. 5
τ
tdx
τ
tdx ds
γ
y como q = τt = Cte, se tiene que el trabajo por unidad de longitud, es
de manera que
o bien, teniendo en cuenta 6.4
y definiendo la resistencia torsional del tubo como
resulta
Obsérvese que esta ecuación es análoga a la 6.2 obtenida para barras circulares, en la que se reemplaza el momento de inercia polar J por la resistencia torsional R.
τ γ
t ds
τ
τ
G
tds
t
G
ds
t
2
2
2
2 2
=
z
=
z
z
b g
q
G
ds
t
22
z
T
q
G
ds
t
L
θ
'
θ
θ
'
2
2
2
=
z
F
HG
=
I
KJ
θ
'
=
=
z
z
T
A G
ds
t
T
A G
ds
t
4
24
2R
A
ds
t
=
z
4
2θ θ
=
'
L
=
TL
GR
(6. 6)
6.3 Tensiones de torsión para grandes deformaciones.
Superado el límite elástico del material, las tensiones de corte en el eje no son más proporcionales a la distancia al centro del mismo. No obstante se continúa cumpliendo que
donde θ’ = θ/L.
Por otra parte, si la sección es circular, podemos escribir
donde a es el radio del eje y siendo ahora en general
una función desconocida a determinar.
Teniendo en cuenta (6.8) podemos escribir
y
Efectuando un cambio de variables (6.9) resulta entonces
siendo γa = aθ.
γ
=
r
θ
'
(6. 8)T
r dr
a
=
2
z
0 2
π τ
(6. 9)τ
=
f
( )
γ
(6. 10)r
2 22
=
γ
θ
'
dr
=
d
γ
θ
'
T
f
d
a
=
2
z
0
2
2
π
γ
γ
θ
γ
θ
γ
De manera que
Derivando la (6.11) respecto de θ’, y teniendo en cuenta que
obtenemos (para r = a)
pero como es f(aθ’) = τa, la (6.12) resulta
es decir
por lo que resulta
T
f
d
a
θ
π
γ γ γ
γ
'
3 20
2
=
z
b g
(6. 11)d
d
d
d
r
r
d
d
θ
'
=
F
γ
γ
HG
I
KJ
=
d
d
θ
'
T
θ
'
π
a f a
θ
'
a
θ
'
π θ
a
'
f a
θ
'
3
2
22
3 2d i
=
b gb g
=
b g
(6.12)d
d
θ
'
T
θ
'
π θ τ
a
'
a3
2
3 2d i
=
3
T
2 3dT
2
3 2d
a
aθ
θ
θ
π θ τ
'
'
'
'
+
=
τ
π
θ
θ
a
a
dT
d
T
=
1
F
HG
+
I
KJ
Ahora bien, a partir de la curva experimental T = f(θ’) que se muestra esquemáticamente en la Fig. 6.6, podemos determinar para un punto genérico sobre la misma tal como el C el valor de τa como
Además, para TMáx. se cumple
de modo que de (6.13) resulta
donde a la tensión última de corte τu se la denomina Módulo de rotura.
Dado que γa = aθ’, la (6.14) brinda una forma particularmente útil para determinar la curva tensión-deformación en corte τ = f(γ) a partir de un ensayo de torsión. Por este motivo los ensayos de torsión son frecuentemente utilizados para determinar las propiedades de flujo plástico de materiales, particularmente a alta temperatura, aunque en este caso se hace necesario en general introducir correcciones para tener en cuenta la dependencia de la tensión de flujo plástico con la velocidad de deformación.
τ
π
a
a
BC
CD
=
1
+
2
3e
3
j
(6. 14)dT
d
θ
'
=
0
τ
π
u Máx
T
a
=
3
2
3. (6. 15)
6.4 Ensayo de tracción vs. Ensayo de torsión.
Resulta útil efectuar una comparación entre el ensayo de tracción y el de torsión. La Fig. 6.7 muestra esquemáticamente las tensiones actuantes en un eje sometido a torsión. Es fácil verificar que en general será
Tracción Torsión
Las dos últimas relaciones de la columna de la derecha de (6.16) son particularmente útiles porque en conjunción con la (6.14) nos permiten determinar la curva de flujo plástico tensión efectiva-deformación efectiva de un material a partir de un ensayo de torsión.
σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
τ
σ
σ
τ
σ
σ
σ
ε
ε ε
ε
ε
ε
ε
ε ε
γ
ε
γ
ε
ε
ε
σ σ
σ
σ
ε ε
ε
ε
γ
1 2 3 1 3 2
1 1
1
1 2 3 1 1 3 2
1 1 3 1
1 1
1 1
0
0
2
2
2
2
2
0
3
2
2
3
2
3
3
=
=
=
= −
=
=
=
=
=
=
=
=
= −
=
= −
=
=
=
−
=
=
=
=
=
=
Máx
Máx Máx Máx Máx
Máx Máx
Máx Máx
.
. . . .
. .
. .
,
,
,
,
En un eje sometido a torsión, las máximas tensiones de corte se producen en el plano normal al eje y la máxima tensión de tracción en un plano a 45º del mismo. Por tal motivo, un material dúctil fallará en torsión presentando una superficie de fractura como se muestra en la Fig. 6.7(a). En cambio, un material frágil lo hará como se indica en la Fig. 6.7(b), ya que en tal caso serán las máximas tensiones de tracción las que producirán la falla.
La Fig. 6.8 representa la tensión de corte máxima vs. la tensión normal máxima en un ensayo de tracción y en un ensayo de torsión. La comparación nos muestra que τMáx. en torsión es el doble que en tracción para un mismo valor de σMáx. Dado que en primera aproximación puede considerarse que la
rotura por deformación plástica se produce al alcanzarse un valor crítico de
τMáx. y que la fractura frágil se produce al alcanzarse un valor crítico de σMáx.,
las posibilidades de ruptura dúctil son mayores en torsión que en tracción. Por esta razón en un ensayo de torsión es más probable alcanzar la tensión crítica de corte antes que la tensión crítica normal, mientras que en un ensayo de tracción es más probable alcanzar la tensión crítica normal antes que la crítica de corte.
