TEORIA DE CONJUNTOS
1.- Si A = { 1, 2, { 3 } }. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas ?
a) 3 ∈ A b) { 2, { 3} } ⊄ A c) { 1 } ∈ A
d) ∅⊆ A e) { 3 } ⊆ A f) { 1, 2 } ⊆ A
g) { 1, 2, { 3 } } ⊆ A h) { { 3 } } ⊆ A
2.- Sean los conjuntos : U = { x ∈N / x < 10 } A = { x ∈N / 2 < x < 8 }
B = { x ∈N / x < 5 } C = { x ∈N / x + 2 = 6 }
Determine : a) A ∪ ( B ∩ C )
b) CC− ( A ∩ B)
c) ( A − B ) ∪ ( CC− A )
d) ( A ∩ C’ ) − BC
3.- Dados : U = { p, e, r, g, a, m, i, n, o } A = { m, e, n, o, r }
B = { g, a, m, o } C = { p, a, r, o }
a) Encuentre ( A − B ) ∩ CC por extensión.
b) Encuentre una expresión conjuntista que posea sólo los elementos p, a, r.
4.- Dados los conjuntos U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ,8 ,9, 10, 11, 12, 13 }
A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10 } B = { 3, 4, 5, 8 ,9, 10, 11, 12 }
C = { 5, 6, 7 ,8 ,9, 10 }
a) Realice la operación A ∩ ( B − C ) C.
b) Determine las operaciones necesarias para obtener :
i) { 1, 2, 5, 6, 10 } ii) { 1, 2, 7, 11, 12 }
5.- Considere los conjuntos : U = { x ∈N / x ≤ 15 } A = { 2, 3, 4, 5, 12 }
B = { 1, 3, 5, 6 , 10, 11 } C = { 3, 4, 7, 10, 11 }
a) Distribuya los elementos de U en un diagrama adecuado.
B = { i, r, a, n } C = { r, e, n, o }
a) Distribuya los elementos de U en un diagrama adecuado.
b) Encuentre ( AC− B ) C− C por extensión.
c) Exprese el conjunto { e, c, o } como resultado de una operación entre los conjuntos arriba definidos.
7.- Construya un diagrama de Venn- Euler que respete exacta y solamente las restricciones exigidas en cada uno de los siguientes casos. Indique los casos que resulten con exigencias incompatibles.
a) C ⊆ ( A ∪ B ) ; A ∩ B ∩ C ≠∅ ; C − B ≠∅ ; C − A ≠∅.
b) A ⊆ B ; C ⊆ D ; A ∩ D = ∅ ; C ∩ B = ∅.
c) A ∩ B ∩ C = ∅ ; A ∩ B ≠∅ ; B ∩ C ≠∅ ; A ∩ C ≠∅.
d) A ⊆ B ; A ∩ B ∩ C ≠∅ ; C − B ≠∅
8.- Determine por extensión los conjuntos A, B, C y U, si se sabe que :
a) ( A, B, C ⊆ U ) ∧ ( B ∩ C ) = ∅
b) ( C ∪ B ) C = { 3, 5, 9 }
c) { 3, 5 } ⊆ ( A − C )
d) ∀ x ∈(A ∩ C ) ⇒ x ∈{ 1, 2, 3 }
e) x ∈( B − A ) ⇔ ( x = 8 )
f) 4 ∈ AC, 7 ∈ AC ∧ n( AC ) = 4
g) #( B ) < #( C ) ,#n( U ) = 8 ; { 2, 8 } ⊆ U
h) ( A ∩ B ) = { 1 }
Justifique con un diagrama.
9.- Usando álgebra de conjuntos, demuestre que :
10.- Demuestre que ∀ S, T ⊆ U : ( S ⊆ T ) ⇒ [ T − ( T − S ) = S ]
11.- Usando álgebra de conjuntos, simplifique:
a) AC−( AC− BC )
b) [ A ∩ ( BC− A ) ]∪ [( B − AC ) ∪ A ]C
c) [ ( AC− B ) ∪ ( AC∩ B ]
d) [ A ∪ ( C − A ) ]∩ [( C − AC ) ∪ C ]
e) [ ( BC∩ ( A − B ) ]∪ ( A ∩ B ]
12.- Determine la cardinalidad de los conjuntos A, B, C ⊆ U , considerando la siguiente información :
# ( U ) = 30 # ( A ∪ B ∪ C ) C = 5 # ( A ∪ B ) = 23
# ( A ∩ D ) = 4 # ( B ∩ C ) = 8 # ( A ∩ B ∩ C ) = 3
# ( A ∩ B ) = 11 # (A − C ) = 12
13.- En un curso hay 45 alumnos de la carrera A y 51 de la carrera B que no estudian la carrera A. Se sabe, además, que hay 12 alumnos que no estudian en estas carreras.
i) ¿Cuántos alumnos hay en el curso?
ii) Si 7 alumnos estudian ambas carreras, ¿cuántos estudian en la carrera B ?
14.- En un Universo de 34 elementos, hay tres conjuntos A, B y C tales que C ⊆ B ; # ( C ) = 8 ; # ( A ∪ C ) = 24 ; # ( A ∩ B ) = 10 ; # ( B ) = 22 ; # ( A ∩ C ) = 6.
¿Cuántos elementos se encuentran sólo en A ?
pasado, sabiendo que el banco sólo acepta solicitudes de préstamo de consumo en U.F. Los resultados se presentaron como sigue:
• 55% de los solicitantes son hombres.
• 60% de los solicitantes pidieron préstamo en U.F.
• 30% de los solicitantes son hombres y no pidieron préstamo en U.F.
• 5 % de los solicitantes son mujeres que pidieron préstamo de consumo.
• 40 % de los solicitantes pidieron su préstamo en U.F. pero no solicitaron préstamo de consumo.
a. Distribuya la información en un diagrama adecuado a la situación.
b. ¿Cuál es el porcentaje de solicitantes que es mujer y pidió préstamo en U.F. ?
c. ¿Cuál es el porcentaje de solicitantes que es hombre y pidió préstamo de consumo?
17.- De un grupo de 100 empleados de una firma, todos los hombres tienen más de 20 años de edad; hay 50 mujeres en el grupo; 60 empleados son mayores de 20 años; 25 mujeres no son solteras. Los empleados casados con más de 20 años de edad son 15, y de éstos 10 son mujeres.
a. Construya diagrama adecuado a la situación y distribuya las cardinalidades respectivas.
b. ¿Cuántos son los empleados casados?
c. ¿Qué porcentaje de las mujeres es soltera?
d. ¿Cuántas mujeres son solteras y mayores de 20 años?
e. ¿Qué porcentaje del grupo es hombre casado?.
18.- En una encuesta a los egresados de un colegio científico-humanista, sobre sus preferencias para estudios superiores, se obtuvo los siguientes resultados:
• 29 prefieren Ingeniería Civil.
• 26 prefieren Psicología.
• 8 prefieren Ing. Civil y Psicología pero no Derecho.
• 5 estudiarían sólo Ing. Civil.
19.- 110 alumnos postularon a las carreras de cierta universidad. Un mismo alumno puede postular a un máximo de tres carreras y se tiene los siguientes datos:
• Nadie que postula a Derecho, postula a Ingeniería Comercial.
• Los alumnos que postularon a Derecho también lo hicieron por lo menos a Psicología o a Auditoria.
• Los alumnos que postularon a Ingeniería Comercial son 60.
• 15 son los alumnos que sólo postularon a Ingeniería Comercial.
• La cantidad de alumnos que postuló a Psicología e Ingeniería Comercial es la misma que postuló a Auditoria e Ingeniería Comercial, esto es 35 jóvenes.
• Los alumnos que postularon a Derecho son 19.
• Los alumnos que postularon sólo a Auditoria son 3.
• Los alumnos que postularon sólo a Psicología son 5.
• Los alumnos que postularon a Derecho pero no a Psicología, son 8.
• Los alumnos que postularon a Derecho pero no a Auditoria, son 4.
• 20 alumnos postularon a otras carreras no mencionadas arriba.
a. Distribuya la información en un diagrama adecuado a la situación.
b. El número de alumnos que postula sólo a Auditoria y Psicología.
c. El número de alumnos que postula a tres de las carreras mencionadas.
d. Cuántos alumnos eligen a lo más dos de estas carreras.
e. Cuál es la carrera con más postulantes.
20.- Sobre un curso de 45 alumnos de la facultad de economía se sabe que:
• 16 alumnos cursan economía.
• 18 alumnos estudian administración.
• 17 alumnos marketing.
• 3 alumnos cursan economía, administración y marketing.
• 1 alumno cursa sólo marketing y administración.
• 8 alumnos cursan sólo marketing.
