UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

(1)

FACULTAD DE INGENIERÍA GEOLÓGICA MINERA Y METALÚRGICA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA METALÚRGICA

CORRECCIÓN DE ENSAYES QUÍMICO EN UNA SERIE DE

NODOS ENLAZANTES POR MULTIPLICADORES DE

LAGRANGE

INFORME DE SUFICIENCIA

PARA OPTAR EL TÍTULO PROFESIONAL DE:

INGENIERO METALURGISTA

PRESENTADO POR:

EDGAR ADEMAR PEREZ MATOS

LIMA –PERÚ

(2)

AGRADECIMIENTO:

A MIS PADRES

:

Rosendo y María

A toda mi familia, especialmente

a mi hija Mya, quién es mi estimulo

para seguir adelante.

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RESUMEN

El contenido del presente trabajo mostrará, una variedad de pasos secuenciales con el fin de obtener la corrección de análisis químicos, en una serie de nodos enlazantes mediante la Función Generalizada.

Función Generalizada - Método general.

El método general en mención, se adecua perfectamente al análisis de los procesos de flotación (circuito de flotación), de uso industrial en el procesamiento de minerales. De donde obtenido las leyes de los análisis químicos realizados, se procede a su corrección respectiva.

La corrección involucra, todo un proceso, desde su diagrama de flujo, sus leyes; de donde se calcularan los flujos normalizados, los errores y los multiplicadores de Lagrange (optimizaron de errores), para llegar finalmente a conseguir lo deseado.

Al llegar a sintetizar el Método General mediante una función, esto facilita su utilidad y además se verificara su uso tan importante en el desarrollo y solución de ejemplos reales.

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INDICE

INTRODUCCIÓN 1

CAPITULO I: CORRECIÓN POR MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 2 CAPITULO II: CORRECIÓN DE ANÁLISIS QUÍMICO EN UNA SERIE DE

NODOS ENLAZANTES - METODO GENERAL. 5

2.0. BALANCE DE MASA 5

2.0.1. NOTACIÓN EN EL ESQUEMA DEL CIRCUITO 6

2. 0.2 NOTACIÓN DEL ANÁLISIS QUÍMICO A CORREGIR 7

2. 0.3. ANÁLISIS QUÍMICO 8

2. 0.4. LEYES 8

2.1. HALLANDO LOS FLUJOS NORMALIZADOS 9

2. 1.1. ECUACIONES DE BALANCE DE MASA 9

2.1.2. ECUACIONES DE FLUJO 9

2.1.3. ECUACIONES DE LEYES 10

2.1.4. ECUACIONES NORMALIZADAS 11

2. 1.4.1. NORMALIZANDO LOS FLUJOS 12

2. 1.4.2. NORMALIZANDO LAS LEYES 13

2. 1.5. ERRORES DEBIDO A LOS FLUJOS NORMALIZADOS 14 2. 1.6. ERRORES DEBIDO A LOS FLUJOS NORMALIZADOS (EN

TERMINOS INDEPENDIENTES) 15

2. 1.7. ECUACIONES DE ERRORES Y SU CAMBIO DE VARIABLE 16

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2.2.1. CÁLCULO DE DOS FLUJOS NORMALIZADOS:

Ø₁, Ø₃; MEDIANTE LA ECUACIÓN LINEAL. 21

2.2.2. CÁLCULO DE LOS TRES FLUJOS NORMALIZADOS:

Ø₁, Ø₃, Ø₅; MEDIANTE LA ECUACIÓN LINEAL. 23 2.2.3. CÁLCULO DE LOS “n” FLUJOS NORMALIZADOS:

Ø₁, Ø₃, Ø₅, … , Ø_{2𝑛𝑛−1}; MEDIANTE LA ECUACIÓN LINEAL. 24 2.3. DEDUCCIÓN DE LOS “n” FLUJOS NORMALIZADOS MEDIANTE LA

ECUACIÓN LINEAL MATRICIALMENTE 26

2.4. HALLANDO LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 41

2.4.1. CÁLCULO DE LOS ERRORES 41

2.4.2. CORRECCIÓN DE LEYES 41

2.4.3. ERRORES EN FUNCIÓN DE LAS CORRECCIONES 44

2.4.4. FUNCIÓN LAGRANGIANA 45

2.4.4.1. FUNCIÓN OBJETIVO 46

2.4.4.2. DERIVACIÓN RESPECTO A LOS

MULTIPLICADORES DE LAGRANGE 46

2.4.4.3. DERIVACIÓN RESPECTO A LAS CORRECCIONES 47 2.4.4.4. CÁLCULO DE LOS MULTIPLICADORES DE

LAGRANGE 49

2.4.5. CÁLCULO DE LAS CORRECCIONES 53

2.4.6. CORRECCIÓN DE LAS LEYES 53

(6)

CONCLUSIONES 65

BIBLIOGRAFIA. 68

ANEXOS 69

• ANEXO 1 70

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INTRODUCCIÓN

Al conseguir los análisis químicos (Leyes), extraídos por muestreo (representativo) de los flujos en las celdas de flotación. Lo que se obtiene son datos operativos que normalmente fluctúan. Es decir en planta de procesamiento de minerales, el proceso no se puede mantener sin variación durante mucho tiempo. Entonces cuando los análisis químicos exageradamente escapan de las variaciones habituales, es cuando se verificará la eficiencia del equipo(s).

Al muestrear y también al realizar el análisis químico donde es inevitable el manipuleo, es muy probable obtener errores en la operación. Debido a ello suele suceder que los datos registrados pueden no ser consistentes.

Entonces si al tratar de corregir es indispensable llegar a obtener correcciones lo más mínimo; esto es desviarse lo menos posible de los datos muestreados. Aún así no se conseguirá lo que realmente ocurra en el proceso, pero será matemáticamente consistente, aproximándose a lo real (Método de Multiplicadores de Langrange.)

El presente trabajo trata de dar continuidad al tema: “Correción de Análisis Granulométrico y Químico por Multiplicadores de Langrange” realizado por Kobashicawa Chinen J. Antonio - 2003; del cual se captaron los pasos secuenciales entre otros aspectos, para dar inicio al manuscrito en mención.

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CAPITULO I

CORRECCIÓN POR MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

A continuación se presenta una serie de pasos secuenciales con el fin de captar correctamente la corrección, utilizando los Multiplicadores de Lagrange.

1. OBTENCIÓN DE LOS FLUJOS NORMALIZADOS

1.1 Con los datos registrados a corregir (Análisis Químico – Leyes)

1.2 Constituir las ecuaciones de Balance de Masa (Ecuaciones de Flujo, Ecuaciones de Leyes)

1.3 Normalizar las ecuaciones anteriores (Dividiendo por el flujo “A”) 1.4 Constituir las ecuaciones de error con los flujos normalizados (∆𝑄𝑄). 1.5 Identificar la función ƒ(Ø_𝑖𝑖) quien representa a los flujos normalizados.

ƒ(Ø𝑖𝑖) = � ��∆𝑄𝑄𝑖𝑖�2� + � ��∆𝑄𝑄(𝑖𝑖)_𝑁𝑁�2 𝑛𝑛−1 𝑁𝑁=1 � 𝑀𝑀 𝑖𝑖=1 𝑀𝑀 𝑖𝑖=1

1.6 Derivar parcialmente la función ƒ(Ø_𝑖𝑖) por cada flujo normalizado e igualar a cero. Obteniéndose flujos normalizados corregidos y haciendo a la función, tomar un valor mínimo. (Inicio del hallazgo de todos los flujos normalizados).

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2. OBTENCIÓN DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

2.1 Calcular los errores ∆𝑀𝑀 debido a los flujos normalizados corregidos. Reemplazar los flujos normalizados corregidos hallados en el paso anterior.

∆𝑀𝑀 = 𝐿𝐿𝐴𝐴− (𝐿𝐿1. Ø1+ 𝐿𝐿2. Ø2)

∆𝑀𝑀1 = 𝐿𝐿1. Ø1 − (𝐿𝐿3. Ø3+ 𝐿𝐿4. Ø4)

∆𝑀𝑀2 = 𝐿𝐿2. Ø2− (𝐿𝐿5. Ø5+ 𝐿𝐿6. Ø6) . . .

2.2 Definir las correcciones:

Correcciones = Datos – Datos Corregidos. ∆𝐿𝐿𝐴𝐴 = 𝐿𝐿𝐴𝐴 − 𝐿𝐿𝐴𝐴𝐶𝐶

∆𝐿𝐿1 = 𝐿𝐿1 − 𝐿𝐿1𝐶𝐶

∆𝐿𝐿2 = 𝐿𝐿2 − 𝐿𝐿2𝐶𝐶 .

. .

2.3 Reemplazar las ecuaciones del paso 2.2 en ∆𝑀𝑀(ecuaciones dadas en el paso 2.1). Obteniéndose las ecuaciones de errores (∆𝑀𝑀) en función de las correcciones. ∆𝑀𝑀 = ∆𝐿𝐿𝐴𝐴 − (∆𝐿𝐿1. Ø1+ ∆𝐿𝐿2. Ø2) ∆𝑀𝑀1 = ∆𝐿𝐿1. Ø1 − (∆𝐿𝐿3. Ø3+ ∆𝐿𝐿4. Ø4) ∆𝑀𝑀2 = ∆𝐿𝐿2. Ø2− (∆𝐿𝐿5. Ø5+ ∆𝐿𝐿6. Ø6). . .

(10)

2.4 Definir la función Lagrangiana 𝐿𝐿 (𝑥𝑥, 𝜆𝜆) 𝐿𝐿(𝑥𝑥, 𝜆𝜆) = ƒ(𝑥𝑥) − ∑[𝜆𝜆𝑖𝑖].𝑔𝑔𝑖𝑖(𝑥𝑥)

ƒ(𝑥𝑥) : Función Objetivo

𝜆𝜆𝑖𝑖 : Multiplicadores de Lagrange.

𝑔𝑔𝑖𝑖(𝑥𝑥) : Funciones Restrictas.

2.5 Derivar parcialmente la función Lagrangiana respecto a los Multiplicadores de Lagrange y las correcciones e igualar a cero. Estas correcciones harán que la función objetivo tome un valor mínimo sujeto a las ecuaciones restrictas. 2.6 De las relaciones del paso anterior obtener una ecuación que permita hallar los

Multiplicadores de Lagrange en función de los errores ∆𝑀𝑀. (Se halla los multiplicadores de Lagrange).

3. OBTENCIÓN DE LAS CORRECCIONES

3.1 Reemplazar los multiplicadores de Lagrange en las relaciones determinadas en el paso 2.5 para obtener las correcciones.

3.2 Corregir los análisis químicos por las siguientes relaciones (paso 8) Datos corregidos = Datos – Correcciones

𝐿𝐿𝐴𝐴𝐶𝐶 = 𝐿𝐿𝐴𝐴 − ∆𝐿𝐿𝐴𝐴

𝐿𝐿1𝐶𝐶 = 𝐿𝐿1− ∆𝐿𝐿1

𝐿𝐿2_𝐶𝐶 = 𝐿𝐿2− ∆𝐿𝐿2

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CAPITULO II

CORRECCION DE ENSAYES QUÍMICO EN UNA SERIE DE NODOS ENLAZANTES

2.0 BALANCE DE MASA

En la Fig. 2.1 se muestra lo siguiente:

El alimento “A” como entrada principal, quien genera dos salidas y cada una de éstas a su vez a dos más; y así sucesivamente. Hasta constituir una secuencia de flujos en sus respectivos nodos y de ese modo generar “2n” flujos primarios más uno principal.

En todo nodo se considera que a cada flujo de ingreso, le corresponde dos salidas. Además todos los flujos a excepción al principal ‘A’, acceden a una salida y una entrada .

En general todos los flujos tienen su respectivo análisis químico, mostrado en el Cuadro 2.1

(12)

Fig. 2.1 Esquema del Circuito. 2.0.1 Notación en el Esquema del Circuito:

• Flujos

A: Representa al primer Flujo Principal (alimento) {𝐹𝐹1, 𝐹𝐹2, 𝐹𝐹3, … , 𝐹𝐹2𝑛𝑛}: Representa a los flujos secundarios.

• Orden

2n: Representa a un orden par n : Representa a un orden impar • Nodos

2𝑛𝑛 (3) _{………….}

_𝐿𝐿

2𝑛𝑛 (𝑀𝑀)

Cuadro 2.2: Análisis Químico a corregir.

2.0.2 Notación del Análisis Químico a Corregir

Cada análisis químico muestreado en los flujos, arroja los siguientes datos: 𝐿𝐿(𝑖𝑖)_𝑢𝑢 : Representa las leyes de los flujos.

donde:

i = {1, 2, 3, 4, …, M}: Representa a las leyes. u = {A,𝐹𝐹_{1 ,}𝐹𝐹_{2 ,}𝐹𝐹_{3 , …} 𝐹𝐹_2𝑛𝑛}: Representa a los flujos.

además:

(14)

2.0.3 Análisis químico:

{𝐿𝐿_𝐴𝐴(1), 𝐿𝐿_𝐴𝐴(2),𝐿𝐿_𝐴𝐴(3), … 𝐿𝐿_𝐴𝐴(𝑀𝑀)}: Representa el primer Análisis Químico, del flujo A {𝐿𝐿₁(1), 𝐿𝐿₁(2),𝐿𝐿₁(3), … 𝐿𝐿₁(𝑀𝑀) }: Representa el primer Análisis Químico del flujo

secundario. .

. .

{𝐿𝐿(1)_2𝑁𝑁, 𝐿𝐿_2𝑁𝑁(2), 𝐿𝐿_2𝑁𝑁(3), … 𝐿𝐿_2𝑁𝑁(𝑀𝑀) }: Representa el último Análisis Químico del flujo secundario.

Los análisis químico se toman en cada flujo ; es decir (2n +1) veces .

2.0.4 Leyes:

{ 𝐿𝐿_𝐴𝐴(1), 𝐿𝐿₁(1), 𝐿𝐿(1)₂ ,… 𝐿𝐿_2𝑁𝑁(1) }: Representa la ley, “i:1” ante todos los flujos.

{𝐿𝐿_𝐴𝐴(2), 𝐿𝐿₁(2),𝐿𝐿(2)₂ , … 𝐿𝐿_2𝑁𝑁(2)}: Representa la ley, “i:2” ante todos los flujos. .

. .

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2.1 HALLANDO LOS FLUJOS NORMALIZADOS

2.1.1 Ecuaciones de Balance de Masa

Primero: Se obtiene los datos a corregir (Análisis Químicos – Leyes).

En el informe los datos provienen de los Análisis Químico, en los flujos entrada y salidas de su respectivo nodo. Sin embargo después del primer nodo, los flujos de salida serán de entrada al subsiguiente y así hasta conformar el circuito .

Segundo: Se establecen las ecuaciones de Balance de Masa (Ecuaciones de Flujo, Análisis Químico – Leyes)

2.1.2 Ecuaciones de Flujos 𝐴𝐴 = 𝐹𝐹1 + 𝐹𝐹2 ……… 𝐹𝐹1 = 𝐹𝐹3+ 𝐹𝐹4 ……… 𝐹𝐹2 = 𝐹𝐹5+ 𝐹𝐹6 ……… 𝐹𝐹3 = 𝐹𝐹7+ 𝐹𝐹8 ……… . . . 𝐹𝐹𝑛𝑛−7 2 = 𝐹𝐹𝑛𝑛−6+ 𝐹𝐹𝑛𝑛−5 𝐹𝐹𝑛𝑛−5 2 = 𝐹𝐹𝑛𝑛−4+ 𝐹𝐹𝑛𝑛−3 𝐹𝐹𝑛𝑛−3 2 = 𝐹𝐹𝑛𝑛−2+ 𝐹𝐹𝑛𝑛−1 𝐹𝐹𝑛𝑛−1 2 = 𝐹𝐹𝑛𝑛+ 𝐹𝐹𝑛𝑛+1 (0.1) (0.2) (0.3) (0.4) . . . . . . . . . .

(16)

𝐹𝐹𝑛𝑛+1 2 = 𝐹𝐹𝑛𝑛+2+ 𝐹𝐹𝑛𝑛+3 . . . 𝐹𝐹𝑛𝑛−3 = 𝐹𝐹2𝑛𝑛−5 + 𝐹𝐹2𝑛𝑛−4 ………... 𝐹𝐹𝑛𝑛−2 = 𝐹𝐹2𝑛𝑛−3 + 𝐹𝐹2𝑛𝑛−2 ………... 𝐹𝐹𝑛𝑛−1 = 𝐹𝐹2𝑛𝑛−1 + 𝐹𝐹2𝑛𝑛 ……… . . . . . . (0.(n-2)) (0.(n-1)) (0.n) 𝐴𝐴 = 𝐹𝐹𝑛𝑛 + 𝐹𝐹𝑛𝑛+1+ 𝐹𝐹𝑛𝑛+2+ … … … + 𝐹𝐹2𝑛𝑛−1+ 𝐹𝐹2𝑛𝑛

 Fn, en la ecuación de flujo ocupa un orden impar.

 F2n, en la ecuación de flujo ocupa un orden par.

 Las ecuaciones: (0.2) al (0.n), se rigen mediante la siguiente relación: 𝑭𝑭𝒂𝒂 = 𝑭𝑭𝟐𝟐𝒂𝒂+𝟏𝟏+ 𝑭𝑭𝟐𝟐𝒂𝒂+𝟐𝟐 ………. (a) 2.1.3 Ecuaciones de Leyes 𝐿𝐿𝐴𝐴. 𝐴𝐴 = 𝐿𝐿1. 𝐹𝐹1+ 𝐿𝐿2. 𝐹𝐹2 ……… 𝐿𝐿1. 𝐹𝐹1 = 𝐿𝐿3. 𝐹𝐹3+ 𝐿𝐿4. 𝐹𝐹4 ……… 𝐿𝐿2. 𝐹𝐹2 = 𝐿𝐿5. 𝐹𝐹5+ 𝐿𝐿6. 𝐹𝐹6 ……… 𝐿𝐿3. 𝐹𝐹3 = 𝐿𝐿7. 𝐹𝐹7+ 𝐿𝐿8. 𝐹𝐹8 ……… . . . 𝐿𝐿𝑛𝑛−7 2 .𝐹𝐹𝑛𝑛−72 = 𝐿𝐿𝑛𝑛−6. 𝐹𝐹𝑛𝑛−6+ 𝐿𝐿𝑛𝑛−5. 𝐹𝐹𝑛𝑛−5 (1.1) (1.2) (1.3) (1.4) . . . . .

(17)

𝐿𝐿𝑛𝑛−5 2 . 𝐹𝐹𝑛𝑛−52 = 𝐿𝐿𝑛𝑛−4. 𝐹𝐹𝑛𝑛−4+ 𝐿𝐿𝑛𝑛−3. 𝐹𝐹𝑛𝑛−3 𝐿𝐿𝑛𝑛−3 2 . 𝐹𝐹𝑛𝑛−32 = 𝐿𝐿𝑛𝑛−2. 𝐹𝐹𝑛𝑛−2+ 𝐿𝐿𝑛𝑛−1. 𝐹𝐹𝑛𝑛−1 𝐿𝐿𝑛𝑛−1 2 . 𝐹𝐹𝑛𝑛−12 = 𝐿𝐿𝑛𝑛. 𝐹𝐹𝑛𝑛+ 𝐿𝐿𝑛𝑛+1. 𝐹𝐹𝑛𝑛+1 𝐿𝐿𝑛𝑛+1 2 . 𝐹𝐹𝑛𝑛+12 = 𝐿𝐿𝑛𝑛+2. 𝐹𝐹𝑛𝑛+2+ 𝐿𝐿𝑛𝑛+3. 𝐹𝐹𝑛𝑛+3 . . . 𝐿𝐿𝑛𝑛−3. 𝐹𝐹𝑛𝑛−3 = 𝐿𝐿2𝑛𝑛−5. 𝐹𝐹2𝑛𝑛−5+ 𝐿𝐿2𝑛𝑛−4. 𝐹𝐹2𝑛𝑛−4 ……… 𝐿𝐿𝑛𝑛−2. 𝐹𝐹𝑛𝑛−2 = 𝐿𝐿2𝑛𝑛−3. 𝐹𝐹2𝑛𝑛−3+ 𝐿𝐿2𝑛𝑛−2. 𝐹𝐹2𝑛𝑛−2 ……… 𝐿𝐿𝑛𝑛−1. 𝐹𝐹𝑛𝑛−1 = 𝐿𝐿2𝑛𝑛−1. 𝐹𝐹2𝑛𝑛−1+ 𝐿𝐿2𝑛𝑛. 𝐹𝐹2𝑛𝑛 ……… . . . . . . . . . . . . . (1.(n-2)) (1.(n-1)) (1.n) 𝐿𝐿𝐴𝐴. 𝐴𝐴 = 𝐿𝐿𝑛𝑛. 𝐹𝐹𝑛𝑛 + 𝐿𝐿𝑛𝑛+1. 𝐹𝐹𝑛𝑛+1+ 𝐿𝐿𝑛𝑛+2. 𝐹𝐹𝑛𝑛+2+ … … + 𝐿𝐿2𝑛𝑛−1. 𝐹𝐹2𝑛𝑛−1+ 𝐿𝐿2𝑛𝑛. 𝐹𝐹2𝑛𝑛

 Las ecuaciones: (1.2), al (1.n), se rigen mediante la siguiente relación: 𝑳𝑳𝒃𝒃. 𝑭𝑭𝒃𝒃 = 𝑳𝑳𝟐𝟐𝒃𝒃+𝟏𝟏. 𝑭𝑭𝟐𝟐𝒃𝒃+𝟏𝟏 + 𝑳𝑳𝟐𝟐𝒃𝒃+𝟐𝟐. 𝑭𝑭𝟐𝟐𝒃𝒃+𝟐𝟐 ……… (b.1)

2.1.4 Ecuaciones Normalizadas

Se obtienen al dividir las ecuaciones: (0.1), (0.2), (0.3), …, (0.n) y (1,1), (1.2), (1.3), …, 1,n) con respecto al flujo A.

(18)

2.1.4.1 Normalizando los ‘flujos’ en las ecuaciones: (0.1), (0.2), (0.3), …, (0.n). 1 = Ø1+ Ø2 ……… Ø1 = Ø3+ Ø4 ……….. Ø2 = Ø5+ Ø6 ……….. Ø3 = Ø7+ Ø8 ……….. . . . Ø𝑛𝑛−7 2 = Ø𝑛𝑛−6+ Ø𝑛𝑛−5 Ø𝑛𝑛−5 2 = Ø𝑛𝑛−4+ Ø𝑛𝑛−3 Ø𝑛𝑛−3 2 = Ø𝑛𝑛−2+ Ø𝑛𝑛−1 Ø𝑛𝑛−1 2 = Ø𝑛𝑛 + Ø𝑛𝑛+1 Ø𝑛𝑛+1 2 = Ø𝑛𝑛+2+ Ø𝑛𝑛+3 . . . Ø𝑛𝑛−3 = Ø2𝑛𝑛−5 + Ø2𝑛𝑛−4 ……… Ø𝑛𝑛−2 = Ø2𝑛𝑛−3 + Ø2𝑛𝑛−2 ……… Ø𝑛𝑛−1 = Ø2𝑛𝑛−1 + Ø2𝑛𝑛 ……… (2.1) (2.2) (2.3) (2.4) . . . . . . . . . . . . . . . (2.(n-2)) (2.(n-1)) (2.n) 1 = Ø𝑛𝑛 + Ø𝑛𝑛+1+ Ø𝑛𝑛+2+ … … … + Ø2𝑛𝑛−1+ Ø2𝑛𝑛

 Las ecuaciones: (2.2) al (2.n), se rigen a la siguiente relación : Øi = Ø2i+1 + Ø2i+2 ……….. (b2)

(19)

2.1.4.2 Normalizando las “leyes” en las ecuaciones: (1.1), (1.2), (1.3), …, (1.n) . 𝐿𝐿𝐴𝐴 = 𝐿𝐿1. Ø1+ 𝐿𝐿2. Ø2 ……….. 𝐿𝐿1. Ø1 = 𝐿𝐿3. Ø3+ 𝐿𝐿4. Ø4 ……… 𝐿𝐿2. Ø2 = 𝐿𝐿5. Ø5+ 𝐿𝐿6. Ø6 ……… 𝐿𝐿3. Ø3 = 𝐿𝐿7. Ø7+ 𝐿𝐿8. Ø8 ……… . . . 𝐿𝐿𝑛𝑛−7 2 .Ø𝑛𝑛−72 = 𝐿𝐿𝑛𝑛−6. Ø𝑛𝑛−6+ 𝐿𝐿𝑛𝑛−5. Ø𝑛𝑛−5 ………. 𝐿𝐿𝑛𝑛−5 2 .Ø𝑛𝑛−52 = 𝐿𝐿𝑛𝑛−4. Ø𝑛𝑛−4+ 𝐿𝐿𝑛𝑛−3. Ø𝑛𝑛−3 ………. 𝐿𝐿𝑛𝑛−3 2 .Ø𝑛𝑛−32 = 𝐿𝐿𝑛𝑛−2. Ø𝑛𝑛−2+ 𝐿𝐿𝑛𝑛−1. Ø𝑛𝑛−1 ………. 𝐿𝐿𝑛𝑛−1 2 .Ø𝑛𝑛−12 = 𝐿𝐿𝑛𝑛. Ø𝑛𝑛+ 𝐿𝐿𝑛𝑛+1. Ø𝑛𝑛+1 ………. 𝐿𝐿𝑛𝑛+1 2 .Ø𝑛𝑛+12 = 𝐿𝐿𝑛𝑛+2. Ø𝑛𝑛+2+ 𝐿𝐿𝑛𝑛+3. Ø𝑛𝑛+3 ………. . . . 𝐿𝐿𝑛𝑛−3. Ø𝑛𝑛−3= 𝐿𝐿2𝑛𝑛−5. Ø2𝑛𝑛−5+ 𝐿𝐿2𝑛𝑛−4. Ø2𝑛𝑛−4 ……… 𝐿𝐿𝑛𝑛−2. Ø𝑛𝑛−2= 𝐿𝐿2𝑛𝑛−3. Ø2𝑛𝑛−3+ 𝐿𝐿2𝑛𝑛−2. Ø2𝑛𝑛−2 ……… 𝐿𝐿𝑛𝑛−1. Ø𝑛𝑛−1= 𝐿𝐿2𝑛𝑛−1. Ø2𝑛𝑛−1+ 𝐿𝐿2𝑛𝑛. Ø2𝑛𝑛 ……… (3.1) (3.2) (3.3) (3.4) . . . . . . . . . . . . (3.(n-2)) (3.(n-1)) (3.n) 𝐿𝐿𝐴𝐴 = 𝐿𝐿𝑛𝑛. Ø𝑛𝑛+ 𝐿𝐿𝑛𝑛+1. Ø𝑛𝑛+1+ 𝐿𝐿𝑛𝑛+2. Ø𝑛𝑛+2+ … + 𝐿𝐿2𝑛𝑛−1. Ø2𝑛𝑛−1+ 𝐿𝐿2𝑛𝑛. Ø2𝑛𝑛

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2.1.5 Errores debido a Flujos Normalizados

Considerando a las ecuaciones (3.1), (3.2), (3.3),…(3.n)

∆𝑄𝑄 = 𝐿𝐿𝐴𝐴− (𝐿𝐿1. Ø1+ 𝐿𝐿2. Ø2) ……….. ∆𝑄𝑄1 = 𝐿𝐿1. Ø1− (𝐿𝐿3. Ø3+ 𝐿𝐿4. Ø4) ………... ∆𝑄𝑄2 = 𝐿𝐿2. Ø2− (𝐿𝐿5. Ø5+ 𝐿𝐿6. Ø6) ……….. ∆𝑄𝑄3 = 𝐿𝐿3. Ø3− (𝐿𝐿7. Ø7+ 𝐿𝐿8. Ø8) ……….. . . . . ∆𝑄𝑄𝑛𝑛−7 2 = 𝐿𝐿𝑛𝑛−72 . Ø𝑛𝑛−72 − (𝐿𝐿𝑛𝑛−6. Ø𝑛𝑛−6+ 𝐿𝐿𝑛𝑛−5. Ø𝑛𝑛−5) ∆𝑄𝑄𝑛𝑛−5 2 = 𝐿𝐿𝑛𝑛−52 . Ø𝑛𝑛−52 − (𝐿𝐿𝑛𝑛−4. Ø𝑛𝑛−4+ 𝐿𝐿𝑛𝑛−3. Ø𝑛𝑛−3) ∆𝑄𝑄𝑛𝑛−3 2 = 𝐿𝐿𝑛𝑛−32 . Ø𝑛𝑛−32 − (𝐿𝐿𝑛𝑛−2. Ø𝑛𝑛−2+ 𝐿𝐿𝑛𝑛−1. Ø𝑛𝑛−1) ∆𝑄𝑄𝑛𝑛−1 2 = 𝐿𝐿𝑛𝑛−12 . Ø𝑛𝑛−12 − (𝐿𝐿𝑛𝑛. Ø𝑛𝑛+ 𝐿𝐿𝑛𝑛+1. Ø𝑛𝑛+1) ∆𝑄𝑄𝑛𝑛+1 2 = 𝐿𝐿𝑛𝑛+12 . Ø𝑛𝑛+12 − (𝐿𝐿𝑛𝑛+2. Ø𝑛𝑛+2+ 𝐿𝐿𝑛𝑛+3. Ø𝑛𝑛+3) . . . . ∆𝑄𝑄𝑛𝑛−3 = 𝐿𝐿𝑛𝑛−3. Ø𝑛𝑛−3− (𝐿𝐿2𝑛𝑛−5. Ø2𝑛𝑛−5+ 𝐿𝐿2𝑛𝑛−4. Ø2𝑛𝑛−4) ………… ∆𝑄𝑄𝑛𝑛−2 = 𝐿𝐿𝑛𝑛−2. Ø𝑛𝑛−2− (𝐿𝐿2𝑛𝑛−3. Ø2𝑛𝑛−3+ 𝐿𝐿2𝑛𝑛−2. Ø2𝑛𝑛−2) ………… ∆𝑄𝑄𝑛𝑛−1 = 𝐿𝐿𝑛𝑛−1. Ø𝑛𝑛−1− (𝐿𝐿2𝑛𝑛−1. Ø2𝑛𝑛−1+ 𝐿𝐿2𝑛𝑛. Ø2𝑛𝑛) ……… (4.1) (4.2) (4.3) (4.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4.(n-2)) (4.(n-1)) (4.n)

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 Las ecuaciones: (4.2),(4.3),…,(4.(n)), se rigen a la siguiente relación:

∆𝑄𝑄𝑐𝑐 = 𝐿𝐿𝑐𝑐. Ø𝑐𝑐− (𝐿𝐿2𝑐𝑐+1. Ø2𝑐𝑐+1+ 𝐿𝐿2𝑐𝑐+2. Ø2𝑐𝑐+2) ……… (c)

2.1.6 Errores debido a los Flujos Normalizados, en términos independientes.

A continuación establecer las ecuaciones anteriores en términos independientes (de orden impar): Ø_𝑖𝑖 = Ø₁, Ø₃, Ø₅, … Ø_{2𝑛𝑛−1}; usando las ecuaciones del (2.1) al (2.n), respectivamente. ∆𝑄𝑄 = (𝐿𝐿𝐴𝐴− 𝐿𝐿2) − (𝐿𝐿1− 𝐿𝐿2). Ø1 ………. ∆𝑄𝑄1 = (𝐿𝐿1− 𝐿𝐿4). Ø1− (𝐿𝐿3− 𝐿𝐿4). Ø3 ……….. ∆𝑄𝑄2 = (𝐿𝐿2− 𝐿𝐿6) − (𝐿𝐿2− 𝐿𝐿6). Ø1− (𝐿𝐿5− 𝐿𝐿6). Ø5 ……… ∆𝑄𝑄3 = (𝐿𝐿3− 𝐿𝐿8). Ø3− (𝐿𝐿7− 𝐿𝐿8). Ø7 ………. . . . ∆𝑄𝑄𝑛𝑛−7 2 = �𝐿𝐿𝑛𝑛−72 − 𝐿𝐿𝑛𝑛−5� . Ø𝑛𝑛−72 − (𝐿𝐿𝑛𝑛−6− 𝐿𝐿𝑛𝑛−5). Ø𝑛𝑛−6 ∆𝑄𝑄𝑛𝑛−5 2 = �𝐿𝐿𝑛𝑛−52 − 𝐿𝐿𝑛𝑛−3� . Ø𝑛𝑛−52 − (𝐿𝐿𝑛𝑛−4− 𝐿𝐿𝑛𝑛−3). Ø𝑛𝑛−4 ∆𝑄𝑄𝑛𝑛−3 2 = �𝐿𝐿𝑛𝑛−32 − 𝐿𝐿𝑛𝑛−1� . Ø𝑛𝑛−32 − (𝐿𝐿𝑛𝑛−2− 𝐿𝐿𝑛𝑛−1). Ø𝑛𝑛−2 ∆𝑄𝑄𝑛𝑛−1 2 = �𝐿𝐿𝑛𝑛−12 − 𝐿𝐿𝑛𝑛+1� . Ø𝑛𝑛−12 − (𝐿𝐿𝑛𝑛− 𝐿𝐿𝑛𝑛+1). Ø𝑛𝑛 ∆𝑄𝑄𝑛𝑛+1 2 = �𝐿𝐿𝑛𝑛+12 − 𝐿𝐿𝑛𝑛+3� . Ø𝑛𝑛+12 − (𝐿𝐿𝑛𝑛+2− 𝐿𝐿𝑛𝑛+3). Ø𝑛𝑛+2 . (5.1) (5.2) (5.3) (5.4) . . . . . . . . . . .

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. . ∆𝑄𝑄𝑛𝑛−3= (𝐿𝐿𝑛𝑛−3− 𝐿𝐿2𝑛𝑛−4).Ø𝑛𝑛−5 2 − (𝐿𝐿𝑛𝑛−3− 𝐿𝐿2𝑛𝑛−4).Ø𝑛𝑛−4− (𝐿𝐿2𝑛𝑛−5− 𝐿𝐿2𝑛𝑛−4).Ø2𝑛𝑛−5 ……… ∆𝑄𝑄𝑛𝑛−2= (𝐿𝐿𝑛𝑛−2− 𝐿𝐿2𝑛𝑛−2).Ø𝑛𝑛−2− (𝐿𝐿2𝑛𝑛−3− 𝐿𝐿2𝑛𝑛−2).Ø2𝑛𝑛−3 ………... ∆𝑄𝑄𝑛𝑛−1= (𝐿𝐿𝑛𝑛−1− 𝐿𝐿2𝑛𝑛).Ø𝑛𝑛−3 2 − (𝐿𝐿𝑛𝑛−1− 𝐿𝐿2𝑛𝑛).Ø𝑛𝑛−2− (𝐿𝐿2𝑛𝑛−1− 𝐿𝐿2𝑛𝑛). Ø2𝑛𝑛−1 ……….. . . . 5.(n-2) 5.(n-1) (5.n)

2.1.7 Ecuaciones de errores y su cambio de variable

Haciendo el cambio de variables en las ecuaciones anteriores: (5.1) al (5.n)

donde: 𝐿𝐿_𝐴𝐴 − 𝐿𝐿₂ = 𝛺𝛺_𝐴𝐴,2 𝐿𝐿1− 𝐿𝐿2 = 𝛺𝛺1,2 𝐿𝐿1− 𝐿𝐿4 = 𝛺𝛺1,4 . . . luego obtenemos : ∆𝑄𝑄 = 𝛺𝛺𝐴𝐴,2− 𝛺𝛺1,2. Ø1 ……… ∆𝑄𝑄1 = 𝛺𝛺1,4. Ø1− 𝛺𝛺3,4. Ø3 ……… ∆𝑄𝑄2 = 𝛺𝛺2,6− 𝛺𝛺2,6. Ø1− 𝛺𝛺5,6. Ø5 ……… ∆𝑄𝑄3 = 𝛺𝛺3,8. Ø3− 𝛺𝛺7,8. Ø7 ……… ∆𝑄𝑄4 = 𝛺𝛺4,10. Ø1− 𝛺𝛺4,10. Ø3− 𝛺𝛺9,10. Ø9 ………. . . . ∆𝑄𝑄𝑛𝑛−7 2 = 𝛺𝛺𝑛𝑛−72 ,𝑛𝑛−5. Ø𝑛𝑛−72 − 𝛺𝛺𝑛𝑛−6,𝑛𝑛−5. Ø𝑛𝑛−6 ∆𝑄𝑄𝑛𝑛−5 2 = 𝛺𝛺𝑛𝑛−52 ,𝑛𝑛−3. Ø𝑛𝑛−52 − 𝛺𝛺𝑛𝑛−4,𝑛𝑛−3. Ø𝑛𝑛−4 (6.1) (6.2) (6.3) (6.4) (6.5) . . . . .

(23)

∆𝑄𝑄𝑛𝑛−3 2 = 𝛺𝛺𝑛𝑛−32 ,𝑛𝑛−1. Ø𝑛𝑛−32 − 𝛺𝛺𝑛𝑛−2,𝑛𝑛−1. Ø𝑛𝑛−2 ∆𝑄𝑄𝑛𝑛−1 2 = 𝛺𝛺𝑛𝑛−12 ,𝑛𝑛+1. Ø𝑛𝑛−12 − 𝛺𝛺𝑛𝑛,𝑛𝑛+1. Ø𝑛𝑛 ∆𝑄𝑄𝑛𝑛+1 2 = 𝛺𝛺𝑛𝑛+12 ,𝑛𝑛+3. Ø𝑛𝑛+12 − 𝛺𝛺𝑛𝑛+2,𝑛𝑛+3. Ø𝑛𝑛+2 . . . ∆𝑄𝑄𝑛𝑛−3 = 𝛺𝛺𝑛𝑛−3,2𝑛𝑛−4. Ø𝑛𝑛−5 2 − 𝛺𝛺𝑛𝑛−3,2𝑛𝑛−4. Ø𝑛𝑛−4− 𝛺𝛺2𝑛𝑛−5,2𝑛𝑛−4. Ø2𝑛𝑛−5 …… ∆𝑄𝑄𝑛𝑛−2 = 𝛺𝛺𝑛𝑛−2,2𝑛𝑛−2. Ø𝑛𝑛−2− 𝛺𝛺2𝑛𝑛−3,2𝑛𝑛−2. Ø2𝑛𝑛−3 ……… ∆𝑄𝑄𝑛𝑛−1 = 𝛺𝛺𝑛𝑛−1,2𝑛𝑛. Ø𝑛𝑛−3 2 − 𝛺𝛺𝑛𝑛−1,2𝑛𝑛. Ø𝑛𝑛−2− 𝛺𝛺2𝑛𝑛−1,2𝑛𝑛. Ø2𝑛𝑛−1 …………. . . . . . . . . . . 6.(n-2) 6.(n-1) (6.n)

Las ecuaciones del (6.1) al (6.n), se requiere tener el Ø_𝑖𝑖 con el sub ìndice de orden impar.

Pero los Ø_𝑖𝑖 con subíndice fraccionario �Ø𝑛𝑛−11

2 ,Ø𝑛𝑛−92 ,… � son impredecibles, es

decir pueden ser de orden par o impar.

 Las ecuaciones: (6.2), al (6.n), se rigen a la siguiente relación: ∆𝑸𝑸𝑵𝑵= 𝜴𝜴𝑵𝑵,𝟐𝟐𝑵𝑵+𝟐𝟐. Ø𝑵𝑵− 𝜴𝜴𝟐𝟐𝑵𝑵+𝟏𝟏,𝟐𝟐𝑵𝑵+𝟐𝟐. Ø𝟐𝟐𝑵𝑵+𝟏𝟏 ……… (d)

(24)

2.1.8 Cálculo de los flujos normalizados.

Según las ecuaciones del (2.1) al (2.n) contamos con:

{Ø1, Ø2, Ø3, … , Ø2𝑛𝑛} ; “2n” flujos normalizados. De los cuales calcularemos

inicialmente:

{Ø𝑖𝑖 = Ø1, Ø3, Ø5, … Ø2𝑛𝑛−1} ;“n” flujos de orden impar, con las “n”

ecuaciones del (6.1) al ( 6.n ) respectivamente. Sintetizando estas últimas ecuaciones resulta:

∆𝑸𝑸 = 𝜴𝜴𝑨𝑨,𝟐𝟐− 𝜴𝜴𝟏𝟏,𝟐𝟐. Ø𝟏𝟏……… (e1) � ∆𝑸𝑸𝑵𝑵= ��𝜴𝜴𝑵𝑵,𝟐𝟐𝑵𝑵+𝟐𝟐. Ø𝑵𝑵− 𝜴𝜴𝟐𝟐𝑵𝑵+𝟏𝟏,𝟐𝟐𝑵𝑵+𝟐𝟐. Ø𝟐𝟐𝑵𝑵+𝟏𝟏� 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝑵𝑵=𝟏𝟏 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝑵𝑵=𝟏𝟏 …… (e2) También: � ∆𝑸𝑸𝑵𝑵 = 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝑵𝑵=𝟏𝟏 ∆𝑸𝑸𝟏𝟏+ ∆𝑸𝑸𝟐𝟐+ ∆𝑸𝑸𝟑𝟑+ … … … … ∆𝑸𝑸𝒏𝒏−𝟏𝟏 … (€1)

Y al introducir sus leyes ( i = 1, 2, … M) tenemos:

� ∆𝑸𝑸(𝒊𝒊) _{= ��𝜴𝜴} 𝑨𝑨,𝟐𝟐 (𝒊𝒊) _{− 𝜴𝜴} 𝟏𝟏,𝟐𝟐 (𝒊𝒊)_{. Ø} 𝟏𝟏� 𝑴𝑴 𝒊𝒊=𝟏𝟏 𝑴𝑴 𝒊𝒊=𝟏𝟏 ……… (f1) � �� ∆𝑸𝑸_𝑵𝑵(𝒊𝒊) 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝑵𝑵=𝟏𝟏 � = � ��𝜴𝜴_{𝑵𝑵,𝟐𝟐𝑵𝑵+𝟐𝟐}(𝒊𝒊) . Ø𝑵𝑵− 𝜴𝜴𝟐𝟐𝑵𝑵+𝟏𝟏, 𝟐𝟐𝑵𝑵+𝟐𝟐(𝒊𝒊) . Ø𝟐𝟐𝑵𝑵+𝟏𝟏� 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝑵𝑵=𝟏𝟏 � 𝑴𝑴 𝒊𝒊=𝟏𝟏 𝑴𝑴 𝒊𝒊=𝟏𝟏 … (f2)

(25)

También: � �� ∆𝑸𝑸_𝑵𝑵(𝒊𝒊) 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝑵𝑵=𝟏𝟏 � = ��∆𝑸𝑸_𝟏𝟏(𝒊𝒊)+ ∆𝑸𝑸_𝟐𝟐(𝒊𝒊)+ ∆𝑸𝑸_𝟑𝟑(𝒊𝒊)+ ⋯ ∆𝑸𝑸_{𝒏𝒏−𝟏𝟏}(𝒊𝒊) � 𝑴𝑴 𝒊𝒊=𝟏𝟏 𝑴𝑴 𝒊𝒊=𝟏𝟏 … (€2)

En cada flujo se obtienen leyes, y en las mismas se perciben sus respectivos errores.

Elevando al cuadrado resulta:

� ��∆𝑸𝑸(𝒊𝒊)_�𝟐𝟐_{� = � ��𝜴𝜴} 𝑨𝑨,𝟐𝟐 (𝒊𝒊) _{− 𝜴𝜴} 𝟏𝟏,𝟐𝟐 (𝒊𝒊)_{. Ø} 𝟏𝟏� 𝟐𝟐 � 𝑴𝑴 𝒊𝒊=𝟏𝟏 𝑴𝑴 𝒊𝒊=𝟏𝟏 ……… (g1) � ��∆𝑸𝑸_𝑵𝑵(𝒊𝒊)�𝟐𝟐 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝑵𝑵=𝟏𝟏 � = � ��𝜴𝜴_{𝑵𝑵,𝟐𝟐𝑵𝑵+𝟐𝟐}(𝒊𝒊) . Ø𝑵𝑵− 𝜴𝜴𝟐𝟐𝑵𝑵+𝟏𝟏,𝟐𝟐𝑵𝑵+𝟐𝟐(𝒊𝒊) . Ø𝟐𝟐𝑵𝑵+𝟏𝟏� 𝟐𝟐 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝑵𝑵=𝟏𝟏 � 𝑴𝑴 𝒊𝒊=𝟏𝟏 𝑴𝑴 𝒊𝒊=𝟏𝟏 … (g2) También: � �� ∆𝑸𝑸_𝑵𝑵(𝒊𝒊)�𝟐𝟐 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝑵𝑵=𝟏𝟏 � = 𝑀𝑀 𝑖𝑖=1 � ��∆𝑄𝑄₁(𝑖𝑖)�2+ �∆𝑄𝑄₂(𝑖𝑖)�2+ �∆𝑄𝑄₃(𝑖𝑖)�2+ ⋯ �∆𝑄𝑄_𝑛𝑛−1(𝑖𝑖) �2� 𝑀𝑀 𝑖𝑖=1 … (€3)

ƒ(Ø𝑖𝑖): Será la función quien representa a la suma de los errores (𝐴𝐴𝑄𝑄) elevados

al cuadrado.

Al tomar derivadas parciales a la función en mención, con respecto al flujo normalizado correspondiente e igualándoles a cero. Esto propicia hallar flujos normalizados mínimos que hacen que el error tienda a cero. Los errores son referidos a cada ley e involucrando a los flujos que confluyen en cada nodo (celda) Seguidamente tenemos:

(26)

ƒ(𝑸𝑸𝒊𝒊) = � ��∆𝑸𝑸(𝒊𝒊)�𝟐𝟐� + � ��∆𝑸𝑸𝑵𝑵(𝒊𝒊)� 𝟐𝟐 𝒏𝒏−𝟏𝟏 𝑵𝑵=𝟏𝟏 � 𝑴𝑴 𝒊𝒊=𝟏𝟏 𝑴𝑴 𝒊𝒊=𝟏𝟏 ……… (g3) También: ƒ(Ø𝒊𝒊) = ��∆𝑸𝑸(𝒊𝒊)�𝟐𝟐+ �∆𝑸𝑸𝟏𝟏(𝒊𝒊)� 𝟐𝟐 + �∆𝑸𝑸_𝟐𝟐(𝒊𝒊)�𝟐𝟐+ �∆𝑸𝑸_𝟑𝟑(𝒊𝒊)�𝟐𝟐+ ⋯ �∆𝑸𝑸_{𝒏𝒏−𝟏𝟏}(𝒊𝒊) �𝟐𝟐� 𝑴𝑴 𝒊𝒊=𝟏𝟏 … (€4)

al reemplazar (g1) y (g2) en (g3) resulta la Función Generalizada .

2.2 FUNCIÓN GENERALIZADA – Método General

Que involucra flujos normalizados y sus respectivas leyes. ƒ(Ø𝑖𝑖) = ��𝛺𝛺𝐴𝐴,2(𝑖𝑖) − 𝛺𝛺1,2(𝑖𝑖). Ø1� 2 + � �𝛺𝛺_{𝑁𝑁,2𝑁𝑁+2}(𝑖𝑖) .Ø𝑁𝑁− 𝛺𝛺2𝑁𝑁+1,2𝑁𝑁+2(𝑖𝑖) .Ø2𝑁𝑁+1� 2 𝑛𝑛−1 𝑁𝑁=1 � 𝑀𝑀 𝑖𝑖=1 … (h)

Observación: En adelante, por comodidad se asumirá que lo errores corresponden a una sola ley.

• Con N=1 , en la relación (d) tenemos : ∆𝑄𝑄1 = 𝛺𝛺1,4. Ø1− 𝛺𝛺3,4. Ø3, al

sustituirlo en (h) resulta: ƒ(Ø𝑖𝑖) = � ��𝛺𝛺𝐴𝐴,2− 𝛺𝛺1,2. Ø1�2+ �𝛺𝛺��1,4. Ø1− 𝛺𝛺3,4.Ø3�2 𝑁𝑁=1 + ��𝛺𝛺𝑁𝑁,2𝑁𝑁+2.Ø𝑁𝑁− 𝛺𝛺2𝑁𝑁+1,2𝑁𝑁+2. Ø2𝑁𝑁+1�2 𝑛𝑛−1 𝑁𝑁=2 � 𝑀𝑀 𝑖𝑖=1 … (€5)

(27)

2.2.1 Cálculo de “dos flujos” Normalizados (Ø_𝟏𝟏,Ø_𝟑𝟑); mediante la Ecuación Lineal.

En la función ƒ(Ø_𝑖𝑖) aparecen Ø₁ Y Ø₃calculables.

• Derivando ƒ(Ø𝒊𝒊) respecto a Ø𝟏𝟏 e igualando a cero, tenemos:

𝜕𝜕ƒ(Ø𝑖𝑖) 𝜕𝜕Ø1 = 0 0 = ��2�𝛺𝛺𝐴𝐴,2− 𝛺𝛺1,2Ø1��−𝛺𝛺1,2� + 2�𝛺𝛺1,4Ø1 − 𝛺𝛺3,4Ø3��𝛺𝛺1,4� + 0� Ordenando convenientemente: 𝟎𝟎 = − ��𝜴𝜴𝑨𝑨,𝟐𝟐𝜴𝜴𝟏𝟏,𝟐𝟐� + ��𝜴𝜴𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝜴𝜴𝟐𝟐𝟏𝟏,𝟒𝟒�Ø𝟏𝟏− ��𝜴𝜴𝟏𝟏,𝟒𝟒𝜴𝜴𝟑𝟑,𝟒𝟒�Ø𝟑𝟑 𝑴𝑴 𝒊𝒊=𝟏𝟏 𝑴𝑴 𝒊𝒊=𝟏𝟏 𝑴𝑴 𝒊𝒊=𝟏𝟏 ……… (i1)

• Derivando ƒ(Ø𝒊𝒊) respecto a Ø𝟑𝟑 e igualando a cero, tenemos:

𝜕𝜕ƒ(Ø𝑖𝑖) 𝜕𝜕Ø3 = 0 0 = ��2�𝛺𝛺1,4Ø1− 𝛺𝛺3,4Ø3��−𝛺𝛺3,4�� 𝑀𝑀 𝑖𝑖=1 Ordenando debidamente: 𝟎𝟎 = − � 𝜴𝜴𝟏𝟏,𝟒𝟒𝜴𝜴𝟑𝟑,𝟒𝟒Ø𝟏𝟏+ � 𝜴𝜴𝟑𝟑,𝟒𝟒𝟐𝟐 Ø𝟑𝟑 𝑴𝑴 𝒊𝒊=𝟏𝟏 𝑴𝑴 𝒊𝒊=𝟏𝟏 ……… (i2)

Con las ecuaciones (i1) y (i2) se forma una ecuación lineal. A.X = B, donde la matriz A resultará del tamaño de 2 x 2.

(28)

⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡��𝜴𝜴𝟏𝟏,𝟐𝟐�𝟐𝟐 𝑴𝑴 𝒊𝒊=𝟏𝟏 + ��𝜴𝜴𝟏𝟏,𝟒𝟒�𝟐𝟐 − ��𝜴𝜴𝟏𝟏,𝟒𝟒𝜴𝜴𝟑𝟑,𝟒𝟒� 𝑴𝑴 𝒊𝒊=𝟏𝟏 − ��𝜴𝜴𝟏𝟏,𝟒𝟒𝜴𝜴𝟑𝟑,𝟒𝟒� 𝑴𝑴 𝒊𝒊=𝟏𝟏 ��𝜴𝜴𝟑𝟑,𝟒𝟒�𝟐𝟐 𝑴𝑴 𝒊𝒊=𝟏𝟏 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡Ø𝟏𝟏 Ø𝟑𝟑 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟏𝟏 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡��𝜴𝜴𝑨𝑨,𝟐𝟐𝜴𝜴𝟏𝟏,𝟐𝟐� 𝑴𝑴 𝒊𝒊=𝟏𝟏 𝟎𝟎 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟏𝟏 … (i3)

Además se observa que la Matriz “A” es cuadrada y simétrica. De (i3) se procede a calcular: “Ø₁” y “Ø₃”, de la siguiente forma:

𝑋𝑋 = 𝐴𝐴−_{. 𝐵𝐵}

𝑋𝑋 = �Ø_Ø1

3�_2𝑥𝑥1

Finalmente valiéndonos de las ecuaciones (2.1) y (2.2) Calculamos: “Ø₂” y “Ø₄”

Ø2 = 1 − Ø1

Ø4 = Ø2− Ø3

• Con N=2, en la relación (d) tenemos:

∆𝑄𝑄2 = �𝛺𝛺2,6− 𝛺𝛺2,6. Ø1− 𝛺𝛺5,6. Ø5�

Luego al sustituir los errores hasta N=2 en (h) resulta:

ƒ(Ø𝒊𝒊) = � ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ �𝛺𝛺𝐴𝐴,2− 𝛺𝛺1,2Ø𝟏𝟏�2+ �𝛺𝛺��1,4Ø𝟏𝟏− 𝛺𝛺3,4Ø𝟑𝟑�2 𝑁𝑁=1 + �𝛺𝛺��2,6− 𝛺𝛺2,6Ø1− 𝛺𝛺5,6Ø𝟓𝟓�2 𝑁𝑁=2 + + ��𝛺𝛺𝑁𝑁,2𝑁𝑁+2Ø𝑁𝑁− 𝛺𝛺2𝑁𝑁+1,2𝑁𝑁+2Ø2𝑁𝑁+1�2 𝑛𝑛−1 𝑁𝑁=3 ⎭⎪ ⎬ ⎪ ⎫ 𝑴𝑴 𝒊𝒊=𝟏𝟏 … (€6)

(29)

2.2.2 Cálculo de “tres flujos” Normalizados (Ø_𝟏𝟏,Ø_𝟑𝟑, Ø_𝟓𝟓); mediante la Ecuación Lineal.

En la función ƒ(Ø_𝑖𝑖)aparecen Ø₁,Ø₃ 𝑦𝑦 Ø₅ calculables.

• Derivando ƒ(Ø𝑖𝑖) respecto a Ø1 e igualando a cero, tenemos:

𝜕𝜕ƒ(Ø𝑖𝑖)

𝜕𝜕Ø1 = 0

0 = ��2�𝛺𝛺𝐴𝐴,2− 𝛺𝛺1,2��−𝛺𝛺1,2� + 2�𝛺𝛺1,4Ø1− 𝛺𝛺3,4Ø3��𝛺𝛺1,4� + 2�𝛺𝛺2,6− 𝛺𝛺2,6Ø1− 𝛺𝛺5,6Ø5��−𝛺𝛺2,6��

Ordenando convenientemente tenemos:

0 = �− � 𝛺𝛺𝐴𝐴,2𝛺𝛺1,2− � 𝛺𝛺2,62 � + ��𝛺𝛺1,22 + �𝛺𝛺1,42 + � 𝛺𝛺2,62 � Ø1− ��𝛺𝛺1,4𝛺𝛺3,4�Ø3+ ��𝛺𝛺2,6𝛺𝛺5,6� Ø5 ……(j1)

• Derivando ƒ(Ø𝑖𝑖) respecto a Ø3 e igualando a cero, tenemos:

𝜕𝜕Ø3 = 0

0 = ��2�−𝛺𝛺1,4𝛺𝛺3,4Ø1+ 𝛺𝛺3,42 Ø3��

Ordenando:

0 = − ��𝛺𝛺1,4𝛺𝛺3,4� Ø1+ ��𝛺𝛺3,42 � Ø3 ……… (j2)

• Derivando ƒ(Ø𝑖𝑖) respecto a Ø5 e igualando a cero, tenemos:

𝜕𝜕Ø5 = 0

0 = � �2 �−𝛺𝛺2,6. 𝛺𝛺5,6+ ��𝛺𝛺2,6. 𝛺𝛺5,6�. Ø1+ ��𝛺𝛺5,62 �. Ø5��

Ordenando:

(30)

Con las ecuaciones (𝑗𝑗₁), (𝑗𝑗₂) 𝑦𝑦 (𝑗𝑗₃) formaremos una ecuación lineal de la forma A.X=B, donde la matriz “A” será del tamaño 3 x 3.

⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡�� 𝜴𝜴𝟏𝟏,𝟐𝟐𝟐𝟐 + � 𝜴𝜴𝟏𝟏,𝟒𝟒𝟐𝟐 + � 𝜴𝜴𝟐𝟐,𝟔𝟔𝟐𝟐 � − ��𝜴𝜴𝟏𝟏,𝟒𝟒.𝜴𝜴𝟑𝟑,𝟒𝟒� ��𝜴𝜴𝟐𝟐,𝟔𝟔. 𝜴𝜴𝟓𝟓,𝟔𝟔� − ��𝜴𝜴𝟏𝟏,𝟒𝟒.𝜴𝜴𝟑𝟑,𝟒𝟒� ��𝜴𝜴𝟑𝟑,𝟒𝟒𝟐𝟐 � 𝟎𝟎 ��𝜴𝜴𝟐𝟐,𝟔𝟔. 𝜴𝜴𝟓𝟓,𝟔𝟔� 𝟎𝟎 ��𝜴𝜴𝟓𝟓,𝟔𝟔𝟐𝟐 � ⎦⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ 𝟑𝟑𝟐𝟐𝟑𝟑⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡Ø𝟏𝟏 Ø𝟑𝟑 Ø𝟓𝟓⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ 𝟑𝟑𝟐𝟐𝟏𝟏 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡��𝜴𝜴𝑨𝑨,𝟐𝟐. 𝜴𝜴𝟏𝟏,𝟐𝟐� + ��𝜴𝜴𝟐𝟐,𝟔𝟔𝟐𝟐 � 𝟎𝟎 ��𝜴𝜴𝟐𝟐,𝟔𝟔. 𝜴𝜴𝟓𝟓,𝟔𝟔� _⎦⎥ ⎥ ⎥ ⎤ 𝟑𝟑𝟐𝟐𝟏𝟏 … (j4)

También la matriz “A” es cuadrada y simétrica.

Luego de calcular: Ø₁,Ø₃ 𝑦𝑦 Ø₅ de (𝑗𝑗₄); se procede a hacer lo mismo con: Ø2,Ø4 𝑦𝑦 Ø6, valiéndonos de las ecuaciones: (2.1), (2.2) y (2.3), respectivamente:

Podemos seguir ampliando la Función Generalizada ƒ(Ø_𝑖𝑖) convenientemente, de acuerdo a los flujos normalizados a calcular. Obteniendo siempre una matriz cuadrada y simétrica.

2.2.3 Cálculo de “n” Flujos Normalizados (Ø_𝟏𝟏,Ø_𝟑𝟑 𝒚𝒚 Ø_𝟓𝟓, … … , Ø_{𝟐𝟐𝒏𝒏−𝟏𝟏}); mediante la Ecuación Lineal.

Asimismo de la función en mención que generaliza el número de flujos normalizados (hasta 2n). Podemos llegar a obtener una matriz A del orden 𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛 y simétrica, al llegar a constituir una ecuación lineal de la siguiente forma:

(31)

De quién se obtendrá los “n” flujos normalizados (de sub índice impar) respectivamente, quedando por calcular los “n” flujos (de sub índice par) restantes. Y que valiéndonos de las ecuaciones: (2.1) al (2.n), será posible hallarlos.

A la función generalizada ƒ(Ø_𝑖𝑖) se le irá derivando parcialmente, con respecto a cada uno de los “n” flujos normalizados, de orden impar (Ø1, Ø3, Ø5, … Ø2𝑛𝑛−1) , e igualándolos a cero. De tal modo que se irá

obteniendo cada relación hasta llegar a formar “n” ecuaciones.

Seguidamente a continuación se verá como se forma la ecuación lineal y por ende la matriz “A” de tamaño 𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛. También se mostrará la ecuación lineal matricialmente.

(32)

26 Se sabe (de €4): ƒ(Ø𝒊𝒊) = ��∆𝑸𝑸(𝒊𝒊)�𝟐𝟐+ �∆𝑸𝑸𝟏𝟏(𝒊𝒊)� 𝟐𝟐 + �∆𝑸𝑸_𝟐𝟐(𝒊𝒊)�𝟐𝟐+ �∆𝑸𝑸_𝟑𝟑(𝒊𝒊)�𝟐𝟐+ ⋯ �∆𝑸𝑸_{𝒏𝒏−𝟏𝟏}(𝒊𝒊) �𝟐𝟐� 𝑴𝑴 𝒊𝒊=𝟏𝟏

donde: de (6,1) al (6,n), al introducir i: ley

��∆𝑄𝑄(𝑖𝑖)�2 𝑀𝑀 𝑖𝑖=1 = ��𝛺𝛺_𝐴𝐴,2(𝑖𝑖) − 𝛺𝛺_𝐴𝐴,2(𝑖𝑖). Ø1� 2 𝑀𝑀 𝑖𝑖=1 ��∆𝑄𝑄₁(𝑖𝑖)�2 𝑀𝑀 𝑖𝑖=1 = ��𝛺𝛺_1,4(𝑖𝑖). Ø1− 𝛺𝛺3,4(𝑖𝑖). Ø3� 2 𝑀𝑀 𝑖𝑖=1 ��∆𝑄𝑄₂(𝑖𝑖)�2 𝑀𝑀 𝑖𝑖=1 = ��𝛺𝛺_2,6(𝑖𝑖) − 𝛺𝛺_2,6(𝑖𝑖). Ø1− 𝛺𝛺5,6(𝑖𝑖). Ø5� 2 𝑀𝑀 𝑖𝑖=1 . . .

(33)

27 𝑖𝑖=1 𝑖𝑖=1 ��∆𝑄𝑄_𝑛𝑛−2(𝑖𝑖) �2 𝑀𝑀 𝑖𝑖=1 = ��𝛺𝛺_{𝑛𝑛−2,2𝑛𝑛−2}(𝑖𝑖) . Ø𝑛𝑛−2− 𝛺𝛺2𝑛𝑛−3,2𝑛𝑛−2(𝑖𝑖) . Ø2𝑛𝑛−3� 2 𝑀𝑀 𝑖𝑖=1 ��∆𝑄𝑄_𝑛𝑛−1(𝑖𝑖) �2 𝑀𝑀 𝑖𝑖=1 = � �𝛺𝛺_{𝑛𝑛−1,2𝑛𝑛}(𝑖𝑖) . Ø𝑛𝑛−3 2 − 𝛺𝛺𝑛𝑛−1,2𝑛𝑛 (𝑖𝑖) _{. Ø} 𝑛𝑛−2− 𝛺𝛺2𝑛𝑛−1,2𝑛𝑛(𝑖𝑖) . Ø2𝑛𝑛−1� 2 𝑀𝑀 𝑖𝑖=1 También: ƒ(Ø𝑖𝑖) = ��𝛺𝛺𝐴𝐴,2(𝑖𝑖) − 𝛺𝛺1,2(𝑖𝑖). Ø1� 2 + �𝛺𝛺_1,4(𝑖𝑖). Ø1− 𝛺𝛺3,4(𝑖𝑖). Ø3� 2 + … … … �𝛺𝛺_{𝑛𝑛−1,2𝑛𝑛}(𝑖𝑖) . Ø𝑛𝑛−3 2 − 𝛺𝛺𝑛𝑛−1,2𝑛𝑛 (𝑖𝑖) _{. Ø} 𝑛𝑛−2− 𝛺𝛺2𝑛𝑛−1,2𝑛𝑛(𝑖𝑖) . Ø2𝑛𝑛−1� 2 𝑀𝑀 𝑖𝑖=1 …… (€7)

(34)

28 ��2�ΩA,2− Ω1,2 . Ø1��−Ω1,2� + 2�Ω1,4. Ø1− Ω3,4. Ø3��Ω1,4� + 2�Ω2,6− Ω2,6 . Ø1− Ω5,6. Ø5��−Ω2,6� + 2�Ω4,10. Ø1− Ω4,10. Ø3− Ω9,10.Ø9��Ω4,10� + 2�Ω6,14− Ω6,10. Ø1− Ω6,14. Ø5− Ω13,14. Ø13��−Ω6,14� + 2�Ω10,22. Ø1− Ω10,22. Ø3− Ω10,22. Ø9− Ω21,22. Ø21��Ω10,22� + … � = 0 Ordenando: +Ø1�Ω1,22 + Ω1,42 + Ω22,6+ Ω4,102 + Ω6,142 + Ω10,222 + … � +Ø3�−Ω1,4. Ω3,4− Ω4,102 − Ω10,222 − … � +Ø5�Ω2,6. Ω5,6+ Ω6,142 + … � +Ø9�−Ω4,10.Ω9,10− Ω10,222 − … � +Ø13�Ω6,14. Ω13,14+ … � +Ø21(−Ω10,22. Ω21,22+ … ) = +Ω𝐴𝐴,2. Ω1,2+ Ω2,62 + Ω6,142 + … ∂Ø1 = 0

(35)

29 �[2�Ω1,4. Ø1− Ω3,4 .Ø3��−Ω3,4� + 2�Ω3,8. Ø3− Ω7,8. Ø7��Ω3,8� + 2�Ω4,10. Ø1− Ω4,10 .Ø3− Ω9,10.Ø9��−Ω4,10� + 2�Ω8,18. Ø3− Ω8,18. Ø7− Ω17,18. Ø17��Ω8,18� + 2�Ω10,12. Ø1− Ω10,22. Ø3− Ω10,22. Ø9− Ω21,22. Ø21��−Ω10,22� = 0 Ordenando: +Ø1�−Ω1,4. Ω3,4− Ω4,102 − Ω10,222 + … � +Ø3�Ω3,42 + Ω3,82 + Ω4,102 + Ω10,222 + … � +Ø7�−Ω3,8. Ω7,8− Ω8,82 + … � +Ø9�Ω10,222 + … � + Ø17(−Ω8,18. Ω17,18+ … ) +Ø21(−Ω10,22. Ω21,22+ … ) = −Ω4,10. Ω9,10− Ω8,182 + … ∂Ø3 = 0

(36)

30 �[2�Ω2,6− Ω2,6. Ø1− Ω5,6 . Ø5��−Ω5,6� + 2�Ω5,12. Ø5− Ω11,12. Ø11��Ω5,12� + 2�Ω6,14− Ω6,14. Ø1− Ω6,14 . Ø5− Ω13,14. Ø13��−Ω6,14� + ⋯ = 0 Ordenando: +Ø1�Ω2,6. Ω5,6− Ω6,142 + … � +Ø5(Ω5,62 + Ω5,122 + Ω6,142 + … ) +Ø11(−Ω5,12. Ω11,12+ … ) +Ø13(Ω6,14. Ω13,14+ … ) = Ω2,6. Ω5,6+ Ω6,142 + … i ∂Ø5 = 0

(37)

31 �[2�Ω3,8. Ø3− Ω7,8 .Ø7��−Ω7,8� + 2�Ω7,16. Ø7− Ω15,16. Ø15��Ω7,16� + 2�Ω8,18. Ø3− Ω8,18 . Ø7− Ω17,18. Ø17��−Ω8,18� = 0 Ordenando: +Ø3�−Ω8,182 + … � +Ø7(Ω7,82 + Ω7,162 + Ω8,182 + … ) +Ø15(−Ω7,16. Ω15,16+ … ) +Ø17(Ω8,18. Ω17,18+ … ) = Ω3,8. Ω7,8+ … ∂Ø7 = 0

(38)

32 �[2�Ω4,10. Ø1− Ω4,10 . Ø3− Ω9,10 .Ø9��−Ω9,10� + 2�Ω9,20. Ø9− Ω19,20. Ø19��Ω9,20� + 2�Ω10,22. Ø1− Ω10,22 . Ø3− Ω10,22. Ø9− Ω21,22. Ø21��−Ω10,22� = 0 Ordenando: +Ø1�−Ω4,10. Ω9,10− Ω10,222 + … � +Ø3(Ω4,10+ Ω9,10+ Ω10,222 + … ) +Ø9(Ω9,102 + Ω9,202 + Ω10,222 …) +Ø19(−Ω9,20. Ω19,20+ … ) +Ø21(Ω10,22. Ω21,22+ … ) = 0 ∂Ø9 = 0

(39)

33 � [2�Ω5,12. Ø5− Ω11,12 . Ø11��−Ω11,12� = 0 Ordenando: +Ø5�−Ω5,12. Ω11,12+ … � +Ø11(Ω11,122 + … ) = 0 ��2�Ω6,14− Ω6,14 . Ø1− Ω6,14 .Ø5− Ω13,14 . Ø13��−Ω13,14�� = 0 Ordenando: +Ø1�Ω6,14. Ω13,14+ … � +Ø5�Ω6,14. Ω13,14+ … � +Ø13(Ω13,142 ) = Ω6,14. Ω13,14+ … ��2�Ω7,16 . Ø7− Ω15,16 . Ø15��−Ω15,16�� = 0 Ordenando: +Ø7�−Ω7,16. Ω15,16+ … � +Ø15(Ω15,162 + … ) = 0 �[2(Ω8,18 . Ø3− Ω8,18 . Ø7− Ω17,18 . Ø17)(−Ω17,18)] Ordenando: +Ø3�−Ω8,18. Ω17,18+ … � +Ø7�Ω8,18. Ω17,18+ … � +Ø17(Ω17,182 + … ) = 0 ∂ƒØi ∂Ø11 = 0 ∂ƒØi ∂Ø13 = 0 ∂ƒØi ∂Ø15 = 0 ∂ƒØi ∂Ø17 = 0

(40)

34 �[2(Ω9,20. Ø9− Ω19,20 . Ø19)(−Ω19,20)] = 0 Ordenando: +Ø9�−Ω9,20. Ω19,20+ … � +Ø19(Ω19,202 + …) = 0 �[2(Ω10,22. Ø1− Ω10,22 .Ø3− Ω10,22 . Ø9 − Ω21,22 . Ø21)(−Ω21,22) = 0 Ordenando: +Ø1�−Ω10,22. Ω21,22+ … � +Ø3�Ω10,22. Ω21,22+ … � +Ø9�Ω10,22. Ω21,22+ … � +Ø21(Ω21,222 + … ) = 0 . �−Ω2𝑛𝑛−17, 2𝑛𝑛−16� Ordenando: +Ø𝑛𝑛−11 2 �−Ω𝑛𝑛−9, 2𝑛𝑛−16.Ω2𝑛𝑛−17, 2𝑛𝑛−16+ … � +Ø𝑛𝑛−10�Ω𝑛𝑛−9, 2𝑛𝑛−16. Ω2𝑛𝑛−17, 2𝑛𝑛−16+ … � +Ø2𝑛𝑛−17(Ω2𝑛𝑛−17, 2𝑛𝑛−162 ) = 0 . �−Ω2𝑛𝑛−15, 2𝑛𝑛−14� Ordenando: +Ø𝑛𝑛−8�−Ω𝑛𝑛−8, 2𝑛𝑛−14. Ω2𝑛𝑛−15, 2𝑛𝑛−14+ … � +Ø2𝑛𝑛−15(Ω2𝑛𝑛−15, 2𝑛𝑛−142 + … ) = 0 ∂ƒØi ∂Ø21 = 0 ∂ƒØi ∂Ø2n−17 = 0 ∂ƒØi ∂Ø2n−15 = 0

(41)

35 . �−Ω2𝑛𝑛−13, 2𝑛𝑛−12� Ordenando: +Ø𝑛𝑛−9 2 �−Ω𝑛𝑛−7, 2𝑛𝑛−12. Ω2𝑛𝑛−13, 2𝑛𝑛−12+ … � +Ø𝑛𝑛−8�Ω𝑛𝑛−7, 2𝑛𝑛−12. Ω2𝑛𝑛−13, 2𝑛𝑛−12+ … � +Ø2𝑛𝑛−13(Ω2𝑛𝑛−13, 2𝑛𝑛−122 ) = 0 . �−Ω2𝑛𝑛−11, 2𝑛𝑛−10� Ordenando: +Ø𝑛𝑛−6�−Ω𝑛𝑛−6, 2𝑛𝑛−10. Ω2𝑛𝑛−11, 2𝑛𝑛−10+ … � +Ø2𝑛𝑛−11�Ω2𝑛𝑛−11, 2𝑛𝑛−102 + … � = 0 . �−Ω2𝑛𝑛−9, 2𝑛𝑛−8� Ordenando: +Ø𝑛𝑛−7 2 �−Ω𝑛𝑛−5, 2𝑛𝑛−8. Ω2𝑛𝑛−9, 2𝑛𝑛−8+ … � +Ø𝑛𝑛−6�Ω𝑛𝑛−5, 2𝑛𝑛−8. Ω2𝑛𝑛−9, 2𝑛𝑛−8+ … � +Ø2𝑛𝑛−9(Ω2𝑛𝑛−9, 2𝑛𝑛−82 + ⋯ ) = 0 . �−Ω2𝑛𝑛−7, 2𝑛𝑛−6� Ordenando: +Ø𝑛𝑛−4�−Ω𝑛𝑛−4, 2𝑛𝑛−6. Ω2𝑛𝑛−7, 2𝑛𝑛−6+ … � +Ø2𝑛𝑛−7(Ω2𝑛𝑛−7, 2𝑛𝑛−62 + ⋯ ) = 0 ∂ƒØi ∂Ø2n−11 = 0 ∂Ø2n−9 = 0 ∂ƒØi ∂Ø2n−7 = 0

(42)

36 . �−Ω2𝑛𝑛−5, 2𝑛𝑛−4� Ordenando: +Ø𝑛𝑛−5 2 �−Ω𝑛𝑛−3, 2𝑛𝑛−4. Ω2𝑛𝑛−5, 2𝑛𝑛−4+ … � +Ø𝑛𝑛−4�Ω𝑛𝑛−3, 2𝑛𝑛−4. Ω2𝑛𝑛−5, 2𝑛𝑛−4+ … � +Ø2𝑛𝑛−5(Ω2𝑛𝑛−5, 2𝑛𝑛−42 + ⋯ ) = 0 . �−Ω2𝑛𝑛−3, 2𝑛𝑛−2� Ordenando: +Ø𝑛𝑛−2�Ω𝑛𝑛−2, 2𝑛𝑛−2. Ω2𝑛𝑛−3, 2𝑛𝑛−2+ … � +Ø2𝑛𝑛−3(Ω2𝑛𝑛−3, 2𝑛𝑛−22 + ⋯ ) = 0 . �−Ω2𝑛𝑛−1, 2𝑛𝑛� Ordenando: +Ø𝑛𝑛−3 2 �−Ω𝑛𝑛−1, 2𝑛𝑛. Ω2𝑛𝑛−1, 2𝑛𝑛+ … � +Ø𝑛𝑛−2�Ω𝑛𝑛−1, 2𝑛𝑛. Ω2𝑛𝑛−1, 2𝑛𝑛+ … � +Ø2𝑛𝑛−1(Ω2𝑛𝑛−1, 2𝑛𝑛2 + ⋯ ) = 0 ∂ƒØi ∂Ø2n−3 = 0

(43)

37

(44)

38 1,2+ 𝛺𝛺1,4+ 𝛺𝛺2,6+ 𝛺𝛺4,10+ 𝛺𝛺6,14+ 𝛺𝛺10,22+ ⋯ � �−𝛺𝛺1,4.𝛺𝛺3,4− 𝛺𝛺4,10− 𝛺𝛺10,22+ ⋯ � 2,6.𝛺𝛺5,6+ 𝛺𝛺6,14+ ⋯ � 0 4,10.𝛺𝛺9,10− 𝛺𝛺10,22+ ⋯ � 0 6,14.𝛺𝛺13,14+ ⋯ � �−𝛺𝛺1,4.𝛺𝛺3,4− 𝛺𝛺4,102 − 𝛺𝛺10,222 + ⋯ � �𝛺𝛺3,42 + 𝛺𝛺3,82 + 𝛺𝛺4,102 + 𝛺𝛺10,222 + ⋯ � 0 �−𝛺𝛺3,8.𝛺𝛺7,8− 𝛺𝛺8,182 + ⋯ � �𝛺𝛺4,10.𝛺𝛺9,10+ 𝛺𝛺10,222 + ⋯ � 0 0 �𝛺𝛺2,6.𝛺𝛺5,6+ 𝛺𝛺6,142 + ⋯ � 0 �𝛺𝛺5,62 + 𝛺𝛺5,122 + 𝛺𝛺6,142 + ⋯ � 0 0 �−𝛺𝛺5,12.𝛺𝛺11,12+ ⋯ � �𝛺𝛺6,14.𝛺𝛺13,14+ ⋯ � 0 �−𝛺𝛺3,8.𝛺𝛺7,8− 𝛺𝛺8,182 + ⋯ � 0 �𝛺𝛺7,82 + 𝛺𝛺7,162 + 𝛺𝛺8,182 + ⋯ � 0 0 0 �−𝛺𝛺4,10.𝛺𝛺9,10− 𝛺𝛺10,222 + ⋯ � �𝛺𝛺4,10.𝛺𝛺9,10+ 𝛺𝛺10,222 + ⋯ � 0 0 �𝛺𝛺9,102 + 𝛺𝛺9,202 + 𝛺𝛺10,222 + ⋯ � 0 0 0 0 �−𝛺𝛺5,12.𝛺𝛺11,12+ ⋯ � 0 0 �𝛺𝛺11,122 + ⋯ � 0 �𝛺𝛺6,14.𝛺𝛺13,14+ ⋯ � 0 �𝛺𝛺6,14.𝛺𝛺13,14+ ⋯ � 0 0 0 �𝛺𝛺13,142 + ⋯ �

A=

0 0 0 �−𝛺𝛺7,16.𝛺𝛺15,16+ ⋯ � 0 0 0 0 �−𝛺𝛺8,18.𝛺𝛺17,18+ ⋯ � 0 �𝛺𝛺8,18.𝛺𝛺17,18+ ⋯ � 0 0 0 0 0 0 0 �−𝛺𝛺9,20.𝛺𝛺19,20+ ⋯ � 0 0 �𝛺𝛺10,22.𝛺𝛺21,22+ ⋯ � 0 0 �−𝛺𝛺10,22.𝛺𝛺21,22+ ⋯ � 0 0 . . . . . . 0 . . . . . . 0 . . . . . . . . . . . . . .

(45)

39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . �𝛺𝛺2𝑛𝑛−11 ,2𝑛𝑛−102 + ⋯ � 0 0 0 0 0 . 0 �𝛺𝛺2𝑛𝑛−9 ,2𝑛𝑛−82 + ⋯ � 0 0 0 0 . 0 0 �𝛺𝛺2𝑛𝑛−7 ,2𝑛𝑛−62 + ⋯ � 0 0 0 . 0 0 0 �𝛺𝛺2𝑛𝑛−5 ,2𝑛𝑛−42 + ⋯ � 0 0 . 0 0 0 0 �𝛺𝛺2𝑛𝑛−3 ,2𝑛𝑛−22 + ⋯ � 0 . 0 0 0 0 0 �𝛺𝛺2𝑛𝑛−1 ,2𝑛𝑛2 + ⋯ �

(𝒏𝒏, 𝒏𝒏)

Parte inferior (derecha) de la Matriz A.

(46)

40 Ø3 𝛺𝛺8,182 Ø5 �𝛺𝛺2,6. 𝛺𝛺5,6 + 𝛺𝛺6,142 � Ø7 0 Ø9 0 . .

𝑋𝑋 =

.

_;

_{𝐵𝐵 =}

. . . Ø2𝑛𝑛−7 0 Ø2𝑛𝑛−5 0 Ø2𝑛𝑛−3 0 Ø2𝑛𝑛−1 0 (𝒏𝒏, 𝟏𝟏) (𝒏𝒏, 𝟏𝟏) Matriz Columna : X , B .

(47)

2.4 HALLANDO LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

2.4.1 Cálculo de los errores: ∆𝑴𝑴

Viene de las ecuaciones: (4.1) al (4.n).

∆M = LA - (L1Ø1 + L2Ø2 ) ………..……. (7.1) ∆M1 = L1.Ø1 - (L3Ø3 + L4Ø4 ) ……… ………. (7.2) ∆M2 = L2.Ø2 - (L5Ø5 + L6Ø6 ) ………. (7.3) ∆M3 = L3.Ø3 - (L7Ø7 + L8Ø8 ) ………. (7.4) . . . . 2 7 -n M ∆ = 2 7 -n L . 2 7 -n Ø - (Ln-6.Øn-6 + Ln-5.Øn-5) . 2 5 -n M ∆ = 2 5 -n L . 2 5 -n Ø - (Ln-4.Øn-4 + Ln-3.Øn-3) . 2 3 -n M ∆ = 2 3 -n L . 2 3 -n Ø - (Ln-2.Øn-2 + Ln-1.Øn-1) . 2 1 -n M ∆ = 2 1 -n L . 2 1 -n Ø - (Ln.Øn + Ln+1.Øn+1) . 2 1 n M + ∆ = 2 1 n L + . 2 1 n Ø + - (Ln+2.Øn+2 + Ln+3.Øn+3) . . . . . . . ∆Mn-3 = Ln-3 Øn-3 -(L2n-5.Ø2n-5 + L2n-4.Ø2n-4) ………. (7.(n-2)) ∆Mn-2 = Ln-2.Øn-2 - (L2n-3.Ø2n-3 + L2n-2.Ø2n-2 ) ………. (7.(n-1)) ∆Mn-1 = Ln-1.Øn-1- (L2n-1.Ø2n-1 + L2n.Ø2n ) …….……. (7.n) 2.4.2 Corrección de leyes: ∆𝑳𝑳_𝒊𝒊 ∆𝐿𝐿𝐴𝐴 = 𝐿𝐿𝐴𝐴− 𝐿𝐿𝐴𝐴𝑐𝑐 ……….………..……. (8.1) ∆𝐿𝐿1 = 𝐿𝐿1− 𝐿𝐿1𝑐𝑐 ………...………. (8.2) ∆𝐿𝐿2 = 𝐿𝐿2− 𝐿𝐿2𝑐𝑐 .……….………. (8.3) ∆𝐿𝐿3 = 𝐿𝐿3− 𝐿𝐿3_𝑐𝑐 ………..…. (8.4)

(48)

. . . . . . 2 7 -n L ∆ = 2 7 -n L - c 2 7 -n L       . 2 5 -n L ∆ = 2 5 -n L - c 2 5 -n L       . 2 3 -n L ∆ = 2 3 -n L - c 2 3 -n L       . 2 1 -n L ∆ = 2 1 -n L - c 2 1 -n L       . 2 1 n L + ∆ = 2 1 n L + - c 2 1 n L       + . . . . . . . ∆𝐿𝐿𝑛𝑛−3 = 𝐿𝐿𝑛𝑛−3− 𝐿𝐿(𝑛𝑛−3)𝑐𝑐 ……….…. (8.(n-2)) ∆𝐿𝐿𝑛𝑛−2 = 𝐿𝐿𝑛𝑛−2− 𝐿𝐿(𝑛𝑛−2)𝑐𝑐 ………. (8.(n-1)) ∆𝐿𝐿𝑛𝑛−1 = 𝐿𝐿𝑛𝑛−1− 𝐿𝐿(𝑛𝑛−1)𝑐𝑐 ………...…. (8.n)

Al reemplazar las ecuaciones del (8.1) al (8.(n)) en las ecuaciones del (7.1) al (7.n) obtenemos : ∆M = (∆LA + LAc) – [(∆L1 + L1c)Ø1 + (∆L2 + L2c)Ø2 ] ………...……. (9.1) ∆M1 = (∆L1 + L1c)Ø1 – [(∆L3 + L3c)Ø3 + (∆L4+ L4c)Ø4] …………...……. (9.2) ∆M2 = (∆L2 + L2c)Ø2 – [(∆L5+ L5c)Ø5 + (∆L6+ L6c)Ø6] ………...……. (9.3) ∆M3 = (∆L3 + L3c)Ø3 - [(∆L7 + L7c)Ø7 + (∆L8 + L8c)Ø8] ……….…. (9.4) . . . . . . 2 7 -n M ∆ = _       +       c 2 7 -n 2 7 -n L L 2 7 -n Ø - [(∆Ln-6+L(n-6)c)Øn-6+(∆Ln-5+L(n-5)c)Øn-5] . 2 5 -n M ∆ = _       +       c 2 5 -n 2 5 -n L L 2 5 -n Ø - [(∆Ln-4+L(n-4)c)Øn-4 + (∆Ln-3+L(n-3)c)Øn-3] .

(49)

2 3 -n M ∆ = _       +       c 2 3 -n 2 3 -n L L 2 3 -n Ø - [(∆Ln-2+L(n-2)c)Øn-2 + (∆Ln-1+L(n-1)c)Øn-1] . 2 1 -n M ∆ = _       +       c 2 1 -n 2 1 -n L L 2 1 -n Ø - [(∆Ln + Lnc)Øn + (∆Ln+1+L(n+1)c)Øn+1] . 2 1 n M + ∆ = _       +       + + c 2 1 n 2 1 n L L 2 1 n Ø + -[(∆Ln+2+L(n+2)c)Øn+2+(∆Ln+3+L(n+3)c)Øn+3] . . . . . . . ∆Mn-3 = (∆Ln-3+L(n-3)c)Øn-3 – [(∆L2n-5+L(2n-5)c)Ø2n-5 + (∆L2n-4+L(2n-4)c)Ø2n-4] ….. (9.(n-2)) ∆Mn-2 = (∆Ln-2+L(n-2)c)Øn-2 – [(∆L2n-3+L(2n-3)c)Ø2n-3 + (∆L2n-2+L(2n-2)c)Ø2n-2]……. (9.(n-1)) ∆Mn-1 = (∆Ln-1+L(n-1)c)Øn-1- [(∆L2n-1+L(2n-1)c)Ø2n-1 + (∆L2n+L2nc)Ø2n] ….……… (9.n)

Pero sabemos que en leyes corregidas se debe cumplir:

0 = LAc - (L1cØ1 + L2cØ2 )… …….………..……. (10.1) 0 = L1c.Ø1 - (L3cØ3 + L4cØ4 ) ……….……. (10.2) 0 = L2c.Ø2 - (L5cØ5 + L6cØ6 ) …….….………. (10.3) 0 = L3c.Ø3 - (L7cØ7 + L8cØ8 ) ……….….…. (10.4) . . . . . . 0= c 2 7 -n L       . 2 7 -n Ø - (L(n-6)c.Øn-6 + L(n-5)c.Øn-5) . 0= c 2 5 -n L       . 2 5 -n Ø - (L(n-4)c.Øn-4 + L(n-3)c.Øn-3) . 0= c 2 3 -n L       . 2 3 -n Ø - (L(n-2)c.Øn-2 + L(n-1)c.Øn-1) . 0= c 2 1 -n L       . 2 1 -n Ø - (Lnc.Øn + L(n+1)c.Øn+1) . 0= c 2 1 n L       + . 2 1 n Ø + - (L(n+2)c.Øn+2 + L(n+3)c.Øn+3) . . . . .

(50)

. . 0 = L(n-3)c Øn-3 - (L(2n-5)c.Ø2n-5 + L(2n-4)c.Ø2n-4) ………. (10.(n-2))

0 = L(n-2)c.Øn-2 - (L(2n-3)c.Ø2n-3 + L(2n-2)c.Ø2n-2 ) ………. (10.(n-1))

0 = L(n-1)c.Øn-1- (L(2n-1)c.Ø2n-1 + L2nc.Ø2n ) …….….…. (10.n)

2.4.3 Errores en función de las “Correcciones”.

Resulta de reemplazar las ecuaciones del (10.1) al (10.n), en las ecuaciones del (9.1) al (9.n), respectivamente: ∆M = ∆LA - (∆L1Ø1 + ∆L2Ø2 ) ……….……. (11.1) ∆M1 = ∆L1.Ø1 - (∆L3Ø3 + ∆L4Ø4 ) ….……… ….……. (11.2) ∆M2 = ∆L2.Ø2 - (∆L5Ø5 + ∆L6Ø6 ) …….………….…. (11.3) ∆M3 = ∆L3.Ø3 - (∆L7Ø7 + ∆L8Ø8 ) ……….……. (11.4) . . . . . . 2 7 -n M ∆ = 2 7 -n L ∆ . 2 7 -n Ø - (∆Ln-6.Øn-6 + ∆Ln-5.Øn-5) . 2 5 -n M ∆ = 2 5 -n L ∆ . 2 5 -n Ø - (∆Ln-4.Øn-4 + ∆Ln-3.Øn-3) . 2 3 -n M ∆ = 2 3 -n L ∆ . 2 3 -n Ø - (∆Ln-2.Øn-2 + ∆Ln-1.Øn-1) . 2 1 -n M ∆ = 2 1 -n L ∆ . 2 1 -n Ø - (∆Ln.Øn + ∆Ln+1.Øn+1) . 2 1 n M + ∆ = 2 1 n L + ∆ . 2 1 n Ø + - (∆Ln+2.Øn+2 + ∆Ln+3.Øn+3) . . . . . . . ∆Mn-3 = ∆Ln-3 Øn-3 -(∆L2n-5.Ø2n-5 + ∆L2n-4.Ø2n-4) ……. (11.(n-2)) ∆Mn-2 = ∆Ln-2.Øn-2 - (∆L2n-3.Ø2n-3 + ∆L2n-2.Ø2n-2 ) ……. (11.(n-1)) ∆Mn-1 = ∆Ln-1.Øn-1- (∆L2n-1.Ø2n-1 + ∆L2n.Ø2n ) …….…. (11.n)

(51)

2.4.4 Función Lagrangiana L(x,λ) = f(x) – [λ.g(x) + λ1.g1(x) +λ2.g2(x) + …+ λn-1.gn-1(x)] ……… (12) Donde: L(x,λ) : Función Lagrangiana λ, λ1, λ2, …, λn-1 : Multiplicadores de Lagrange f(x) : Función a optimizar Funciones restrictas, que tienden a ser cero:

1 x, − ∂ ∂ n L λ λ _{= 0 ; ∆M} n-1 - ∆Ln-1.Øn-1+ (∆L2n-1.Ø2n-1 + ∆L2n.Ø2n )= 0 …… (13.n)

2.4.4.3 Derivando respecto de las ‘(2n+1)’ correcciones.

𝜕𝜕𝐿𝐿(𝑥𝑥, 𝜆𝜆) 𝜕𝜕∆𝐿𝐿𝐴𝐴 = 0 = 2∆𝐿𝐿𝐴𝐴+ 𝜆𝜆 ⟹ ∆𝐿𝐿𝐴𝐴 = − 𝜆𝜆 2 … … … (14.1) 𝜕𝜕𝐿𝐿(𝑥𝑥, 𝜆𝜆) 𝜕𝜕∆𝐿𝐿1 = 0 = 2∆𝐿𝐿1− 𝜆𝜆. Ø1+ 𝜆𝜆1. Ø1 ⟹ ∆𝐿𝐿1 = 1 2(𝜆𝜆 − 𝜆𝜆1). Ø1… … … (14.2) 𝜕𝜕𝐿𝐿(𝑥𝑥, 𝜆𝜆) 𝜕𝜕∆𝐿𝐿2 = 0 = 2∆𝐿𝐿2− 𝜆𝜆. Ø2+ 𝜆𝜆2. Ø2 ⟹ ∆𝐿𝐿2 = 1 2(𝜆𝜆 − 𝜆𝜆2). Ø2… … … (14.3) 𝜕𝜕𝐿𝐿(𝑥𝑥, 𝜆𝜆) 𝜕𝜕∆𝐿𝐿3 = 0 = 2∆𝐿𝐿3− 𝜆𝜆1. Ø3+ 𝜆𝜆3. Ø3 ⟹ ∆𝐿𝐿3 = 1 2(𝜆𝜆1− 𝜆𝜆3). Ø3… … … … (14.4) 𝜕𝜕𝐿𝐿(𝑥𝑥, 𝜆𝜆) 𝜕𝜕∆𝐿𝐿4 = 0 = 2∆𝐿𝐿4− 𝜆𝜆1. Ø4+ 𝜆𝜆4. Ø4 ⟹ ∆𝐿𝐿4 = 1 2(𝜆𝜆1− 𝜆𝜆4). Ø4… … … …. (14.5) . . . 𝜕𝜕𝐿𝐿(𝑥𝑥, 𝜆𝜆) 𝜕𝜕∆𝐿𝐿2𝑛𝑛−3 = 0 … ⟹ ∆𝐿𝐿2𝑛𝑛−3 = 1 2(𝜆𝜆𝑛𝑛−2+ ⋯ ). Ø2𝑛𝑛−3… … … … (14.(2n-2)) 𝜕𝜕𝐿𝐿(𝑥𝑥, 𝜆𝜆) 𝜕𝜕∆𝐿𝐿2𝑛𝑛−2 = 0 … ⟹ ∆𝐿𝐿2𝑛𝑛−2 = 1 2(𝜆𝜆𝑛𝑛−2+ ⋯ ). Ø2𝑛𝑛−2… … … … (14.(2n-1)) 𝜕𝜕𝐿𝐿(𝑥𝑥, 𝜆𝜆) 𝜕𝜕∆𝐿𝐿2𝑛𝑛−1 = 0 … ⟹ ∆𝐿𝐿2𝑛𝑛−1 = 1 2(𝜆𝜆𝑛𝑛−1+ ⋯ ). Ø2𝑛𝑛−1… … … … (14.(2n)) 𝜕𝜕𝐿𝐿(𝑥𝑥, 𝜆𝜆) 𝜕𝜕∆𝐿𝐿2𝑛𝑛 = 0 … ⟹ ∆𝐿𝐿2𝑛𝑛 = 1 2(𝜆𝜆𝑛𝑛−1+ ⋯ ). Ø2𝑛𝑛… … … (14.(2n+1))

(54)

 Las ecuaciones: (14.1) al (14.(n)) se rigen mediante la siguiente relación: ∆𝐿𝐿2𝑎𝑎−1 = 1₂(𝑋𝑋+ ⋯ ). Ø2𝑎𝑎−1 ∆𝐿𝐿2𝑎𝑎 = 1₂(𝑋𝑋+. . . ). Ø2𝑎𝑎 𝑋𝑋 = 𝜆𝜆_{(2𝑎𝑎−1)−�2𝑎𝑎} 2 � 𝑋𝑋 = 𝜆𝜆𝑎𝑎−1

Si reemplazamos las ecuaciones del (14.1) al (14(2n+1)), en las ecuaciones del (13.1) al (13.n) resulta.

De la ecuación (13.1) tenemos:

0 = ∆𝑀𝑀 − ∆𝐿𝐿𝐴𝐴+ (∆𝐿𝐿1. Ø1+ ∆𝐿𝐿2. Ø2)

0 = ∆𝑀𝑀 +𝜆𝜆₂+1₂(𝜆𝜆 − 𝜆𝜆1). Ø12+1₂+ (𝜆𝜆 − 𝜆𝜆2). Ø22

Y asi sucesivamente ordenando obtenemos:

−2∆𝑀𝑀 = (1 + Ø12+ Ø22)𝜆𝜆 − Ø12.𝜆𝜆1− Ø22.𝜆𝜆2 (15.1) −2∆𝑀𝑀1= −Ø12. 𝜆𝜆 + (Ø12+ Ø32+ Ø42)𝜆𝜆1− Ø32. 𝜆𝜆3− Ø42. 𝜆𝜆4 ……… (15.2) −2∆𝑀𝑀2= −Ø22. 𝜆𝜆 + (Ø22+ Ø52+ Ø62)𝜆𝜆2− Ø52. 𝜆𝜆5− Ø62. 𝜆𝜆6 ……… (15.3) −2∆𝑀𝑀3= −Ø32. 𝜆𝜆1+ (Ø32+ Ø72+ Ø28)𝜆𝜆3− Ø72. 𝜆𝜆7− Ø82. 𝜆𝜆8 ……… (15.4) −2∆𝑀𝑀4= −Ø4. 𝜆𝜆1+ (Ø42+ Ø92+ Ø102 )𝜆𝜆4− Ø92. 𝜆𝜆9+ Ø102 . 𝜆𝜆10 ……… (15.5) −2∆𝑀𝑀5= −Ø52. 𝜆𝜆2+ (Ø52+ Ø112 + Ø122 )𝜆𝜆5− Ø112 . 𝜆𝜆11− Ø122 . 𝜆𝜆12 ……… (15.6) −2∆𝑀𝑀6= −Ø62. 𝜆𝜆2+ (Ø62+ Ø132 + Ø142 )𝜆𝜆6− Ø132 . 𝜆𝜆13− Ø142 . 𝜆𝜆14 ……… (15.7) −2∆𝑀𝑀7= −Ø72. 𝜆𝜆3+ (Ø72+ Ø152 + Ø162 )𝜆𝜆7− Ø152 . 𝜆𝜆15− Ø162 . 𝜆𝜆16 ……… (15.8) −2∆𝑀𝑀8= −Ø82. 𝜆𝜆3+ (Ø82+ Ø172 + Ø182 )𝜆𝜆8− Ø172 . 𝜆𝜆17− Ø182 . 𝜆𝜆18 ……… (15.9) −2∆𝑀𝑀9= −Ø92. 𝜆𝜆4+ (Ø92+ Ø192 + Ø220)𝜆𝜆9− Ø192 . 𝜆𝜆19− Ø202 . 𝜆𝜆20 ……… (15.10) −2∆𝑀𝑀10= −Ø10. 𝜆𝜆4+ (Ø102 + Ø212 + Ø222)𝜆𝜆10− Ø212 . 𝜆𝜆21− Ø222 . 𝜆𝜆22 ……… (15.11) . . . . −2∆𝑀𝑀𝑛𝑛−4= ⋯ − Ø𝑛𝑛−42 . 𝜆𝜆𝑛𝑛−5 2 + (Ø𝑛𝑛−4 2 _{+ Ø} 2𝑛𝑛−7 2 _{+ Ø} 2𝑛𝑛−6 2 _)𝜆𝜆 𝑛𝑛−4 ……… (15.n-3) −2∆𝑀𝑀𝑛𝑛−3= ⋯ − Ø𝑛𝑛−32 . 𝜆𝜆𝑛𝑛−5 2 + (Ø𝑛𝑛−3 2 _{+ Ø} 2𝑛𝑛−5 2 _{+ Ø} 2𝑛𝑛−4 2 _)𝜆𝜆 𝑛𝑛−3 ……… (15.n-2) 2∆𝑀𝑀𝑛𝑛−2= ⋯ − Ø𝑛𝑛−22 . 𝜆𝜆𝑛𝑛−3₂ + (Ø2𝑛𝑛−2+ Ø2𝑛𝑛−32 + Ø2𝑛𝑛−22 )𝜆𝜆𝑛𝑛−2 ……… (15.n-1) 2∆𝑀𝑀𝑛𝑛−1= ⋯ − Ø𝑛𝑛−12 . 𝜆𝜆𝑛𝑛−3₂ + (Ø2𝑛𝑛−1+ Ø2𝑛𝑛−12 + Ø2𝑛𝑛2 )𝜆𝜆𝑛𝑛−1 ……… (15.n)

(55)

49 Las ecuaciones (15.1) al (15.(n)) pueden expresarse mediante una ecuación lineal: 𝐴𝐴_{𝑚𝑚,𝑛𝑛}. 𝑋𝑋_𝑛𝑛,1 = 𝐵𝐵_𝑛𝑛,1 y será mostrado a continuación:

(56)

50 −Ø1 (Ø1+ Ø3+ Ø4) 0 −Ø3 −Ø4 0 0 0 0 0 . −Ø22 0 (Ø22+ Ø52+ Ø62) 0 0 −Ø₅2 −Ø62 0 0 0 . 0 −Ø32 0 (Ø32+ Ø72+ Ø28) 0 0 0 −Ø72 −Ø82 0 . 0 −Ø42 0 0 (Ø42+ Ø92+ Ø102) 0 0 0 0 −Ø92 −Ø102

A=

0 0 −Ø52 0 0 (Ø52+ Ø112 + Ø122) 0 0 0 0 0 0 0 −Ø62 0 0 0 (Ø62+ Ø132 + Ø142) 0 0 0 0 0 0 0 −Ø72 0 0 0 (Ø27+ Ø152 + Ø162) 0 0 0 0 0 0 −Ø82 0 0 0 0 (Ø82+ Ø172 + Ø182 ) 0 0 0 0 0 0 −Ø92 0 0 0 0 (Ø92+ Ø192 + Ø202) 0 0 0 0 0 −Ø102 0 0 0 0 0 . . . . −Ø112 0 0 0 0 . . . . _−Ø₁₂2 0 0 0 0 . . . . _−Ø₁₃2 . . . . . . . .

(57)

51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Ø𝑛𝑛−42 + Ø2𝑛𝑛−72 + Ø2𝑛𝑛−62 ) 0 0 0 . . . 0 (Ø𝑛𝑛−32 + Ø2𝑛𝑛−52 + Ø2𝑛𝑛−12 ) 0 0 . . . 0 0 (Ø𝑛𝑛−22 + Ø2𝑛𝑛−32 + Ø2𝑛𝑛−22 ) 0 . . . 0 0 0 (Ø𝑛𝑛−12 + Ø2𝑛𝑛−12 + Ø2𝑛𝑛2 ) (𝒏𝒏, 𝒏𝒏) Parte inferior (derecha) de la Matriz A .

(58)

52 𝜆𝜆 ∆𝑀𝑀 𝜆𝜆1 ∆𝑀𝑀1 𝜆𝜆2 ∆𝑀𝑀2 𝜆𝜆3 ∆𝑀𝑀3 𝜆𝜆4 ∆𝑀𝑀4 . .

𝑋𝑋 =

.

_{; 𝐵𝐵 = −2}

. . . 𝜆𝜆𝑛𝑛−4 ∆𝑀𝑀𝑛𝑛−4 𝜆𝜆𝑛𝑛−3 ∆𝑀𝑀𝑛𝑛−3 𝜆𝜆𝑛𝑛−2 ∆𝑀𝑀𝑛𝑛−2 𝜆𝜆𝑛𝑛−1 ∆𝑀𝑀𝑛𝑛−1 (𝒏𝒏, 𝟏𝟏) (𝒏𝒏, 𝟏𝟏) Matriz Columna : X , B .

(59)

Se observa que la matriz “A” es cuadrada y simétrica. Y mediante: Xn,1 =

−

n m

A

_, Bn,1, se calculará los “n” multiplicadores de

Lagrange: (𝜆𝜆, 𝜆𝜆₁, 𝜆𝜆₂, … , 𝜆𝜆_𝑛𝑛−1)

2.4.5 Cálculo de las “(2n+1)” correcciones (∆𝑳𝑳)

Seguidamente con las ecuaciones: (14.1) al (14.(2n+1)) se calcularan: ∆𝐿𝐿𝐴𝐴, ∆𝐿𝐿1, ∆𝐿𝐿2, … ∆𝐿𝐿2𝑛𝑛,; las “(2n+1)” correcciones respectivamente.

2.4.6 Corrección de las leyes

Finalmente se corrigen las leyes:

Datos Corregidos = Datos - Correcciones

LAc = LA - ∆LA ... (16.1) L1c = L1 - ∆L1 ... (16.2) L2c = L2 - ∆L2... (16.3) . . . L(n-3)c = Ln-3 - ∆Ln-3 ... (16.1) L(n-2)c = Ln-2 - ∆Ln-2 ... (16.1) L(n-1)c = Ln-1 - ∆Ln-1 ... (16.1) . . . . . . L(2n-2)c=L2n-2 – ΔL2n-2 ... (16.(2n-1)) L(2n-1)c=L2n-1 – ΔL2n-1 ... (16.(2n)) L2nc = L2n - ΔL2n ... (16.(2n+1))

(60)

CAPITULO III

CORRECCIÓN DE LEYES DEL CIRCUITO DE FLOTACIÓN BULK POR MULTIPLICADORES LAGRANGE.

En el circuito se observa a dos celdas (nodos) enlazados, además de su alimento y sus cuatro flujos.

El siguiente cuadro muestra las lecturas (leyes) a ser corregidos, de un circuito de flotación bulk. Donde 𝑃𝑃(𝑖𝑖) denota factores de ponderación.

Cuadro 3.1: Leyes – Análisis Químico a corregir.

𝑳𝑳_𝒖𝒖(𝒊𝒊) Flujo (u) Cu (%) Zn (%) Ag (g/t) Bi (g/t) Mo (%) Fe (%) Pb (%) A. Alimento 1.88 3.504 61.86 237.808 0.012 5.456 0.023 1. Conc.Bulk 42.28 6.714 1236.089 5319.722 0.06 15.811 0.432 2. Relave.Bulk 0.175 0.241 11.219 24.048 0.007 5.196 0.006 3. Conc.Zinc 2.018 58.285 84.88 242.686 0.054 2.397 0.034 4. Relave.Gen. 0.1 0.138 9.9 20.76 0.002 9.87 0.002 𝑷𝑷(𝒊𝒊) ₁₀ ₅ _0.1 _0.1 _0.2 ₀ ₀ Concentración Cu Concentración Zn