“AÑODE LA INTEGRACIÓN NACIONAL Y EL RECONOCIMIENTO DE NUESTRA DIVERSIDAD”
“UNIVERSIDAD NACIONAL SAN LUIS GONZAGA DE ICA”
“FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL”
“METODO DE AREAS DE MOMENTOS”
CATEDRATICO
:
Mg. Alejandro Crispín Gómez
INTEGARNTES
:
AYBAR ANTEZANA JOCELYN RUTH HUARCAYA HUAMANI MARILEY YANETLICAS REDOLFO LUIS
URBINA MONTEROLA TU PAPI II CHIVAN
CICLO
:
VI – A
ICA - PERÚ
2012
Dedicamos este trabajo a la JUventud estudiosa. Trece años contigo!!! Puro sentimiento!!!
DEFORMACION DE VIGAS- METODO DE AREA DE MOMENTOS
Un sistema dado de cargas que actúan sobre una viga; para lo cual se conocen las dimensiones de la viga y el módulo de la elasticidad; con lo cual se quiere determinar la flecha en un punto cualquiera de la viga deformada desde su posición original.
PRIMER TEOREMA DE AREA DE MOMENTOS
Donde:
ρ = radio de curvatura
En la figura que se muestra, AB representa una parte de la curva elástica de la viga y el diagrama rayado debajo de AB es la parte correspondiente al diagrama del momento flector.
“El ángulo de las tangentes en A y B es igual al área del diagrama de momento flector entre esos dos puntos, divididos por el producto E*I”
SEGUNDO TEOREMADEL AREA DE MOMENTOS
Consideramos la distancia vertical entre el punto B de la elasticidad y la tangente de esta curva trazada en A. En la figura se representa esta distancia por la flecha o por Δ.
“La distancia vertical entre el punto B de la curva elástica y la tangente trazada a la curva por A es igual al momento respecto a la vertical por B del área del diagrama de momento flector entre A y B divididos por EI”
En la figura la distancia vertical del punto B es BB’. La contribución a esta longitud BB’ de la flexión del elemento ds es el valor elemental xdθ
Se sabe que:
Problema:
Determinar la flecha en el punto A de la viga mostrada Solución:
1.- Cálculo de las reacciones en el punto C tomando momento con respecto a B
Σ MB = 0
2.- el cálculo de CD por el segundo teorema de área de momento
Calculo de еf por el mismo teorema anterior.
Haciendo la relación de triángulos:
Problema: Determinar la desviación del punto
C con respecto al a tangente trazada en el punto B, de la viva mostrada en la fig. dar los
resultados en función de E*I.
Solución:
a) Aplicando el segundo teorema de área de momentos
t
c/b= Momento del área bajo el diagrama M/EI
El signo menos (-) significa que le punto C esta en la dirección negativa (es decir en dirección de la tangente trazada en B)
Problema: calcular la deflexión total en el extremo libre del a viga mostrada en la figura. Dar la
respuesta en función de E*I
PROBLEMA: Calcular la pendiente en radianes y la deflexión en mm.; del extremo libre de la viga mostrada en la fig, sabiendo que: E =200Gpa e
4 6
10 359x m
Solución
En este caso como en muchos casos de cargo combinado, es más conveniente calcular las deflexiones y pendientes, para cada carga en forma independiente, y después combinadas (superponer) los resultados.
• En este problema importa la posición final del extremo libre; puede esta encima o debajo del punto C. por ahora se supone que se encuentra debajo de la posición inicial.
4 216 5 32 6 3 2 6 72 2 1 2 4 4 3 4 24 3 1 x EI x EI x x EI x x x EI C =− + + + − = ∆
( )
+ = + − = ∆ EI EI EI C 704 864 160en este caso indica que el punto C’ queda arriba de la temperatura. Reemplazar: valores
[
KN,m]
mm x x x m C 9.81 10 359 10 200 00981 . 0 704 6 6 ≅ = = ∆ −La pendiente se obtiene aplicando el 1er teorema de área de movimientos.
6 6 359 10 10 200 184 184 216 32 − = + = + − = x x x EI EI EI C φ
PROBLEMA: Hallar la pendiente y la deflexión en el extremo libre de la viga mostrada en al figura EI =cte
θ Solución 0 = A IM 0 8 12 6 2 6 4 2 = − + − x RBx x 168 96 72 6RB = + = kn RB =28 θA 72/EI
+ + − + + + − = 6 4 3 2 6 72 3 1 6 3 2 2 6 168 2 1 8 3 2 8 96 2 1 / x x EI x x x EI x x EI tC A 5 . 6 144 6 504 3 16 384 / x EI x EI x EI tC A =− + − EI EI EI tC/A =−2048+3024−936 EI tC/A =+40 (I)
( )
− + − − = 6 4 3 6 72 3 1 6 3 2 6 168 2 1 6 3 2 6 72 2 1 3 6 24 / x x EI x x x EI x x x EI x x EI tB A EI x EI x EI x EI x EI tB/A =−144 3−216 4+504 4−144 4.5= 72 (II) Efectuando la relación de ∆EF 6 8 / = A B C t δ EI EI x tB A C 96 72 6 8 6 8 / = = = δ (III) De la Fig: EI EI EI t AC =δC − C/A = 96 − 40 = 56 (Hacia abajo) EI EI EI EI C A 24 144 504 384+ − =− − = =φφ (En sentido horario) (IV)
EI EI t Tag B A A A 12 72 6 / = = = = φ φ (V) En (IV) EI EI C 24 12 − =− φ Resolviendo: EI C 36 = φ
concentrada de 450 kgr. E=7x104kgr/cm2 , I =11987 cm.4 4. Se desea determinar la flecha
máxima por el método de viga conjugada.
Diagrama de momento flector reducido
LA VIGA CONJUGADA
En La Viga Conjugada Es La Reacción De Las Cargas Externas (Fig. Anterior)
R1=112.5Kgr
R2=337.50
303.75/EI
Solución
La viga real está en equilibrio, por tanto se pueden determinar las reacciones. Aplicando las ecuaciones de equilibrio estático.
0 = IMA (I) 0 ) 60 . 3 ( ) 70 . 2 ( − 2 = = R P kgr X R 337.5 60 . 3 70 . 2 450 2 = = 0 =
∑
FV (II) P R R1 + 2 = 5 . 337 450 1 = − R kgr R1=112.50Determinar el diagrama de momento flector
El momento flector máximo se obtiene aplicando la formula:
75 . 303 60 . 3 9 . 0 7 . 2 450 = = X X MMAX (III)
Determinar la variación de la carga vertical, de la zona I: Empleando la relación de ∆EF. EI X Y EI X Y X EI Y 112.5 7 . 2 75 . 303 70 . 2 75 . 303 = = = (IV) Para determinar el
(
)
EI x x x EF x x A 75 . 303 9 . 0 2 1 70 . 2 3 1 9 . 0 75 . 303 70 . 2 2 1 60 . 3 − + − = φ φ = 0.90 2 3 x EI EI EI A 124 . 820 012 . 82 112 . 738 60 . 3 φ = + = EI A 812 . 227 = φ (V) 0 =∑
MA para obtener φB =? + + 3 2.70 2 0.90 2.70 3 0.9 70 . 2 2x x EI x x x x EI x
(
3.60)
=0 B φ EI EI EI B 174 . 1148 062 . 410 112 . 738 60 . 3 φ = + = EI B 937 . 318 = φ (VI)La flecha máxima tendrá lugar en la sección usando al pendiente es cero (sección D) situada a una distancia x del apoyo izquierdo, ósea en el diagrama de fuerza constante VX =0 en la viga conjugada. 0 5 . 112 2 1 812 . 227 − = = EI x x EI VX Simplificando EI:56.25x2 =227.812 Reemplazando: x=2.012m (VII)
La deformaron vertical en el punto D, se determina una al momento flector de la viga conjugada.
