Armonía, Acústica y Temperamentos
Armonía, Acústica y Temperamentos
Afinación de pianos
Afinación de pianos
El temperamento estirado (2012-2014) El temperamento estirado (2012-2014) Dinámica de sistemas no line
Dinámica de sistemas no linealales en la armonía (2005)es en la armonía (2005)
Índice:
Índice:
1·1· El El sonido sonido 22
2·
2· Las Las notas notas y y sus sus intervalos intervalos 22 3· 3· Armonía Armonía 22 4· 4· Acústica Acústica 44 5· 5· Temperamento Temperamento 55 6·
6· Temperamento Temperamento justo justo 77
7·
7· Temperamento Temperamento igual igual - - por por octavas octavas justas justas 88 8·
8· Afinación Afinación electrónica electrónica 99
9·
9· Temperamento Temperamento por por quintas quintas justas justas 1010 10·
10· Temperamento Temperamento por por terceras terceras mayores mayores justas justas 1212 11·
11· Conclusiones Conclusiones y y otros otros temperamentos temperamentos 1414 12·
12· Temperamento Temperamento de de la la curva curva Railsback Railsback 1515 13·
13· Temperamento Temperamento igual igual estirado estirado 1616 14·
14· Temperamento Temperamento igual igual estirado estirado por por quintas quintas justas justas 1717 15·
15· TemperameTemperamento nto igual igual estirado estirado por por terceras terceras mayores mayores justas justas 1818 16·
16· Afinar Afinar un un piano piano 1919
17·
17· Dinámica Dinámica de de sistemas sistemas no no lineales lineales 2121
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1· El sonido
1· El sonido
El sonido son ondas de presión. Es junto al silencio la base de la música. Un objeto vibrando puede El sonido son ondas de presión. Es junto al silencio la base de la música. Un objeto vibrando puede ser el origen del sonido, la vibración empuja el aire haciendo que se comprima y descomprima. Las ser el origen del sonido, la vibración empuja el aire haciendo que se comprima y descomprima. Las modulaciones de presión se desplazan por el aire hasta poder
modulaciones de presión se desplazan por el aire hasta poder llegar a nuestros sentidos llegar a nuestros sentidos mientras elmientras el objeto se atenúa.
objeto se atenúa.
Si el objeto que vibra es pequeño las vibraciones son rápidas y hará un sonido más agudo. Si el Si el objeto que vibra es pequeño las vibraciones son rápidas y hará un sonido más agudo. Si el objeto es grande las vibraciones son lentas y hará un sonido más grave. Si la onda desplaza muchas objeto es grande las vibraciones son lentas y hará un sonido más grave. Si la onda desplaza muchas partículas de aire será un sonido i
partículas de aire será un sonido intenso. Y si desplaza pocas será suave.ntenso. Y si desplaza pocas será suave.
Las vibraciones del aire, como cualquier onda, tienen un espectro de frecuencias (transformada de Las vibraciones del aire, como cualquier onda, tienen un espectro de frecuencias (transformada de Fourier): se puede descomponer el sonido en f
Fourier): se puede descomponer el sonido en f recuencias e intensidad para cada frecuencia.recuencias e intensidad para cada frecuencia. Para un objet
Para un objeto vibrando, la frecuencia o vibrando, la frecuencia más grave del emás grave del espectro es la frecuespectro es la frecuencia ncia fundamental - f fundamental - f 11
que tiene un ancho de banda. El resto de frecuencias del espectro se le llama
que tiene un ancho de banda. El resto de frecuencias del espectro se le llama armónicos - f armónicos - f 22 ,f ,f 33 , f , f 44,...,...
Los armónicos (sin inharmonicidades) son múltiplos de la frecuencia fundamental:
Los armónicos (sin inharmonicidades) son múltiplos de la frecuencia fundamental:
y también tienen un ancho de banda. El espectro de frecuencias es el timbre característico del y también tienen un ancho de banda. El espectro de frecuencias es el timbre característico del objeto que vibra.objeto que vibra.
2· Las notas y sus intervalos
2· Las notas y sus intervalos
El piano actual se afina normalmente
El piano actual se afina normalmente en la nota ‘la’en la nota ‘la’ a A4 = 440 Hz. Las notas de un piano estándara A4 = 440 Hz. Las notas de un piano estándar van desde A0 hasta C8, un registro de más de 7 octavas.
van desde A0 hasta C8, un registro de más de 7 octavas.
Los intervalos es la distancia entre notas y su nombre viene de la escala diatónica (7 notas): Los intervalos es la distancia entre notas y su nombre viene de la escala diatónica (7 notas):
Nota
Nota A A A# A# B B C C C# C# D D D# D# E E F F F# F# G G G# G# AA Intervalo
Intervalo 1 1 2b 2b 2 2 3m 3m 3M 3M 4 4 5b 5b 5 5 5# 5# 6 6 7 7 maj7 maj7 88
3· Armonía
3· Armonía
El sonido son ondas con picos y valles de presión. Cuando dos o más ondas se trasladan en el El sonido son ondas con picos y valles de presión. Cuando dos o más ondas se trasladan en el mismo medio se suman sus amplitudes.
mismo medio se suman sus amplitudes.
En rojo
En rojo y azul dos onda de la misma frecuy azul dos onda de la misma frecuencia e intensidad. En verde el resultado encia e intensidad. En verde el resultado de la suma.de la suma.
Las notas del pentagrama y del piano.
Las notas del pentagrama y del piano.
Los intervalos de una octava respecto
Los intervalos de una octava respecto a la nota ‘la’. En na la nota ‘la’. En naranja el aranja el acorde de ‘la mayor’.acorde de ‘la mayor’.
Suma
Si las ondas tienen frecuencia diferente su suma hace una onda envolvente, que puede ser rápida o lenta, regular o irregular. Por ejemplo:
a) La suma de f 1 y f 2 es muy constructiva. El intervalo se llama octava justa.
En una cuerda f 2 es un valor un poco mayor que 2·f 1, a esto se le llama inharmonicidad.
b) La suma de f 2 y f 3 también es constructiva. El intervalo se llama quinta justa. f 3 es también
la quinta justa de f 1, pero una octava por encima.
Aunque es un patrón regular, entre tónica y quinta siempre hay batidas por sus armónicos respectivos. Los armónicos de la tónica (na·f 1) son diferentes que los de la quinta (nb·f 3).
c) A medida que se utilizan proporciones con números mayores su suma muestra un patrón más complicado y lo escuchamos disonante, más cercano al ruido.
d) Si se utiliza una proporción irracional el resultado es un patrón irregular (no periódico) que puede ser más o menos consonante. En el siguiente caso es disonante y corresponde al intervalo de quinta bemol:
0 10 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 0 10 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 0 10 -2 -1 0 1 2
Patrón 2:1. f 1 en azul, f 2 (2·f 1 ) en rojo. La suma en verde es un patrón regular.
Patrón 3:2. f 2 en azul, f 3 (3·f 1=3/2·f 2 ) en rojo, la suma en verde es un patrón regular.
Patrón
. La suma es un patrón irregular.Patrón 37:20. La suma en verde es un patrón regular pero complicado.
4· Acústica
El sonido en un piano parte del accionamiento de la tecla. Este movimiento de palanca se traslada a través del mecanismo (más palancas) hasta el martillo para que éste golpee las cuerdas correspondientes (3 cuerdas con la misma f 1 para la parte central y aguda del piano).
Las cuerdas entonces vibran, y su timbre depende tanto de las cuerdas (ancho, largo, densidad, material, tensión), como del martillo, y de cómo y dónde les golpea el martillo (enfatizará unos armónicos más que otros). La cuerda vibrará de una manera complicada (aunque se puede descomponer su espectro en la frecuencia fundamental y sus armónicos). La cuerda en movimiento tiene nodos y valles (antinodos), y está vibrando a la vez en diferentes armónicos, por lo que tendrá a la vez los nodos y valles de sus armónicos. A todo esto, además, la cuerda tiene un diámetro y una elasticidad que hace que los nodos no sean un punto de la cuerda sino que tienen un tamaño, por lo que el valle de los armónicos es más pequeño de lo que sería idealmente, y hacen frecuencias más agudas. Dicho más sencillo, los armónicos de una cuerda no son múltiples exactos de f 1 sino que son frecuencias más elevadas. La inharmonicidad no ocurre
solo en las cuerdas, pasa en cualquier objeto que vibre.
La vibración de las cuerdas se transmite por medio del puente a la tabla armónica, que son láminas de madera de abeto que actúan como amplificador añadiendo timbre al sonido producido. El aire alrededor de la tabla armónica vibra y llega a nuestros oídos que lo transforma a señales eléctricas para el sistema nervioso.
5· Temperamento
El temperamento son las frecuencias que cogemos para hacer música, con uno o varios instrumentos. La definición es muy amplia, y así definida cualquier grupo de sonidos pueden ser un temperamento. Pero como hay intervalos que son más consonantes que otros (relación de frecuencias simples) se entiende que el temperamento es un conjunto de notas consonantes.
Dentro del temperamento se puede partir de una frecuencia base y a partir de ahí ir haciendo relaciones simples para obtener el resto de frecuencias, de esta manera se obtienen instrumentos como las armónicas tonales (hay una para cada tono) o el sitar (que está en un tono concreto y hay cuerdas que vibran por resonancia - cuerdas simpáticas). Este temperamento es muy consonante pero solo hay una frecuencia base.
Otra manera de hacer el temperamento y que veremos más adelante, es buscar alguna manera de que todas las notas que obtengamos puedan ser la frecuencia base y el instrumento nos permita cambiar de tono, todas las notas tengan disponibles los mismos intervalos. Este tipo de temperamento se puede decir que es la manera occidental y actual de hacer música, se llama temperamento igual.
Si los intervalos disponibles para todas las notas no son iguales pero son parecidos, es un caso intermedio a las dos maneras de hacer el temperamento comentadas. Estos temperamentos se llaman temperamento desigual o well-temperament (buen temperamento). En esta categoría hay muchos temperamentos históricos.
Históricamente (con instrumentos como el monocordio o la cítara, que son los predecesores de los instrumentos de cuerda, del arpa, y por tanto también del piano) el temperamento ha estado relacionado con las matemáticas, por ejemplo Pitágoras, Euclides, Ptolomeo o Kepler hicieron estudios sobre afinación. Pitágoras básicamente cogía una cuerda y miraba como cambiaba el sonido si la hacía más larga o corta, si le ponía más tensión, si era más gruesa,...
Se parte de una frecuencia base (lo normal es coger la frecuencia fundamental de una cuerda en tensión, f 1), lo siguiente es coger la siguiente nota, la lógica es coger el intervalo más simple, que es
f 2 = 2·f 1, lo que hoy conocemos como octava. El siguiente es f 1 = 3·f 1, lo que hoy conocemos como
quinta, y así ir sacando más notas. De esta manera es fácil entender el uso de la escala pentatónica (5 notas) en todas las culturas, y también de la escala diatónica (7 notas), son las escalas con las notas más consonantes. La escala diatónica es la que utilizamos para designar los intervalos, como octava, quinta, tercera mayor,... pero la escala diatónica tiene una nota que no tiene quinta, sino que tiene una quinta bemol también llamada tritono.
Pitágoras hizo un temperamento a partir de ir haciendo quintas sobre cada nota, y resultó que al hacer 12 notas prácticamente se obtenía la nota inicial. Y es la base de la afinación occidental actual donde cada nota tiene casi una quinta justa. Es la escala cromática.
Un vez se tuvieron las 12 notas se vio que el temperamento no podía ser perfecto para cada nota de la escala, a partir de ahí se dio más importancia a unos intervalos que a otros, y se hicieron métodos de afinación diversos a lo largo de la historia. Entre estos temperamentos se encuentra el temperamento por terceras mayores (en vez de utilizar la octava o la quinta como referencia, lo hace con la tercera mayor), los temperamentos desiguales (Werkmeister, Vallotti, Kirnberger,... tienen la octava como referencia y la dividen) o el temperamento igual.
Curiosamente, aunque los intervalos con relaciones más simples son la octava (2:1) y la quinta (3:2), el uso de temperamentos en que su intervalo base sea la octava y la quinta es posterior al uso de temperamentos con la tercera mayor como base (relación 5:4). Con el paso del tiempo se ha ido paulativamente desafinando la tercera mayor, para ir haciendo temperamentos desiguales (well-temperament) y finalmente en el siglo XX ir al temperamento igual donde la base es la octava justa y la quinta un poco desafinada.
Históricamente el temperamento tenía el intervalo base en las terceras mayores. Luego se utilizó el temperamento desigual (Well-temperament). Y actualmente se usa el temperamento igual.
El temperamento igual tiene todos los tonos iguales con lo s mismos intervalos para cada nota, y por eso se dice que tiene menos colores.
6· Temperamento justo
- Just intonation Para poder hacer melodías o acordes senecesitan diversas notas dentro de la octava que sean sonidos consonantes con f 1 (aunque incluso esas notas
consonantes, cada una tiene sus correspondientes armónicos que crean pequeñas disonancias con f 1). Cuanto más
consonantes sean las notas de un acorde, más consonante será el acorde. Lo mismo para las melodías, escalas,...
Así que la manera de obtener notas consonantes es haciendo los armónicos de f 1. Los intervalos entre las notas obtenidas
y f 1 se llaman intervalos justos. Como
hemos visto, f 2 es la octava justa y f 3 la
quinta justa. f 4 es otra octava, f 5 es la
tercera mayor justa,...
Algunos de estos múltiplos de f 1 tienen la
equivalencia dentro de la escala diatónica, o sea, una nota con frecuencia parecida. En la siguiente tabla yo he cogido las relaciones más simples que puedan coincidir con notas de la escala diatónica (algunos valores pueden ser diferentes):
Viendo la tabla se puede entender el extenso uso de la escala pentatónica y diatónica, son escalas que contienen notas con intervalos muy consonantes.
El problema de una escala como ésta (hecha a partir de armónicos), es que al cambiar f 1 y utilizar
otra nota de esa escala como fundamental, las demás notas de la escala pierden la consonancia. Por ejemplo, si cogemos f 1=495Hz que corresponde al B4, su quinta justa (3/2) es: f 3=742,5Hz, lo
cual no coincide con el F#5 de la escala que teníamos (733,33Hz).
Por tanto, una escala hecha a partir de armónicos (aunque sea otra escala diferente o con otros valores) solo puede tocarse en un tono, en f 1.
Nota A4 A#4 B4 C5 C#5 D5 D#5 E5 F5 F#5 G5 G#5 A5
Relación con f 1 1:1 17:16 9:8 6:5 5:4 4:3 17:12 3:2 19:12 5:3 7:4 15:8 2:1
Temperamento justo(Hz) 440 467,5 495 528 550 586,67 623,33 660 696,67 733,33 770 825 880
Frecuencia fundamental y armónicos justos de una cuerda. Los valores son la división de la cuerda, el valor es la inversa de la
relación de f n con f 1.
Intervalos justos a partir de 440Hz y comparando con las notas de la escala diatónica. En rojo los intervalos 1, 3M, 5 y 8. El acorde mayor.
7· El Temperamento igual - por octavas justas
- Equal temperamentEs el temperamento que llevan por defecto los aparatos electrónicos y es el más extendido en la afinación actual de pianos. Se divide la octava justa para que cada nota de la escala pueda ser f 1,
que los intervalos sean los mismos para cada nota. Se necesita dividir la octava logarítmicamente. La escala se divide en 12 notas porque de esta manera se obtienen notas que están muy cercanas a notas consonantes, a los intervalos justos (ver ANEXO I). Los demás tipo de divisiones, por ejemplo 17, 19, 21 o 22, tienen algunas notas cercanas a las consonantes, pero no tantas como al dividir en 12. Dividir la octava en 24 notas no aporta nuevas consonancias aunque sí nuevas disonancias. Así que, a cambio de perder consonancia, cualquier nota de la escala puede ser la tónica. Para pasar de una nota al siguiente semitono se utiliza el factor
1,059463094 .Nota A4 A#4 B4 C5 C#5 D5 D#5 E5 F5 F#5 G5 G#5 A5 Relación justa 1:1 17:16 9:8 6:5 5:4 4:3 17/12 3:2 19/12 5:3 7:4 15:8 2:1 Temperamento justo(Hz) 440 467,5 495 528 550 586,67 623,33 660 696,67 733,33 770 825 880 Relación logarítmica 20/12 21/12 22/12 23/12 24/12 25/12 26/12 27/12 28/12 29/12 210/12 211/12 212/12 Temperamento igual(Hz) 440 466,2 493,9 523,3 554,4 587,3 622,3 659,3 698,5 740 784 830,6 880 Diferencia (Hz) 0,0 -1,3 -1,1 -4,7 4,4 0,7 -1,1 -0,7 1,8 6,7 14,0 5,6 0,0
Se puede ver en la tabla como con el Temperamento igual se obtienen notas más y menos afinadas comparadas con los intervalos justos. Por ejemplo quedan claramente desafinadas la 3m, 3M, 6 y 7. La quinta queda un poco corta, pero mucho menos desafinada que las terceras.
En principio el oído humano capta sonidos de entre 20 y 20000 Hz, y distingue sonidos a partir de 2 Hz de diferencia. Pero cuando los sonidos son simultáneos se diferencian aunque tengan frecuencias muy parecidas, porque se capta la onda envolvente (se oyen batidas). Esas batidas se pueden utilizar para afinar pianos, desafinando la quinta justa (acortándola) o la tercera mayor justa (alargándola) para conseguir un temperamento igual (que solo tiene la octava justa).
El problema de contar batidas para afinar es que la cantidad de batidas depende de las notas. En el temperamento igual no son las mismas batidas entre las notas A4 -E5 (batidas de 1,49Hz), que entre las notas E5-B5 (batidas de 2,23Hz), a pesar de ser el mismo intervalo (quintas del Temperamento igual). La quinta E5-B5 bate más rápido que la quinta A4-E5, porque son notas más agudas, con más Hz. Por tanto, para afinar contando batidas hay que tener un método de contar batidas y seguirlo, porque cada nota y el intervalo que cojamos batirá con diferente frecuencia. Otra opción es utilizar las batidas para que estén equilibradas: 1) haciendo las quintas un poco cortas de manera intuitiva, o 2) por terceras mayores, se hacen las terceras mayores largas para que cuadren con la octava justa (se explica más adelante).
El cálculo de batidas para las quintas y las terceras mayores en el temperamento igual está dentro del apartado de temperamento por quintas justas y temperamento por terceras mayores justas respectivamente (páginas 11 y 13).
Como en el Temperamento igual hay más batidas por segundo en la tercera mayor que en la quinta, si se afina un piano contando batidas suele ser más cómodo utilizar las terceras mayores.
Tabla comparativa entre el Temperamento justo y el Temperamento igual.
8· Afinación electrónica
Además de afinar de oído un piano, también se puede afinar con un aparato electrónico. En los aparatos electrónicos las unidades de frecuencia son Hz y cents, son escalas diferentes y difíciles de comparar entre sí:
· Los Herz (Hz) son la inversa del segundo, que es una medida lineal.
· Los cents son una división uniforme de la octava justa. En una octava justa hay 1200 cents, por lo que en un semitono del Temperamento igual hay 100 cents. El cent es una medida muy pequeña pero cómoda por ser independiente de la frecuencia de la nota o sonido, por tanto muy útil para comparar frecuencias o para medir la desviación respecto a una frecuencia. El cent es una escala logarítmica. Para expresarlo matemáticamente, en una octava ( entre f 1 y f 2) hay 1200 cents:
‘ x ’ es el factor de conversión, resolviendo se obtiene que
. Así, para convertir el valor de las frecuencias a cents o Hz:
Expresando el Temperamento igual en Hz o cents se puede notar que la representación es diferente. Hay 100 cents entre cada semitono del Temperamento igual. En cambio en Hz no se puede hacer una consideración parecida, cada intervalo tiene distintos Hz (es exponencial).
A partir de aquí (Temperamento igual), se pueden formar diferentes temperamentos para tratar de conseguir más consonancias, otras sonoridades, o porque son otras maneras de afinar un piano. Por ejemplo:
- Temperamento de quintas justas (Pythagorean tuning) - Temperamento de terceras justas (Meantone)
- Otros temperamentos (Kimberger, Vallotti, Werkmeister,...) - Temperamento estirado (Stretch)
Temperamento igual entre A4 y A6 expresado en Hz. Temperamento igual entre A4 y A6 expresado en cents.
9· Temperamento por quintas justas -
Pythagorean tuningEste temperamento se obtiene a partir de la quinta justa de cada nota. Se multiplica por 3/2 para hacer la quinta justa, y se multiplica por 3/4 para obtener la quinta de la octava inferior. En este caso se ha empezado por el A4, para ir obteniendo las quintas: E5, B4, F#5, ..., C5, G5, D5 y A5.
Nota A4 A#4 B4 C5 C#5 D5 D#5 E5 F5 F#5 G5 G#5 A5
T. igual(Hz) 440 466,16 493,88 523,25 554,37 587,33 622,25 659,26 698,46 739,99 783,99 830,61 880
T. quintas(Hz) 440 469,86 495,00 528,60 556,88 594,67 626,48 660,00 704,79 742,50 792,89 835,31 892,01
El problema de este temperamento es que no cierra la octava o produce una quinta del lobo.
Como A5 tiene 892,01Hz en vez de 880 (una diferencia de 23,5 cents que se redondea a 24 cents), el círculo de quintas no queda cerrado.
La quinta del lobo sería el intervalo que se produce entre el D5 de este temperamento (594,67Hz) y la octava justa (880Hz). En vez de tener 700 cents tiene 678,5 y suena disonante, muy lejos del intervalo justo 3:2.
Cuando se afina de oído por quintas, se acortan las quintas justas para obtener el Temperamento igual. Dicho de otro modo, se reparten los -24 cents entre todas las quintas (12 quintas), a cada quinta le corresponden -2 cents (llamado schisma).
A cualquier quinta justa, desde cualquier f 1, le sobran 2 cents para hacer el Temperamento igual.
Pero el número de batidas de las quintas cortas es diferente para cada nota, depende de f 1.
En el temperamento por quintas justas (Pitágoras) sobran 24 cents para poder cerrar la octava. Para obtener un temperamento igual hay que repartir los -24 cents entre todas las quintas. Por eso al afinar un piano por quintas, éstas se hacen -2 cents cortas.
El número de batidas de una nota con su quinta por temperamento igual se calcula comparando el tercer armónico de la primera nota con el segundo armónico de la quinta, porque esos armónicos tienen frecuencias cercanas (como se puede ver en los valores de la tabla) y las batidas se notan más que en los armónicos que tienen frecuencias distantes.
Las batidas son la diferencia entre el 3º armónico de la nota y el 2º armónico de su quinta:
nota 3º armónico nota (Hz) quinta 2º armónico quinta (Hz) Batidas por segundo Duración de la batida en segundos
A3 660 E4 659,2 0,74 1,34 A#3 699,2 F4 698,4 0,79 1,27 B3 740,8 F#4 739,9 0,84 1,20 C4 784,8 G4 783,9 0,89 1,13 C#4 831,5 G#4 830,6 0,94 1,06 D4 880,9 A4 880 0,99 1,01 D#4 933,3 A#4 932,3 1,05 0,95 E4 988,8 B4 987,7 1,12 0,90 F4 1047,6 C5 1046,5 1,18 0,84 F#4 1109,9 C#5 1108,7 1,25 0,80 G4 1175,9 D5 1174,6 1,33 0,75 G#4 1245,9 D#5 1244,5 1,41 0,71 A4 1320 E5 1318,5 1,49 0,67
10· Temperamento por terceras mayores justas
- MeantoneSe aplica un factor 5/4 para obtener la tercera mayor justa (3M justa) de cada nota.
Nota A4 C#5 F5 A5
T. igual(Hz) 440,0 554,4 696,7 880
T. terceras mayores(Hz) 440,0 550,0 687,5 859,375
Con tres 3M ya se llega a la octava. Se puede ver que esta octava es muy corta (859,4Hz) y será disonante. Para afinar pianos se pueden alargar las 3M justas para llegar al temperamento igual. Aunque cada 3M tiene un número de batidas diferente.
Se afina por grupos: A-C#-F; A#-D-F#; B-D#-G; C-E-G#. Las 3M más agudas baten más rápido que las terceras más graves, y la octava es justa. Por tanto hay que conseguir que batan diferente pero de manera equilibrada, o calcular las diferentes batidas de cada intervalo.
De hecho hay diferentes temperamentos por terceras mayores. El más común se llama Meantone. Este temperamento hace uso del cuarto de coma sintónica (también llamada syntonic comma, chromatic diesis, the comma of Didymus, the Ptolemaic comma, or the diatoniccomma).
La coma sintónica es la diferencia entre la 3M justa (386,41 cents) y la 3M del Temperamento por quintas justas (407,82 cents). La coma sintónica es de unos -21,5 cents. Por tanto el cuarto de coma sintónica es de unos -5,37 cents.
Lo que se hace es quitar a la quinta igual (700 cents) esos -5,37 cents. Y queda una quinta de 694,62 cents. Con esa quinta reducida se hace el ciclo de quintas hasta llegar al A5.
Nota A4 A#4 B4 C5 C#5 D5 D#5 E5 F5 F#5 G5 G#5 A5
T. igual(Hz) 440 466,16 493,88 523,25 554,37 587,33 622,25 659,26 698,46 739,99 783,99 830,61 880
T. terceras mayores(Hz) 440,00 459,76 491,93 514,03 550,00 574,70 614,92 657,95 687,50 735,61 768,65 822,44 859,37
La octava es muy corta como habíamos visto (859,37Hz). Y vemos como también la quinta es corta (657,95Hz). Por lo que si se afina el Temperamento igual por terceras mayores, hay que alargar las terceras mayores, como ya habíamos dicho.
En el temperamento Meantone la coma sintónica se redondea a -5,5 cents. Si se hacen todas las quintas con esa diferencia respecto a la quinta justa, quedaría una quinta del lobo con 36,5 cents de más.
Frecuencias de tres 3M en temperamentos de igual y Temperamento por terceras mayores justas.
Para calcular las batidas de una nota con su tercera mayor en temperamento igual se hace parecido a como se ha hecho con la quinta del apartado anterior, se cogen los armónicos que tengan una frecuencia similar. En este caso es el quinto armónico de la primera nota y el cuarto armónico de la tercera mayor, que como se puede ver en la tabla, tienen una frecuencia parecida.
Las batidas son la diferencia entre el 5º armónico de la nota con el 4ª armónico de su 3M, y son mucho más rápidas que en Temperamento anterior por quintas justas:
nota 5º armónico nota (Hz) 3M 4º armónico 3M (Hz) Batidas por segundo Duración de la batida en segundos
A3 1100 C#4 1108,7 8,73 0,114 A#3 1165,4 D4 1174,6 9,25 0,108 B3 1234,7 D#4 1244,5 9,80 0,102 C4 1308,1 E4 1318,5 10,38 0,096 C#4 1385,9 F4 1396,9 11,00 0,091 D4 1468,3 F#4 1479,9 11,65 0,085 D#4 1555,6 G4 1567,9 12,35 0,081 E4 1648,1 G#4 1661,2 13,08 0,076 F4 1746,1 A4 1760 13,86 0,072 F#4 1849,9 A#4 1864,6 14,68 0,068 G4 1959,9 B4 1975,5 15,56 0,064 G#4 2076,5 C5 2093,0 16,48 0,061 A4 2200 C#5 2217,4 17,46 0,057
11· Conclusiones y otros temperamentos
En el Temperamento igual, la octava es justa (0 cents), la quinta queda corta (-2 cents) y la tercera mayor es muy larga (+13,7 cents) respecto a los intervalos justos.
En el Temperamento de quintas justas, la octava es muy larga (+24 cents), la quinta es justa (0 cents) y la tercera mayor es muy larga (+21,5) respecto a los intervalos justos.
En el Temperamento de terceras mayores justas, la octava es muy corta (-36,5 cents), la quinta es corta (-5,38 cents) y la tercera mayor es justa (0 cents) respecto a los intervalos justos.
Hay muchos otros temperamentos irregulares de la octava (Kimberger, Vallotti, Werkmeister,...), que reparten los -24 cents de diferentes maneras entre sus quintas. Esto hace que las tonalidades tengan distintas sonoridades (cada tono tiene un “color”), con distintos intervalos para cada tono. Estos temperamentos suelen tener importancia histórica y sirven para tocar piezas clásicas con el temperamento con las que fueron compuestas, aunque esas mismas piezas se pueden tocar con el temperamento igual sin ningún problema. Además, los valores para cada intervalo varían según la fuente de información. Un libro con mucha información de temperamentos es el de J. Javier Goldáraz Gainza - Afinación y temperamento en la música occidental .
También hay temperamentos en que la octava no es justa, en estos temperamentos se estira la octava para que sea más larga. Cuando la octava es más larga de lo que debería se dice que se ha estirado, es una octava con 'stretch'.
Diferentes temperamentos. En todos la octava es justa, se reparten -24 cents entre sus quintas. Cada temperamento tiene una sonoridad y beneficia intervalos de ciertos tonos.
12· Temperamento de la curva Railsback
Hasta ahora hemos hablado de armónicos justos de una cuerda sin inharmonicidades, en una cuerda unidimensional sus armónicos son múltiples de la frecuencia f undamental: f n=n·f 1.
Sin embargo, los objetos están en el espacio tridimensional 3D, y no en 1D o en 2D. Por ejemplo las cuerdas del piano, además de longitud, tienen un grosor, una composición, una tensión y pueden empezar a vibrar de maneras diversas. De hecho, todo eso define el timbre de cada tecla del piano. Esto provoca que el nodo de vibración de los armónicos no sea puntual, sino que tiene un tamaño y un comportamiento que depende del material del objeto y de sus dimensiones. Como el nodo tiene un tamaño, la longitud de vibración de los armónicos (el valle) es más pequeña y por tanto producen inharmonicidad: armónicos con frecuencias más elevadas que los múltiples de f 1 del
objeto. Por ejemplo, el primer armónico de 440Hz en vez de ser 880Hz puede ser 880,5Hz (1 cent más alto). Y cuanto mayor es el armónico, más nodos tiene, y mayor es la inharmonicidad. Además, en los extremos del piano las cuerdas son más inharmónicas, porque son proporcionalmente más gruesas a su longitud que en el registro central, y además deben coincidir con los armónicos elevados del registro central. En la curva Raisback (la gráfica a continuación) las octavas del extremo del piano tienen 30 cents de diferencia respecto a si no hubiera inharmonicidad.
Railsback fue el primero en medir las inharmonicidades de las cuerdas del piano en 1937:
Viendo la curva de Railsback se pueden sacar los puntos: C8 +30 cents, C7 +10 cents, C2 -10 cents, C1 -30 cents. Sacando el polinomio podemos obtener la ecuación aproximada, y de ahí los cents extra de cada nota y sus frecuencias.
La parte central de la gráfica es muy plana y en los extremos la curvatura es muy pronunciada. En la parte central hay octavas justas (con Temperamento igual) y en los extremos las octavas están muy estiradas, incluso las quintas quedan largas en las 2 últimas octavas.
Notas A4 A#4 B4 C5 C#5 D5 D#5 E5 F5 F#5 G5 G#5 A5
T. Igual (Hz) 440 466,16 493,88 523,25 554,37 587,33 622,25 659,26 698,46 739,99 783,99 830,61 880 T. Railsback (Hz) 439,95 466,10 493,81 523,16 554,27 587,23 622,16 659,18 698,41 739,99 784,06 830,76 880,27
Curva Railsback. Ecuación aproximada de la curva Railsback a
partir de las notas C1, C2, C7 y C8.
Las frecuencias con temperamento Railsback de la octava central son muy cercanas al Temperamento igual. En cambio las octavas del extremo del piano están muy estiradas.
13· Temperamento igual estirado
Este temperamento estirado se puede hacer con muchos valores. El siguiente ejemplo es un stretch de octava de 1,8 cents, repartidos de manera lineal respecto al Temperamento igual:
notas a a# b c c# d d# e f f# g g# a a# b c c# d
cents extra 0 0,15 0,3 0,45 0,6 0,75 0,9 1,05 1,2 1,35 1,5 1,65 1,8 1,95 2,1 2,25 2,4 2,55
Respecto a los intervalos justos, la octava queda larga (+1,8 cents), la quinta queda corta (-0,91 cents), y la tercera mayor queda larga (+14,29 cents).
Notas A4 C#5 E5 A5
Temperamento justo (Hz) 440 550,00 660,00 880,00
Temperamento igual (Hz) 440 554,37 659,26 880,00
Diferencia entre T.justo y T.igual (cents) 0 13,69 -1,96 0,00
Temperamento estirado (Hz) 440 554,56 659,66 880,92
Diferencia entre T.justo y T.estirado (cents) 0 14,29 -0,91 1,80
Diferencia entre T.igual y T.estirado (Hz) 0 0,6 1,05 1,8
Teniendo en cuenta las inharmonicidades de una cuerda de piano, la octava puede que quede mejor con el estiramiento de 1,8 cents, la quinta también queda mejor afinada, y la tercera mayor si que pierde un poco de consonancia pero ya estaba muy desafinada.
Se puede hacer una gráfica con las frecuencias obtenidas del Temperamento estirado (ANEXO II):
Como se puede ver en la gráfica, la diferencia de cents es lineal (recta azul). A diferencia de la curva Railsback que la diferencia en cents seguía una función polinómica.
9300,00 9600,00 9900,00 10200,00 10500,00 10800,00 11100,00 11400,00 11700,00 12000,00 3 # 3 B 3 C 4 C # 4 D 4 D # 4 E 4 F 4 F # 4 4 G # 4 4 # 4 B 4 C 5 C # 5 D 5 D # 5 E 5 F 5 F # 5 G 5 G # 5 5
Estiramiento lineal, cada octava de cada nota tiene +1,8 cents respecto a la octava justa.
El Temperamento estirado igual y el Temperamento igual comparados con los intervalos justos
14· Temperamento igual estirado con quintas justas
Otro ejemplo de Temperamento igual estirado es hacer que la quinta sea justa. La quinta justa tiene +1,96 cents extra respecto al Temperamento igual como habíamos visto. De esta manera la octava tiene +3,35 cents. Repartidos estos cents de man era lineal queda así:
notas a a# b c c# d d# e f f# g g# a
cents extra 0 0,28 0,56 0,84 1,12 1,40 1,68 1,96 2,23 2,51 2,79 3,07 3,35
A partir de los cents extra respecto al Temperamento igual, se pueden calcular las frecuencias del Temperamento igual estirado (ver ANEXO III).
Notas C#5 E5 A5
Temperamento justo(Hz) 550,00 660,00 880,00
Temperamento estirado con
quintas justas(Hz) 554,72 660,00 881,70
Diferencia (cents) 14,80 0,00 3,35
En este caso de estiramiento tenemos quintas justas para cualquier nota, y la octava estirada hasta 3,35 cents. La quinta cumple la relación 3/2, pero bajada una octava no es la relación 3/4.
A diferencia del Temperamento por quintas justas, este temperamento también consigue quintas justas pero sin hacer una quinta del lobo o una octava totalmente disonante. La octava está
desplazada +3,35 cents (en el Temperamento por quintas justas sobraban 24 cents).
Las terceras mayores quedan más desafinadas de lo que ya estaban, pero sin ser un gran cambio (14,80 cents contra 13,69 cents del Temperamento igual).
Temperamento igual estirado con quintas justas
Temperamento igual con estiramiento. El estiramiento son los cents extra.
Reparto de cents en el ciclo de quintas. El Temperamento igual estirado (stretched octave +1,8) y Temperamento igual estirado con quintas justas (stretched octave +3,35) no tienen o ctavas justas.
15· Temperamento igual estirado con terceras mayores justas
En el caso de hacer un Temperamento estirado con terceras mayores justas realmente dará un temperamento encogido, con la octava corta. Los resultados son muy parecidos a los obtenidos en el apartado del Temperamento por terceras mayores justas (Meantone). Solo cambian algunas notas porque antes se han obtenido con un ciclo de quintas.
La tercera mayor justa tiene -13,69 cents respecto al temperamento igual. Si se reparte de manera lineal se obtiene:
notas a a# b c c# d d# e f f# g g# a
cents extra 0 -3,42 -6,84 -10,26 -13,69 -17,11 -20,53 -23,95 -27,37 -30,79 -34,22 -37,64 -41,06
A partir de los cents extra respecto al Temperamento igual, se pueden calcular las frecuencias del Temperamento igual estirado por terceras mayores (ver ANEXO IV).
16· Afinar un piano
Todos los datos que hemos ido viendo sirven de orientación para afinar un piano y para conocer cómo funciona un afinador electrónico.
Pero cada piano es diferente y tiene sus inharmonicidades:
· Las cuerdas que tiene (para cada tecla) tienen una longitud, un grosor y una tensión que no son los mismos en otro piano. Hay pianos con diversos tamaños y construcciones.
· El golpeo del martillo en cada piano es diferente. Golpea con más o menos superficie, más o menos fuerza, y en una posición u otra de la cuerda (más arriba o más abajo), y con un martillo con una forma y una dureza diferente en cada piano y cada tecla. Destacando unos armónicos por encima de otros.
· Las cuerdas graves del piano tienen un entorchado de cobre para dar peso a la cuerda, este entorchado también es diferente para cada piano, el grosor y la longitud es diferente.
De entrada los aparatos electrónicos vienen con Temperamento igual y sin curva de estiramiento. Por eso afinar un piano con un aparato electrónico directamente no es una buena afinación. Aún así, coger el programa y poner un temperamento y una stretch no nos garantiza una buena afinación porque puede no tener nada que ver con el piano que estemos afinando. Además, para utilizar un aparato electrónico conviene comprobar que esté calibrado. En cambio la afinación de oído permite tener en cuenta las inharmonicidades de cada piano, además de la propia percepción de las frecuencias del oído humano.
Orientativamente la curva Railsback implica estirar mucho la octava en los extremos del piano. Sin embargo es útil estirar también las octavas centrales del piano porque la octava queda afinada y las quintas mejoran mucho. Además, las afinaciones utilizando un Temperamento estirado en las octavas centrales, éstas aguantan mejor la desafinación del pi ano, ya que a medida que un piano se desafina las octavas tienden a contraerse un poco, las cuerdas agudas pierden más tono que las cuerdas graves. Para los extremos del piano se pueden estirar más las octavas haciendo que las quintas sean justas, o incluso más como en el temperamento Railsback. Por ejemplo:
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 TR TE TEQ
Aproximación con Temperamentos estirados al Temperamento Railsback (TR). Aparece el Temperamento estirado (TE) entre A2 y A5, y el Temperamento estirado por quintas justas (TEQ) entre A0 y A2, y entre A5 y C8.
El primer paso en la afinación de un piano es el temperamento, entre 1,5 y 2 octavas del piano, por ejemplo entre A3 y A5.
Después o mientras se afina el temperamento se hacen los unísonos. Las teclas entre A3 y A5 tienen 3 cuerdas por tecla, esas 3 cuerdas deben tener la misma frecuencia y no hacer batidas. Por último, el temperamento se extiende al resto del teclado, hasta las notas de los extremos, normalmente por octavas y comprobando las quintas y los acordes.
La desafinación de un piano se nota especialmente por la desafinación de los unísonos. - Los coros de 3 cuerdas de acero se pueden afinar para que no haya batidas.
- Pero si los coros de cuerdas son percutidos de manera diferente por el martillo, porque no golpea a la misma altura a la cuerda o porque el martillo tenga diferente dureza o superficie en cada cuerda, también pueden hacer batidas porque las cuerdas hacen dif erentes armónicos.
- Si las cuerdas del unísono son un poco diferentes unas de otras también pueden hacer batidas. - Los coros de bordones (normalmente 2 cuerdas), como tienen un entorchado de cobre que suele ser ligeramente diferente de una cuerda a otra, puede hacer que cada bordón tenga armónicos ligeramente distintos y que sean difíciles de afinar o que provoquen batidas.
Después de la desafinación de los unísonos, lo siguiente que más se nota en un piano desafinado es que las octavas están acortadas y los intervalos varían perdiendo el temperamento. Dicho de otra manera: primero se nota la desafinación de los unísonos, luego la desafinación del stretch y por último la desafinación del temperamento y la sonoridad de los acordes.
La estabilidad de la afinación dependerá de que no se haya hecho una subida de tono, del estado de las clavijas y del clavijero.
El tono de un piano se pierde con el tiempo, las cuerdas van perdiendo tensión. Si durante años un piano no se afina, cuando se afine la afinación no será estable: los unísonos harán batidas en poco tiempo (incluso mientras se van afinando otras cuerdas), las octavas se acortarán, el temperamento se pierde, y además el piano baja de tono mientras se va afinando por la elasticidad del arpa, la tabla armónica, las clavijas y las cuerdas del piano. Por tanto, es mucho mejor afinar regularmente un piano con un aparato electrónico, que no dejarlo años sin afinar.
17· Dinámica de sistemas no lineales
El número de variables define la dimensión del sistema y sus grados de libertad. Donde el tiempo se define como una variable independiente, una comparación de la duración.
Dentro del sistema, si es continuo, habrá trayectorias y bifurcaciones. Una bifurcación es un desdoblamiento de la trayectoria a otra por ejemplo apareciendo el doble de la frecuencia de la trayectoria estable. Dentro de las trayectorias si son cerradas nos encontramos con puntos fijos o con órbitas estables o inestables. Si las órbitas no son cerradas son señales aperiódicas o caóticas. Las órbitas pueden ser periódicas (por ejemplo una frecuencia formaría un circulo en el espacio de fases; o dos frecuencias con cociente racional, formarían la superficie de un toroide cerrado) o pueden ser cuasiperiódicas (por ejemplo dos frecuencias con cociente irracional, formarían la superficie de un toroide sin llegar nunca a una posición repetida).
Los sistemas se pueden catalogar como más estables o menos estables por su trayectoria. Cuanto más sencillo más estable.
No es difícil imaginar la música como un sistema de 12 grados de libertad (notas) por octava, donde una sola nota es un círculo (1 frecuencia con 1 amplitud), donde dos notas forman una órbita en forma de toroide (cerrada o abierta dependiendo de si su cociente es racional o irracional), donde una melodía es una trayectoria por esas doce notas con diferentes intensidades.
Tampoco es difícil imaginar que es más estable un intervalo con proporciones racionales como 3:2, que otro de irracionales como 21/2:1.
Y esto se va complicando a medida que se añaden y se quitan más notas (toroides de más dimensiones).
Otro parámetro musical es el ritmo, que es una discretización del tiempo. La aparición y desaparición de las notas se hace de forma ordenada. Nuevamente con proporciones estables: corcheras, tresillos, negras,... o mirando los compases: 2/4, 3/4, 4/4, 6/8, 9/8, 12/8, los irregulares,... Puede que con aceleraciones y desaceleraciones o con rubato o con swing o...
También las intensidades de las notas pueden tomar cualquier valor o estar sujetas a una discretización como pasa con los instrumentos electrónicos.
También podemos observar las bifurcaciones, cada vez que se toca una nueva nota, o que se añade a las que ya había, o que hay un cambio de ritmo. De hecho se podría decir que la música es una sucesión de bifurcaciones.
ANEXO I
a) Notas obtenidas a partir intervalos justos (relaciones sencillas con f 1). En color los intervalos
más consonantes (1,3M, 4, 5, 6, 7 y 8)
b) Frecuencias calculadas a partir de dividir la octava logarítmicamente, utilizando los factores 21/n para pasar a la siguiente nota de la escala: 21/2, 21/3, 21/4, 21/5,...,21/12,...
Temperamento igual: Octavas divididas de manera igual en 2 notas, 3 notas, 4 notas, 5 notas,..., 12 notas,...
En color las notas parecidas a los intervalos justos más consonantes (3M, 4, 5, 6 y 7).
Nota A4 A#4 B4 C5 C#5 D5 D#5 E5 F5 F#5 G5 G#5 A5
Relación con f 1 1:1 17:16 9:8 6:5 5:4 4:3 17/12 3:2 19/12 5:3 7:4 15:8 2:1
ANEXO II
Frecuencias del Temperamento igual estirado (TE) calculadas a partir del Temperamento igual (TI). Quedan las octavas largas, las quintas menos cortas y las terceras más largas, que en el Temperamento igual respecto a los intervalos justos.
Tabla de datos entre las notas A3 y A5.
Notas TI (Hz) TI (cents) cents extra TE (cents) TE (Hz)
A3 220,00 9337,63 -1,80 9335,83 219,77 A#3 233,08 9437,63 -1,65 9435,98 232,86 B3 246,94 9537,63 -1,50 9536,13 246,73 C4 261,63 9637,63 -1,35 9636,28 261,42 C#4 277,18 9737,63 -1,20 9736,43 276,99 D4 293,66 9837,63 -1,05 9836,58 293,49 D#4 311,13 9937,63 -0,90 9936,73 310,97 E4 329,63 10037,63 -0,75 10036,88 329,48 F4 349,23 10137,63 -0,60 10137,03 349,11 F#4 369,99 10237,63 -0,45 10237,18 369,90 G4 392,00 10337,63 -0,30 10337,33 391,93 G#4 415,30 10437,63 -0,15 10437,48 415,27 A4 440,00 10537,63 0,00 10537,63 440,00 A#4 466,16 10637,63 0,15 10637,78 466,20 B4 493,88 10737,63 0,30 10737,93 493,97 C5 523,25 10837,63 0,45 10838,08 523,39 C#5 554,37 10937,63 0,60 10938,23 554,56 D5 587,33 11037,63 0,75 11038,38 587,58 D#5 622,25 11137,63 0,90 11138,53 622,58 E5 659,26 11237,63 1,05 11238,68 659,66 F5 698,46 11337,63 1,20 11338,83 698,94 F#5 739,99 11437,63 1,35 11438,98 740,57 G5 783,99 11537,63 1,50 11539,13 784,67 G#5 830,61 11637,63 1,65 11639,28 831,40 A5 880,00 11737,63 1,80 11739,43 880,92
ANEXO III
Frecuencias del Temperamento igual estirado con quintas justas (TEQ) calculadas a partir de los cents extra respecto al Temperamento igual.
Tiene más estiramiento que el Temperamento igual estirado. Tabla de datos entre A3 y A5.
Notas cents extra TEQ (cents) TEQ (Hz)
A3 -3,351 9334,28 219,57 A#3 -3,072 9434,56 232,67 B3 -2,793 9534,84 246,54 C4 -2,514 9635,12 261,25 C#4 -2,234 9735,40 276,83 D4 -1,955 9835,68 293,33 D#4 -1,676 9935,96 310,83 E4 -1,396 10036,24 329,36 F4 -1,117 10136,51 349,00 F#4 -0,838 10236,79 369,82 G4 -0,559 10337,07 391,87 G#4 -0,279 10437,35 415,24 A4 0,000 10537,63 440,00 A#4 0,279 10637,91 466,24 B4 0,559 10738,19 494,04 C5 0,838 10838,47 523,50 C#5 1,117 10938,75 554,72 D5 1,396 11039,03 587,80 D#5 1,676 11139,31 622,86 E5 1,955 11239,59 660,00 F5 2,234 11339,87 699,36 F#5 2,514 11440,15 741,06 G5 2,793 11540,42 785,26 G#5 3,072 11640,70 832,08 A5 3,351 11740,98 881,71
ANEXO IV
Frecuencias del Temperamento igual estirado con terceras mayores justa (TE3M) calculadas a partir de los cents extra respecto al Temperamento igual.
El estiramiento es negativo, realmente es un temperamento encogido. Tabla de datos entre A3 y A5.
Notas cents extra TE3M (cents) TE3M (Hz)
A3 41,06 9378,69 225,28 A#3 37,64 9475,27 238,204598 B3 34,22 9571,85 251,870697 C4 30,79 9668,43 266,320837 C#4 27,37 9765,00 281,6 D4 23,95 9861,58 297,755748 D#4 20,53 9958,16 314,838371 E4 17,11 10054,74 332,901046 F4 13,69 10151,32 352 F#4 10,26 10247,90 372,194685 G4 6,84 10344,47 393,547964 G#4 3,42 10441,05 416,126308 A4 0,00 10537,63 440 A#4 -3,42 10634,21 465,243356 B4 -6,84 10730,79 491,934955 C5 -10,26 10827,37 520,157885 C#5 -13,69 10923,95 550 D5 -17,11 11020,52 581,554195 D#5 -20,53 11117,10 614,918694 E5 -23,95 11213,68 650,197356 F5 -27,37 11310,26 687,5 F#5 -30,79 11406,84 726,942744 G5 -34,22 11503,42 768,648367 G#5 -37,64 11599,99 812,746695 A5 -41,06 11696,57 859,375
