299 LAFACTORIZACIÓNDEPOLINOMIOS.UNAEXPERIENCIADOCENTE MarianaMoralesVilorio UniversidadAutónomadeSantoDomingo [email protected],[email protected]
Campodeinvestigación: Pensamientoalgebraico Nivel: Superior
Resumen.Tradicionalmente,elaprendizajedelafactorizacióndepolinomioshasidounode los tópicos más problemáticos para nuestros alumnos y alumnas, debido a la forma de “enseñanza”, basada en reglas o pasos, según el caso de que se trate. Esta dificultad se presenta en los niveles medio y superior (preͲcálculo).En nuestra práctica docente y en los materialesimpresosquehemosproducido,hemosaplicadounenfoquediferente,apartirde losproductosnotables,loscualessetrabajanpreviamentemediantelatécnicadetaller.Se organizan las actividades de aprendizaje de tal forma que los alumnos y las alumnas descubrenporsímismoslaspropiedades,antesllamadas“reglas”yqueerandadascomoun dogmaquehabíaquememorizar.
Palabras clave: experimentación, aprendizaje cooperativo, aprendizaje significativo, comunicaciónefectiva.
Algunasreflexionesdidácticas
Elaprendizajeseproduceenlosqueaprendensielobjetodeconocimientotienealgún significado para ellos y si pueden relacionarlo con otros conocimientos previamente obtenidos.Esloquellamamoselsujetosituado.Elsujetosituadoeselaprendizubicado ensurealidad,ensumedio,enuncontexto,yaseaestefísico,ambientalocultural.
Deestaformaseenseñaalaprendizapensaryactuarsobrecontenidossignificativosy contextualizados,medianteprocesosactivosdondeelsujetocognitivoesaportante,noun simplereceptordeconocimientos.Además,loqueaprendedebeteneralgunaaplicación, ya sea para educar el pensamiento, para agilizar los procesos posteriores de razonamientos, o para resolver algún problema o situación problemática o alguna otra funcióncognitiva.
“Lostresaspectosclavesquedebenfavorecerelprocesoinstruccionalserán: a)Ellogrodelaprendizajesignificativo.
300 b)Lamemorizacióncomprensivadeloscontenidosescolares.
c)Lafuncionalidaddeloaprendido.”(Díaz;Hernández,1999,pág.16)
Paraelaprendizajedelafactorizacióndepolinomioshemosorganizadolasactividadesen formadetaller,detalmaneraquelosestudiantestomenelcontroldeellasydesarrollen las estrategias que le permitan factorizar correctamente los polinomios, de acuerdo al gradodedificultadquecorrespondeasuniveldeestudios. “…elpensamientomatemáticosedesarrollaentrelosestudiantesenlamedidaenqueellosesténen condicióndetomarelcontroldesuspropiasactividadesmatemáticasorganizadasporsuprofesor.” (Cantoral;Farfán,2000,pág.56) Aprendizajecooperativo Losestudianteshanaprovechadolasventajasdelaprendizajecooperativo,lograndoque todos los miembros de cada grupo desarrollen las estrategias para la factorización de polinomios,apartirdelosproductosnotables.
SegúnFridaDíazyGerardoHernández,“alrealizaractividadesacadémicascooperativas, los individuos establecen metas que son benéficas para sí mismo y para los demás miembrosdelgrupo,buscandoasímaximizartantosuaprendizajecomoeldelosotros.El equipo trabaja junto hasta lograr que todos los miembros de grupo han estudiado y completadolaactividadconéxito.”(Díaz;Hernández,1999,pág.55)
Importanciadelacomunicaciónenelaprendizajedelafactorización
Lacomunicacióncorrectaesclaveparaaprenderafactorizarpolinomiosyparacualquier otrotópicodelcampodelconocimientomatemático.
“En el aprendizaje y enseñanza de las matemáticas, el lenguaje sí tiene un lugar privilegiado.”(MorayWladimir,2006,pág.277).
301 Losestudiantesdebencomprendercorrectamentelostérminos:factor,divisor,múltiplo,
mínimocomúnmúltiplo,máximocomúndivisor,monomio,polinomio,binomio,trinomio, cuadrado,raízcuadrada,factoresprimos,polinomioirreducible,etc.
Además, deben saber interpretar los textos que leen o escuchan; deben comunicar correctamente los conceptos, las ideas, las expresiones algebraicas y las estrategias a utilizareneltrabajomatemático. Escomúnentrelosestudiantesconfundirsealleerlasexpresionesalgebraicascomo: “Elcuadradodeunadiferencia:
2 a b “y“ladiferenciadecuadrados:a2 ”b2 Confundenlafactorizacióndeltrinomiocuadradoperfecto: 2 2 " x 2x y y " conlade ladiferenciadecuadrados: 2 2 x y
Escribimos a continuación algunos ejemplos de los que trabajamos en el taller, organizadosengruposdetres(3)personas. Actividad#1.Factorizandodiferenciasdecuadrados. A)Desarrollenlosproductossiguientes,aplicandolaspropiedaddelproductodelasuma porladiferenciadedoscantidades:(a+b)(aͲb). a)
x 9
x 9
________________ b) 6x 1 1 6x 1 1 _________ c) 3 3 2 5 2 5 x x § · § · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹ _________ d)
x y
x y
____________ ¿Quétipodepolinomioshanobtenido? ¿Quérelaciónexisteentrelostérminosdelosbinomiosobtenidosconlostérminosdelos binomiosfactores?
B) Escribiendo de forma reflexiva estas igualdades, obtenemos otras igualdades equivalentes,lascualesdebencompletarenequipo.
302 e) 2 8 1 x ________________ f)36x2 121 ______________ g) 2 9 4 2 5 x ________________ h)x2 y2 ________________
Cuando expresamos que: 2 2
,
x y x y xy estamos factorizando (escribiendo en formadefactores)ladiferenciadecuadrados: 2 2 x y ,yaque(x+y)y(xͲy)sonfactores primosentresí. Comopuedenver 2 x eselcuadradodex.Además,y eselcuadradodey2 Enelcaso(f): 2 3 6x 1 2 1 6x 1 1 6x 1 1 , puedesdescubrirque:6xeslaraíz cuadradade 2 3 6 x yque11eslaraízcuadradade121. Ladescomposiciónfactorialdeladiferenciadecuadrados: 2 36x 121esigualalproducto delosdosbinomioslineales
6x 1 1
y 6x 1 1
Analicenloscasos(e)y(g)delamismaformayescribansusconclusiones.
Discutan sus conclusiones entre sí, acerca de cómo se factoriza una diferencia de cuadrados. Escriban dichas conclusiones. Luego factoricen la diferencia de cuadrados dada: 4 4x 25 Completenlasiguientepropiedad: Laexpresión: 2
5
x
,¿sepudefactorizarcomounadiferenciadecuadrados? ¿Cuáleselcuadradodela2 5 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 5 _ _ _ _ _ _ _ _ ? Efectivamente, 2
5 5 x x x .Completenlafactorización. Siaybsondosexpresionescualesquiera,entonces, 2 2
a b a b . (1)
303 C)Factorizarlasdiferenciasdecuadradossiguientes,aplicandolapropiedad(1) 1) 2 1 6x 6 4 2) 2 1 4 y 3) 2 19x 4) 2 7 x 5)Escribanotrasdiferenciasdecuadradosyfactorícenlas. Actividad#2Factorizandotrinomioscuadradosperfectos.
A. Desarrollen directamente los productos siguientes, aplicando las propiedades del cuadradodeunbinomio:
2
2 a b y a b . a)
2 x y ______________ b)
x5
2 ________________ c) 2 x y _____________ d) 3 x 4 2 ______________ Lospolinomiosobtenidosencadaejerciciosontrinomioscuadradosperfectos(t.c.p),por sereldesarrollodelcuadradodeunbinomio.Observenlasrelacionesentrelostérminos delosbinomiosylosdelostrinomios.
B. Escribiendo de forma reflexiva cada igualdad, obtenemos otras igualdades equivalentes,loscualesdebencompletanustedesenequipo. e) 2 2 2 x x y y ______________ f) 2 1 0 2 5 x x ______________ g) 2 2 2 x x y y ______________ h)9x2 2 4x 1 6 ____________ Laexpresión:
2 x y ,queequivalealproducto:
xy
xy
,eslaformafactorizada deltrinomiocuadradoperfecto:x2 2 x y y2.Igualsucedecon
x y
2o
x y x y ,queeslaformafactorizadadelt.c.p:x2 2x y y2 Analicenlasdosigualdades:(e)y(g):
304 e) 2 2
2 2 x x y y x y yg)x2 2x y y2
x y
2 Comparenlostérminosdelt.c.p., 2 2 2 x xy y conlosdelbinomio: x y . Lomismohaganconelotrotrinomio: 2 2 2 x y y y e l b i n o m i o x y ¿Enquésediferencianlosdostrinomios,x2 2x y y2 y x2 2 x y y2 ? ¿Enquésediferencianlasdosexpresionesfactorizadas,
2
2 ? x y y x y Haganelmismoanálisisconlasigualdades(f)y(h),esdecir,comparenlostérminosdel t.c.p.: 2 1 0 2 5
x x , con los del binomio:
x
5
y los términos del t.c.p:2 9x 24x16,conlosdelbinomio:3x .4 Engrupo,haganlafactorizacióndelostrinomios: 2 1 6 6 4 2 1 6 6 4 x x y x x . ͲEstablezcanlascaracterísticasdelostrinomioscuadradosperfectos. Discutanyescribansusconclusionessobrecómofactorizaruntrinomiocuadrado perfecto. Completenlasiguientepropiedad. C)Factoricenlostrinomiosdados,aplicandolapropiedad(2) 1)x2 1 2x 3 6 2)x2 1 4x 4 9 3) 2 4x 2 0x 2 5 Escribanotrostrinomioscuadradosperfectosyfactorícenlos,silespareceoportuno. Siaybsondosexpresionescualesquiera,entonces, 2 2
2 2 a a b b y
2 2 2 2 a a b b (2)
305
Actividad#3Factorizandotrinomioscuadráticosdelaforma: 2
x bx c
A. Apliquen la propiedad del producto de dos binomios lineales para desarrollar los productosdados: a)
x 3
x 2
_________b)
x 8
x 6
________ c) x 7 x 5 ________ Lospolinomiosobtenidossontrinomioscuadráticosdelaforma: 2 . x bx c ¿Deacuerdo?Compárenlos.
B. Si escribimos las tres igualdadesde formareflexiva, obtenemos otras tres igualdades equivalentes,loscualesustedesdebencompletarentretodos(as): d) 2 5 6 x ______ e)x 2 14 48 x x ______ f) 2 2 35 x x ______ Laexpresión:
x3
x2
,eslaformafactorizadadeltrinomiocuadrático:x2 5x 6. Observenlasrelacionesqueexistenentrelasconstantes(Ͳ3)y(Ͳ2)yloscoeficientes(Ͳ5) y6,deltrinomio 2 5 6 . x x Completen: ? ? 3 2 ; 3 2
Analicen también la factorización del trinomio (e): 2
14 48 8 6
x x x x . Describan las relaciones que existen entre los coeficientes del trinomio y los de los binomiosfactores. Completen:8+6=____?_____;(8).(6)=_____?______ ….Haganelmismoanálisisenelcasode: 2
2 3 5 7 5 x x x x x Discutanentreustedesyescribansusconclusionesacercade:
306
1. ¿ Cómo se reconoce si un polinomio es un trinomio cuadrático de la forma: 2 ? x bx c 2. ¿Cómosehaceladescomposiciónfactorial? Factoricenentretodos(as)lostrinomios: 2 2 2 1 2 1 x x y x x . Completenlasiguientepropiedad: Engeneral,sib,c,pyqsonconstantesreales,entonces, 2
x bx c x p xq , donde:p.q=____?yp+q=__?__¡Completen!(3) C.Factoricenlostrinomiossiguientes,aplicandolapropiedad(3) 1) 2
6
x
x
= 2)x2 9x 2 0= 3)x2 1 1x 1 0=Estos son sólo algunos ejemplos de cómo se puede organizar las actividades de aprendizaje en ambientes donde no existen medios tecnológicos como computador, pizarraelectrónica,etc.,sinosolamenteloesencialenunaauladeclasedeuniversidades estatalesconescasosrecursosparaequiparlasconlasnuevastecnologíasqueeficientizan laeducación.Existenprogramasconloscualessepuedetrabajarlafactorizaciónatravés deuncomputador,loscualesutilizanlaestrategiadequelosestudiantestrabajenpara encontrarlassoluciones. Conclusiones Ennuestraexperiencia,hemoscomprobadoalgunashipótesis,talescomo: Elalumnoaprendemejorsirelacionalosnuevosconocimientosconlosqueyaposee.
307 Elaprendizajedebeserunaactividadsignificativaparaelaprendiz.
El profesor o la profesora debe organizar las actividades de aprendizaje analizando el procesodeinteracciónentreelconocimientonuevoyelqueyaposeenlosalumnos. Cuandosepartedelossaberespreviosysefavorecelaexperimentaciónyelanálisispara llegar a la conceptualización y a la generalización, el aprendiz “reconstruye” los conocimientosyseapropiadeellos,pasandoentoncesalafasedelafijación,laaplicación yalavaloracióndeéstos. Alrelacionarlafactorizacióndepolinomiosconlaspropiedadesdelosproductosnotables seproduceeseenlacefenomenaldeconocimientosquepermitenunaprendizajeeficaz. Referenciasbibliográficas Díaz,F.,Hernández,G.(1999).EstrategiasDocentesparaunaprendizajesignificativo.Un enfoqueconstructivista.México:McGrawHill. Cantoral,F.,Cordero,F.,Farfán,R.(2000).DesarrollodePensamientoMatemático.ITESM. UniversidadVirtual.México:Trillas.
Mora, D.; Serrano G. (2006). Lenguaje, Comunicación y Significado en Educación Matemática.GIDEM—GrupodeInvestigaciónyDifusiónenEducaciónMatemática.LaPaz: CampoIris.
