Ortogonalidad y Series de Fourier

Cap´ıtulo 4

Ortogonalidad y Series de Fourier

El adjetivo ortogonal proviene del griego orthos (recto) y gonia (´angulo). Este denota entonces la perpendicularidad entre dos elementos: dos calles que se cruzan en un ´angulo recto presentan una configuraci´on ortogonal. La ortogonalidad es un concepto funda-mental para la comprensi´on del an´alisis de funciones por medio de las transformadas de Fourier, Laplace y la transformada z. Este cap´ıtulo introduce el concepto en cuesti´on a partir de un contexto usualmente m´as familiar: la ortogonalidad de vectores. Para m´as informaci´on sobre la terminolog´ıa matem´atica puede consultarse [18,1].

4.1

Espacios vectoriales

Tradicionalmente se utiliza en ingenier´ıa el concepto de vector como un conjunto ordenado den cantidades, por ejemplo [x1, x2, . . . , xn]T. En los casos particulares de vectores bidi-mensionales (n = 2) y tridimensionales (n= 3) se utilizan en la pr´actica representaciones alternativas que comprenden magnitudes y ´angulos (por ejemplo, utilizando coordenadas polares, cil´ındricas o esf´ericas). En t´erminos matem´aticos se prefiere la notaci´on carte-siana por su generalidad: el concepto de vector es v´alido para todo entero n no negativo (esto es n = 0,1, . . .), donde las componentes xi se toman del conjunto de los n´umeros reales IR o de los n´umeros complejos _C.

Sea IF un cuerpo escalar, es decir, una estructura algebraica que consiste por una parte en un conjunto de escalares y por otra parte en una colecci´on de operaciones definidas para los elementos del conjunto: adici´on y multiplicaci´on, que satisfacen, entre otras, las propiedades de asociatividad, conmutatividad y distributividad. Un conjunto de vectores Vse denominaespacio vectorial sobre uncuerpo IF (por ejemplo el cuerpo de los n´umeros reales IR o el cuerpo de los n´umeros complejos _C) si

• para una operaci´on de adici´on vectorial en _V, denotada x+y, con x,y∈_V; y

• para una operaci´on de multiplicaci´on escalar en_V, denotada como ax, conx∈_Vy a∈IF

se cumplen las siguientes propiedades con a, b∈IF y x,y,z∈_V:

1. x+y∈_V. (_V es cerrado con respecto a la adici´on vectorial).

2. x+ (y+z) = (x+y) +z. (Asociatividad de la adici´on vectorial en _V).

3. Existe un elemento neutro 0∈_V, tal que para todox∈_Vse cumple quex+0=x. (Existencia de un elemento identidad aditivo en_V).

4. Para todo x ∈ _V existe un elemento y ∈ _V tal que x+y = 0. (Existencia de inversos aditivos en _V).

5. x+y=y+x. (Conmutatividad de la adici´on vectorial en _V).

6. ax∈_V. (_V es cerrado con respecto a la multiplicaci´on escalar).

7. a(bx) = (ab)x. (Asociatividad de la multiplicaci´on escalar en_V).

8. Si 1 representa la identidad multiplicativa del cuerpo IF entonces 1x=x. (Neutra-lidad de uno).

9. a(x+y) = ax+ay. (Distributividad con respecto a la adici´on vectorial).

10. (a+b)x=ax+bx. (Distributividad con respecto a la adici´on en el cuerpo).

El concepto de espacio vectorial es completamente abstracto. Para determinar si un conjunto _V es un espacio vectorial deben especificarse tan solo el conjunto _V, el cuerpo escalar IF y las operaciones vectoriales de adici´on y multiplicaci´on escalar en _V. Si las diez propiedades anteriores se satisfacen, se dice entonces que _Ves un espacio vectorial.

4.1.1

Combinaciones lineales

Se denomina combinaci´on lineal de los vectoresu₁,u₂, . . . ,u_n de un espacio vectorial _V a todo vector x del tipo

x=c1u1+c2u2+. . .+cnun

con los coeficientes de la combinaci´on linealc1, . . . , cn, que son escalares del cuerpo escalar IF relacionado con el espacio vectorial _V.

4.1 Espacios vectoriales

Un conjunto de vectores U ={u₁,u₂, . . . ,u_n} ⊂_V se dice ser unconjunto ligado o lineal-mente dependiente si al menos uno de ellos es una combinaci´on lineal de los dem´as. Se denominaconjunto libreo linealmente independiente cuando los ´unicos escalaresc1, . . . , cn para los que se cumple c1u1+c2u2 +. . .+cnun = 0 son c1 = . . . = cn = 0. Se cumple adem´as que

• un conjunto con un solo vector es libre si dicho vector no es nulo,

• el vector neutro 0 no forma parte de ning´un sistema libre,

• todo subconjunto de un sistema libre es tambi´en libre,

• el n´umero m´aximo de vectores de un sistema libre es igual al n´umero de componentes que tienen dichos vectores.

Un espacio se dice engendrado por el conjunto de vectores U = {u₁,u₂, . . . ,u_n} ⊂ _V si contiene todas las combinaciones lineales de los vectores deU, al que se denomina entonces

conjunto generador del espacio. A cada elemento del conjunto U se le denomina en este contexto vector generador. Este espacio no var´ıa si

• se multiplica cualquier vector generador por un escalar no nulo,

• se suma un generador con otro,

• si se suprimen los generadores que son una combinaci´on lineal de los dem´as.

4.1.2

Subespacios y bases

Cualquier subconjunto _W del espacio vectorial _V que es cerrado ante las operaciones vectoriales aditivas y de multiplicaci´on escalar se denomina subespacio de _V. Se puede apreciar que un subespacio de_Ves a su vez un espacio vectorial sobre el mismo cuerpo IF del espacio vectorial original. Ejemplos de subespacios del espacio vectorial tridimensional IR3 son por ejemplo todos los planos que pasan por el origen [0,0,0]T_{, si se utilizan las} definiciones convencionales de adici´on y multiplicaci´on.

Los subespacios tienen las siguientes propiedades:

• Todo espacio vectorial _Vtiene dos subespacios: el mismo _V y {0}.

• La intersecci´on_W1∩W2 de dos subespacios vectorialesW1 y W2 del mismo espacio

• La uni´on _W1 ∪ W2 de dos subespacios vectoriales W1 y W2 del mismo espacio

vectorial _V no necesariamente es un subespacio vectorial.

El espacio vectorial_Vse denominafinito si existe un sistema de vectoresU ={u₁,u₂, . . . ,

u_n} ⊂ _V que es conjunto generador del espacio vectorial. Si los vectores generadores ui son linealmente independientes entonces se dice que U es una base de _V. Todo espacio vectorial finito _V6={0}posee al menos una base. Si existen varias bases, todas contienen el mismo n´umero de vectores generadores. Este n´umero de vectores es la dimensi´on

del espacio vectorial. A la base del espacio vectorial IFn conformada por los vectores u1 = [1,0, . . . ,0]T,u2 = [0,1, . . . ,0]T,. . .,un= [0,0, . . . ,1]T se le denominabase can´onica del espacio vectorial finito IFn.

4.2

Espacios de Hilbert

Si a la estructura de espacio vectorial se le agrega el concepto deproducto internoaparecen entonces los llamados espacios con producto interno o espacios pre-Hilbert. El concepto de producto interno (a veces denominado producto escalar1_{) permite introducir conceptos}

geom´etricos como ´angulos y longitudes vectoriales. Por el momento conviene definir al producto interno como una funci´onh·,·i:_V×_V→IF que satisface los siguientes axiomas:

• ∀x∈_V,hx,xi ≥0. (No negatividad).

• ∀x∈_V,hx,xi= 0 si y solo si x=0. (No degenerabilidad).

• ∀x,y∈_V, x,y = y,x . (Simetr´ıa conjugada). • ∀a∈IF,∀x,y∈_V,x, ay=ax,y; ∀x,y,z∈_V, x,y+z = x,y +hx,zi. (Sesquilinearidad).

N´otese que si el cuerpo IF corresponde a los n´umeros reales IR entonces la simetr´ıa con-jugada corresponde a la simetr´ıa simple del producto interno, esto es x,y = y,x. Combinando la sesquilinearidad con la simetr´ıa conjugada se obtiene adem´as que

∀a∈IF,∀x,y∈_V,ax,y =ax,y

∀x,y,z∈_V,x+y,z=hx,zi+y,z

1_{N´otese que en este contexto el concepto de producto escalar es diferente a la multiplicaci´on escalar}

utilizada en la definici´on de espacio vectorial. Para evitar confusiones se preferir´a aqu´ı el uso del t´ermino producto interno sobreproducto escalar.

4.2 Espacios de Hilbert

Utilizando el producto interno puede definirse la norma de un vectorx como

kxk=phx,xi (4.1)

Esta norma est´a correctamente definida si se considera el axioma de no negatividad en la definici´on del producto interno. Usualmente se interpreta esta norma como la longitud del vector x.

En estos espacios se dice que dos vectores x y y diferentes de 0 son ortogonales si su producto interno x,y es 0. Adem´as, el ´angulo entre los dos vectores se define indirec-tamente por medio de la ecuaci´on

cos _∠(x,y)=

x,y

kxkkyk. (4.2)

con lo que se deduce entonces que la magnitud del ´angulo entre dos vectores ortogonales es de π/2, puesto que el coseno del ´angulo entre ellos es cero.

SiU ={u₁,u₂, . . . , u_n} ⊂_V es una base de_Vy cualesquiera dos vectoresu_i y u_k (i6=k) son ortogonales entre s´ı, se dice que U es una base ortogonal de_V. Si adem´as se cumple que la norma de todos los vectores generadores ku_ik es uno, entonces a U se le denomina una base ortonormal.

Ejemplo 4.1 SiU es una base ortogonal de_V, ¿c´omo se pueden calcular los coeficientes para representar un vector x ∈ _V en dicha base? Si U es una base ortogonal de _V se cumple para todo vector x∈_V

x= n

X

i=1

ciui (4.3)

Realizando el producto escalar a ambos lados con un vector generador espec´ıfico u_k, utilizando las propiedades del producto interno descritas anteriormente, y haciendo uso de la ortogonalidad de los vectores generadores u_i se obtiene

hu_k,xi= * u_k, n X i=1 ciui + = n X i=1 hu_k, ciuii= n X i=1 cihuk,uii=ckhuk,uki =ckkukk 2

con lo que se deriva f´acilmente

ck=

hu_k,xi

ku_kk2 (4.4)

Una secuencia de Cauchy es una secuencia cuyos t´erminos se acercan arbitrariamente entre s´ı en tanto la secuencia progresa. Un espacio con producto interno se denomina

espacio de Hilbert si es completo con respecto a la norma definida a trav´es del producto interno, lo que quiere decir que cualquier secuencia de Cauchy de elementos en el espacio vectorial converge a un elemento en el mismo espacio, en el sentido de que la norma de las diferencias entre los elementos de la secuencia tiende a cero. Los espacios de Hilbert se utilizan en la generalizaci´on del concepto de ciertas transformaciones lineales como la transformada de Fourier, y son de crucial importancia en la formulaci´on matem´atica de la mec´anica cu´antica.

4.3

Ortogonalidad de vectores

Para un n´umero entero positivo n, el espacio euclideano den dimensiones se define como el espacio de Hilbert de n-dimensiones sobre IR en el que adem´as se define la funci´on de distancia d2 para dos puntos x= [x1, . . . , xn]T y y= [y1, . . . , yn]T como

d2(x,y) = v u u t n X i=1 (xi−yi)2

El espacio euclidiano representa la generalizaci´on de los espacios matem´aticos en dos y tres dimensiones conocidos y estudiados ya en la antig¨uedad por Euclides2_{. A la funci´on}

de distanciad2, basada en el teorema de Pit´agoras, se le conoce comom´etrica euclidiana.

En el espacio euclidiano se utiliza como producto interno elproducto punto, definido como

x,y=x·y= n X i=1 xiyi. (4.5)

Con esto se puede definir la norma euclidiana kxk de un vectorx como

kxk=phx,xi=√x·x= v u u t n X i=1 |xi|2.

Se puede deducir f´acilmente que la m´etrica euclidiana puede reescribirse en t´erminos de la norma:

d2(x,y) = kx−yk (4.6)

Cualquier base para un espacio euclidiano dendimensiones contiene entonces exactamente n vectores ortogonales entre s´ı.

2_{Euclides fue un matem´atico griego del s. III a. C., quien escribi´o Elementos, que es la base de la}

4.3 Ortogonalidad de vectores

Ejemplo 4.2 Dado un vectorx= [cos(α),sen(α)]T _{en un espacio euclidiano} bidimensio-nal, encuentre otro vector de magnitud 1 ortogonal y demuestre que su producto interno es cero.

Un vector ortogonal a x= [cos(α),sen(α)]T forma un ´angulo de 90◦ con ´el. La figura 4.1

muestra una soluci´on gr´afica: el vector x_⊥= [−sen(α),cos(α)]T _{es perpendicular a x.}

−sen(α) sen(α) cos(α) cos(α) α x= cos(α) sen(α)

Figura 4.1: Construcci´on geom´etrica para obtener un vector ortogonal.

La misma conclusi´on puede obtenerse utilizando identidades trigonom´etricas en la ex-presi´on [cos(α+π₂),sen(α+ π₂)]T_.

El producto hx,x_⊥i se calcula entonces como

hx,x_⊥i= [cos(α),sen(α)]

−sen(α) cos(α)

=−cos(α) sen(α) + cos(α) sen(α) = 0

4.2

La figura4.2muestra la representaci´on tradicional de un vectorxen un espacio euclidiano bidimensional. Para la figura en el lado izquierdo se ha utilizado la base ortonormal can´onica U = {u₁,u₂}, con los coeficientes escalares a1 y a2. El lado derecho muestra

el vector con otra base ortonormal U0 _={u0

1,u02}. Se puede apreciar que los coeficientes

a0₁ y a0₂ de x con la nueva base U0 _{son diferentes a los obtenidos con U. Sin embargo,}

si se establece claramente una base, las componentes calculadas pueden utilizarse para representar a cualquier vector x de forma ´unica e inequ´ıvoca.

De esta forma, es posible representar los mismos vectores a trav´es de los coeficientes generados para una base determinada, como lo muestra la figura 4.3 para las dos bases en la figura 4.2.

Esta forma de representaci´on vectorial facilita el manejo de vectores con m´as de tres dimensiones, que son dif´ıciles o incluso imposibles de imaginar en un espacio geom´etrico.

u₁ u₂ u′ 1 u′ 2 a₁ a₂ a′ 1 a′ 2 x x

Figura 4.2: Representaci´on de un vector euclidiano bidimensionalxutilizando dos bases orto-normales diferentes.

ai a′_i

a₁ a₂ a′

1 a′2

Figura 4.3: Representaci´on alternativa del vector euclidiano en la figura 4.2 para las bases ortonormales utilizadas all´ı.

4.4

Ortogonalidad de funciones

La representaci´on de un vectorxa trav´es de sus componentes para una determinada base

U puede interpretarse como una funci´on x : {1,2, . . . , n} → IF que asigna a cada vector generador u_i con ´ındice i ∈ {1,2, . . . , n} su coeficiente correspondiente con un valor en el cuerpo IF, es decir, x(i) es una funci´on que permite obtener el valor de los coeficientes para cada componente de la base utilizada. Extendiendo esta idea es incluso posible representar vectores con un n´umero infinito de dimensiones, utilizando funciones de la forma x:_Z→IF. Para un espacio euclidiano el producto interno puede definirse como

x,y = n2 X i=n1 x(i)y(i) (4.7)

4.5 Series de Fourier

donde n1 y n2 puede ser infinitas (n1 ≤ n2), expresi´on que generaliza al producto punto

definido anteriormente en (4.5).

A partir de esta representaci´on resulta una consecuencia natural eliminar la restricci´on de los ´ındices de ser n´umeros enteros, y generalizar el concepto de vectores a funciones. El espacio vectorial se transforma entonces en un espacio funcional, donde todas los conceptos introducidos anteriormente siguen siendo v´alidos si las propiedades b´asicas se mantienen.

Por ejemplo, el producto interno de dos funciones definidas en un intervalo (a, b) se gene-raliza entonces transformando la sumatoria (4.7) en la siguiente integral

hx(t), y(t)i=

Z b

a

x(t)y(t)dt (4.8)

con lo que se concluye que dos funciones son ortogonales en el intervalo (a, b) si (4.8) es cero.

La norma de la funci´on se define utilizando la ecuaci´on (4.8), de igual forma que se hizo para los vectores con la ecuaci´on (4.1):

kx(t)k=phx(t), x(t)i=

s Z b

a

|x(t)|2_{dt (4.9)}

Con estas definiciones se puede incluso tomar el concepto de ´angulo entre vectores (ecuaci´on (4.2)) y generalizarlo como ´angulo entre funciones:

cos (_∠(x(t), y(t))) = hx(t), y(t)i

kx(t)kky(t)k

con lo que se puede afirmar que el ´angulo entre dos funciones ortogonales es π/2.

4.5

Series de Fourier

4.5.1

Series generalizadas de Fourier

Un conjunto (posiblemente) infinito de funciones ortogonales puede entonces servir de base para un espacio funcional, de la misma manera que vectores ortogonales sirven de base para espacios vectoriales. Sea U un conjunto de funciones ortogonales U =

{un1(t), . . . , u0(t), u1(t), . . . , un2(t)}. Este conjunto puede entonces utilizarse como con-junto generador de un espacio funcional para toda funci´on

xm(t) = n2

X

i=n1

donde ci representa los coeficientes escalares de la combinaci´on lineal de las funciones generadoras ui(t). Para encontrar estos coeficientes se procede de la misma forma que para los vectores. A partir de la representaci´on de la funci´on x(t) ≈ xm(t) como serie (ver ecuaci´on (4.10)), se evalua el producto interno por una funci´on generadora particular uk(t) para obtener huk(t), x(t)i ≈ * uk(t), n2 X i=n1 ciui(t) + = n2 X i=n1 huk(t), ciui(t)i = n2 X i=n1 cihuk(t), ui(t)i =ckhuk(t), uk(t)i=ckkuk(t)k2 con lo que se deriva

ck=

huk(t), x(t)i

kuk(t)k2

. (4.11)

Una conclusi´on importante de (4.11) es que si se utiliza una base ortogonal para la aproxi-maci´on de una funci´on, el valor ´optimo para los coeficientes depende tan solo de la funci´on generadora correspondiente al coeficiente a calcular y de la funci´on que se desea aproxi-mar. Estos coeficientes no dependen ni del n´umero de funciones en la base funcional, ni de la forma u otra caracter´ıstica de otras funciones generadoras.

Si la base funcional {uk(t)}, k ∈Z es completa, es decir, si la aproximaci´on de la funci´on x(t) con la serie infinita converge a la funci´on:

x(t) =

∞

X

k=−∞

ckuk(t)

con las funciones generadorasuk(t) ortogonales y los coeficientesck calculados con (4.11), entonces a la expansi´on en serie se le denomina serie generalizada de Fourier..

4.5.2

Series de Fourier

Un caso especial de funciones ortogonales frecuentemente utilizadas es el conjunto gene-rador

4.5 Series de Fourier

Estas funciones tienen como periodo com´un Tp = 1/F0 (comparar con la secci´on 1.2.3).

Evaluando el producto interno definido en un periodo

hui(t), uk(t)i= Z t0+Tp t0 ui(t)uk(t)dt = Z t0+Tp t0 ejΩ0itejΩ0kt_dt= Z t0+Tp t0 e−jΩ0it_ejΩ0kt_dt = Z t0+Tp t0 ejΩ0(k−i)t_{dt (4.12)}

Para el casok =i se obtiene

hui(t), ui(t)i= Z t0+Tp t0 ejΩ00x_dt= Z t0+Tp t0 1dt =Tp (4.13) y para k 6=i hui(t), uk(t)i= ejΩ0(k−i)t jΩ0(k−i) t0+Tp t0 = e jΩ0(k−i)t0 _ejΩ0(k−i)Tp₋₁ jΩ0(k−i) . (4.14)

Considerando finalmente que Ω0Tp = 2π se obtiene

hui(t), uk(t)i=

ejΩ0(k−i)t0 _ej2π(k−i)−₁ jΩ0(k−i)

= 0

con lo que queda demostrada la ortogonalidad de las funciones uk(t) = ejΩ0kt.

De esta forma es posible aproximar cualquier funci´on peri´odica x(t) = x(t+Tp) con la serie x(t) = n2 X k=n1 ckejΩ0kt (4.15)

donde n1 → −∞ y n2 → ∞, conocida como la serie de Fourier.

Si x(t) es una funci´on real, puesto que za = za con z ∈ _C y a ∈ IR, y x+y = x+y, entonces se cumple que

c−k = hu−k(t), x(t)i ku−k(t)k2 = e−jΩ0kt_{, x(t)} ke−jΩ0ktk2 = Rt+Tp t e jΩ0kt_x(t)dt ke−jΩ0ktk2 =ck

que ck =|ck|ejθk como x(t) = ∞ X k=−∞ ckejΩ0kt = −1 X k=−∞ ckejΩ0kt+c0+ ∞ X k=1 ckejΩ0kt = ∞ X k=1 c−ke−jΩ0kt+c0+ ∞ X k=1 ckejΩ0kt=c0+ ∞ X k=1 ckejΩ0kt+ckejΩ0kt =c0+ ∞ X k=1 2 Re{ckejΩ0kt}=c0+ ∞ X k=1 2|ck|Re{ej(Ω0kt+θk)} =c0+ ∞ X k=1 2|ck|cos (Ω0kt+θk) (4.16)

Existe una tercera representaci´on de la serie de Fourier para funciones reales x(t), que se obtiene de (4.16) utilizando la identidad trigonom´etrica cos(α+β) = cosαcosβ−senαsenβ:

x(t) =a0+

∞

X

k=1

(akcos Ω0kt+bksen Ω0kt)

con a0 =c0, ak= 2|ck|cosθk y bk=−2|ck|senθk

En principio, la descomposici´on de una funci´on real x(t) en una serie de Fourier brindar´a un conjunto de coeficientes ck (o alternativamente ak y bk) que indican qu´e tan fuerte es la componente k de frecuencia angular kΩ0 en la funci´on original. Esto es, la serie de

Fourier es un primer paso para realizar un an´alisis en el dominio de la frecuencia, que ser´a el tema del siguiente cap´ıtulo.

Las llamadas condiciones de Dirichlet para la funci´onx(t) garantizan la convergencia de la serie de Fourier en todo punto de x(t) exceptuando en sus discontinuidades, donde la serie converge al valor medio de la discontinuidad. Estas condiciones son:

1. La funci´onx(t) tiene un n´umero finito de discontinuidades en cualquier periodo. 2. La funci´on x(t) contiene un n´umero finito de m´aximos y m´ınimos en cualquier

periodo.

3. La funci´onx(t) es absolutamente integrable en cualquier periodo, esto es:

Z t+Tp

x=t

|x(t)|dt <∞ (4.17)

Sin embargo, estas condiciones son suficientes, mas no siempre necesarias; es decir, existen funciones con representaci´ones v´alidas en series de Fourier que no satisfacen las condiciones de Dirichlet.

4.6 Problemas

4.6

Problemas

Problema 4.1. Encuentre tres vectores ortonormales en el espacio euclidiano tridimen-sional y compruebe que el producto punto entre cualquier par de vectores es cero.

Problema 4.2. Sean ui(t) funciones de variable y valor complejos, ortogonales en el intervalo [x1, x2]. Si la representaci´on rectangular de dichas funciones se expresa como

ui(t) = ri(t) +jqi(t) demuestre que se cumple

Z x2 x1 ri(t)rk(t)dt=− Z x2 x1 qi(t)qk(t)dt Z x2 x1 ri(t)qk(t)dt= Z x2 x1 qi(t)rk(t)dt para todoi6=k.

Problema 4.3. Utilizando la funci´on de error

E(c0, c1, . . . , cn) = kx(t)−xn(t)k2 = Z x2 x1 |x(t)−xn(t)| 2 dt

demuestre que para funciones y coeficientes complejos los coeficientes definidos en (4.11) minimizan la funci´on de error. (Sugerencia: Exprese ci en coordenadas rectangulares como ci =ai+jbi, y utilice los resultados del problema4.2.)