MAT 110E Algebra Ejercicios N 2

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE

FACULTAD DE MATEMATICAS

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

Primer semestre de 2001

MAT 110E Algebra

Ejercicios N

2

1. Expresar cada uno de los productos siguientes como suma: (a) sen3θcos 5θ

(b) cos 7θcos 5θ

(c) cos 7θsen5θ

(d) cosθsenθ 2

2. Expresar cada una de las sumas siguientes como producto:

(a) senπ 9 + sen 2π 9 (b) cos 2θ−cosθ (c) senπ 4 −sen π 5 (d) cos7π 9 + cos 2π 9

3. Demostrar las siguientes identidades: (a) sen4α+ 2sen2α1− 1 cosec2_α = 1−cos4α (b) 1 + tg2_α 1 + cot2_α= 1−tgα 1−cotα 2 (c) 1−senαcosα

(secα−cosecα) cosα·

sen2_α−cos2_α

sen3_{α+ cos}3_α= senα (d)

cosecα(secα−1)−cotα(1−cosα) = tgα−senα

(e)

(f) tg3_α 1 + tg2_α+ cot3_α 1 + cot2_α = 1−2sen2_αcos2_α senαcosα (g) a= cotα⇒a+1 a = secαcosecα (h)

sen4α(3−2sen2α) + cos4α(3−2 cos2α) = 1 4. Demostrar las identidades:

(a) tgα+ cotα= secαcosecα

(b) 1−2sen2_{α= 2 cos}2_α−1 (c) senαcosαcosecαsecα= 1 (d) 1 1 + senα+ 1 1−senα= 2 sec 2_α

(e) tg

α

+

cos

α

1 + sen

α

= sec

α

(f) cos

_α

₋

_sen

_α

_{= cos}

_α

₋

_sen

_α

(g)

tg

α

−

cot

α

tg

α

+ cot

α

= 2sen

α

−

1

(h)

1

−

tg

_α

1 + tg

_α

= cos

_α

₋

_sen

_α

(i) sen

α

sec

α

cot

α

= 1

(j) cos

α

+ tg

α

sen

α

= sec

α

5. Desde cada extremo de una base de longitud 2ala elevaci´on angular de un monte es

θy desde el punto medio de tal base esφ. Demostrar que el monte mide:

asenθsenφpcosec(φ+θ)cosec(φ−θ)·

6. Una torre dista 40 metros desde la orilla m´as cercana de un r´ıo cuyo ancho es de 100 metros,Calcular la altura de la torre si desde la c´uspide se observa el r´ıo bajo un ´

angulo de 30◦. 7. Demostrar que:

α+β+γ=π⇒cosα+ cosβ+ cosγ= 1 + 4senα 2sen β 2sen γ 2· 8. Demostrar que:

α+β+γ=π⇒senα+ senβ+ senγ= 4 cosα 2cos β 2cos γ 2· 9. Calcular

a) sen Arccos4 5 b) cos Arctg12 5

c) sen(Arctg x) en t´erminos dex. d) tan(Arcos x) en t´erminos dex. 10. Resolver las ecuaciones:

a) Arctg1−x 1 +x = 1 2Arctgx b)

Arctgx+ Arctg(x−1) = Arctg(−3) c) 2 Arctg1 2+ Arccos 3 5 = Arcsen 1 x d) Arctgx= 2 Arccos1 2x 11. Resolver las ecuaciones:

a) senθ= √1 2 b) tgθ=√3 c) tg2θ= 1 3 d) cotθ=−√3 e) sec2θ= sec2α f) cos 3θ= cos 2θ

12. Resolver los sistemas: a) tgx + tgy = 2 2 cosx · cosy = 1 b) senx + seny = a cos 2y − cos 2x = b c)

senx + seny = senα

cosx + cosy = cosα

d)

senx + seny = msenα

cosx + cosy = mcosα

13. Una escalera de 13,5 m. de longitud llega hasta la parte superior de un muro. Si la escalera forma un ´angulo de 60◦ con el muro, hallar la altura de ´este y la distancia a ´el desde el pie de la escalera.

14. Un asta de bandera est´a enclavada verticalmente en lo alto de un edificio; a 12 m. de distancia, los ´angulos de elevaci´on de la punta del asta y de la parte superior del edificio son de 60◦ y 30◦respectivamente. Hallar la longitud del asta.

15. Desde la c´uspide de un monumento de 30 m. de altura, los ´angulos de depresi´on de dos objetos, que est´an sobre el terreno en la direcci´onn oeste del monumento son de 45◦y 30◦ respectivamente. Hallar la distancia que los separa.

16. Mirando hacia el sur desde la parte superior de un acantilado, los ´angulos de depresi´on de una roca y de una boya se observa que son de 45◦ y 60◦. Si se sabe que estos objetos est´an separados 110 m. hallar la altura del acantilado.

17. Desde lo alto de un acantilado de 1500 m. de altura los ´angulos de depresi´on de dos embarcaciones que est´an situadas al sur del observador son de 25◦ y 85◦ respectiva-mente. Hallar la distancia entre esas embarcaciones.

18. Una torre est´a al pie de una colina cuya inclinaci´on con respecto al plano horizontales de 9◦. Desde un punto de la colina 12 m. m´as arriba la torre subtiende un ´angulo de 54◦, hallar la altura de la torre.

19. Una l´amina rectangular ABCD descansa con sus v´ertices A y B sobre un ´angulo recto EOA. El lado AB forma un ´angulo θ con la recta horizontal OA. Calcular

EC=xyCF =y en t´erminos deθ y usar estos resultados para probar que: 5x2−4xy+y2= 1.

20. Una torre de altura hse encuentra al norte de un punto A y al oeste de un punto

B. En A y B los ´angulos de elevaci´on de la parte m´as alta de la torre son α y β, respectivamente. SiAB=c, demostrar que:

h=_p c

cot2_{α+ cot}2_β .

21. La altura de una colina es de 990 m. sobre el nivel de un plano horizontal. Desde un punto A de dicho plano la elevaci´on angular de la cima de la colina es de 60◦. Un globo se eleva desde el punto A y asciende verticalmente con rapidez uniforme; despu´es de 5 minutos , para un observador que est´a en el globo, la elevaci´on angular de la cima de la colina es de 30◦. Hallar la rapidez de ascenci´on del globo en [km./h.]. 22. Dos chimeneas ABy CD tienen la misma altura. Una persona que est´a entre ellas en la rectaAC que une sus bases observa que la elevaci´on de la m´as cercana es de 60◦. Despu´es de caminar 24 m. en una direcci´on perpendicular a AC observa que las elevaciones son de 45◦a la m´as cercana y 30◦a la otra. Hallar la altura de las chimeneas y la distancia que las separa.

23. Se tiene un pol´ıgono regular de n lados inscrito en una circunferencia de radio r. Demostrar que el per´ımetro y el ´area de este pol´ıgono son, respectivamente:

2nrsenπ n , 1 2nr 2_sen2π n .

24. Dadosz1= (−3,4), z2= (5,1), calcularz1+z2,z1·z2,z1−1,z −1 2 . 25. Dadosz1= (5,4),z2= (5,6) calcular z1 z2 .

26. Expresar en la formax+iy el complejo (3 + 5i)(2−i) 3

−1 + 4i .

27. Calcular el m´odulo del complejoz= (2−3i)

4_(1−i)3 5 +i .

28. Hallar un complejoz tal que|z|= 1

|z| =|1−z|.

29. Hallar un complejoz tal quez−1+ 2(z)−1= 1 +i.

30. Expresar en su forma polar los complejos−√3 +iy 3−4i. 31. Demostrar que (cisθ) =cis(−θ) ycis(θ1−θ2) =

cisθ1

cisθ2 .

32. Determinar el m´odulo y el argumento del complejoz= cosθ+isenθ−1. 33. Expresar en forma polar el complejoz= (senα−senβ) +i(cosα−cosβ). 34. Demostrar que: Arctg4 3−Arctg 1 7 = π 4 . 35. Determinar las ra´ıces cuadr´aticas del complejo 8−15i. 36. Resolver la ecuaci´on 9z2_{+ 6(4−3i)z−(1 + 9i) = 0.}

37. Demostrar que si la ecuaci´onz2_{+ (a+bi)z+ (c+di) = 0 (a, b, c, d∈R)tiene dos} soluciones iguales, entoncesa2_−b2_{= 4c,ab= 2d.}

38. Demostrar que las ra´ıces c´ubicas dez0= 4(1 +i

√

3) tienen suma nula.

39. Resolver la ecuaci´on c´ubica 3x3−46x2+ 835x+ 578 = 0 sabiendo que tiene una ra´ız compleja de m´odulo 17. 40. Calcular: √6_i−1, p5 i−√3,√8 1,1 +i √ 3 1−i 10 . 41. Demostrar que: ∀n∈N (1 +i)n+ (1−i)n= 2n2+1_cosnπ 4 .

42. Resolver la ecuaci´on:

z16−2z8cos 8α+ 1 = 0.

43. Colocandoz=eiα_{en la identidad:}

1 +z+z2+z3+· · ·+zn−1=1−z

n

1−z ,

demostrar que:

1 + 2 cosα+ 2 cos 2α+ 2 cos 3α+· · ·+ 2 cos(n−1)α= sen(n− 1 2)α senα

2

,

senα+ sen2α+ sen3α+· · ·sen(n−1)α=cos

α

2 −cos(n− 1 2)α 2senα₂ .

44. Determine los valores dek∈R de modo que al dividirx4_−k3_{x+ 3−k por(x−3)} resulte 44 como resto.

45. Determine los valores de a, b ∈ R de modo que a ax4+bx3−12x2+ 21x−5 sea divisible por2x2+ 3x−1.

46. Demuestre que si el polinomioax3+bx2+cx+dadmite (x−1) como factor, entonces

b=d−2ayc=a−2d.

47. Resuelva la ecuaci´onx7_{+ 2x}5_−x4_+x3_−2x2_{−1 = 0 sabiendo queies una raiz.} 48. Resolver 20x3_−30x2_{+ 12x−1 = 0.}

49. Determinekde modo que lars raices del polinomio 2x3_{+ 6x}2_{+ 5x+ksean reales que} esten en progresi´on aritm´etica.

50. Determinek de modo que lars raices del polinomio 8x3_{+ 18x}2_{−kx−k sean reales} que esten en progresi´on geom´etrica.

51. Sabiendo quex1= 1₂ yx2=−1₂ son raices de 4x4+ax3+bx2+ 5x−4. Encontrar las otras raices.

52. Determine las raices racionales de a) 5x3−3z2−55x+ 33 b) x4_{+ 2x}3_{+ 11x}2_−2x−3

53. Al dividir el polinomiop(x) por (x−1) el resto esa y al dividirlo por (x−2) esb. Encuentre el resto que resulta al dividirlo por (x−1)(x−2).

54. Determine los valores dek∈R para que el polinomio 2k2x3+ 3kx2−2 sea divisible por (x−1) y tenga s´olo raices reales.