Capítulo II
GEOMETRÍA EUCLÍDEA
Añadiendo el axioma de las paralelas a la Geometría Absoluta se avanza a la Geometría Eucli-dea. Recordando del capítulo I que “dos rectas son paralelas si están contenidas en un mismo plano y no tienen puntos en común”, así como también “dos planos son paralelos si no tienen puntos en común”. La base del concepto de paralelismo en la Geometría Euclídea esta en el axioma de las paralelas. Durante siglos se trató de reducir a formas más simples o demostrar el axioma de las paralelas. Finalmente se pudo demostrar la independencia de este axioma, Felix Klein construyó un modelo que justifica todos los axiomas de la Geometría salvo el de las para-lelas. Comienza en ese instante un camino para el desarrollo de nuevas Geometrías llamadas no euclídeas.
Axioma de las paralelas
Axioma 20: Por un punto exterior a una recta pasa una recta paralela a ella y sólo una.
Definición
Las rectas coplanares que no tienen puntos comunes se llaman paralelas.
Dirección.
Dos o más rectas paralelas, tienen en común la dirección.
Nota 1.-
Se conviene en admitir que una recta es paralela a sí misma.
De acuerdo con la definición de paralelas como rectas coplanares que no tienen puntos comunes, no resulta esta convención compatible, pero se justifica en el echo de que dos rectas coincidentes tienen la misma dirección. Esto equivale a definir a las paralelas como rectas coplanares que no tienen puntos comunes o los tienen todos.
Definición
Cada una de dos paralelas está contenida en uno de los semiplanos que la otra limita.
Faja de paralelas.
Dadas dos rectas paralelas a y b, se llama faja al conjunto de puntos comunes al semiplano res-pecto de a que contiene a b y al semiplano resres-pecto de b que contiene a a.
Una geometría Euclídea es la que satisface los axiomas:
Axiomas de incidencia.
Axioma 1. Para cada par de puntos A y B existe una recta que los contiene.
Axioma 2: Para cada par de puntos A y B existe una única recta que los contiene. Axioma 3. Existen tres puntos no colineales (no pertenecen a una recta los tres a la vez).
Axioma 4. Por tres puntos no colineales A, B, C, pasa un único plano, que contiene a cada uno de los puntos A, B, y C.
Axioma 5. Todo plano contiene tres puntos no colineales.
Axioma 6. Si dos puntos de una recta están contenidos en un plano, entonces todos los puntos de la recta pertenecen al plano.
Axioma 7. Si dos planos tienen un punto A en común, entonces tienen por lo menos otro punto B en común.
Axioma 8. Existen por lo menos cuatro puntos no coplanares.
Axiomas de orden
Entre los puntos de una recta existe una relación de «estar situado entre» o «estar entre», deter-minada por los axiomas que se indican a continuación:
Axioma 9: Para cada de puntos distintos A y B, la relación ≤es una relación de orden total so-bre la recta AB, es decir, es reflexiva, simétrica y transitiva, y todo par de puntos de la recta cumple que A ≤ B o bien B ≤ A.
Axioma 10: Si un punto B yace entre un punto A y un punto C entonces los puntos A, B, y C son tres puntos distintos de una recta, y B entonces yace entre el C y A.
Axioma 11: Para todo par de puntos A y C, siempre existe por lo menos un de punto B sobre la recta AC tal que ese punto C se encuentra entre A y B.
Axioma 12: De tres de puntos cualesquiera ubicados sobre una recta no existe más de uno que se encuentre entre los otros dos.
Axioma 13: Si A, B, C son tres de puntos no colineales en el plano α y r es una recta contenida en el plano α que no pasa por ninguno de ellos. Si la r corta en un punto al segmento AB, tam-bién corta en un punto al segmento CA, o corta en un punto al segmento BC y sólo se da uno de los casos.
Axiomas de congruencia
Axioma 14: La congruencia es una relación de equivalencia, es decir, es reflexiva, simétrica y transitiva.
Axioma 15: Dados tres puntos A, B, A’ y una semirrecta s de origen en A’, existe un único pun-to B’ en s tal que AB= A'B'
Axioma 16: Sean A, B, C puntos colineales de tal forma que B está entre A y C, sean A’, B’, C’ otros tres puntos en las mismas condiciones entonces si AB= A'B' y BC =B'C' también
' 'C A
Axioma 17: Si es un ángulo y una semirrecta, los dos pertenecientes al plano α , entonces existe un único ángulo contenido en α, con un lado igual a , tal que = . Además, cada ángulo es congruente a sí mismo.
Axioma 18: Dos triángulos son congruentes si tienen congruentes dos lados correspondientes y el ángulo comprendido entre ellos.
AXIOMA DE CONTINUIDAD
Axioma 19. (Axioma de Arquímedes) Si AB y CD son dos segmentos arbitrarios, entonces existe un número n tal que si transportamos n veces el CD a partir de A a lo largo del rayo AB
superan el punto B.
Se puede enunciar: Para todo par de segmentos AB y CD existe un número natural n tal que el producto n.CD > AB
Axioma de las paralelas
Axioma 20: Por un punto exterior a una recta pasa una recta paralela a ella y sólo una.
Teorema 21.-
En un plano, si una recta corta a una de dos paralelas, corta también a la otra.
Dadas dos paralela a y b, si la recta c corta a la a en el punto P, no puede ser c paralela a b, pues equivale a suponer que por el punto P pasan dos paralelas a la recta b, a y c, en contradicción con el axioma de las paralelas
Teorema 22.-
Si una recta es paralela a una de dos paralelas, es paralela también a la otra.
Sean las rectas a y b paralelas. Una tercera recta c paralela a la recta a. Decimos entonces que la recta c es paralela también a b. En efecto si c no es paralela a b, la corta en un punto, y por ese punto pasarían dos rectas paralelas a a, lo cual es absurdo.
Propiedades
El paralelismo participa de los caracteres idéntico, recíproco y transitivo.
El carácter idéntico es consecuencia de la nota 1. El recíproco de la definición de paralelas y el transitivo del teorema anterior (21)
.
Teorema 23.-
En un plano, dos rectas perpendiculares a una tercera, son paralelas entre si.
Suponemos que las rectas r y s perpendiculares a t, no son paralelas; entonces se cortan en un punto P.
Luego por ese punto P pasan dos perpendiculares a t; absurdo, por unicidad de la perpendicular. Teorema 12.-
Teorema 24.-
En un plano, si una recta es perpendicular a una de dos paralelas, es perpendicular también a la otra.
Este teorema es recíproco del anterior. Sean r y s paralelas y p perpendicular a r; debemos de-mostrar que p es perpendicular a s también.
Supongamos que s no sea perpendicular a p: entonces por el punto S puede pasar t, que sí es per-pendicular a p. Pero en este caso, por el teorema anterior r y t son paralelas, es decir, por el punto S pasan s y t ambas paralelas a r. Absurdo por la unicidad de la paralela.
Teorema 25.-
En un plano, dos rectas respectivamente perpendiculares a dos paralelas son, también, parale-las entre sí. a’ b’ a b Hipótesis: a y b paralelas a y a' perpendiculares b y b' perpendiculares Tesis: a' y b' paralelas Demostración:
a' y b' son paralelas entre sí pues ambas son perpendiculares a a
La primera por hipótesis y la segunda por ser perpendicular a b que es paralela a a.
Teorema 26.-
En un plano, si dos rectas se cortan, sus perpendiculares respectivas también se cortan Este teorema es contrario del anterior.
Hipótesis,
a y b se cortan en P.
a'y b' perpendiculares a a y b respectivamente. Tesis :
a' y b' se cortan Demostración :
Si a' y b' no se cortaran serían paralelas y sus respectivas perpendiculares a y b también serían paralelas por el teorema anterior. Absurdo, por hipótesis, a y b se cortan en P.
Dos rectas cortadas por una secante.
Cuando en un plano, dos rectas a y b se cortan por una secante c en dos puntos no coincidentes M y N, quedan determinados ocho ángulos convexos, cuatro de vértice M y cuatro de vértice N.
Las rectas a y b dividen a la secante c en tres partes: el segmento MN y sus dos prolongaciones. Los cuatro ángulos que tienen por lados a estas prolongaciones se dicen externos y los otros cuatro, internos.
Considerando las posición relativa de un par de ángulos con respecto a la secante, estos pueden ser colaterales o bien alternos, según estén en un mismo o en distinto semiplano con respecto a la secante c.
Si de un par colateral uno es interior y el otro exterior y no son adyacentes se dicen correspondientes.
Si ambos colaterales son internos se dicen conjugados internos y conjugados externos si ambos son externos. Si los ángulos son alternos e internos y no son adyacentes a la vez se dicen alter-nos interalter-nos, ídem para los externos.
Teorema 27. – Rectas paralelas cortadas por una secante.
En un plano, si son iguales los ángulos de un par de alternos internos, también son iguales los del otro par, los alternos externos y los correspondientes, los conjugados internos y externos son suplementarios.
Suponemos iguales δ = α'
1) γ = β' por ser adyacentes de iguales 2) β = γ' por ser adyacentes de iguales
3) α = δ' por ser opuestos por el vértice a ángulos iguales.
Los correspondientes δ y δ' iguales por opuestos por el vértice a ángulos iguales
Los conjugados internos son suplementarios δ + β' = 2R, puesto que α' + β' = 2R por ser adya-centes α' = δ por Hipótesis.
Los conjugados externos son suplementarios β + δ' = 2R, por ser adyacentes β + δ = 2R. Como δ = δ' por ser correspondientes β + δ'= 2R.
Teorema 28.-
En un plano, dos rectas que forman con una secante, un par de ángulos alternos internos igua-les, son paralelas. (puede demostrarse para un par de ángulos alternos externos ó correspon-dientes, iguales)
H hipótesis: c secante γ = β’ Tesis : a // b
Suponemos que a y b no son paralelas, en ese caso se cortarán en un punto P, formando el trián-gulo MNP. En el cual γ es ántrián-gulo exterior y β’ interior no adyacente por lo tanto γ > β’ Absurdo pues por hipótesis γ = β’. Luego a // b
Teorema 29.-
Dos paralelas forman con una secante ángulos alternos internos (externos, correspondientes) iguales y conjugados suplementarios.
Teorema recíproco del 27
Las rectas a y b son paralelas y c transversal suponemos α ≠ β, podemos trazar entonces por M una recta a' que forme con c un ángulo que sea igual a β. Por el teoremaanterior a'// b Absurdo Por M solo puede pasar una paralela a b. Luego α = β.
Teorema 30.- Ángulos interiores.
Los ángulos interiores de un triángulo suman dos rectos Demostración:
Trazamos por C r paralela a AB
Los otros dos lados forman con r α + C + β = 2R (1)
Por alternos internos α= A y β= B. ⇒ Reemplazando en (1) A + B + C = 2R
Teorema 31.
En un plano, si dos pares de rectas paralelas se cortan, cada par determina sobre los otros seg-mentos iguales
Este teorema suele enunciarse "Segmentos de paralelas entre paralelas, son iguales."
Demostraremos que AB=CD.
Uniendo B con C quedan formados dos triángulos iguales, tienen CB común, y los ángulos adyacentes respectivamente iguales, por ser alternos internos entre paralelas.
Corolario.
La suma de dos ángulos de un triángulo es siempre menor que dos rectos Podemos decir que la suma de dos ángulos es menor que la de tres
Corolario.
Si dos triángulos tienen respectivamente iguales dos ángulos, los terceros también lo son. Por propiedad uniforme de la suma y de la diferencia de ángulos.
Corolario.
El ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes. Por teorema 29 la suma de los ángulos interiores suma 2Rectos
A + B + C = 2 R ⇒ C = 2R - (A + B)
Por lo tanto la suma de los dos ángulos interiores A y B es suplementaria del ángulo interior C. Este ángulo a su vez es suplementario del adyacente exterior a el C', por transitividad C' = A + B
Corolario.
En el triángulo rectángulo los ángulos agudos son complementarios
Teorema 32.
En un plano, si dos rectas forman con una transversal ángulos conjugados internos no suple-mentarios se cumple que se cortan en el semiplano, respecto a la secante, en que los conjugados internos suman menos de dos rectos.
Este es el enunciado del Postulado V de Euclides. Pero al adoptar nosotros la unicidad de la paralela, debemos demostrar este postulado como teorema. Vimos que si los ángulos conjugados no son su-plementarios las rectas se cortan en un punto que llamaremos P, formando el MNP con la transversal.
Vemos que el puntos P debe estar en el semiplano donde la suma de los conjugados es menor o, el par α', β' no puede pertenecer a un mismo triángulo pues suman más de dos rectos.
epaso y Ejercicios.-
s ángulos exteriores obtusos. que 2R
En efect
R
1.- Existe un triángulo con dos ángulos rectos? 2.- Demuestre que en cualquier triángulo hay do
AC AB
3.- Dado un triángulo y los puntos P en el lado y Q en el lado : Señale los ángulos correspondientes internos y alternos internos de las rectas ABy ACAC y la secante PQ.
4.- ¿Cuánto suman los ángulos agudos interiores de un triángulo?.
el cateto opuesto a este
ángu-ngulo si están en proporción 1; 2; 3.- s?
f y f ⎜⎜g,
¿en-⎜b. Dé la medida de cada uno de los ángulos si:
4(x2 + x – 3)º, encuentre el
) Calcule cada uno de los ángulos de la figura, siendo:
lor de x siendo: φ = (3x + 5)º ; δ = (5x + 15)º 5.- Demuestre que un triángulo rectángulo de ángulo agudo de 30º
lo es igual a la mitad de la hipotenusa. 5.- ¿Cuánto valen los ángulos de un triá
6.- ¿Un poste vertical en Buenos Aires es vertical a un poste vertical en Caraca 7.- Si a, b, c, d, e, f, g, son rectas tales que a ⎜⎜b, b ⊥ c, c se cruza con d, d ⎜⎜e, e ⎜⎜ tonces a ⎜⎜g? 8.- Siendo a ⎜ a) α = 110º ; b) α = x ; c) α = 90º d) Demuestre que: α + β’ = 180º e) Dados α =(5x2 – 3x)º y δ’ = valor de x. 9 α = 140º γ = 50º 10) Encuentre el va
Las Traslaciones
n como la composición de dos simetrías ortogonales de ejes paralelos. Definiremos la traslació
Como vemos en la definición el vector nos indica un movimiento o desplazamiento en el plano y nos da una congruencia directa. Por lo tanto podemos definir al vector como un par ordenado de puntos del plano v(A, B), se lo designa con una flecha sobre los puntos los cuales indican el origen y el extremo del vector, la longitud entre los puntos a A y B se de ina módulo del vec-tor ya que este valor escalar indica tanto una longitud, como una fuerza, una velocidad, etc. Por estas características decimos que representa una magnitud vectorial ya que además de un valor, el vector, indica una dirección y un sentido.
El vector se desplaza sobre la recta qu
nom
e une los dos puntos que lo define denominada recta sostén del vector, esta recta es la que define la dirección del vec-tor y el sentido del movimiento sobre esa recta está indicado por la flecha de su extremo. Concluyendo dec gen, dirección, sentido y módulo. El vector
imos que el vector tiene un punto de se dist
• Origen A y extremo B. v(AB), ingue por : • Dirección Horizontal (recta a)
en extremo B)
Definición.
composición Sb o Sa se denomina traslación.
b o Sa(A) = Sb (Sa(A)) = Sb (A’) = A”, este movimiento puede
repre-sentar
• Sentido hacia la derecha (flecha • Modulo |AB|
Si a // b, la
La imagen del punto A es S "
AA ⇒ Sb o Sa = T
se con un vector
Una traslación está, definida por dos puntos homólogos A y A” dados en ese orden o lo que es lo mismo por un vector AA". En la figura vemos que los vectores AA", BB"y CC", son
congruen-ina
tes entre sí porque son lados opuestos de un paralelogramo. Una traslación se realiza con vecto-res congruentes y paralelos entre si, a estos vectovecto-res se los denom vectores equipolentes. La traslación recíproca restituye al plano a su primitiva posición.
'
AA A'A
Los vectores y , se llaman opuestos
La composición de dos traslaciones es otra traslación. Las traslaciones forman un grupo un grupo abeliano.
ejes paralelos es una traslación. La composición de dos simetrías ortogonales de
Las
La composición de dos simetrías axiales que se cortan es una rotación.
La composición de dos simetrías ortogonales de ejes no paralelos se denomina rotación.
Al aplicar una traslación, una rotación o la composición de traslaciones y rotaciones, importantes
ransforman en rectas paralelas
Estas figu a
arbónica)
• Los ángulos congruentes tienen igual medida •
Definición
Se llama congruencia directa o movimiento a toda composición de un número par de simetrías
Rotaciones
respecto de dos rectas
En una rotación todo punto y su trasladado equidistan del centro de giro O.
La orientación del perímetro de una figura se conserva en el giro.
La traslación y la rotación son movimien-tos direcmovimien-tos.
El movimiento. Congruencias directa e inversa
propiedades de las figuras permanecen invariantes:
1. Los segmentos simétricos tienen igual longitud. 2. Los ángulos transformados tienen igual medida 3. Las superficies de ambas figuras tienen igual área 4. Las rectas paralelas a través del movimientos se t
ras que se obtienen por aplicación de una simetría ortogonal son idénticas (una copi , a esta relación la llamaremos congruencia. Por lo tanto:
c
• Los segmentos congruentes tienen igual longitud. Las superficies congruentes tienen igual área
.
ortogonales.
Se dice que una figura es directamente congruente a otra, si existe un movimiento que transfor-ma la primera en la segunda.
Las traslaciones y rotaciones dan congruencias directas.
a composición de traslaciones y
rota-es, Rl o R2, escrita así, 1 o R1 o
He aquí dos figuras F y F’’ direc-mente congruentes pues se pasa de F
T(F) = F', R(F’) = F’’,
F)) = (RoT)(F).
etrías es impar la congruencia se escribe:
1oS2) o (S3oS4) o ...o (Sn-1 o Sn-2) o Sn =M o Sn. Siendo M un movimiento, la congruencia se
duce a la composición o realización sucesiva de un movimiento y una simetría ortogonal.
con-efinición.
encia inversa a toda simetría ortogonal, o bien composición de un número im-par de simetrías ortogonales.
a segunda.
:
ruente consigo misma.
ra es congruente a otra, ésta es congruente a
aqué-ngruente a una tercera la primera es coaqué-ngruente a la tercera. Todo movimiento es una traslación, o una rotación, o un
ciones.
Nótese que una composición de dos rotacion
R2, es una composición de la traslación
nula y dos rotaciones.
ta
a F" por la composición o realización sucesiva RoT ,de una traslación T
(re-presentada por el vector AA') y una rotación R:
de donde F’’ = R(T(
Si el número de sim
(S re
A la congruencia de dos figuras F y F’. Siendo M un movimiento y S una simetría ortogonal, la llamaremos congruencia inversa, y en tal caso las figuras F y F’ se llaman inversamente gruentes.
D
Se llama congru
Se dice que una figura es inversamente congruente a otra, si existe una congruencia inversa que transforme la primera en l
Propiedades de la congruencia
La congruencia tiene estas tres propiedades 1 reflexiva: F = F', o sea: toda figura es cong 2 simétrica: F = F’ ⇒ F’ =F, sea: si una figu lla.
3 transitiva: F = F' y F’ = F" ⇒ F = F”, o sea: si una figura es congruente a otra, y si ésta es co
Conexión
El concepto de paralelismo resultante de la Definición “Dos rectas que tienen perpendicu-lares comunes se denominan paralelas”, no se corresponde totalmente con la idea corriente de que en el plano las rectas paralelas son exactamente aquellas que no se cortan. En realidad exis-ten planos métrico-euclídeos en los que se pueden trazar por un punto exterior a una cierta recta r varias rectas que no cortan a r. De ellas existe una única que es paralela a r en el sentido de la Definición. Las rectas que no tienen en común ni un punto ni una perpendicular las llamaremos disconexas. Para evitar que tal situación se presente es preciso introducir un nuevo axioma.
Axioma de conexión (C):
Todo par de rectas tiene siempre en común o bien un punto o bien una perpendicular. Un plano métrico-euclídeo que satisface C se denomina euclídeo. Si no satisface C se denomina semieuclideo. Aun tras esta restricción existen infinitos planos euclídeos no isomorfos, en parti-cular los distintos planos métricos con un número finito de puntos. Con ayuda del axioma C también se avanza en la clasificación de los planos métricos-no euclideos. Si se satisface C pue-de sucepue-der que un triángulo tenga tres ángulos rectos.
6.2.- Axioma del triángulo polar (P).
Existen tres rectas, a, b, c que son perpendiculares dos a dos.
Si consideramos los puntos sobre una superficie esférica y los círculos máximos que pasan por esos puntos y sus opuestos diametrales como rectas e interpretamos según la geometría ele-mental los conceptos de perpendicularidad y simetría. Así se obtienen un modelo de plano métri-co en el que existen triángulos polares, es decir, figuras formadas por tres rectas mutuamente perpendiculares.(a, b, c).
Un plano métrico que satisface C y P se denomina elíptico. Si se satisfacen ~R, C y ~P se denomina semielíptico.
Ejercicio 11. Aplique al triángulo la traslación de vector .
Ejercicio 12. Aplique al triángulo la composición de traslaciones T(BC) o T(AB).
Ejercicio 13. Dado un triángulo rectángulo aplique las rotaciones indicadas: a) R(O, 180º) siendo O el punto medio de la hipotenusa.
b) R(O, -60º) siendo O el punto medio de la hipotenusa.
c) R(O, 150º) siendo O un punto exterior al triángulo.
Ejercicio 14. Dado un trapecio equilátero ABCD aplique la composición de rotaciones indicada:
a) R(B,abˆ o Rc) (B,abˆc)
