ÁLGEBRA Ejercicios no resueltos de la Práctica 4

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ALGEBRA

Ejercicios no resueltos de la Pr´actica 4

Equivalencia de matrices. Sistemas de ecuaciones (Curso 2007–2008)

3.– Decidir si las matrices A yB son equivalentes por filas y/o equivalentes por columnas. Si alguna respuesta es afirmativa, hallar la correspondiente matriz de paso:

A =    1 1 1 2 3 4 3 4 5 4 5 6   , B=    0 0 1 0 1 2 0 1 3 0 1 4   

Veamos primero si son equivalentes por filas. Primero hallamos la forma reducida de A: A =    1 1 1 2 3 4 3 4 5 4 5 6    H21(−2) H31(−3) H41(−4) −→    1 1 1 0 1 2 0 1 2 0 1 2    H12(−1) H32(−1) H42(−1) −→    1 0 −1 0 1 2 0 0 0 0 0 0    Ahora la de B: B=    0 0 1 0 1 2 0 1 3 0 1 4    H21(−2) H31(−3) H41(−4) −→    0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0    H32(−1) H42(−1) −→    0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0   

Vemos que las formas reducidas por filas no son iguales, luegoAyBno son equivalentes por filas. (Observación: Como todos los elementos de la primera columna de B son cero y los de la A no, de aqu´ı ya se deduce que no pueden ser equivalentes por filas. Esto es debido a que la primera columna de B seguirá siendo nula bajo cualquier transformación por filas, mientras que la primera columna de A siempre tendrá algún término no nulo).

Ahora estudiamos la equivalencia por columnas. Primero reducimos la matriz A:

A =    1 1 1 2 3 4 3 4 5 4 5 6    ν21(−1) ν31(−1) −→    1 0 0 2 1 2 3 1 2 4 1 2    ν12(−2) ν32(−2) −→    1 0 0 0 1 0 1 1 0 2 1 0    Luego la matriz B: B =    0 0 1 0 1 2 0 1 3 0 1 4   −→ν13    1 0 0 2 1 0 3 1 0 4 1 0   ν12−→(−2)    1 0 0 0 1 0 1 1 0 2 1 0   

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Vemos que coinciden las formas reducidas, luego son matrices equivalentes por columnas. Para hallar la matriz Qde paso de AaB, tomamos la matriz identidad del orden el n´umero de columnas, y realizamos primero las transformaciones por columna que le hemos hecho a A y luego la inversa de la transformaciones por columna hechas a B (en orden inverso):

 1 0 0_{0 1 0} 0 0 1   ν21(−1) ν31(−1) −→  1₀ −₁1 −₀1 0 0 1   ν12(−2) ν32(−2) −→  ₋3₂ −₁1 ₋1₂ 0 0 1   ν12(2) −→  1₀ −₁1 ₋1₂ 0 0 1  _−→ν13  ₋1₂ −₁1 1₀ 1 0 0  ₌_Q

6.– Obtener mediante transformaciones elementales la inversa de la siguiente matriz:



1₁ ₋1 1_{1 2}

1 1 4

 

Para hallar la inversa hacemos la reducci´on por filas hasta llegar a la identidad; la matriz inversa se obtiene realizando las mismas operaciones sobre la matriz identidad. Podemos hacer ambos procesos al mismo tiempo:

(a)  1₁ ₋1_{1 2}1 1 1 4 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 0 0 0 1 0 0 0 1   H21(−1) H31(−1) −→  1₀ ₋1_{2 1}1 0 0 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 0 0 −1 1 0 −1 0 1   H2(−1/2) H3(1/3) −→  1 1_{0 1} ₋_1/21 0 0 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 0 0 1/2 −1/2 0 −1/3 0 1/3  H12(−1) −→  1 0_{0 1} ₋3/2_1/2 0 0 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1/2 1/2 0 1/2 −1/2 0 −1/3 0 1/3   H13(−3/2) H23(1/2) −→  1 0 0_{0 1 0} 0 0 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1/2 −1/2 1/3 −1/2 1/6 −1/3 0 1/3   Por tanto: _ 1₁ ₋1_{1 2}1 1 1 4   −1 =   _1/31 ₋1/2_1/2 −_1/61/2 −1/3 0 1/3  

7.– Discutir y, en su caso, resolver, en función del parámetro o parámetros correspondientes, los siguientes sistemas de ecuaciones:

   ax+y+z = 1 x+ay+z = a x+y+az = a2    ax+ay = b bx+ay = a abx+aby = 1

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(a) Escribimos la matriz asociada al sistema y la ampliada: A=  a₁ _a1 1₁ 1 1 a   _A₌  a₁ 1 1_a ₁ 1_a 1 1 1 a2  

Entonces |A|=a3−3a+ 2 = (a−1)2(a+ 2). Por tanto:

- Si a6= −2 ya 6= 1 el rango de A es 3 y coincide con el rango de A y con el número de incógnitas. El sistema es compatible determinado. La solución es:

x= −a−1 a+ 2 ; y = 1 a+ 2; z = (a+ 1)2 a+ 2 .

Si a =−2 ´o a = 1 estudiamos el rango de la matriz ampliada. En particular:

- Si a = 1 vemos que las tres ecuaciones son en realidad la misma. Es decir el rango de A y de A es 1. El sistema es compatible indeterminado. La soluci´on depende de dos par´ametros:

x= 1−λ−µ; y=λ; z =µ

- Sia =−2, vemos que el rango de A es 3, ya que el menor formado por las columnas 2,3,4 tiene determinante no nulo. Por tanto, comoA es en este caso tiene rango 2, el sistema es incomptaible.

(b) Escribimos la matriz asociada al sistema y la ampliada:

A=   a_b a_a ab ab   _A₌   a_b a_a _ab ab ab 1  

El rango de la matriz A, a lo sumo es 2. El de A puede ser 3 si su determinate no se anula. Veamos cuando ocurre esto. Tenemos que |A| = a(b−a)(b−1)(b+ 1). Por tanto:

- Si a 6= 0, a 6= b, b 6= 1 y b 6= −1 entonces el determinate de A es 3 y el sistema es incompatible.

- Si a = 0, en la última ecuación queda 0 = 1 y por tanto el sistema es incompatible. - Si a =b, a6= 0, la primera y segunda ecuación coinciden. Tenemos ahora el sistema:

½

ax+ay = a a2x+a2y = 1

Ahora la matriz asociada al nuevo sistema tiene rango 1. Será compatible cuando coindida con el de la ampliada; en este caso cuando a2 = 1. As´ı si a = 1 o a = −1 el sistema tiene solución dependiente de un parámetro x = 1−λ;y = λ. Mientras que en otro caso el sistema no es compatible.

(4)

- Si b= 1, a6= 0, a6= 1 la primera y tercera ecuaci´on coinciden. Tenemos el sistema:

½

ax+ay = 1 x+ay = a

Ahora el sistema es compatible determinado. La soluci´on es x=−1;y= 1 +a a . - Si b=−1, a 6= 0,a 6=−1, de nuevo la primera y tercera ecuaci´on coinciden. Queda:

½

ax+ay = −1

−x+ay = a

El sistema es compatible determinado. La soluci´on es x= −a−1 a+ 1 ;y=

a2−1 a2 +a

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Problemas adicionales

Equivalencia de matrices. Sistemas de ecuaciones (Curso 2007–2008)

I.– Hallar la forma reducida equivalente por filas de la matriz:

   0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1   −→H13    1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1   H41−→(−1)    1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1    H42(−1) −→    1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0   H32−→(−1)    1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0   

II.– Obtener mediante transformaciones elementales el rango, la forma can´onicaBrespecto de la equivalencia y matrices no singulares P y Q que cumplan B = P AQ, siendo A la matriz del problema anterior.

Partiendo de la forma reducida equivalente por filas, para calcular la can´onica B s´olo tenemos que operar por columnas:

   1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0   ν31−→(−1)    1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0   −→ν24    1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0   

Vemos que el rango de la matriz es 2. Para obtener la matriz de paso P, s´olo hay que hacer las mismas operaciones por filas que hemos hecho sobre la matriz inicial, pero ahora sobre la matriz identidad.

I −→H13    0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1   H41−→(−1)    0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 −1 1   H42−→(−1)    0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 −1 −1 1    H32(−1) −→    0 0 1 0 0 1 0 0 1 −1 0 0 0 −1 −1 1   =P

An´alogamente, para calcular Q hay que hacer las operaciones por columna que que hicimos antes, sobre la identidad. Haciendo esto obtenemos:

I ν31−→(−1)    1 0 −1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1   −→ν24    1 0 −1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0   =Q

(6)

III.– Obtener la forma can´onica de la siguiente matriz respecto de la congruencia sobre el cuerpo IR y sobre el cuerpo IC, as´ı como las matrices de paso:



₋3₂ −2 0_{2 2}

0 2 6

 

Como es una matriz sim´etrica, para reducir por congruencia, las operaciones que hagamos por filas las hacemos tambi´en a las columnas:

A =  ₋3₂ −2 0_{2 2} 0 2 6  H12(1) −→ ν−→12(1)  1 0 2_{0 2 2} 2 2 6  H31(−2) −→ ν31−→(−2)  1 0 0_{0 2 2} 0 2 2   H32(−1) −→ ν32−→(−1)  1 0 0_{0 2 0} 0 0 0  H2(−1/ √ (2)) −→ ν2(−1/ √ (2)) −→  1 0 0_{0 1 0} 0 0 0  ₌_C

Esta es la forma canónica por congruencia sobre IR. En este caso coincide con la forma canónica compleja, porque todos los términos de la diagonal son no negativos (1 ó 0). Ser´ıan diferente si apareciese algún −1 en la forma canónica en IR.

Para calcular la matriz P de paso de manera que A = P CPt, basta hacer las operaciones por fila que le hemos hecho a A sobre la identidad. De esta forma obtenemos: P =   1₀ _1/p1_{(2) 0}0 −2 −3 1  

IV.– Obtener mediante transformaciones elementales la inversa de la matriz:

        2 0 0 . . . 0 0 −1 2 0 . . . 0 0 0 −1 2 . . . 0 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 0 . . . 2 0 0 0 0 . . . −1 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 0 0 . . . 0 0 0 1 0 . . . 0 0 0 0 1 . . . 0 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 0 . . . 1 0 0 0 0 . . . 0 1        

Sumamos ahora la primera fila dividida por dos a la segunda; luego la segunda dividida por dos a la tercera y as´ı sucesivamente. Suponiendo que es una matriz n×n, queda:

        2 0 0 . . . 0 0 0 2 0 . . . 0 0 0 0 2 . . . 0 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 0 . . . 2 0 0 0 0 . . . 0 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 0 0 . . . 0 0 1/2 1 0 . . . 0 0 1/4 1/2 1 . . . 0 0 ... ... ... . .. ... ... 1/(2n−2) 1/(2n−3) 1/(2n−4) . . . 1 0 1/(2n−1) 1/(2n−2) 1/(2n−3) . . . 1/2 1        

(7)

y ahora dividiendo cada fila por 2:         1 0 0 . . . 0 0 0 1 0 . . . 0 0 0 0 1 . . . 0 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 0 . . . 1 0 0 0 0 . . . 0 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1/2 0 0 . . . 0 0 1/4 1/2 0 . . . 0 0 1/8 1/4 1/2 . . . 0 0 ... ... ... . .. ... ... 1/(2n−1) 1/(2n−2) 1/(2n−3) . . . 1/2 0 1/(2n) 1/(2n−1) 1/(2n−2) . . . 1/4 1/2        

V.– Discutir y, en su caso, resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

   y−3z = −5 2x+ 3y−z = 7 4x+ 5y−2z = 10    3x−4y+ 6z = 7 5x+ 2y−4z = 5 x+ 3y−5z = 3      x+y+z = 3 x+y−z = 1 x−y+z = 1 x−y−z = −1    x+y+z+t = 2 x+ 2y+z−3t = 1 2x+ 3y+ 2z−2t = 3

Para discutir el sistema calculamos el rango de la matriz asociada y de la matriz ampliada. El sistema tiene solución sólamente si ambos rangos coinciden. Si además este rango coincide con el número de incógnitas la solución es única. En otro caso la solución depende de tantos parámetros como sea la diferencia entre el rango y el número de incógnitas.

Una forma de calcular el rango y tratar de resolver el sistema al mismo tiempo, puede ser utilizar la reducci´on bajo equivalencia por filas. Tambi´en se puede resolver por la regla de Kramer.

(a) La matriz del sistema y su ampliada son: A=  0 1_{2 3} −₋3₁ 4 5 −2   _A₌  0 1_{2 3} −₋3₁ −₇5 4 5 −2 10  

Vemos que |A| = 66= 0, luego rango(A) = rango(A) = 3, y el sistema tiene soluci´on ´

unica (compatible determinado). Lo resolvemos, por ejemplo, por Kramer: x = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −5 1 −3 7 3 −1 10 5 −2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯/|A|=−1; y = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 −5 −3 2 7 −1 4 10 −2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯/|A|= 4; z = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 1 −5 2 3 7 4 5 10 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯/|A|= 3

(b) Ahora, la matriz del sistema y su ampliada son: A=  3₅ −₂4 −₋6₄ 1 3 −5   _A₌  3₅ −₂4 −₋6 7_{4 5} 1 3 −5 3  

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Vemos que |A|= 0, y adem´as el menor formado por las dos primeras filas y columnas tiene determinante no nulo. Por tanto rango(A) = 2. Sin embargo el rango de A es 3, porque el menor formado por las columnas 1,2,4 tiene determinante no nulo. Por tanto el sistema no tiene soluci´on (incompatible).

(c) Resolveremos este haciendo la reduci´on por filas. Trabajamos sobre la matriz ampliada, distinguiendo los coeficientes:

   1 1 1 1 1 −1 1 −1 1 1 −1 −1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3 1 1 −1    H21(−1) H31(−1) H41(−1) −→    1 1 1 0 0 −2 0 −2 0 0 −2 −2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3 −2 −2 −4   H3−→(−1/2)    1 1 1 0 0 −2 0 1 0 0 −2 −2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3 −2 1 −4    H13(−1) H43(2) −→    1 0 1 0 0 −2 0 1 0 0 0 −2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 −2 1 −2   H2−→(−1/2)    1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 −2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 1 1 −2    H12(−1) H42(2) −→    1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 1 0   

Vemos que el rango de la matriz del sistema es 3 y coincide con el de la ampliada y con el número de incógnitas (sistema compatible determinado). Además obtenemos que la solución es:

x= 1; y= 1; z = 1. (d) De nuevo utilizamos reducci´on por filas:

 1 1 1_{1 2 1} ₋1₃ 2 3 2 −2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 1 3   H21(−1) H31(−2) −→  1 1 1_{0 1 0} ₋1₄ 0 1 0 −4 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 −1 −1   H12(−1) H32(−1) −→  1 0 1_{0 1 0} ₋5₄ 0 0 0 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3 −1 0  

Vemos que el rango de la matriz del sistema es 2 y coincide con el de la matriz ampliada. Sin embargo hay 4 incógnitas. Por tanto la solución depende de 4−2 = 2 parámetros (sistema compatible indeterminado):

x= 3−λ−5µ; y=−1 + 4µ; z =λ; t=µ;

VI.– Discutir y, en su caso, resolver, en funci´on de los par´ametros correspondientes, el sistema de ecuaciones:    ax+ 2z = 2 5x+ 2y = 1 x−2y+bz = 3 Escribimos la matriz asociada al sistema y la ampliada:

A =  a₅ 2₂ 0₀ x −2 b   _A₌  a₅ 2₂ 0 2_{0 1} x −2 b 3  

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Estudiamos los rangos en funci´on de a y b. Tenemos |A|= 2(12−ab). Luego:

- Siab6= 12, entoncesrango(A) =rango(A) = 3. Coincide con el n´umero de inc´ogintas por lo que el sistema es compatible determinado.

Resolvi´endolo por Kramer se obtiene: x= 2(b−4) 12−ab; y = ab−10b+ 28 24−2ab ; z = 4(a−3) 12−ab.

Si ab= 12, el rango de A es 2, porque el menor formado por las dos primeras filas y columnas siempre tiene determinante no nulo. El rango de A, sin embargo, puede ser 3, si hay alg´un menor de orden 3 que tenga determinante nulo. Vemos que esto ocurre exactamente si a6= 3. Es decir:

- Si ab= 12 pero a 6= 3, entonces el sistema es incompatible.

- Si a = 3 y b = 4, el sistema es compatible indeterminado. De las dos primeras ecuaciones se obtiene:

x= 2(1−λ)

3 ; y =

−7 + 10λ

6 ; z =λ. VII.– Sean las matrices reales:

A =   2₃ ₋1₁ −1 2  _; _B₌  ₋1₁ ₋2₃ 1 1  _;

¿Es posible encontrar una matriz inversible X ∈M_2×2(IR) tal que AX =B?.

Multiplicar la matriz A por la derecha por una matriz inversible X consiste en hacer operaciones elementales columna. Por tanto la cuesti´on es si A y B son equivalentes por columnas. Tenemos:

A −→ν12  ₋1₁ 2₃ 2 −1  ν21_−→(−2)  ₋1₁ 0₅ 2 −5  ν2_−→(1/5)  ₋1₁ 0₁ 2 −1  ν_−→12(1)  1₀ 0₁ 1 −1  

y por otra parte: Bν21−→(−2)  ₋1₁ ₋0₁ 1 −1  ν12_−→(−1)  1₀ ₋0₁ 2 −1  ν2_−→(−1)  1 0_{0 1} 2 1  

Luego A y B no son equivalentes por columnas.

¿Y una matriz inversible Y ∈M_3×3(IR) tal que Y A=B?. Razonar las respuestas. Ahora hay que ver si son equivalentes por filas:

A =   2₃ ₋1₁ −1 2   H13(2) H23(3) −→   0 5_{0 5} −1 2   H1(1/5) H2(1/5) H3(−1) −→  0₀ 1₁ 1 −2   H12(−1) H32(2) −→  0 0_{0 1} 1 0  _−→H13  1 0_{0 1} 0 0  

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y para la otra matriz: B=  ₋1₁ ₋2₃ 1 1   H21(1) H₃₁(−1) −→  1₀ ₋2₁ 0 −1   H12(2) H₃₂(−1) −→  1₀ ₋0₁ 0 0  H_−→2(−1)  1 0_{0 1} 0 0  

Luego vemos que son equivalentes filas. VIII.– Consideramos las matrices reales:

A= µ 1 2 2 1 ¶ ; B = µ 1 a a 3 ¶ , a∈IR. Calcular los valores de a para los cuales:

(a) A y B son equivalentes por filas.

Simplificamos ambas matrices mediante operaciones fila: A = µ 1 2 2 1 ¶ h21(−2) −→ µ 1 2 0 −3 ¶ h2(−1/3) −→ µ 1 2 0 1 ¶ h12(−2) −→ µ 1 0 0 1 ¶ . y B = µ 1 a a 3 ¶ h21(−a) −→ µ 1 a 0 3−a2 ¶ .

Ahora si 3 − a2 = 0, entonces rango(B) = 1 6= rango(A). Por tanto NO SON EQUIVALENTES POR FILA. Si 3−a2 6= 0, podemos seguir:

µ 1 a 0 3−a2 ¶ h2(1/(3−a2)) −→ µ 1 a 0 1 ¶ h12(−a) −→ µ 1 0 0 1 ¶ . Vemos que:

- Si a 6=√3,−√3 son equivalentes por filas. - Si a =√3,−√3 NO son equivalentes por filas. (b) A y B son equivalentes.

Dos matrices de la misma dimensi´on son equivalentes si y s´olo si tienen el mismo rango. En este caso rango(A) = 2 y vimos antes que rango(B) = 2 excepto si 3−a2 = 0. Concluimos que:

- Si a 6=√3,−√3 son equivalentes. - Si a =√3,−√3 NO son equivalentes. (c) A y B son congruentes.

Dos matrices sim´etricas son congruentes si tienen el mismo rango y la misma signatura. De nuevo sabemos que los rangos coinciden si 3−a2 6= 0. Adem´as, diagonalizando por congruencia tenemos:

A= µ 1 2 2 1 ¶ h21(−2) −→ ν21−→(−2) µ 1 0 0 −3 ¶

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es decir, la signatura de A es (1,−1). Por otra parte, para B y suponiendo que a 6=√3,−√3: = µ 1 a a 3 ¶ h21(−a) −→ ν21−→(−a) µ 1 0 0 3−a2 ¶

La signatura de B es (1,−1) si y s´olo si 3−a2 <0. Concluimos: - Si a <−√3 ´o a > √3, entonces A y B son congruentes.

- Si −√3≤a≤√3, entonces A y B NO son congruentes. (d) A y B son semejantes.

Dos matrices semejantes tienen la misma traza. Pero traza(A) = 1 + 1 = 2 y traza(B) = 1 + 3 = 4. Por tantoA y B nunca son semejantes.

IX.– Encontrar la (´unica) respuesta correcta, de entre las indicadas, a las siguientes cuestiones:

(a) Las matrices

 1 0 1_{0 0 0} 1 0 0   _y  0 1 1_{0 0 0} 1 0 0  

° son equivalentes por filas.

FALSO. No pueden ser equivalentes por filas, porque la primera de ellas, a diferencia de la segunda, tiene una columna formada totalmente por ceros, y no se va a modificar en ninguna transfomaci´on elemental por filas. De hecho las respectivas formas reducidas por filas son:

 1 0 1_{0 0 0} 1 0 0  _−→H23_−→H12  1 0 0_{1 0 1} 0 0 0  H21(−1) −→  1 0 0_{0 0 1} 0 0 0    0 1 1_{0 0 0} 1 0 0  _−→H23_−→H12  1 0 0_{0 1 1} 0 0 0  

° son equivalentes por columnas.

VERDADERO. Vemos que coincide la forma reducida por columnas:

 1 0 1_{0 0 0} 1 0 0  _−→ν23_−→H12  1 0 1_{0 0 0} 0 1 0  H21(−1) −→  1 0 0_{0 0 0} 0 1 0    0 1 1_{0 0 0} 1 0 0  _−→H12  1 0 1_{0 0 0} 0 1 0  H31(−1) −→  1 0 0_{0 0 0} 0 1 0   ° son semejantes.

(12)

° no son equivalentes.

FALSO. Si que son equivalentes. De hecho incluso son equivalentes por columnas, como hemos visto. Adem´as ambas tienen igual rango 2, con lo cual inmediatamente deducimos que son equivalentes.

(b) Sea A ∈ Mn×n(IR). Indicar la afirmaci´on falsa:

° Si A es sim´etrica y no singular, entonces es congruente con In. FALSO. Por ejemplo, la matriz:

µ

1 0 0 −1

¶

es sim´etrica y no singular. Sin embargo no es congruente con I₂. La afirmaci´on ser´ıa cierta si estudiamos la congruencia en IC.

° Si A es no singular, entonces es equivalente por columnas a In.

VERDADERO. Toda matriz cuadrada no singular es equivalente tanto por filas como por columnas a la matriz identidad.

° Todas las matrices de Mn×n(IR) con el mismo rango que A son equivalentes a A. VERDADERO. Dos matrices de la misma dimensi´on son equivalentes precisamente si tienen el mismo rango.

° Si A es semejante a In entonces A =In.

VERDADERO. Por definici´on de semejanza, si A es semejante a In, significa que existe una matriz P regular tal que, P AP−1 =In. Pero multiplicando a la izquierda por P−1 y a la derecha por P obtenemos: A =P−1InP =P−1P =In.

(c) Sean A, B, C y D matrices regulares n×n, tales que la matriz A es semejante a B y C es semejante a D, se cumple que:

° AC siempre es semejante a BD. FALSO. Ejemplo: A = µ 2 0 0 1 ¶ ; B= µ 1 0 0 2 ¶ ; C = µ 2 0 0 1 ¶ ; D= µ 2 0 0 1 ¶ ; Pero, entonces AC = µ 4 0 0 1 ¶ ; BC = µ 2 0 0 2 ¶ ;

y estas no son semejantes ya que no tienen los mismos autovalores.

° CAnunca es semejante a DB.

FALSO. Ejemplo: A=B=C =D =Id.

° AC nunca es equivalente a BD.

(13)

° CAsiempre es equivalente a DB.

VERDADERO. Dos matrices de dimensi´onn×nregulares siempre son equivalentes. Si A, B, C, D son regulares, entonces tambi´en CA yDB lo son.

(d) Si dos matrices cuadradas regulares de dimensi´on 2×2 tienen la misma traza y el mismo determinante, entonces ° son semejantes. FALSO. Ejemplo: _µ 2 0 0 2 ¶ ; µ 2 0 1 2 ¶ ; ° son equivalentes.

VERDADERO. Dos matrices 2×2 son equivalentes si tienen el mismo rango. Si son regulares autom´aticamente tienen el mismo rango.

° son congruentes.

FALSO. Nos sirve el mismo ejemplo que en el caso de ser semejantes, porque una es diagonal y la otra no es sim´etrica y por lo tanto no son congruentes.

° no tienen porque ser ni equivalentes ni semejantes. FALSO.