Dibujo I, Geometría
Tema 6
Inversión
ETSIN
http://debin.etsin.upm.es/~geometria/
Objetivos
Aprender esta nueva transformación
Aplicar sus propiedades para
resolver problemas de tangencias entre
circunferencias, rectas y puntos
Contenidos 1
Definición Figuras dobles de la inversión
Rectas antiparalelas
Obtención de puntos inversos
Inversa de una recta
Inversa de una circunferencia
Resumen de la inversión
Problemas de tangencias CPR, CCP, CCR y CCC
Contenidos 2
Ampliación
Inversión y potencia
Cadenas de Steiner
Definición de inversión
Concepto de inversión
Su ecuación, definición de centro y
razón de inversión
Con ayuda de la web, aprende
La inversión fue inventada por
Jacob Steiner en 1830. Sorprendió
a muchos matemáticos utilizando
sus propiedades en la resolución
de problemas difíciles de resolver
sin esta transformación
La inversión fue inventada por
Jacob Steiner en 1830. Sorprendió
a muchos matemáticos utilizando
sus propiedades en la resolución
de problemas difíciles de resolver
sin esta transformación
Figuras dobles en la inversión
Tres tipos de figuras dobles
Circunferencia de puntos dobles
(c.p.d.)
Con ayuda de la web, aprende
No existen muchas
transformaciones que
tengan figuras que se
transformen en sí mismas
No existen muchas
transformaciones que
tengan figuras que se
Rectas antiparalelas
Las rectas antiparalelas del Tema 1
Propiedades de los ángulos
cruzados
Con ayuda de la web, repasa
Las rectas antiparalelas
pueden utilizarse para
calcular puntos inversos
Las rectas antiparalelas
pueden utilizarse para
calcular puntos inversos
Obtención de puntos inversos
Distintas maneras de obtener el
inverso de un punto a partir de una primera pareja de puntos inversos
Calcular inversos con la c.p.d.
Calcular inversos para distintas
posiciones del punto
Con ayuda de la web, aprende
La construcción para obtener el
inverso es la misma que se usa
para obtener la polar de un punto
La construcción para obtener el
inverso es la misma que se usa
para obtener la polar de un punto
Inversa de una recta
Dibujar la inversa de una recta para
distintas posiciones de la misma Con ayuda de la web, aprende
Si la recta corta a la c.p.d.,
su inversa es inmediata
Si la recta corta a la c.p.d.,
su inversa es inmediata
Inversa de una circunferencia
Dibujar la inversa de una
circunferencia para distintas posiciones de la misma
Con ayuda de la web, aprende
Si la circunferencia corta
a la c.p.d., su inversa es
más rápida de calcular
Si la circunferencia corta
a la c.p.d., su inversa es
más rápida de calcular
Resumen de la inversión
Inverso de una recta que no pasa
por el centro de inversión
Inverso de una recta que sí pasa
por el centro de inversión
Inverso de una circunferencia que
no pasa por el centro de inversión
Inverso de una circunferencia que
sí pasa por el centro de inversión
Con ayuda de la web, recuerda
Estos cuatro conceptos permiten resolver
problemas de tangencias complejos
Estos cuatro conceptos permiten resolver
problemas de tangencias complejos
Problemas de tangencias: CPR
Utilizar la inversión para resolver
este problema
Recuerda la mecánica de resolver
los problemas de tangencias Con ayuda de la web, aprende
La inversión mantiene los
ángulos entre las figuras
originales y sus inversas
La inversión mantiene los
ángulos entre las figuras
originales y sus inversas
Cuando no sea posible dibujar
alguna de las rectas tangentes,
existirán menos soluciones
Cuando no sea posible dibujar
alguna de las rectas tangentes,
existirán menos soluciones
Problemas de tangencias: CCP
Utilizar la inversión para resolver
este problema
Observa que los pasos son iguales
que en el caso anterior CPR Con ayuda de la web, aprende
Observa cuantas soluciones hay
en función de la posición de los
elementos
Observa cuantas soluciones hay
en función de la posición de los
elementos
Problemas de tangencias: CCR
Utilizar la inversión para resolver
este problema, que se ha transformado previamente
Observa como se deshacen las
transformaciones ordenadamente Con ayuda de la web, aprende
Observa la posición de las
soluciones para cada una de las
cuatro transformaciones
Observa la posición de las
soluciones para cada una de las
cuatro transformaciones
Si no hay un punto que tomar como
centro de inversión, se tiene que
transformar el problema antes
Si no hay un punto que tomar como
centro de inversión, se tiene que
Problemas de tangencias: CCC
Utilizar la inversión para resolver
este problema, que se ha transformado previamente
Observa como se deshacen las
transformaciones ordenadamente Con ayuda de la web, aprende
Observa la posición de las
soluciones para cada una de las
cuatro transformaciones
Observa la posición de las
soluciones para cada una de las
cuatro transformaciones
Con dos circunferencias
“pequeñas” iguales, en vez de
inversión se utilizaría las
propiedades del eje radical
Con dos circunferencias
“pequeñas” iguales, en vez de
inversión se utilizaría las
Obtención de
puntos
inversos con la
c.p.d.
Obtención de
puntos
inversos con la
c.p.d.
Problemas de
tangencias:
CPR, CCP,
CCR y CCC
Problemas de
tangencias:
CPR, CCP,
CCR y CCC
Definición,
figuras
dobles, c.p.d.
Definición,
figuras
dobles, c.p.d.
Inversos de
recta y
circunferencia
Inversos de
recta y
circunferencia
Resumen
Rectas
antiparalelas
Rectas
antiparalelas
La inversión
mantiene los
ángulos
La inversión
mantiene los
ángulos
Inversión y potencia
Invertir dos circunferencias en sí
mismas
Invertir tres circunferencias en sí
mismas
Invertir dos circunferencias en otras
dos concéntricas
Con ayuda de la web, aprende:
De esta forma es posible
resolver algunos problemas
de forma más sencilla
De esta forma es posible
resolver algunos problemas
de forma más sencilla
Cadenas de Steiner
Como se dibuja una cadena de
Steiner
Relación entre los radios de las
circunferencias concéntricas Con ayuda de la web, aprende
Las cadenas de Steiner
pueden utilizarse para alojar
cables o tuberías en
conductor cilíndricos
Las cadenas de Steiner
pueden utilizarse para alojar
cables o tuberías en
El Arbelos
Propiedades de esta figura
Cadena de Papus
Con ayuda de la web, aprende
Estas propiedades fueron
descubiertas por los
matemáticos griegos sin
ayuda de la inversión
Estas propiedades fueron
descubiertas por los
matemáticos griegos sin
ayuda de la inversión
Observa lo fácil que es
resolver una cadena de
Papus mediante
inversión
Observa lo fácil que es
resolver una cadena de
Papus mediante
Inversión y
potencia
Inversión y
potencia
Resumen ampliación
Cadenas de
Steiner
Cadenas de
Steiner
El arbelos
El arbelos
Auto evaluación y problemas
¿Obligatorio? ¿Nota? Preguntas
Puedes realizar en la web unas preguntas de auto
evaluación sobre este tema y unos problemas a dibujar en tu papel. Las preguntas puedes revisarlas después para ver tus fallos.
No No 5
Problemas 2
Siguiente tema …
El siguiente tema retoma la
geometría Euclidea estudiando las cónicas
Aplicaremos todo lo visto hasta
