Geometría semana 6 circunferencia

3 3

4 SEMANA 6

CIRCUNFERENCIA

1. En un triángulo rectángulo cuyos ángulos agudos miden 37° y 53°. Calcule la relación entre las medidas inradio y el circunradio.

A) 2/5 B) 1/5 C)3/10 D) 3/5 E) 2/7

RESOLUCIÓN

r = Inradio

R: Circunradio

ABC: Teorema de Poncelet.

3k + 4k = 5k + 2r

→ 2r = 2k ………...

Luego:

AC = 2R= 5k …………

÷ : 2r 2k

2R = 5k

∴ r 2 R = 5

RPTA.: A 2. En un triángulo rectángulo las medidas del inradio y el circunradio están en la relación de 1 a 3. Calcule la longitud del inradio si el perímetro del triángulo es 42.

A) 2 2 B) 2 C) 3 D) 3 2 E) 6

RESOLUCIÓN

r → Inradio R = Circunradio

Dato: a + b + c = 42 ……….

R = 3r ………..

: Teorema de Poncelet.

a + c = b + 2r ……….

en : b + 2r + b = 42

2R + 2r +2R = 42 → 2R + r = 21…....

en : 2(3r) +r = 21 → r=3

RPTA.: C 3. En un rectángulo ABCD se traza la bisectriz del ángulo B, interceptando en “E” a AD . Calcule la longitud del radio de la circunferencia inscrita en el cuadrilátero BEDC, si ésta determina el punto “N” en BE y BN – NE = 16.

A) 16 B) 12 C) 10 D) 8 E) 4

2

1 2

1

1 2

1

2

4 4

S B

A C

P

x

x

o

RESOLUCIÓN

Dato:

BN NE− =16 → − =x y 16^…..

BC = AD → x + r = 3r + y → x – y = 2r …………..

en :

16 = 2r

∴ x = 8

RPTA.: D 4. En un paralelogramo ABCD se traza la altura BH (H en AD ). Si la longitud del inradio del triángulo ABH es igual a r y el cuadrilátero HBCD es circunscriptible a una circunferencia de radio cuya longitud es R, calcule HD.

A) R−2r B)

2 R − 3 r

C) R+r D) 2R−r E) 2(R−r)

RESOLUCIÓN

AHB: Teorema de Poncelet.

a + 2r = b + 2R …………....

BCDH :

▱ Teorema de Pithot.

b + 2x = 2R + a………...

+ :

a + b +2x + 2r = 4R + a + b

→ 2x = 2(2R-r)

∴ ^{x = 2R-r}

RPTA.: D

5. En una circunferencia de centro “O”

se ubican los puntos A, B y C de modo que

AC

es diámetro y

m AB

=

90

^{º. En AB} y en la prolongación de

BO

se ubica los puntos P y S respectivamente.

Siendo m<PSC = 90º. Calcule la m<SPC.

A) 30º B) 45º C) 60º D) 37º E) 20º

RESOLUCIÓN

Se traza

BC

→ m< ABC = 90º

Luego □ SPBC: Inscriptible

→ m< SBC = x BOC ( 45º, 45º)

∴ ^{x = 45º}

RPTA.: B

6. Desde el punto C exterior a la circunferencia de diámetro AB se traza la tangente CT (T en el arco AB) y CH AB (H en AB) siendo

( ) ( )

6 TC

=

4 AB

^{, calcule la} m< THA.

A) 53º B) 37º C) 30º D) 60º E) 45º

2

1 2

1

1

2 1

2

a C

D H

A b

a

B b + x

2R R

x r

αα

3 2 θ

θ

RESOLUCIÓN

Sea: “O” centro de la circunferencia.

OT TC …..propiedad.

→ □OTCH : Inscriptible m< TCO = x

OTC (37º, 53º)

∴ ^{x = 37º}

RPTA.: B 7. En un triángulo rectángulo ABC

(recto en B) de incentro “I”, AI = 1 e IC =3 2. Se traza la perpendicular CH a la prolongación de AI; calcule la longitud del inradio del triángulo rectángulo AHC.

A) 3 B) 5 C)4 D) 2 E) 1

RESOLUCIÓN

∆AIC:

→ m∢AIC =135º………(Propiedad) Luego: m HIC∢ = 45º

→ IH=HC =3

AHC: Teorema de Poncelet 4 + 3 = 5 + 2r

→ r = 1

RPTA.: E 8. La circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo ABC recto en B, (BC > AB), es tangente en N a AB y en P a BC . Exteriormente se construye el trapezoide BCED en el cuál la circunferencia inscrita es tangente en M a BD y en Q a BC .

Calcule PQ si ED = 5, AC = CE y DM + AN = 3.

A) 1 B) 1,5 C) 2 D) 2,5 E) 3

RESOLUCIÓN

Del Dato:

AC = EC ⇒

a + b = 3 ...(1)

⇒ b + m = − +5 a m −x

( )

x

= −

5 a b

+ ...(2) (2) en (1):

( )

x

=

5

−

3

∴ x = 2

RPTA.: C 9. La suma de las longitudes de los

catetos de un triángulo rectángulo es igual a 8u. Calcule la suma de las longitudes de su inradio y de su exradio relativo a la hipotenusa.

A) 8u B) 12u C) 4u D) 16u E) 6u

A B

6k 4k

c

3k

H o

T

x

x

Q m r

A b b

N rB r P r + x M

5 - a

C m - x m - x

x

a a 5

M D

RESOLUCIÓN

Dato: a + b = 8 ...(1) Teorema de Poncelet:

a + b = 2r₁ − − +a b 2r

( ) (

1

)

2 a b

+ =

2 r

+

r

a + b = r₁ +r ...(2) (1) en (2)

∴ r1 + r = 8

RPTA.: D 10. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 10 cm y 24 cm.

Calcule la distancia del incentro al circuncentro.

A) 41 cm B) 65 _cm C)

51

cm D) 35 cm E) 3 5 cm

RESOLUCIÓN

I → Incentro O→ Circuncentro

ABC: Teorema de Poncelet.

10 + 24 =26 +2r → r = 4 IHO: Pitágoras:

2 2 2

x = 4 +7 =16+ 49

∴ x = 65

RPTA.: B 11. En un triángulo ABC se traza la mediana BM. Las circunferencias inscritas en los triángulos ABM y BMC determinan los puntos de tangencia P y Q sobre BM . Calcule PQ si BC – AB = 12.

A) 10 B) 8 C) 6 D) 4 E) 3

RESOLUCIÓN

Dato: BC – AB = 12

a+x+m - (a + n)=12

→ x + m – n =12

x + m = 12 +n ...

Como:AM = MC (M: punto medio)

→ b + + =n x b +m ...

+ : 2x+m+n =12+ m+n

∴ x = 6

RPTA.: C

r1

r1

r1−a r1−b

r1

r1−b b

a r1−a

r

1

1

2 2

12. De la figura calcule UN-CP; Si QT

= 3 y el perímetro de la región UNC es igual al de la región QUCP (T→ Punto de tangencia).

P C N

Q

T U

A) 3 B) 6 C) 9 D) 5 E) 2

RESOLUCIÓN

Piden: UN−CP = −n 2r Dato:

a + r + m + n = 6 + 4r +2a

→ m + n = 6 + 3r + a………..

Teorema de Poncelet:

3 + +r 2r +m = 3 + + +a n 2r

→ a + n = r + m ………..

+ :

a +2n+ m = +6 4r + a + m

( )

2 n

−

2r

=

6

∴ n−2r =3

RPTA.: A 13. En un rectángulo ABCD en

BC

se ubica el punto P de modo que la m< APD =90º siendo AB = 10, calcule la suma de las longitudes de los inradios de los triángulos ABP, APD y PCD.

A) 2,5 B) 5 C) 10 D) 15 E) 20

RESOLUCIÓN

ABP, PCD, APD:

Teorema de Poncelet.

10 + a = m + 2r₁ …..

10 + b = n + 2r₃ …… + m+n = a b+ +2r2^…

1 2 3

20 =2(r +r +r )

∴ r₁ +r₂ +r₃ =10

RPTA.: C 14. En una circunferencia se ubica los puntos A, B, C y D de modo que

{ }

AC ∩ BD = P y AC BD. ^{Si el} inradio del triángulo BPC mide 1 cm,

AP =3 ^{cm y}

m AB

=

2m AD,

^calcule BP.

A) 2 cm B) 3 cm C) 4 cm D) 5 cm E) 8 cm

RESOLUCIÓN

ACB :

∆ Isósceles →BC = 3 +b BPC: Poncelet

x

+ = + +

b 3 b 2(1)

∵ _{x = 5}

RPTA.: D 2

1

1 2

1 2

3

r2

r3

r1

r

m n

c N U

P r r

r Q

3

3

T a a

r

b + 3

b c

x 4α 90º

B

A 3 P

90− α

1

2α

2α α

α

D

15. En un triángulo ABC, la mediatriz de

AC

intersecta a

AC

Y

BC

en M y N respectivamente; luego se traza la altura AH (H en BN). Si AB =NC y m< ABC = 70º^{. Calcule} m <HMN^. A) 10º B) 20º C) 15º D) 18º E) 12º

RESOLUCIÓN

ANHM :

□ Inscriptible

→ m HAN∢ = x…. (propiedad)

∆BAN: Isósceles (AB=AN)

→ 2x = 40º

∴ x = 20º

RPTA.: B 16. En un cuadrado ABCD de centro “O”.

en la región exterior relativa al lado AB se ubica el punto Q de modo que la m < AQB = 90º; luego se traza OP AQ. Siendo

^OP

⁼

^{2 BQ} ( )

^,

calcule la m <BOQ

A) 30º B) 15º C) 16º D) 26,5º E) 18,5º

RESOLUCIÓN

AQBO :

□ Inscriptible Se traza BT PO Luego: BTO≅ APO

→ BT =2a; PA = a

BQA:

∴ 37º

x 18,5º

= 2 =

RPTA.: E 17. Una circunferencia se encuentra inscrita en un trapecio ABCD cuyo perímetro es 20 m. Calcule la longitud de la base media de dicho trapecio.

A) 2,5 B) 5 C) 7,5 D) 10 E) 12

RESOLUCIÓN

Dato:

Perímetro=20 Teorema Pithot

BC + AD = AB + CD = 10

→ Base media =BC AD 2 5

+ =

RPTA.: B 18. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, T es el punto de contacto entre BC y la circunferencia inscrita.

P es el punto medio del arco BC de la circunferencia circunscrita. La medida del ángulo PTC es:

A) 30° B) 45° C) 60° D) 63,5° E) 71,5°

B

M C

H N 70º

x x

x

A

x Q α

B

2a

P a

A

2a

o α x

a a

a

C

D T

B C

A D

α α θ θ RESOLUCIÓN

Se traza IT BC y

m APC 90º ∢

=

→ □ITPC : inscriptible

m PIC∢ = x (Propiedad) Luego: m∢AIC =135º

∴ x = 45º

RPTA.: B 19. Calcule “x” en el gráfico

6° 6°

57° 27°

x°

A) 15° B) 84° C) 63°

D) 60° E) 75°

RESOLUCIÓN

Se traza BH AC _→ AH=HC Luego:

Se construye ∆AEC : Isósceles

→ m DCE∢ =30º

m HEC∢ =m AEH∢ =33º Luego: □DBCE : Inscriptible

→ m BDC∢ =33º m∢CDE= 84º

∆DTC^:

x =33º 27º+ ^…(Prop.

∢

exterior)

∴ ^{x = 60º}

RPTA.: D 20. En un triángulo ABC m∠BAC= 60° y

BC = 6u. Calcule la distancia del incentro al excentro relativo a BC . A) 3 u B) 6 u C) 4 u D) 2 3 u E)

4 3

^u

⊥

33º33º

D 33º 84º 57º

6º

T x

H 84º B

6º 33º 27º C

30º A

E

RESOLUCIÓN

IBE y ICE (rectángulos):

IBE: Se traza BM (mediana)

→ BM = x 2

ICE: Se traza

CM

....(mediana)

→ CM = x

2

“M” es circuncentro de ∆BEC

→ m<BMC = 120º

∆BMC:

x 3 6 2 =

∴ 12 3

x 4 3

= 3 =

RPTA.: E

60º

I γγ

x3 2

α α

120 M 60º

θ _θ x/2

E

A C

B

30º 30º

x/2

x/2

x/2