Mecánica de Fluidos

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MECÁNICA

DE

FLUÍDOS

MERLE C. POTTER

DAVID C. WIGGERT

BASSEM H. RAMADAN

cuarta edición

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Mecánica de ﬂuidos

Cuarta edición

Merle C. Potter

Michigan State University

David C. Wiggert

Michigan State University

Bassem Ramadan

Kettering University

con

Tom I-P. Shih

Purdue University

Traducción:

Ing. Jorge Humberto Romo Muñoz

Traductor profesional

Revisión Técnica:

Ing. Javier León Cárdenas

Profesor de Ciencias Básicas

Escuela Superior de Ingeniería Química e Industrias Extractivas

Instituto Politécnico Nacional

(4)

Corporativo Santa Fe

Av. Santa Fe núm. 505, piso 12 Col. Cruz Manca, Santa Fe C.P. 05349, México, D.F.

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Traducido del libro Mechanics of Fluids Fourth edition

Merle C. Potter David C. Wiggert Bassem Ramadan

Datos para catalogación bibliográﬁca:

Potter, Merle C., David C. Wiggert y Bassem Ramadan

Mecánica de ﬂuidos

ISBN 13: 978-607-519-450-9

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Impreso en México

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Mecánica de ﬂuidos Cuarta edición Merle C. Potter David C. Wiggert Bassem Ramadan

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Editor

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Diseño de portada

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Imágenes de portada

Composición tipográﬁca

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v

Contenido

CAPÍTULO 1

CONSIDERACIONES BÁSICAS 3 1.1 Introducción 4

1.2 Dimensiones, unidades y cantidades físicas 4 1.3 Concepto de medio continuo de gases y líquidos 8 1.4 Escalas de presión y temperatura 11

1.5 Propiedades de los ﬂuidos 14 1.6 Leyes de conservación 23

1.7 Propiedades y relaciones termodinámicas 24 1.8 Resumen 30 Problemas 32 CAPÍTULO 2 ESTÁTICA DE FLUIDOS 39 2.1 Introducción 40 2.2 Presión en un punto 40 2.3 Variación de la presión 41 2.4 Fluidos en reposo 43

2.5 Recipientes linealmente acelerados 67 2.6 Recipientes giratorios 69

2.7 Resumen 72 Problemas 74 CAPÍTULO 3

INTRODUCCIÓN AL MOVIMIENTO DE FLUIDOS 87

3.1 Introducción 88

3.2 Descripción del movimiento de fluidos 88 3.3 Clasificación de los flujos de fluidos 100 3.4 La ecuación de Bernoulli 107

FORMAS INTEGRALES DE LAS

LEYES FUNDAMENTALES 127

4.2 Las tres leyes básicas 128

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vi Contenido

4.4 Conservación de la masa 137 4.5 Ecuación de la energía 144

4.6 Ecuación de la cantidad de movimiento 157

4.7 Ecuación del momento de la cantidad de movimiento 176 4.8 Resumen 179

Problemas 182 CAPÍTULO 5

FORMAS DIFERENCIALES DE LAS LEYES

FUNDAMENTALES 203

5.2 Ecuación diferencial de continuidad 205

5.3 Ecuación diferencial de la cantidad de movimiento 210 5.4 Ecuación diferencial de la energía 223

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SIMILITUD 237

6.2 Análisis dimensional 239 6.3 Similitud 248

6.4 Ecuaciones diferenciales normalizadas 258 6.5 Resumen 262

FLUJOS INTERNOS 271

7.2 Flujo de entrada y ﬂujo desarrollado 272 7.3 Flujo laminar en un tubo 274

7.4 Flujo laminar entre placas paralelas 281 7.5 Flujo laminar entre cilindros giratorios 288 7.6 Flujo turbulento en un tubo 292

7.7 Flujo uniforme turbulento en canales abiertos 325 7.8 Resumen 329 Problemas 331 CAPÍTULO 8 FLUJOS EXTERNOS 345 8.1 Introducción 346 8.2 Separación 350

8.3 Flujo alrededor de cuerpos sumergidos 352

8.4 Sustentación y resistencia al avance en superﬁcies aerodinámicas 367 8.5 Teoría del ﬂujo potencial 372

8.6 Teoría de la capa límite 385 8.7 Resumen 409

(7)

Contenido vii

CAPÍTULO 9

FLUJO COMPRESIBLE 425

9.2 Velocidad del sonido y el número de Mach 427 9.3 Flujo isentrópico a través de una tobera 431 9.4 Onda de choque normal 442

9.5 Ondas de choque en toberas convergentes-divergentes 449 9.6 Flujo de vapor a través de una tobera 454

9.7 Onda de choque oblicua 456

9.8 Ondas isentrópicas de expansión 461 9.9 Resumen 465

FLUJO EN CANALES ABIERTOS 473

10.2 Flujos en canales abiertos 475 10.3 Flujo uniforme 478

10.4 Conceptos de energía 484

10.5 Conceptos de la cantidad de movimiento 498 10.6 Flujo no uniforme gradualmente variado 510

10.7 Análisis numérico de perﬁles de superﬁcies de agua 518 10.8 Resumen 528

FLUJOS EN SISTEMAS DE TUBERÍAS 543

11.2 Pérdidas en sistemas de tuberías 544 11.3 Sistemas de tuberías simples 550 11.4 Análisis de redes de tuberías 561 11.5 Flujo no permanente en tuberías 574 11.6 Resumen 582 Problemas 583 CAPÍTULO 12 TURBOMAQUINARIA 599 12.1 Introducción 600 12.2 Turbobombas 600

12.3 Análisis y similitud dimensional para turbomaquinaria 617 12.4 Uso de turbobombas en sistemas de tuberías 626

12.5 Turbinas 632 12.6 Resumen 647 Problemas 648

(8)

viii Contenido

CAPÍTULO 13

MEDICIONES EN MECÁNICA DE FLUIDOS 655

13.2 Medición de parámetros de ﬂujo local 656 13.3 Medición del gasto 664

13.4 Visualización del ﬂujo 673

13.5 Adquisición y análisis de datos 681 13.6 Resumen 693

DINÁMICA DE FLUIDOS COMPUTACIONAL 697

14.2 Ejemplos de métodos de diferencia ﬁnita 699 14.3 Estabilidad, convergencia y error 710

14.4 Solución del ﬂujo de Couette 717

14.5 Solución de ﬂujo potencial de estado permanente bidimensional 721 14.6 Resumen 726

Bibliografía 728 Problemas 729

APÉNDICE 733

A. Unidades y conversiones en relaciones vectoriales 733 B. Propiedades de ﬂuidos 735

C. Propiedades de áreas y volúmenes 741 D. Tablas para ﬂujo compresible de aire 742 E. Soluciones numéricas del capítulo 10 751 F. Soluciones numéricas del capítulo 11 758 BIBLIOGRAFÍA 773

Referencias 773 Interés general 774

RESPUESTAS A PROBLEMAS SELECCIONADOS 776

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Izquierda: Se usan modernos molinos de viento para generar electricidad en numerosos lugares en Estados Unidos. Se localizan en regiones donde hay vientos constantes.

(IRC/Shutterstock)

Arriba a la derecha: Huracán Bonnie en el Océano Atlántico, a unos 800 km de las Bermudas. En esta etapa de su desarrollo, la tormenta tiene un centro bien formado, llamado “ojo,” donde las corrientes de aire están relativamente en calma. El movimiento semejante a una espiral está lejos del ojo. (U.S. National Aeronautics and Space Administration) Abajo a la derecha: El transbordador espacial

Discovery despega del Centro Espacial Kennedy el 29 de octubre de 1988. En seis segundos, el vehículo

pasa por encima de la torre de lanzamiento con una velocidad de 160 km/h, y en cerca de dos minutos estaba a 250 km del Centro Espacial, 47 km sobre el océano, con una velocidad de 6 150 km/h. Las alas y el timón de la cola son necesarios para regresar con éxito al ingresar a la atmósfera de la Tierra cuando complete su misión. (U.S. National Aeronautics and Space Administration)

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1 Consideraciones básicas

Esquema

1.1 Introducción

1.2 Dimensiones, unidades y cantidades físicas 1.3 Concepto de medio continuo de gases y líquidos 1.4 Escalas de presión y temperatura

1.5 Propiedades de los ﬂuidos 1.5.1 Densidad y peso especíﬁco 1.5.2 Viscosidad

1.5.3 Compresibilidad 1.5.4 Tensión superﬁcial 1.5.5 Presión de vapor 1.6 Leyes de conservación

1.7 Propiedades y relaciones termodinámicas 1.7.1 Propiedades de un gas ideal 1.7.2 Primera ley de la termodinámica 1.7.3 Otras cantidades termodinámicas 1.8 Resumen

Objetivos del capítulo

Los objetivos de este capítulo son:

Introducir muchas de las cantidades que se encuentran en mecánica de ﬂuidos, incluyendo sus dimensiones y unidades.

Identiﬁcar los líquidos a ser considerados en este texto. Introducir las propiedades de interés de un ﬂuido.

Presentar las leyes de la termodinámica y sus cantidades asociadas.

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4 Capítulo 1 / Consideraciones básicas

1.1 INTRODUCCIÓN

Una comprensión adecuada de la mecánica de fluidos es muy importante en nu-merosos campos de la ingeniería. En biomecánica el movimiento de la sangre y del fluido cerebral son de particular interés; en meteorología e ingeniería oceánica una comprensión de los movimientos del aire y de las corrientes oceánicas requiere del conocimiento de la mecánica de fluidos; los ingenieros químicos deben entender la mecánica de fluidos para diseñar las numerosas y diferentes clases de equipo de procesamiento químico; los ingenieros en aeronáutica usan su conocimiento de flui-dos para incrementar al máximo la sustentación y reducir al mínimo la resistencia al avance en aviones y para diseñar motores de reacción; los ingenieros mecánicos di-señan bombas, turbinas, motores de combustión interna, compresores de aire, equi-po de acondicionamiento de aire, equiequi-po para control de contaminación y plantas generadores de energía eléctrica usando un apropiado conocimiento de la mecáni-ca de fluidos; los ingenieros civiles también deben utilizar los resultados obtenidos de un estudio de mecánica de fluidos para entender el transporte de sedimento y la erosión en un río, la contaminación del aire y el agua, así como para diseñar siste-mas de tuberías, plantas de tratamiento de aguas residuales, canales de irrigación, sistemas de control de inundaciones, represas y estadios deportivos cubiertos.

No es posible presentar la mecánica de fluidos en forma tal que todos los temas anteriores se puedan tratar específicamente; es posible, sin embargo, presentar los fundamentos de la mecánica de fluidos de manera que los ingenieros puedan enten-der la función que el fluido desempeña en una aplicación en particular. Esta función puede comprender el tamaño adecuado de una bomba (la potencia y gasto) o el cálculo de una fuerza que actúa sobre una estructura.

En este libro se presentan las ecuaciones generales, integrales y diferenciales, que resultan del principio de la conservación de la masa, de la segunda ley de Newton, y de la primera ley de la termodinámica. A partir de éstas, serán consideradas varias situaciones que son de especial interés. Después de estudiar este libro, el ingeniero podrá aplicar los principios básicos de la mecánica de ﬂuidos a situaciones nuevas y diferentes.

En este capítulo se presentan temas que son directa o indirectamente relevantes para todos los capítulos subsiguientes. Se incluye una descripción macroscópica de fluidos, propiedades de fluidos, leyes físicas que dominan la mecánica de fluidos, así como un resumen de unidades y dimensiones de cantidades físicas importantes. Antes de que se puedan analizar las cantidades de interés, se deben presentar las unidades y dimensiones que se utilizarán en el estudio de la mecánica de fluidos.

1.2 DIMENSIONES, UNIDADES Y CANTIDADES FÍSICAS

Antes de empezar un estudio más detallado de la mecánica de ﬂuidos, se analizarán las dimensiones y unidades que se usarán en todo el libro. Las cantidades físicas re-quieren descripciones cuantitativas cuando se resuelve un problema de ingeniería. La densidad es una de tales cantidades físicas. Es una medida de la masa contenida en un volumen unitario, pero la densidad no representa una dimensión fundamen-tal. Hay nueve cantidades que son consideradas dimensiones fundamentales: lon-gitud, masa, tiempo, temperatura, cantidad de una sustancia, corriente eléctrica, intensidad luminosa, ángulo plano y ángulo sólido. Las dimensiones de todas las otras cantidades se pueden expresar en términos de las dimensiones fundamentales. Por ejemplo, la cantidad “fuerza” se puede relacionar con las dimensiones

funda-CONCEPTO CLAVE Se

presentarán los fundamentos de ﬂuidos para que los ingenieros puedan entender el papel que un ﬂuido desempeña en aplicaciones particulares.

(13)

Sec. 1.2 / Dimensiones, unidades y cantidades físicas 5

CONCEPTO CLAVE Se

preﬁeren unidades del SI y se usan internacionalmente.

mentales de masa, longitud y tiempo. Para hacer esto, usamos la segunda ley de Newton, llamada así en honor de Sir Isaac Newton (1642-1727), expresada en forma simpliﬁcada en una dirección como

F ma (1.2.1)

Usando corchetes para denotar “la dimensión de,” esto se escribe dimensionalmen-te como [F ] [m][a] F M T L 2 (1.2.2)

donde F, M, L y T son las dimensiones de fuerza, masa, longitud y tiempo, respecti-vamente. Si la fuerza se hubiera seleccionado como una dimensión fundamental en lugar de la masa, una alternativa común, la masa tendría dimensiones de

[m] [ [ F a] ] M F L T2 (1.2.3)

donde F es la dimensión1_{de fuerza.}

También hay sistemas de dimensiones en los que tanto la fuerza como la masa se seleccionan como dimensiones fundamentales. En tales sistemas se requieren facto-res de conversión, como una constante gravitacional; en este libro no se consideran estos tipos de sistemas, de modo que no se estudiarán.

Para dar un valor numérico a las dimensiones de una cantidad, debe seleccionar-se un conjunto de unidades. En Estados Unidos, actualmente seleccionar-se usan dos sistemas primarios de unidades, el Sistema Gravitacional Inglés al que nos vamos a referir como unidades inglesas, y el Sistema Internacional, que se citará aquí como uni-dades del SI (Système International). Se preﬁeren y usan internacionalmente las unidades del SI; Estados Unidos es el único país importante que no requiere el uso de unidades del SI, pero ahora hay un programa de conversión en casi todas las industrias al uso predominante de unidades del SI. Siguiendo esta tendencia, hemos utilizado principalmente unidades del SI, pero como todavía están en uso unidades inglesas, también se presentan algunos ejemplos y problemas en estas unidades.

Las dimensiones fundamentales y sus unidades se presentan en la tabla 1.1; al-gunas unidades derivadas apropiadas a la mecánica de ﬂuidos se dan en la tabla 1.2. Otras unidades aceptables son la hectárea (ha), que es igual a 10 000 m2_{, que se usa}

para áreas grandes; la tonelada métrica (t), que equivale a 1000 kg, que se usa para masas grandes; y el litro (L), que es igual a 0.001 m3_{. También, ocasionalmente se}

expresa la densidad como gramos por litro (g/L).

En cálculos químicos el mol es con frecuencia una unidad más conveniente que el kilogramo. En algunos casos también es útil en la mecánica de ﬂuidos. Para

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ses, un kilogramo-mol (kg-mol) es la cantidad que llena el mismo volumen que 32 kilogramos de oxígeno a la misma temperatura y presión. La masa (en kilogramos) de un gas que llena ese volumen es igual al peso molecular del gas; por ejemplo, la masa de 1 kg-mol de nitrógeno es 28 kilogramos.

Cuando se expresa una cantidad con un valor numérico y una unidad, se utilizan preﬁjos que se han deﬁnido de modo que el valor numérico se encuentre entre 0.1 y

Tabla 1.1 Dimensiones fundamentales y sus unidades

Cantidad Dimensiones Unidades del SI Unidades inglesas

Longitud l Masa m Tiempo t Corriente eléctrica i Temperatura T Cantidad de sustancia Intensidad luminosa Ángulo plano Ángulo sólido L M T M metro kilogramo segundo ampere kelvin kg-mol candela radián estereorradián m kg s A K kmol cd rad sr pie slug segundo ampere Rankine lb-mol candela radián estereorradián ft slug s A °R lbmol cd rad sr

Tabla 1.2 Unidades derivadas

Cantidad Dimensiones Unidades del SI Unidades inglesas

Área A Volumen V Velocidad V Aceleración a Velocidad angular ω Fuerza F Densidad ρ Peso específico γ Frecuencia f Presión p Esfuerzo cortante τ Tensión superficial σ Trabajo W Energía E Rendimiento térmico Q. Par de torsión T Potencia P W. Viscosidad μ Flujo másico m Gasto Q Calor específico c Conductividad K L2 L3 L/T L/T2 T 1 L M /T2 M/L3 M/L2_T2 T 1 M/LT2 M/LT2 M/T2 L M 2_/T2 ML2_/T2 ML2_/T3 ML2_/T2 L M 2_/T3 M/LT M/T L3_/T L2_/T2 ML/T3 m2 m3 L (litro) m/s m/s2 rad/s kg m/s2 N (newton) kg/m3 N/m3 s 1 N/m2 Pa (pascal) N/m2 Pa (pascal) N/m N m J (joule) N m J (joule) J/s N m J/s W (watt) N s/m2 kg/s m3_/s J/kg K W/m K ft2 ft3 ft/s ft/s2 rad/s slug-ft/s2 lb (libra) slug/ft3 lb/ft3 s 1 lb/ft2 (psf) lb/ft2 (psf) lb/ft ft-lb ft-lb Btu/s ft-lb ft-lb/s lb-s/ft2 slug/s ft3_/s Btu/slug-°R lb/s-°R

(15)

Sec. 1.2 / Dimensiones, unidades y cantidades físicas 7

1000. Estos prefijos se presentan en la tabla 1.3. Usando notación científica, se em-plean potencias de 10 en lugar de prefijos (por ejemplo, 2 w 106 _{N en vez de 2 MN).}

Si se escriben números más grandes no se usa la coma; veinte mil se escribiría como 20 000 con un espacio sin coma.2

La segunda ley de Newton relaciona una fuerza neta que actúa sobre un cuerpo rígido con su masa y aceleración. Esto se expresa como

F ma (1.2.4)

En consecuencia, la fuerza necesaria para acelerar una masa de 1 kilogramo a 1 metro por segundo al cuadrado en la dirección de la fuerza neta es 1 newton; usando unidades inglesas, la fuerza necesaria para acelerar una masa de 1 slug a 1 pie por segundo al cuadrado en la dirección de la fuerza neta es 1 libra. Esto nos permite relacionar las unidades con

N kg m/s2 lb slug-ft/s2 (1.2.5)

que se incluyen en la tabla 1.2. Estas relaciones entre unidades se usan con frecuen-cia en la conversión de unidades. En el SI, el peso siempre se expresa en newtons, nunca en kilogramos. En el sistema inglés, la masa suele expresarse en slugs, aunque se usan libras en algunas relaciones termodinámicas. Para relacionar el peso con la masa, usamos

W mg (1.2.6)

donde g es la gravedad local. El valor estándar para la gravedad es 9.80665 m/s2

(32.174 ft/s2_{) y varía de un mínimo de 9.77 m/s}2_{en la cima del Monte Everest a un}

máximo de 9.83 m/s2_{en la fosa oceánica más profunda. Aquí se usará un valor}

no-minal de 9.81 m/s2_{(32.2 ft/s}2_{) a menos que se indique de otra manera.}

Por último, una nota sobre cifras significativas. En cálculos de ingeniería con frecuencia no confiamos en un cálculo de más de tres cifras significativas porque

Tabla 1.3 Preﬁjos SI Factor de

multiplicación Preﬁjo Símbolo

a_{Aceptable si se usa sólo como cm, cm}2_{o cm}3

1012 tera T 109 giga G 106 mega M 103 kilo k 10 2 centia c 10 3 milli m 10 6 micro 10 9 nano n 10 12 pico p CONCEPTO CLAVE

Cuando se usen unidades del SI, si se escriben números más grandes (5 dígitos o más), no se usa la coma. La coma es sustituida por un espacio (es decir, 20 000).

CONCEPTO CLAVE La

relación ÊrÊ}UÉÃ2_se

usa con frecuencia en la conversión de unidades.

2_{En muchos países las comas representan puntos decimales, por lo que no se usarán en donde pueda ocurrir una}

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la información dada en el enunciado del problema a veces no se conoce con más de tres cifras significativas; de hecho, la viscosidad y otras propiedades de líquidos pueden no conocerse incluso con tres cifras significativas. El diámetro de un tubo puede estar indicado como 2 cm; en general, esto no sería tan preciso como lo im-plica 2.000 cm. Si la información empleada en la solución de un problema se conoce con sólo dos cifras significativas, es incorrecto expresar un resultado con más de dos dígitos significativos. En los ejemplos y problemas supondremos que toda la infor-mación dada se conoce con tres cifras significativas, y los resultados se expresarán en conformidad. Si el número 1 inicia un número, no se cuenta en el número de cifras significativas, es decir, el número 1.210 tiene tres cifras significativas.

CONCEPTO CLAVE

Supondremos que toda la información dada se conoce con tres dígitos signiﬁcativos.

Ejemplo 1.1

Sobre una masa de 100 kg actúan una fuerza de 400 N verticalmente hacia arriba y una fuerza de 600 N hacia arriba a un ángulo de 45º. Calcule la componente vertical de la ace-leración. La aceleración local de la gravedad es 9.81 m/s2_.

Solución

El primer paso para resolver un problema que comprende fuerzas es trazar un diagrama de cuerpo libre con todas las fuerzas que actúan sobre él, como se muestra en la ﬁgura E1.1.

Fig. E1.1

A continuación, aplicamos la segunda ley de Newton (ecuación 1.2.4). Ésta relaciona la fuerza neta que actúa sobre una masa con la aceleración y se expresa como

Fy may

Usando las componentes apropiadas en la dirección y, con W = mg, tenemos 400 600 sen 45° 100 9.81 100ay

ay 1.567 m/s

2

El signo negativo indica que la aceleración es en la dirección y negativa, es decir, hacia abajo. Nota: Hemos utilizado sólo tres cifras significativas en la respuesta porque se supone que la información dada en el problema se conoce con tres cifras significativas. (El número 1.567 tiene tres cifras significativas. El número “1” al principio no se cuenta como cifra significativa.) 45° 600 N y W 400 N

1.3 CONCEPTO DE MEDIO CONTINUO DE GASES Y LÍQUIDOS

Las sustancias conocidas como ﬂuidos pueden ser líquidos o gases. En nuestro estu-dio de la mecánica de ﬂuidos restringimos los líquidos que se estudian aquí. Antes

(17)

Sec. 1.3 / Concepto de medio continuo de gases y líquidos 9

que expresemos la restricción, debemos deﬁnir un esfuerzo cortante. Una fuerza )F que actúa sobre un área )A puede descomponerse en una componente normal )F_n y una componente tangencial )F_t, como se muestra en la ﬁgura 1.1. La fuerza dividida entre el área sobre la cual actúa recibe el nombre de esfuerzo. El vector de fuerza dividido entre el área es un vector de esfuerzo,3_{la componente normal de}

la fuerza dividida entre el área es un esfuerzo normal, y la fuerza tangencial dividida entre el área es un esfuerzo cortante. En esta exposición estamos interesados en el esfuerzo cortante τ. Matemáticamente, se deﬁne como

t lím A 0 F A t (1.3.1)

Ahora se puede identificar nuestra restringida familia de fluidos; los fluidos con-siderados en este libro son los líquidos y gases que se mueven bajo la acción de un

esfuerzo cortante, sin importar lo pequeño que sea ese esfuerzo. Esto signiﬁca que

incluso un esfuerzo cortante muy pequeño resulta en un movimiento del ﬂuido. Los gases, obviamente, caen dentro de esta categoría de ﬂuidos al igual que el agua y el alquitrán. Algunas sustancias, como los plásticos y la salsa de tomate, pueden re-sistir pequeños esfuerzos cortantes sin moverse; un estudio de estas sustancias está incluido en el tema de reología y no se incluye en este libro.

Merece la pena considerar en más detalle el comportamiento microscópico de los ﬂuidos. Considere las moléculas de un gas en un recipiente. Estas moléculas no están estacionarias sino que se mueven en el espacio con velocidades muy altas. Chocan unas con otras y golpean las paredes del recipiente en el que están conﬁ-nadas, dando lugar a la presión ejercida por el gas. Si el volumen del recipiente se aumenta mientras que la temperatura se mantiene constante, se reduce el número de moléculas que hacen impacto en un área determinada y, en consecuencia, la pre-sión disminuye. Si aumenta la temperatura de un gas en un volumen determinado (es decir, aumentan las velocidades de las moléculas), la presión aumenta debido a la mayor actividad molecular.

Las fuerzas moleculares en los líquidos son relativamente altas, como puede inferirse por el siguiente ejemplo. La presión necesaria para comprimir 20 gramos de vapor de agua a 20 ºC en 20 cm3_{, suponiendo que no existan fuerzas moleculares,}

puede demostrarse por medio de la ley de un gas ideal que es aproximadamente 1340 veces la presión atmosférica. Por supuesto que no se requiere esta presión, porque 20 g de agua ocupan 20 cm3_{. Se deduce que las fuerzas de cohesión de la fase}

líquida deben ser muy grandes.

A pesar de las elevadas fuerzas moleculares de atracción en un líquido, algunas de las moléculas de la superﬁcie escapan hacia el espacio arriba del líquido. Si el líquido está contenido, se establece un equilibrio entre moléculas salientes y en-trantes. La presencia de moléculas arriba de la superﬁcie del líquido conduce a la llamada presión de vapor.

Vector de fuerza: Es el vector fuerza dividido entre el área. Esfuerzo normal: Componente normal de fuerza dividida entre el área.

Esfuerzo cortante: Fuerza tangencial dividida entre el área. Líquido: Estado de la materia en el que las moléculas están relativamente libres para cambiar sus posiciones unas respecto a otras, pero restringidas por fuerzas de cohesión para mantener un volumen relativamente ﬁjo.4

Gas: Estado de la materia en el que las moléculas prácticamente no están restringidas por fuerzas de cohesión. Un gas no tiene forma deﬁnida ni volumen.

CONCEPTO CLAVE Los

ﬂuidos considerados en este texto son aquellos que se mueven bajo la acción de un esfuerzo cortante, sin importar lo pequeño que sea ese esfuerzo. n Componentes ΔF ΔFn ΔFt ΔA ΔA

Fig. 1.1 Componentes normal y tangencial de una fuerza.

3_{Una cantidad que se deﬁne en el margen está en negrita, mientras que una cantidad que no se deﬁne en el margen está}

en cursiva.

(18)

Esta presión aumenta con la temperatura. Para agua a 20 ºC esta presión es aproxi-madamente 0.02 veces la presión atmosférica.

En nuestro estudio de la mecánica de ﬂuidos es conveniente suponer que los gases y los líquidos están continuamente distribuidos en toda una región de interés, es decir, el ﬂuido es tratado como un medio continuo. La principal propiedad que se usa para determinar si la suposición de medio continuo es apropiada es la densidad

ρ, deﬁnida por

r lím

v 0 m

V (1.3.2)

donde )m es la masa incremental contenida en el volumen incremental )V. La den-sidad del aire en condiciones atmosféricas estándar, es decir, a una presión de 101.3 kPa (14.7 psi) y una temperatura de 15 ºC (59 ºF), es 1.23 kg/m3_{(0.00238 slug/ft}3_).

Para el agua, el valor nominal de la densidad es 1000 kg/m3_{(1.94 slug/ft}3_).

Físicamente, no podemos hacer que )Vq0, porque, cuando )V se hace muy pe-queño, la masa contenida en )V variaría en forma discontinua dependiendo del nú-mero de moléculas de )V; esto se muestra gráficamente en la figura 1.2. En realidad, el cero en la definición de densidad debe ser sustituido por algún pequeño volumen

ε, abajo del cual no se cumple la suposición de un medio continuo. Para la mayoría

de aplicaciones de ingeniería, el pequeño volumen ε que se muestra en la ﬁgura 1.2 es muy pequeño. Por ejemplo, hay 2.7 w 1016_{moléculas contenidas en un milímetro}

cúbico de aire en condiciones estándar; por lo tanto, ε es mucho más pequeño que un milímetro cúbico. Una forma apropiada de determinar si es aceptable el modelo de medio continuo es comparar una longitud característica l (por ejemplo, el diáme-tro de un cohete) del dispositivo u objeto de interés con la trayectoria media libre Q, que es la distancia promedio que recorre una molécula antes de chocar con otra molécula; si l >> Q, el modelo de medio continuo es aceptable. La trayectoria media libre se deriva de la teoría molecular. Es

l _{0.225 r}m

d2 (1.3.3)

donde m es la masa (kg) de una molécula, ρ es la densidad (kg/m3_{) y d es el diámetro}

(m) de una molécula. Para el aire m = 4.8 w 10–26_{kg y d = 3.710}–10_{m. En condiciones}

atmosféricas estándar la trayectoria media libre es aproximadamente 6.4 w 10–6_cm, Condiciones atmosféricas

estándar: Una presión de

101.3 kPa y una temperatura

de 15 ºC.

Medio continuo: Distribución continua de un líquido o gas en toda una región de interés.

CONCEPTO CLAVE Para

determinar si el modelo de medio continuo es aceptable, compare una longitud l con la trayectoria media libre.

Trayectoria media

libre: Distancia promedio que recorre una molécula antes de chocar con otra.

ε ρ

V

Δ

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Sec. 1.4 / Escalas de presión y temperatura 11

CONCEPTO CLAVE En

muchas relaciones, deben usarse escalas absolutas para presión y temperatura.

a una elevación de 100 km es 10 cm y a 160 km es 5000 cm. Obviamente, a mayores altitudes la suposición de un medio continuo no es aceptable y debe utilizarse la teoría de dinámica de gas enrarecido (o ﬂujo molecular libre). Los satélites pueden girar alrededor de la Tierra si la dimensión primaria del satélite es del mismo orden de magnitud que la trayectoria media libre.

Con la suposición de un medio continuo, se puede estimar que las propiedades de un fluido se aplican uniformemente en todos los puntos de una región en cual-quier instante particular del tiempo. Por ejemplo, la densidad ρ puede definirse en todos los puntos en el fluido; puede variar de un punto a otro y de un instante a otro; esto es, en coordenadas cartesianas ρ es una función continua de x, y, z y t, escrita como ρ(x,y,z,t).

1.4 ESCALAS DE PRESIÓN Y TEMPERATURA

En mecánica de fluidos la presión resulta de una fuerza normal compresiva que actúa sobre un área. La presión p se define como (vea la figura 1.3)

p lím A 0 F A n (1.4.1) donde )F_n es la fuerza de compresión normal incremental que actúa sobre el área incremental )A. Las unidades métricas a usarse en mediciones de presión son newtons por metro cuadrado (N/m2_{) o pascal (Pa). Como el pascal es una unidad de}

presión muy pequeña, es más convencional expresar la presión en unidades de kilo-pascales (kPa). Por ejemplo, la presión atmosférica estándar a nivel del mar es 101.3 kPa. Las unidades inglesas para presión son libras por pulgada cuadrada (psi) o libras por pie cuadrado (psf). La presión atmosférica en ocasiones se expresa como pulgadas de mercurio o pies de agua, como se muestra en la ﬁgura 1.4; esa columna de ﬂuido crea la presión en el fondo de la columna, siempre que ésta se encuentre abierta a la presión atmosférica en la parte superior.

Tanto la presión como la temperatura son cantidades físicas que pueden medirse usando escalas diferentes. Existen escalas absolutas para presión y temperatura, y hay escalas que miden estas cantidades respecto a puntos de referencia selecciona-dos. En muchas relaciones termodinámicas (vea la sección 1.7) deben usarse escalas absolutas para presión y temperatura. Las ﬁguras 1.4 y 1.5 resumen las escalas de uso común.

La presión absoluta llega a cero cuando se alcanza un vacío ideal, es decir, cuan-do no hay moléculas en un espacio; en consecuencia, una presión absoluta negativa es una imposibilidad. Se deﬁne una segunda escala al medir presiones respecto a

Presión absoluta: Escala que mide la presión, donde se llega a cero cuando se alcanza un vacío ideal.

ΔFn

ΔA

Superficie

(20)

Fig. 1.4 Presión manométrica y presión absoluta.

A Atmósfera estándar Atmósfera local – Presión positiva – Presión negativa o vacío positivo

Cero absoluto de presión

p A absoluta p B absoluta p = 0 absoluto p = 0 manométrica p B manométrica (negativa) p A manométrica 101.3 kPa 14.7 psi 2117 psf 30.0 in. Hg 760 mm Hg 34 ft H2O 1.013 bar A B B

Presión manométrica: Escala que mide la presión respecto a la presión atmosférica local.

la presión atmosférica local. Esta presión se denomina presión manométrica. Una conversión de presión manométrica a presión absoluta puede realizarse mediante

p_absoluta = p_atmosférica + p_manométrica (1.4.2) Observe que la presión atmosférica en la ecuación 1.4.2 es la presión atmosférica local, que puede cambiar con el tiempo, en particular cuando un “frente” meteoro-lógico pasa por el lugar. No obstante, si no nos dan la presión atmosférica local, usa-mos el valor dado para una elevación particular, como se indica en la tabla B.3 del apéndice B, y suponemos una elevación cero si la elevación es desconocida. La pre-sión manométrica es negativa cuando la prepre-sión absoluta es menor que la prepre-sión atmosférica; entonces se le puede llamar vacío. En este libro, la palabra “absoluta” en general seguirá el valor de presión si ésta está dada como presión absoluta (por ejemplo, p = 50 kPa absoluta). Si se hubiera indicado como p = 50 kPa, la presión se tomaría como presión manométrica, excepto que la presión atmosférica es siempre una presión absoluta. En la mayoría de los casos, se usa la presión manométrica en mecánica de ﬂuidos.

CONCEPTO CLAVE

Siempre que la presión absoluta sea menor que la presión atmosférica, a esta condición se le llama vacío.

Vacío: Cuando la presión absoluta es menor que la presión atmosférica.

100° Punto de ebullición Punto de congelación Punto especial

Cero absoluto de temperatura

373 212° 672°

°C K °F °R

0° 273 32° 492° –18° 255 0° 460°

(21)

Sec. 1.4 / Escalas de presión y temperatura 13

En general se usan dos escalas de temperatura, la Celsius (C) y la Fahrenheit (F). Ambas están basadas en el punto de congelación y en el punto de ebullición del agua a una presión atmosférica de 101.3 kPa (14.7 psi). La ﬁgura 1.5 muestra que los puntos de congelación y de ebullición son 0 y 100 ºC en la escala Celsius y 32 y 212 ºF en la escala Fahrenheit. Hay dos escalas correspondientes de temperatura absoluta. La escala absoluta correspondiente a la Celsius es la escala kelvin (K). La relación entre estas escalas es

K °C 273.15 (1.4.3)

La escala absoluta correspondiente a la Fahrenheit es la escala Rankine (ºR). La relación entre estas escalas es

°R °F 459.67 (1.4.4)

Observe que en el sistema SI no escribimos 100 ºK sino simplemente 100 K, que se lee “100 kelvins”, semejante a otras unidades.

Con frecuencia haremos referencia a “condiciones atmosféricas estándar” o “temperatura y presión estándar”. Esto se reﬁere a condiciones al nivel del mar a una latitud de 40º, que se toman como 101.3 kPa (14.7 psi) para la presión y 15 ºC (59 ºF) para la temperatura. En realidad, la presión estándar suele tomarse como 100 kPa, suﬁcientemente precisa para cálculos en ingeniería.

CONCEPTO CLAVE En el sistema SI escribimos 100 K, que se lee “100 kelvins”.

Ejemplo 1.2

Un manómetro conectado a un tanque rígido mide un vacío de 42 kPa dentro del tanque que se ilustra en la ﬁgura E1.2, el cual está situado en un lugar en Colorado donde la elevación es 2000 m. Determine la presión absoluta dentro del tanque.

Solución

Para determinar la presión absoluta debe conocerse la presión atmosférica. Si no nos dan la elevación, supondríamos una presión atmosférica estándar de 100 kPa. No obstante, como nos dan la elevación, la presión atmosférica se encuentra de la tabla B.3 del apéndice B como 79.5 kPa. Entonces

p 42 79.5 37.5 kPa absoluta

Nota: Un vacío es siempre una presión manométrica negativa. Además, es aceptable usar una presión atmosférica estándar de 100 kPa, en lugar de 101.3 kPa, porque está dentro de un 1%, que es una precisión aceptable en ingeniería.

–42 kPa aire

(22)

1.5 PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

En esta sección presentamos varias de las propiedades más comunes de los ﬂuidos. Si la variación de densidad o de transferencia de calor es signiﬁcativa, varias propie-dades adicionales, no presentadas aquí, se convierten en importantes..

1.5.1 Densidad y peso especíﬁco

La densidad de un fluido está definida en la ecuación 1.3.2 como masa por unidad de volumen. Una propiedad de un fluido directamente relacionada con la densidad es el peso específico γ o peso por unidad de volumen. Está definido por

g W

V

mg

V rg (1.5.1)

donde g es la gravedad local. Las unidades de peso especíﬁco son N/m3_(lb/ft3_{). Para}

el agua usamos el valor nominal de 9800 N/m3_{(62.4 lb/ft}3_).

La gravedad específica S se usa con frecuencia para determinar el peso especí-fico o densidad de un fluido (por lo general un líquido). Se define como la relación entre la densidad de una sustancia a la densidad del agua a una temperatura de referencia de 4 ºC. S ragua r gagua g (1.5.2)

Por ejemplo, la gravedad específica del mercurio es 13.6, un número adimensional; es decir, la masa de mercurio es 13.6 veces la del agua para el mismo volumen. La densidad, peso específico y gravedad específica del aire y del agua en condiciones estándar se dan en la tabla 1.4.

La densidad y el peso especíﬁco del agua varían ligeramente con la temperatura; las relaciones aproximadas son

rH₂O 1000 (T 180 4)2 gH₂O 9800 (T 18 4)2 (1.5.3) CONCEPTO CLAVE La gravedad especíﬁca se usa con frecuencia para determinar la densidad de un ﬂuido.

Peso especíﬁco: Peso por unidad de volumen (γ = ρg).

Gravedad especíﬁca: Relación entre la densidad de una sustancia a la densidad del agua.

Tabla 1.4 Densidad, peso especíﬁco y gravedad especíﬁca del aire y del agua en condiciones

estándar

Densidad ρ Peso especíﬁco γ

Gravedad especíﬁca S kg/m3 _slug/ft3 _N/m3 _lb/ft3 Aire Agua 1.23 1000 0.0024 1.94 12.1 9810 0.077 62.4 0.00123 1

(23)

Sec. 1.5 / Propiedades de los ﬂuidos 15

CONCEPTO CLAVE La

viscosidad desempeña una función muy importante en la generación de turbulencia. Partícula 1 Partícula 2 X X u(y) y t = 0 t = t₁ t = 2t1 t = 3t₁ X

Para el mercurio, la gravedad especíﬁca está relacionada con la temperatura por

SHg 13.6 0.0024T (1.5.4)

La temperatura en las tres ecuaciones anteriores está medida en grados Celsius. Para temperaturas menores de 50 ºC, usando los valores nominales indicados an-tes para agua y mercurio, el error es menor de 1%, dentro de los límian-tes de inge-niería para la mayoría de problemas de diseño. Nótese que la densidad del agua a 0 ºC (32 ºF) es menor que a 4 ºC y, en consecuencia, el agua más ligera a 0 ºC sube a la superﬁcie de un lago de manera que se forma hielo en la superﬁcie. Para casi todos los otros líquidos la densidad en el punto de congelación es mayor que la densidad justo arriba de la congelación.

1.5.2 Viscosidad

La viscosidad puede ser considerada como la adhesividad interna de un fluido; es una de las propiedades que influye en la potencia necesaria para mover una su-perficie de sustentación a través de la atmósfera. Explica las pérdidas de energía asociadas con el transporte de fluidos en conductos, canales y tubos. Además, la vis-cosidad desempeña una función muy importante en la generación de turbulencia. No hay necesidad de decir que la viscosidad es una propiedad muy importante en los fluidos en nuestro estudio de flujo de fluidos.

La rapidez de deformación de un fluido está directamente relacionada con la viscosidad del fluido. Para un esfuerzo determinado, un fluido altamente viscoso se deforma con más lentitud que un fluido con baja viscosidad. Considere el flujo que se muestra en la figura 1.6 en donde las partículas de fluido se mueven en la dirección x a velocidades diferentes, de modo que las velocidades de partículas u varían con la coordenada y. Se muestran las posiciones de dos partículas en tiempos diferentes; observe cómo las partículas se mueven unas con respecto a otras. Para un campo de flujo tan sencillo, en el que u = u(y), podemos definir la viscosidad μ del fluido por la relación

t m d

d u

y (1.5.5)

donde τ es el esfuerzo cortante de la ecuación 1.3.1 y u es la velocidad en la di-rección x. Las unidades de τ son N/m2_{o Pa (lb/ft}2_{), y de}μ son N·s/m2_(lb-s/ft2_{). La}

cantidad du/dy es un gradiente de velocidad y puede ser interpretada como una

ve-locidad de deformación. Las relaciones entre el esfuerzo y el gradiente de veve-locidad

para situaciones de ﬂujo más complicadas se presentan en el Capítulo 5.

El concepto de viscosidad y gradientes de velocidad también puede ilustrarse al considerar un ﬂuido dentro del pequeño espacio entre dos cilindros concéntricos,

Viscosidad: Adhesividad interna de un ﬂuido.

Velocidad de

deformación: Velocidad con la que se deforma un elemento de ﬂuido.

(24)

Las excursiones en balsa para navegar en aguas rápidas es un deporte popular en América del Norte. Representa la emoción de viajar en aguas turbulentas en una balsa, lo que demanda de acciones rápidas y de habilidades para manipular los remos. (ArmannWitte/Sutterstock)

(25)

3 Introducción al movimiento

de ﬂuidos

Esquema

3.1 Introducción

3.2 Descripción del movimiento de ﬂuidos

3.2.1 Descripciones lagrangianas y eulerianas del movimiento 3.2.2 Líneas de trayectoria, líneas fugaces y líneas de corriente 3.2.3 Aceleración

3.2.4 Velocidad angular y vorticidad 3.3 Clasificación de los flujos de fluido

3.3.1 Flujos en una, dos y tres dimensiones 3.3.2 Flujos viscosos e inviscidos

3.3.3 Flujos laminares y turbulentos 3.3.4 Flujos incompresibles y compresibles 3.4 La ecuación de Bernoulli

3.5 Resumen

Objetivos del capítulo

Los objetivos de este capítulo son:

Matemáticamente describir el movimiento de un ﬂuido.

Expresar la aceleración y la vorticidad de una partícula de ﬂuido dadas las componentes de su velocidad.

Describir la deformación de una partícula de ﬂuido.

Clasificar varios flujos de fluido. ¿Un fluido es viscoso, turbulento, incompresible o uniforme?

Deducir la ecuación de Bernoulli e identiﬁcar sus restricciones.

Presentar varios ejemplos y numerosos problemas que demuestren cómo se describen los flujos de fluido, cómo se clasifican los flujos y cómo se usa la ecuación de Bernoulli para calcular las variables de flujo.

(26)

88 Capítulo 3 / Introducción al movimiento de ﬂuidos

CONCEPTOS CLAVE Bajo

ciertas condiciones, se pueden despreciar los efectos viscosos.

3.1 INTRODUCCIÓN

Este capítulo sirve como introducción para todos los siguientes capítulos que se refieren al movimiento de fluidos. Los movimientos de fluidos se manifiestan en numerosas formas diferentes. Algunos pueden describirse muy fácilmente, en tanto que otros requieren de un completo conocimiento de las leyes de la física. En apli-caciones en ingeniería, es importante describir los movimientos de fluidos en una forma tan sencilla como se pueda justificar que, en general, depende de la precisión requerida. Es frecuente que una precisión de t10% sea aceptable, aun cuando en al-gunas aplicaciones deben obtenerse una mayor precisión. Las ecuaciones generales de movimiento son muy difíciles de resolver; en consecuencia, es responsabilidad del ingeniero conocer cuáles suposiciones de simplificación se pueden hacer. Esto, por supuesto, requiere de experiencia y, lo que es más importante, del conocimiento de la física implicada.

Algunas suposiciones comunes que se usan para simplificar una situación de flujo están relacionadas con las propiedades del fluido. Por ejemplo, bajo ciertas condiciones, la viscosidad puede afectar el flujo de manera significativa; en otras, los efectos viscosos se pueden despreciar, simplificando en gran medida las ecuaciones sin alterar considerablemente las predicciones. Es bien sabido que la compresibi-lidad de un gas en movimiento debe tomarse en cuenta si las velocidades son muy altas. Pero, los efectos de la compresibilidad no tienen que ser tomados en cuenta para predecir las fuerzas de vientos sobre edificios o para pronosticar cualquier otra cantidad física que sea un efecto directo del viento. Las velocidades del viento simplemente no son lo suficientemente altas . Podrían citarse numerosos ejemplos. Después de nuestro estudio de movimientos de fluidos, las suposiciones apropiadas deberán ser más que obvias.

Este capítulo tiene tres secciones. En la primera, introducimos al lector a algu-nos métodos generales importantes que se usan para analizar problemas de mecá-nica de fluidos. En la segunda sección damos un breve repaso de los diferentes tipos de flujo, por ejemplo flujos compresibles e incompresibles, así como flujos viscosos e inviscidos. En capítulos siguientes se darán detalladas exposiciones de cada uno de estos tipos de flujo. La tercera sección introduce al lector a la ecuación de Bernoulli, que es de uso común y establece la forma en que varían las presiones y las velocida-des en un campo de flujo. El uso de esta ecuación, no obstante, requiere de muchas suposiciones de simplificación y su aplicación está, por tanto, limitada.

3.2 DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO DE FLUIDOS

Es frecuente que el análisis de complejos problemas de flujo de fluidos sea auxilia-do mediante la visualización de patrones de flujo, lo cual permite el desarrollo de una mejor comprensión intuitiva y ayuda a formular el problema matemático. El flujo en una lavadora es un buen ejemplo. Un problema más fácil, y a la vez difícil, es el flujo cercano donde un ala se conecta a un fuselaje, o donde la cimentación de un puente interactúa con el agua en el fondo de un río. En la sección 3.2.1 estudia-mos la descripción de cantidades físicas como una función de coordenadas espacia-les y del tiempo. El segundo tema de esta sección introduce las diferentes líneas de flujo que son útiles en nuestro objetivo de describir un flujo de fluido. Por último, se presenta la descripción matemática del movimiento.

3.2.1 Descripciones lagrangianas y eulerianas del movimiento

En la descripción de un campo de ﬂujo es conveniente considerar partículas indivi-duales, cada una de las cuales se representa como una pequeña masa de ﬂuido,

(27)

for-Sec. 3.2 / Descripción del movimiento de ﬂuidos 89

mada por un gran número de moléculas, que ocupa un pequeño volumen )V que se mueve con el flujo. Si el fluido es incompresible, el volumen no cambia en magnitud pero puede deformarse. Si el fluido es compresible, como el volumen se deforma, también cambia su magnitud. En ambos casos se considera que las partículas se mueven por un campo de flujo como una entidad.

En el estudio de la mecánica de partículas, donde la atención se centra en partículas individuales, el movimiento se observa como una función del tiem-po. La posición, la velocidad y la aceleración de cada partícula se expresan como

s(x0, y0, z0, t), V(x0, y0, z0, t) y a(x0, y0, z0, t), y se pueden calcular las cantidades

de interés. El punto (x₀, y₀, z₀) localiza el punto inicial, es decir el nombre, de cada par-tícula. Ésta es la descripción lagrangiana, llamada así en honor de Joseph L. Lagrange (1736-1813), del movimiento que se usa en un curso de dinámica. En la descripción lagrangiana, puede darse seguimiento a numerosas partículas y observar su influencia entre ellas. No obstante, lo anterior se hace una tarea difícil cuando el número de par-tículas es extremadamente grande incluso en el flujo de fluido más simple.

Una alternativa a seguir por separado cada partícula de fluido es identificar pun-tos en el espacio y, a continuación, observar la velocidad de las partículas que pasan por cada punto; podemos observar la razón de cambio de la velocidad conforme pasan las partículas por cada punto, es decir, V/ x, V/ y, y V/ z, y podemos ob-servar si la velocidad está cambiando con el tiempo en cada punto en particular, esto es, V/ t. En esta descripción euleriana del movimiento, que recibe ese nombre en honor a Leonhard Euler (1707-1783), las propiedades del flujo, por ejemplo la velocidad, son funciones del espacio y del tiempo. En coordenadas cartesianas la velocidad se expresa como V V(x, y, z, t). La región del flujo considerada se

denomina campo de ﬂujo.

Un ejemplo puede aclarar estas dos formas de describir el movimiento. Una compañía de ingeniería es contratada para hacer recomendaciones que mejoren el ﬂujo de tránsito en una gran ciudad. La compañía de ingeniería tiene dos al-ternativas: contratar estudiantes universitarios para que viajen en automóviles por toda la ciudad registrando las observaciones apropiadas (el método lagrangiano), o contratar estudiantes universitarios para estar de pie en los cruceros y registrar la información requerida (el método euleriano). Una interpretación correcta de cada uno de los conjuntos de datos llevaría al mismo conjunto de recomendaciones, es decir, a la misma solución. En este ejemplo puede no ser obvio cuál método se pre-feriría; en un curso introductorio de ﬂuidos, no obstante, la descripción euleriana se usa exclusivamente porque las leyes físicas empleando la descripción euleriana son más fáciles de aplicar a situaciones reales. Sin embargo, hay ejemplos donde se hace necesaria la descripción lagrangiana, por ejemplo las boyas a la deriva que se usan para estudiar las corrientes oceánicas.

Si las cantidades de interés no dependen del tiempo, es decir, V V(x, y, z),

se dice que el flujo es un flujo permanente. La mayoría de los flujos de interés en este texto introductorio son flujos permanentes. Para un flujo permanente, todas las cantidades del flujo en un punto particular son independientes del tiempo, es decir,

V t 0 p t 0 r t 0 (3.2.1)

para citar algunas. Se implica que x, y y z se mantienen fijas en las expresiones an-teriores. Observe que las propiedades de una partícula de fluido, en general, varían con el tiempo; la velocidad y la presión varían con el tiempo a medida que una partícula en especial de fluido avanza a lo largo de su trayectoria en un flujo, incluso en un flujo permanente. En un flujo permanente, sin embargo, las propiedades no varían con el tiempo en un punto fijo.

Lagrangiana: Descripción del movimiento donde se observan partículas como una función del tiempo.

Euleriana: Descripción del movimiento donde las propiedades del ﬂujo son funciones del espacio y del tiempo.

Campo de ﬂujo: Región de interés en un ﬂujo.

Euleriana contra lagrangiana, 31-33

Flujo permanente: Donde las cantidades del ﬂujo no dependen del tiempo.

(28)

3.2.2 Líneas de trayectoria, líneas fugaces y líneas de corriente

Tres líneas diferentes nos ayudan a describir un campo de ﬂujo. Una línea de

trayec-toria es el lugar geométrico de los puntos recorridos por una partícula determinada

cuando se desplaza en un campo de flujo; la línea de trayectoria nos da una “histo-ria” de las ubicaciones de la partícula. Una fotografía de una línea de trayectoria requeriría una exposición de tiempo de una partícula iluminada. Una fotografía que muestra líneas de trayectoria de partículas bajo una superficie de agua con oleaje se muestra en la figura 3.1.

Una línea fugaz se define como una línea instantánea cuyos puntos están ocupa-dos por todas las partículas que se originan en algún punto especificado en el campo de flujo. Las líneas fugaces nos dicen en dónde están las partículas “en este momen-to”. Una fotografía de una línea fugaz sería una toma instantánea del conjunto de partículas iluminadas que pasaron por un cierto punto. La figura 3.2 muestra líneas fugaces producidas por la continua liberación de una corriente de humo de peque-ño diámetro a medida que se mueve alrededor de un cilindro.

Línea de trayectoria: Historia de las ubicaciones de una partícula.

Línea fugaz: Línea instantánea.

Líneas fugaces, 122 Líneas de trayectoria, 91

Líneas fugaces, 122

Fig. 3.1 Líneas de trayectoria bajo una ola en un tanque de agua. (Fotografía de A. Wallet

y F. Ruellan. Cortesía de M. C. Vasseur.)

Fig. 3.2 Líneas fugaces en un ﬂujo no permanente alrededor de un cilindro.

(Fotografía de Sadatoshi Taneda. De Album of Fluid Motion, 1982, The Para-bolic Press, Stanford, California.)

(29)

Sec. 3.2 / Descripción del movimiento de ﬂuidos 91 x V V V V z y dr r CONCEPTO CLAVE En un ﬂujo permanente,

las líneas de trayectoria, las líneas fugaces y las líneas de corriente coinciden.

Fig. 3.3 Línea de corriente en un campo de ﬂujo.

Línea de corriente: El vector velocidad es tangente a la línea de corriente.

Tubo de corriente: Tubo cuyas paredes son líneas de corriente.

Una línea de corriente es una línea del flujo que posee la siguiente propiedad: el vector velocidad de cada partícula que ocupa un punto en la línea de corriente es tangente a la línea de corriente. Esto se muestra gráficamente en la figura 3.3. Una ecuación que expresa que el vector velocidad es tangente a la línea de corriente es

V dr ₀ (3.2.2)

puesto que V y dr están en la misma dirección, como se muestra en la ﬁgura; re-cuerde que el producto cruz de dos vectores en la misma dirección es cero. Esta ecuación se usará en capítulos posteriores como la expresión matemática de una línea de corriente. Una fotografía de una línea de corriente no se puede tomar di-rectamente. Para un ﬂujo general no permanente las líneas de corriente se pueden inferir a partir de fotografías de líneas de trayectoria cortas de un gran número de partículas.

Un tubo de corriente es un tubo cuyas paredes son líneas de corriente. Como la velocidad es tangente a una línea de corriente, no hay fluido que cruce las paredes de un tubo de corriente. El tubo de corriente es de particular interés en la mecánica de fluidos. Un tubo es un tubo de corriente porque sus paredes son líneas de co-rriente; un canal abierto es un tubo de corriente porque no hay fluido que cruce las paredes del canal. Con frecuencia trazamos un tubo de corriente con una pequeña sección transversal en el interior de un flujo para fines de demostración.

En un flujo permanente, las líneas de trayectoria, las líneas fugaces y las líneas de corriente todas coinciden. Todas las partículas que pasan por un punto determinado seguirán la misma trayectoria porque la velocidad en nuestro sistema euleriano no cambia con el tiempo; en consecuencia, las líneas de trayectoria y las líneas fugaces coindicen. Además, el vector velocidad de una partícula en un punto determina-do será tangente a la línea por la cual se mueve la partícula; entonces la línea es también una línea de corriente. Como los flujos que observamos en laboratorios son invariablemente flujos permanentes, a las líneas que observamos las llamamos líneas de corriente aun cuando puedan ser en realidad líneas fugaces, o para el caso considerando al tiempo, líneas de trayectoria.

3.2.3 Aceleración

La aceleración de una partícula de fluido se encuentra al considerar la partícula específica que se muestra en la figura 3.4. Su velocidad cambia de V(t) en el instante

(30)

92 Capítulo 3 / Introducción al movimiento de ﬂuidos Partícula de fluido en el instante t V(t) V(t) _{V(t + dt)} V(t + dt) x z y dV

La misma partícula de fluido en el instante t + dt

Fig. 3.4 Velocidad de una partícula de ﬂuido

a d

d V

t (3.2.3)

donde dV se muestra en la ﬁgura 3.4. El vector velocidad V está dado en forma de componentes como

V u ˆı v ˆj „ ˆk (3.2.4) donde (u, v, w) son las componentes de la velocidad en las direcciones x, y y z,

res-pectivamente, e ˆı, ˆj y ˆk son los vectores unitarios. La cantidad dV es, usando la regla de la cadena del cálculo diferencial con V V(x, y, z, t),

dV V x dx V y dy V z dz V t dt (3.2.5)

Esto da la aceleración usando la ecuación 3.2.3 como

a V x d d x t V y d d y t V z d d z t V t (3.2.6)

Como hemos seguido una partícula especíﬁca, como se ilustra en la ﬁgura 3.4, reco-nocemos que d d x t u d d y t v d d z t „ (3.2.7)

La aceleración se expresa entonces como

a u V x v V y „ V z V t (3.2.8)

Las ecuaciones de las componentes escalares de la ecuación vectorial anterior, para coordenadas cartesianas, se escriben como

(31)

Sec. 3.2 / Descripción del movimiento de ﬂuidos 93 ax u t u u x v u y „ u z ay v t u x v v y v _„ z v az „ t u „ x v „ y „ „z CONCEPTO CLAVE La aceleración convectiva ocurre cerca de un cambio en la geometría.

(3.2.9)

Derivada sustancial o material: Es la derivada D/Dt.

Aceleración local: Término de la derivada con respecto al tiempo IV/It para la

aceleración.

Aceleración convectiva: Todos los términos que no sean el término de la aceleración local.

Con frecuencia regresamos a la ecuación 3.2.3 y escribimos la ecuación 3.2.8 en una forma simpliﬁcada como

a D

D V

t (3.2.10)

donde, en coordenadas cartesianas,

D D

t u x v y „ z _t (3.2.11)

Esta derivada recibe el nombre de derivada sustancial, o derivada material. Se le da un nombre y símbolo especiales (D/Dt en lugar de d/dt) porque seguimos una partícula de fluido específica, es decir, seguimos la sustancia (o material). Representa la re-lación entre una derivada lagrangiana en la que una cantidad depende del tiempo t y una derivada euleriana en la que una cantidad depende de la posición (x, y, z) y el tiempo t. La derivada sustancial se puede usar con otras variables dependientes; por ejemplo, DT/Dt representaría la rapidez de cambio de la temperatura de una partícula de fluido a medida que la seguimos.

La derivada sustancial y las componentes de la aceleración en coordenadas ci-líndricas y esféricas se presentan en la tabla 3.1 en la página 96.

El término de la derivada con respecto al tiempo en el lado derecho de las ecua-ciones 3.2.8 y 3.2.9 para la aceleración recibe el nombre de aceleración local y los términos restantes en el lado derecho en cada una de las ecuaciones forman la

ace-leración convectiva. Por lo tanto, la aceace-leración de una partícula de ﬂuido es la suma

de la aceleración local y la aceleración convectiva. En un tubo, se tendrá aceleración local si, por ejemplo, una válvula se abre o se cierra; y la aceleración convectiva ocu-rre cerca de un cambio en la geometría del tubo, por ejemplo en una reducción del diámetro en un tubo o en un codo. En ambos casos las partículas de ﬂuido cambian su velocidad, pero por razones muy diferentes.

Debemos observar que las expresiones previas para la aceleración dan ésta sólo con respecto al marco de referencia de un observador. En ciertas situaciones el marco de referencia del observador puede estar acelerando; entonces puede ser

(32)

necesario conocer la aceleración de una partícula respecto a un marco de referencia ﬁjo y está dada por

(3.2.12) Partícula r V S Z Y X z y x a Ω

Fig. 3.5 Movimiento relativo a un marco de referencia no inercial.

aceleración del marco de referencia aceleración de Coriolis aceleración normal aceleración angular A a d dt 2_S 2 2 V ( r) d dt r

Flujos irrotacionales: Flujos en los que las partículas de ﬂuido no giran.

donde a está dada por la ecuación 3.2.8, d2_S/dt2_{es la aceleración del marco de}

re-ferencia del observador, V y r son los vectores velocidad y posición de la partícula, respectivamente en el marco de referencia del observador, y < es la velocidad an-gular del marco de referencia del observador (vea la ﬁgura 3.5). Observe que todos los vectores están escritos usando los vectores unitarios del marco de referencia

XYZ. Para la mayoría de aplicaciones en ingeniería, los marcos de referencia ﬁjos a

la Tierra dan A = a, porque los otros términos de la ecuación 3.2.12 con frecuencia son insigniﬁcantes con respecto a a. No obstante, podemos decidir unir el marco de referencia xyz a un dispositivo acelerando (un cohete) o a un dispositivo giratorio (el brazo de un aspersor); entonces ciertos términos de la ecuación 3.2.12 deben incluirse junto con a de la ecuación 3.2.8.

Si la aceleración de todas las partículas de fluido está dada por A = a en un marco de referencia seleccionado, es un marco de referencia inercial. Si A | a, es un marco de referencia no inercial. Un marco de referencia que se mueve con una velocidad constante sin girar es un marco de referencia inercial. Cuando se analice un flujo, por ejemplo, respecto a una superficie aerodinámica en movimiento a una velocidad constante, fijamos el marco de referencia a la superficie aerodinámica de modo que se observe flujo permanente en ese marco de referencia.

3.2.4 Velocidad angular y vorticidad

Un flujo de fluido puede ser considerado como el movimiento de un conjunto de partículas de fluido. A medida que una partícula se desplaza a lo largo de un fluido, puede girar o deformarse. La rotación y deformación de las partículas de fluido son de particular interés en nuestro estudio de la mecánica de fluidos. Hay ciertos flujos, o regiones de un flujo, en los que las partículas de fluido no giran; estos flujos son de especial importancia, particularmente en flujos alrededor de objetos, y se conocen como flujos irrotacionales. Un flujo fuera de una delgada capa límite en superficies aerodinámicas, fuera de la región de flujo separado alrededor de automóviles y

(33)

Sec. 3.2 / Descripción del movimiento de ﬂuidos 95

otros vehículos en movimiento, en el flujo alrededor de cuerpos sumergidos, y mu-chos otros flujos son ejemplos de flujos irrotacionales. Los flujos irrotacionales son extremadamente importantes.

Consideremos una pequeña partícula de fluido que ocupa un volumen infinitesi-mal que tiene la cara xy como se muestra en la figura 3.6. La velocidad angular <_z respecto al eje z es el promedio de la velocidad angular del segmento de recta AB y del segmento de recta CD. Las dos velocidades angulares, positivas en el mismo sentido de las manecillas del reloj, son

(3.2.13)

(3.2.14)

En consecuencia, la velocidad angular <_z de la partícula de ﬂuido es

z 1 2( AB CD) 1 2 x v u y (3.2.15)

Si hubiéramos considerado la cara xz, habríamos encontrado que la velocidad an-gular respecto al eje y es

y 1 2 u z „ x (3.2.16) D C B A y 2 + –– ––d y u ∂u y ∂ 2 – –– ––d y u ∂u y ∂ 2 – –– ––∂ d x x ∂ + –– ––2 d x ∂ x ∂ x u u dx dy u u u u AB vB dx vA v x v d 2 x v x v d 2 x dx x v CD uD dy uC u u y d 2 y u u y d 2 y dy u y

Fig. 3.6 Partícula de ﬂuido que ocupa un paralelepípedo

inﬁnitesimal en un instante particular.

Velocidad angular: Velocidad promedio de dos segmentos de recta perpendiculares de una partícula de ﬂuido.