Ingeniería Térmica

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Martín Llorens*

Angel L. Miranda*

Ingeniería

Térmica

Profesores de la Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial de Barcelona (adscrita a la UPC)

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Prólogo

Capítulo 1 - Sistema Termodinámico

1.1 Introducción ... 1

1.2 Clasificación de los sistemas termodinámicos ... 2

1.3 Variables de estado y sistema elemental ... 3

1.4 La temperatura ... 3

1.5 Procesos termodinámicos ... 7

1.6 El gas ideal ... 8

1.7 Temas de ampliación ... 10

Capítulo 2 - Trabajo, energía interna y calor 2.1 Introducción ... 11 2.2 Trabajo de expansión ... 11 2.3 Trabajo de rozamiento ... 15 2.4 Energía interna ... 16 2.5 Calor ... 17 2.6 Entalpia ... 17

2.7 Calores específicos a volumen y a presión constantes ... 18

2.8 Transformación adiabática reversible de un gas ideal ... 19

2.9 Proceso politrópico ... 21

Capítulo 3 - Primer principio de la Termodinámica 3.1 Introducción ... 23

3.2 Primer principio aplicado a sistemas cerrados ... 23

3.3 Primer principio en procesos cíclicos. Sistemas cerrados ... 27

3.4 Primer principio para sistemas abiertos ... 31

3.5 Primer principio en procesos cíclicos. Sistemas abiertos ... 34

Capítulo 4 - Entropía y segundo principio 4.1 Introducción ... 37

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Ingeniería térmica _

4.2 Enunciados de Clausius y Kelvin-Planck del

segundo principio de la Termodinámica ... 40

4.3 Procesos reversibles e irreversibles ... 40

4.4 La desigualdad de Clausius ... 41

4.5 Concepto de entropía ... 42

4.6 Entropía y desorden ... 43

4.7 Entropía de un gas ideal ... 45

4.8 Generación de entropía y flujo de entropía ... 48

4.9 Transformación de calor en trabajo mediante procesos cíclicos ... 49

4.10 Energía utilizable. Exergía ... 53

Capítulo 5 - Transmisión de calor por conducción 5.1 Introducción ... 61

5.2 Ecuación diferencial general de la transmisión de calor por conducción ... 62

5.3 Condiciones de contorno ... 66

5.4 Conducción unidimensional y estacionaria en una paredplana ... 67

5.5 Conducción unidimensional y estacionaria en una pared cilíndrica ... 72

5.6 Conducción unidimensional radial y estacionaria en un cilindro macizo ... 74

5.7 Conducción unidimensional y estacionaria en una paredesférica 75 5.8 Resistencia térmica ... 76

Capítulo 6 - Transmisión de calor por convección 6.1 Introducción ... 85

6.2 Clasificación de los procesos de convección ... 86

6.3 Relaciones técnicas de la transferencia de calor por convección ... 87

6.4 Convección forzada ... 90

6.5 Convección natural sobre diversas superficies ... 99

6.6 Determinación de la temperatura final del fluido ... 100

Capítulo 7 - Transmisión de calor por radiación 7.1 Introducción ... 105

7.2 Física de la radiación ... 105

7.3 Factor de forma de la radiación ... 114

7.4 Temperatura efectiva de radiación ... 116

7.5 Intercambio de energía radiante entre dos superficies grisesdifusas 116 7.6 Fórmulas generalizadas ... 120

7.7 Resistencia térmica asociada a la radiación ... 120

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Capítulo 8 - Transmisión de calor en aletas

8.2 Clasificación ... 124

8.3 Ecuación diferencial de las aletas longitudinales con transmisión de calor unidimensional ... 125

8.4 Eficiencia de una aleta ... 130

8.5 Eficiencia ponderada de un tubo aleteado ... 133

Capítulo 9 - Transferencia de calor con cambio de fase 9.1 Introducción ... 135 9.2 Condensación ... 135 9.3 Ebullición ... 145 9.4 Ebullición dinámica ... 150 9.5 Evaporación ... 151 9.6 Temas de ampliación ... 154

Capítulo 10 - Intercambiadores de calor 10.1 Introducción ... 157

10.3 Análisis térmico ... l60 10.4 Eficiencia de un intercambiador de calor ... 165

Capítulo 11 - Compresores 11.1 Introducción ... 173

11.2 Compresores alternativos ... 174

11.3 Trabajos indicados ideales de compresión. Modelo de gas ideal perfecto ... 179

11.4 Trabajos, rendimientos y potencias ... 181

11.5 Compresores adiabáticos y no adiabáticos ... 183

11.6 Compresión en etapas ... 186

11.7 Compresores de tomillo ... 188

Capítulo 12 - Ciclo Brayton 12.1 Introducción ... 191

12.2 Diagramas T-s y h-s ... 192

12.3 Análisis termodinàmico del ciclo Brayton con gas ideal perfecto ... 194

12.4 Análisis termodinàmico del ciclo Brayton con gas ideal ... 200

12.5 Ciclo de Brayton con recuperación de la entalpia de los gases de escape de la turbina ... 205

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Ingeniería térmica Capítulo 13 - Equilibrio líquido-vapor. Ciclo de Rankine

13.2 Equilibrio líquido-vapor ... 210

13.3 Propiedades termodinámicas delvapor de agua ... 216

13.4 El ciclo simple de Rankine ... 219

13.5 El ciclo de Rankine modificado ... 222

Capítulo 14 - Motores de combustión interna 14.1 Introducción ... 229

14.2 Los motores de cuatro tiempos ... 230

14.3 El ciclo real ... 232

14.4 Potencias y rendimientos ... 233

14.5 Rendimiento volumétrico ... 234

14.6 Combustibles ... 237

14.7 Motores sobrealimentados ... 238

14.8 Dimensionado del motor ... 238

14.9 Curvas de resultados ... 239

Capítulo 15 - Ciclos de comparación para motores de combustión interna 15.1 Introducción ... 241

15.2 Clasificación de los ciclos de comparación ... 241

15.3 El ciclo dual ... 243

15.4 El ciclo Otto ... 247

15.5 El ciclo Diesel ... 248

Capítulo 16 - El ciclo de refrigeración por compresión de vapor 16.1 Introducción ... 253

16.2 Métodos de producción de frío ... 255

16.3 Los fluidos frigoríficos ... 258

16.4 El ciclo simple de compresión devapor ... 259

16.5 Modificaciones del ciclo simplede compresión de vapor ... 263

Capítulo 17 - Combustibles 17.1 Introducción ... 271

17.2 Clasificación de los combustibles ... 271

17.3 Propiedades de los combustibles ... 273

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Capítulo 18 - Balance de masas de la combustión

18.2 Aire técnico de la combustión ... 281

18.3 Parámetros fundamentales del balance de masas de una combustión ... 282

18.4 Balance de masas de la reacción de combustión completa de un combustible gaseoso ... 283

18.5 Balance de masas de la reacción de combustión completa de un combustible sólido o líquido ... 285

Capítulo 19 - Balance de energías de la combustión 19.1 Introducción ... ... 289

19.2 Balance energético ... ... 289

19.3 Temperatura adiabática de combustión ... 294

Capítulo 20 - Generadores de vapor 20.1 Introducción ... 299

20.3 Rendimientos de la caldera ... 300

20.4 Balance de masas y de energías ... 302

20.5 Recuperación entálpica de los humos ... 304

20.6 Rendimiento estacional ... 307

Apéndices Apéndice A Propiedades termofísicas del agua ... 311

Apéndice B Propiedades termodinámicas del vapor de agua saturado ... 312

Apéndice C Propiedades del vapor de agua recalentado ... 315

Apéndice D Propiedades del agua, líquido saturado ... 323

Apéndice E Propiedades del aire, gas ideal semiperfecto ... 325

Apéndice F Propiedades termodinámicas del R-134 en estado de saturación ... 329

Apéndice G Propiedades termodinámicas del R-134 en estado de vapor recalentado ... 331

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Capítulo 1

Sistema termodinámico

1.1 Introducción

En sentido amplio, la Termodinámica es la ciencia que estudia las transformaciones energéticas. Si queremos precisar el entorno de aplicación, debemos referirnos necesariamente al concepto de sistema termodinàmico. Un sistema termodinàmico es, sencillamente, la porción del universo objeto de nuestro estudio. Ejemplos de sistemas termodinámicos pueden ser tan diferentes como la Tierra, un avión, una tobera, un motor de combustión o un vaso de precipitados; la única condición que ha de tener un sistema termodinàmico es que sus límites estén bien definidos, bien sea por fronteras físicamente determinadas o bien por fronteras imaginarias.

Una vez definido el sistema, todo lo demás es el entorno o medio exterior al sistema que, de forma simplificada, llamaremos entorno o medio. Ahora, podemos precisar un poco más la definición anterior añadiendo que las transformaciones energéticas se tendrán que producir en el interior del sistema, o bien por intercambio con el medio. En la definición, se ha dado por sentado el conocimiento del concepto de energía; sin embargo, es preciso hacer alguna matización puesto que la característica más importante de la energía es que se puede manifestar de formas muy diversas. En general, se define, en primer lugar, el concepto de trabajo mecánico como la acción de una fuerza sobre el límite de un sistema, cuando este límite está en movimiento. El trabajo es el producto de la fuerza por el desplazamiento de su punto de aplicación en la dirección de la fuerza [1].

La expresión cuantitativa del trabajo mecánico es: W12= ∫ F · dr₁2

(1) donde W12 es el trabajo, F es la fuerza que actúa sobre el límite del sistema y r el vector

desplazamiento de la fuerza. Se han representado ambos conceptos en negrita para destacar su naturaleza vectorial. El producto de ambos vectores es escalar y, por tanto la magnitud resultante no es de naturaleza vectorial.

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Obsérvese que, en el sistema internacional, el trabajo es una magnitud derivada que se obtiene a partir de las magnitudes fundamentales masa, longitud y tiempo. Una vez definido el concepto de trabajo, puede afrontarse la definición de energía como todo aquello que puede transformarse directa o indirectamente en trabajo mecánico. Por ejemplo el trabajo eléctrico, definido como el producto de la carga eléctrica por la diferencia de potencial en los puntos que definen los límites del sistema, puesto que este trabajo eléctrico es convertible directamente en trabajo mecánico. Precisamente, el dispositivo en el que se lleva a cabo la transformación de una forma de energía en otra recibe el nombre de convertidor. En este caso el convertidor es un motor eléctrico. La definición de energía exige que la transformación en trabajo mecánico esté bien definida. Así, se han de descartar como conceptos energéticos la información, el pensamiento, la intuición, el arte y muchos otros que de forma errónea se asimilan a la energía. En el caso de la información, parece que existe una relación más directa con la entropía; en realidad, con el negativo de la entropía, que se ha dado en llamar negentropía [2].

1.2 Clasificación de los sistemas termodinámicos

Los sistemas termodinámicos se clasifican en cerrados y abiertos. Un sistema cerrado es aquel que no presenta flujo de materia a través de sus límites. Por tanto, contiene una cantidad de materia constante. Un sistema abierto se caracteriza porque entra o sale materia a través de sus límites. En un sistema abierto, la cantidad de materia contenida puede permanecer constante si el régimen es estacionario o puede variar en casos de régimen transitorio. Obsérvese que la constancia de masa en un sistema no es condicionante para establecer si un sistema es abierto o cerrado.

Una caldera en funcionamiento, limitada por sus paredes y las válvulas de entrada y salida del agua, combustible, aire y vapor es un ejemplo de sistema abierto. Entran el agua de alimentación, el combustible y el aire necesario para la combustión. Sale el vapor de agua producido. Si se trata de una pequeña caldera de gas, después de unos minutos de funcionamiento, la cantidad de materia contenida en la caldera es constante. Si se trata de una gran caldera alimentada con carbón, la cantidad de materia contenida en el sistema no es constante, irá aumentando lentamente a medida que transcurre el tiempo a causa de las cenizas producidas y las sales no evaporadas del agua. Una botella de propano con la válvula de alimentación cerrada constituye un ejemplo de sistema cerrado. No hay intercambio de materia con el exterior.

Un caso especial de sistema cerrado es el llamado sistema aislado, concepto termodinàmico muy importante. Un sistema aislado es un sistema cerrado que no presenta intercambio de energía con el medio. Dado que el medio no ejerce ninguna influencia sobre el sistema, recibe la denominación de "aislado". Más adelante se verá que las únicas formas que tiene la energía de atravesar los límites de un sistema son en forma de trabajo y de calor. Cuando un sistema no intercambia calor con el medio se denomina adiabático. Sin embargo, un sistema adiabático puede ser aislado o no serlo porque puede intercambiar trabajo; también puede ser abierto, porque el intercambio de

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Sistema termodinàmico

materia no tiene nada que ver con el calor. Existen otros tipos de sistemas termodinámicos que se verán en el apartado siguiente, puesto que su comprensión requiere previamente la introducción de otros conceptos.

1.3 Variables de estado y sistema elemental

Para tener caracterizado el estado interno de un sistema termodinàmico es necesario conocer determinadas propiedades de la masa contenida en el sistema, tales como la cantidad de materia, el volumen, la presión, la temperatura, etc. Si se trata de un sistema en movimiento, tendremos que conocer también su velocidad y posición. Sin embargo, es muy importante establecer de buen principio un concepto que simplificará bastante el problema de la determinación de un estado, el concepto de estado de equilibrio. Un sistema está en equilibrio cuando sus propiedades son invariables con el tiempo. Es mucho más sencillo determinar un estado de equilibrio que otro que no lo sea. Podemos ahora definir el llamado sistema elemental. Un sistema elemental es el que está constituido por una sustancia pura en estado de equilibrio y definida sólo mediante tres propiedades, la masa, la presión y el volumen.

Daremos por definidas y comprendidas estas tres propiedades, por otra parte ampliamente utilizadas en mecánica. Señalaremos, no obstante, que las propiedades pueden ser intensivas o extensivas.

 Una propiedad intensiva se caracteriza porque su valor no varía si dividimos el

sistema en partes. Ejemplos de propiedades intensivas son la presión y la temperatura, propiedad, esta última, que aún no hemos definido.

 Una propiedad extensiva es la que varía si efectuamos una partición del sistema.

Ejemplos claros de propiedades extensivas son la energía, la masa y el volumen. Si dividimos el volumen por la masa del sistema, obtenemos el volumen específico, que es una propiedad intensiva. Lo mismo ocurre con la energía. Al dividir una magnitud extensiva por la masa se obtiene una magnitud intensiva.

Un sistema cerrado puede contener una sola sustancia en estado puro pero en más de una fase. La fase hace referencia al estado sólido, líquido o gaseoso de la sustancia. Un sistema que contenga una sustancia en una sola fase se dice que es homogéneo. Si contiene más de una fase se dice que es heterogéneo. También es heterogéneo un sistema que contenga más de una sustancia.

1.4 La temperatura

La temperatura es una propiedad especial por su importancia en Termodinámica. Por otra parte, es una magnitud fundamental en el sistema internacional y por tanto no se puede definir a partir de otras magnitudes. El concepto de estado térmico hace referencia a la energía de naturaleza microscópica que poseen individualmente las moléculas o átomos que constituyen la sustancia del sistema. Dos sistemas termodinámicos están en equilibrio térmico si ambos sistemas tienen la misma temperatura.

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Esto no es una definición de temperatura, sino del concepto de equilibrio térmico si aceptamos una comprensión intuitiva del concepto de temperatura.

Si ponemos en contacto, pared por pared, dos sistemas termodinámicos con estados térmicos diferentes, pueden ocurrir dos cosas refrendadas por la experiencia:

a) Que al cabo de un cierto tiempo ambos sistemas estén en el mismo estado térmico y diferente de los que tenía cada uno de ellos por separado. Diremos que se ha alcanzado un estado de equilibrio térmico entre ambos sistemas y que la pared de contacto es diatèrmica.

b) Que no se alcance un estado intermedio de equilibrio, es decir, que cada sistema persista en el estado térmico que tenía. En este caso la pared de contacto es adiabática.

Una tercera posibilidad que mencionamos aparte es que, en el segundo caso, si el tiempo de contacto es suficientemente grande, al final siempre se alcanza el estado de equilibrio. Por tanto, la pared adiabática es una idealización aunque, en algunos casos, no necesariamente grosera.

La temperatura es más fácil de medir que de definir. El instrumento que se utiliza para medir temperaturas se llama termómetro. Se trata de medir una propiedad que varíe con la temperatura con un tipo de dependencia preferentemente lineal.

Supongamos una propiedad x que varíe linealmente con la temperatura 0. Si tomamos dos puntos fijos, θ1 cuando x = x1 y θ2 cuando x = x2, se cumplirá:

θ = θ1+θ_x2− θ1

2− x1(x − x1)

(2) En realidad, la ecuación (2) permite establecer una escala de temperaturas basada en la propiedad x y los puntos fijos θ2 y θ1. Termómetros de este tipo se pueden utilizar

perfectamente para medir temperaturas. Sin embargo, es evidente que estas medidas relativas de la temperatura pueden producir algunos inconvenientes. Por ejemplo, supongamos que x es la longitud de dilatación lineal de una columna de líquido. Si medimos la temperatura de dos sistemas en equilibrio térmico, con dos termómetros diferentes con líquidos diferentes y los mismos puntos fijos, dado que la dilatación dependerá también del tipo de líquido, los termómetros marcarán temperaturas diferentes, lo cual está en contradicción con el principio que establece la igualdad de temperatura de dos sistemas en equilibrio térmico. Este hecho nos sugiere la posible existencia de una escala absoluta de temperaturas. Efectivamente, a partir del segundo principio de la Termodinámica, Lord Kelvin demostró la existencia de una escala universal o absoluta de temperaturas, independiente del tipo de propiedad elegida para medirla. En su honor esta escala se denomina escala Kelvin. De momento, vamos a estudiar un tipo especial de termómetro, el termómetro de gas, con el que se podrán determinar temperaturas de la escala Kelvin.

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Sistema termodinámico

Figura 1.1-Termómetro de gas

El termòmetro de gas utiliza corno propiedad termometrica la presión de un gas. Para que la presión sea la única propiedad que varíe con la temperatura, las transformaciones del gas se han de hacer a volumen constante. En la figura 1.1 se ha representado de forma esquemática un termómetro de gas. Para mantener constante el volumen de gas, que tiende a aumentar si aumenta la temperatura y a disminuir si ésta disminuye, se añade o elimina mercurio del ramal derecho del manómetro diferencial que mide la presión del gas. Si la temperatura 0 varía linealmente con la presión, p, se cumplirá:

θ = θ0_pP 0

Donde θ0 es la temperatura de un punto fijo en el que el termómetro de gas da una

presión p0.

El punto fijo para asignar arbitrariamente la temperatura θ0, por acuerdo internacional,

es el punto triple del agua (un estado de equilibrio en el que coexisten las tres fases). La temperatura asignada al punto triple del agua es 273,16 K. La unidad de temperatura obtenida con el termómetro de gas se denominará grado Kelvin (K), dado que el termómetro de gas permite determinar temperaturas absolutas como se demostrará más adelante. Así pues, una temperatura determinada con el termómetro de gas vendría dada por la expresión:

(3)

θ = 273,16 _pP

0 (4)

Esta temperatura 0 no es una temperatura absoluta puesto que depende de la clase de gas que contenga el matraz del termómetro de gas (y de la cantidad). No todos los gases presentan el mismo tipo de dependencia de la presión con la temperatura.

(12)

Figura 1.2 - Temperatura frente a en un termómetro de gas

Sin embargo, el termómetro de gas se utiliza de otra forma. Con una cierta cantidad de gas en el matraz, se determina la presión p0, la presión p del sistema y la temperatura 0 a

partir de la ecuación (4). Sea θ1 esta temperatura. Se vuelve a medir la presión P0 del

punto triple del agua, con el mismo termómetro de gas, pero con una cantidad de gas ligeramente inferior. Y se vuelve a medir la temperatura del sistema. Sea θ2 esta

temperatura. Esta operación se puede repetir varias veces. Si se representa gráficamente la temperatura 0 del sistema del cual se quiere medir la temperatura frente a la presión p0, se obtiene una gráfica como la de la figura 1.2. Obsérvese que hay una temperatura, T

en la gráfica, que es la ordenada en el origen de la recta que representa la variación de 0 frente a p0. T es la temperatura medida con un termómetro de gas cuando p0 = 0, es decir,

cuando no hay gas en el matraz. Si se repiten las medidas con un gas diferente se obtiene una recta distinta, aunque con la misma ordenada en el origen. Esta ordenada en el origen es la temperatura del sistema objeto de la medida obtenida a partir del termómetro de gas:

θ = 237,16 lim

P0→0

P

p₀ (5)

Es evidente que esta escala de temperaturas es independiente del tipo de gas. Más adelante, se verá que esta escala coincide con la escala universal, o absoluta, deducida a partir del segundo principio. Provisionalmente, aceptaremos que la temperatura del termómetro de gas coincide con la escala absoluta y que se mide en grados Kelvin. El termómetro de gas es algo difícil de usar. Para medir temperaturas de forma práctica se utilizan termómetros basados en la medida de la dilatación de una columna de líquido o de una resistencia eléctrica, es decir, de una propiedad fácil de medir, según una escala de temperaturas diferente de la absoluta pero fácilmente convertible a ésta. La escala de temperaturas más utilizada es la denominada centígrada o Celsius.

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Sistema termodinamico

Si t es la temperatura centigrada y T la temperatura absoluta, la relación entre una y otra es:

t = T - 273,15 (6)

La constante 273,15 se debe a razones históricas; el cero de la escala centigrada es el punto de fusión del hielo a la presión atmosférica estándar. Obsérvese que la temperatura absoluta del punto triple del agua es de 273,16 K, por tanto, la temperatura centígrada del punto triple del agua es 0,01 °C. Es importante hacer notar que las tres cantidades numéricas implicadas son exactas. Otra observación importante es que una diferencia de temperaturas vale lo mismo en la escala centígrada que en la escala Kelvin; en esta obra utilizaremos siempre la denominación K para el grado Kelvin aunque indique una diferencia de temperaturas; el lector podrá averiguar si estos grados provienen de una diferencia de temperaturas (y por lo tanto ser equivalentes a grados centígrados) simplemente observando la fórmula de la cual proceden.

1.5 Procesos termodinámicos

Un sistema termodinàmico cuyas propiedades no cambien a lo largo del tiempo, como ya se ha indicado, está en equilibrio. Diremos que está en estado estacionario. Nuestra experiencia directa nos indica que un estado estacionario puede cambiar. Más adelante veremos que en ausencia de fenómenos electromagnéticos, la única forma de modificar el estado de un sistema es transfiriendo trabajo o calor desde el medio al sistema o viceversa. Si un sistema cambia de estado, desde un estado inicial 1 hasta alcanzar una nueva situación de equilibrio 2, diremos que ha tenido lugar el proceso 12. Un proceso es la sucesión indefinida de estados entre 1 y 2.

Se puede representar gráficamente un proceso termodinàmico utilizando como ejes coordenados la presión y la temperatura, o la presión y el volumen, etc. En la figura 1.3

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Se han representado diversos procesos termodinámicos en un diagrama que utiliza como ejes la presión y el volumen específico.

Un proceso representa necesariamente una interacción entre el sistema y el medio. Siempre supondremos que los estados inicial y final de un proceso son estados de equilibrio. Estos procesos se denominan naturales.

Si un proceso puede evolucionar en sentido inverso, hasta alcanzar el estado inicial, sin que se perturbe el medio, el proceso recibe el nombre de reversible. En caso contrario, es irreversible. Todos los procesos naturales son irreversibles, por tanto, el proceso reversible es ideal. Sin embargo, la irreversibilidad no es la misma en todos los procesos. Por ejemplo, la expansión brusca de un gas es proceso muy irreversible. Para que un proceso natural se aproxime al concepto de proceso reversible es preciso que se realice con el mínimo rozamiento posible y con pequeños cambios que alteren lo menos posible el estado de equilibrio. El proceso reversible es ideal y se utiliza como referencia en el estudio de algunos procesos reales que, como se ha indicado anteriormente, son irreversibles.

1.6 El gas ideal

Sea un sistema elemental que está constituido por un gas cuyo estado de equilibrio viene determinado por una masa m, un volumen V y una presión p. El gas estará a una temperatura uniforme T. Todas las variables deben ser constantes a lo largo del tiempo. Si sólo se necesitan tres variables para tener definido el sistema, es evidente que existirá una relación entre éstas de forma que puedan relacionarse entre ellas. Suele elegirse la presión p, el volumen específico v y la temperatura absoluta T. Esta ecuación que formaliza la relación recibe el nombre de ecuación de estado del gas. Esta ecuación de estado, distinta para cada gas, debe ser obtenida experimentalmente. El resultado tiene forma de largas y complejas expresiones que relacionan la presión con el volumen específico y la temperatura absoluta.

Cuando los gases están a baja presión presentan un comportamiento similar que puede ponerse de manifiesto calculando el término pv/T a partir de valores experimentales y representándolos gráficamente frente a la presión (véase la figura 1.4).

La curva resultante se puede extrapolar hasta cortar el eje vertical, obteniéndose el valor de pv/T a presión nula. Este valor se representa con el símbolo R'. Así pues:

lim

p→0

p · v

T = R′

Y R' es distinto para cada gas. La relación:

p V = R' T (8)

Sólo se cumple estrictamente en el límite, cuando la presión es nula. Un gas que cumpliese esta ecuación de estado a cualquier presión recibe el nombre de gas ideal.

(15)

Sistema termodinàmico

en la que R es la llamada constante universal de los gases, cuyo valor es: R = 8.314 J/(kmolK)

Recordemos que el volumen molar es el cociente entre el volumen y el número de moles y que se obtiene dividiendo la masa de gas entre la masa molecular.

La ecuación de los gases ideales se puede expresar también en la forma:

pv = RT (10)

Ejemplo n° 1

Determinar el volumen de un mol de gas ideal en condiciones normales.

Las condiciones normales se definen a 1 atm (atmósfera física) y 0 °C; aunque la IUPAC recomendó, a partir de 1982, que la presión de referencia fuese de 100 kPa (1 bar), sigue utilizándose todavía la atm que equivale a 101.325 Pa. Aplicaremos la ecuación (10) para obtener el volumen molar:

v� =

R · T

_{p =}

8,314 · 273,15

_101,305

= 22,41 m

3

_/kmol

Figura 1.4- pv/T frente a la presión p

Si se representa pv/T, siendo v el volumen molar del gas, frente a la presión para diversos gases, se observa que las diferentes curvas confluyen, a presión cero, en la misma ordenada en el origen. Este valor lo designaremos con el símbolo R. Así pues, se cumple:

lim

p→0

p · v�

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Ejemplo n° 2

Un recipiente de 50 litros contiene N2 a 150 kPa y a 25 °C. ¿Cuál es la masa de gas

contenida en el recipiente? La constante específica del gas es R2 = 296,9 J/(kg K).

Se puede aplicar la ecuación (8) para determinar el volumen específico:

v� =

R′ · T

p

1

=

296,9 · (273,15 + 25)

150 · 10

3

= 0,5901 m

3

/kg

La masa de gas: m = V/v = 50·10-3·0,5901 = 0,0295 kg

1.7 Temas de ampliación

La Termodinámica clásica es una ciencia no excesivamente compleja desde un punto de vista matemático, pero a veces, es difícil captar la sutiliza de algunas de las derivaciones de sus principios. Parece imposible presentar la Termodinámica de una forma práctica con ejemplos sacados de la vida cotidiana y que, por lo tanto, sean asequibles y de más fácil comprensión. Creemos que (Çengel y Boles, en [3], han conseguido plenamente este objetivo.

Bibliografía

[1] Baehr H.D. Tratado Moderno de Termodinámica. José Montesó Editor, Barcelona, 1970.

[2] Singh, J. Teoría de la información. Alianza Editorial, Madrid, 1976. [3] Çengel, Y. A., Boles, M. A. Termodinámica. McGraw-Hill, México, 1994.

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Capítulo 2

Trabajo, energía Interna

y calor

2.1 Introducción

En el capítulo anterior, se ha definido el trabajo como una forma de energía que podemos utilizar de referencia. El trabajo sólo se puede hallar en los límites del sistema, atravesándolos. Carece de sentido hablar de trabajo almacenado o acumulado en un sistema. Existen básicamente dos formas de trabajo mecánico aplicadas a los sistemas cerrados en reposo, el llamado trabajo de expansión producido por fuerzas normales a los límites del sistema y el llamado trabajo de rozamiento disipado por fuerzas tangenciales a los límites.

En el primer caso, para que exista trabajo es preciso que las fuerzas normales a los límites del sistema modifiquen su volumen. En el segundo caso, no es preciso que haya variación de volumen del sistema.

2.2 Trabajo de expansión

2.2.1 Introducción

Para evaluar el trabajo de expansión W, supondremos un gas encerrado en un cilindro provisto de émbolo (véase la figura 2.1). Sobre el émbolo actúa una fuerza F que es igual al producto de la presión absoluta del gas por la superficie Ap de la cara interna del

émbolo que está en contacto con el gas. Si consideramos un desplazamiento elemental dx del émbolo, tendremos:

dW = F dx = p Ap dx

Siendo Apdx el volumen elemental dV barrido por el émbolo en su desplazamiento dx.

Así pues:

dW = p dV (11)

Para un desplazamiento finito, el trabajo de expansión es:

(18)

Figura 2.1 - Gas en un cilindro provisto de émbolo

W = ∫ p dV

₁2 (12) Entre (1) y (2) existirá una sucesión infinita de estados intermedios que definen un determinado proceso. Este proceso lo denominaremos (a). Una forma muy explícita de referimos a este proceso, y no a otro que pudiera tener el mismo estado inicial y final, es:

_{W = ∫ p dV}

_1a2 (13) Si en un diagrama p-V representamos el proceso (a) desde el estado 1 hasta el estado 2 (véase la figura 2.2), el trabajo de expansión vendría dado por el área comprendida entre la curva y el eje horizontal.

Si la transformación entre (1) y (2) se realizase de otra forma, proceso (b) por ejemplo, obsérvese que el área sería distinta. En consecuencia, está bien establecido que el trabajo de expansión no es una propiedad pues depende del proceso. Es decir:

∫ p dV

_1a2

≠ ∫ p dV

_1b2 (14) Hasta ahora hemos hablado sólo de trabajo de expansión. Es evidente que las fuerzas normales a los límites también pueden actuar provocando una disminución del volumen del sistema. En este caso, el trabajo sería de compresión. En general, cuando se hace referencia al trabajo de expansión se sobreentiende que puede ser trabajo de expansión o de compresión. Termodinàmicamente son de signos diferentes. Por convenio, el trabajo de expansión es positivo y el de compresión es negativo. Dado que el trabajo depende del proceso, en los apartados siguientes, se hallarán las expresiones más usuales que corresponden al trabajo de expansión de diversos procesos típicos de un gas ideal.

(19)

Trabajo, energía interna y calor

Figura 2.2 - Trabajo de expansión de un gas entre los estados 1 y 2 por los caminos (a) y (b) distintos

2.2.2 Trabajo de expansión isotermo

Si podemos suponer comportamiento de gas ideal, la expresión del trabajo específico de expansión es: w =W_{m = � p dv}2 1 = � R′T v dv 2 1

Si el proceso es isotermo, el resultado de la integración es:

w = R´T ln

v2

v1 (15)

Aunque nos refiramos de forma genérica al trabajo de expansión, es evidente que esta denominación comprende también al trabajo de compresión. La única diferencia estará en el signo.

2.2.3 Trabajo de expansión adiabático

Aunque se demostrará en el apartado 2.8, aceptaremos provisionalmente que la expansión o compresión adiabática y reversible de un gas ideal se rige por la ecuación:

pvk = Cte (16)

Siendo k el cociente entre el calor específico a presión constante cp y el calor específico a

volumen constante cv. El trabajo específico de expansión en este caso es:

w = � p dv2 1 = � Cte 𝑣𝑣𝑘𝑘 dv 2 1 = � p1𝑣𝑣1𝑘𝑘 𝑣𝑣𝑘𝑘 dv 2 1

(20)

Y resolviendo la integral obtenemos:

𝑤𝑤 = 𝑝𝑝1𝑣𝑣1𝑘𝑘_{1 − 𝑘𝑘}1 (𝑣𝑣21−𝑘𝑘− 𝑣𝑣11−𝑘𝑘)

𝑤𝑤 =_{1 − 𝑘𝑘 (𝑝𝑝}1 2𝑣𝑣2− 𝑝𝑝1𝑣𝑣1) (17)

Ejemplo n° 3

Determinar el trabajo obtenido en el eje de un émbolo producido por la expansión adiabática y reversible del aire encerrado en un cilindro a 450 kPa y 105 °C hasta una presión de 250 kPa. La presión ambiente exterior, que actúa sobre la otra cara del émbolo (véase la figura 2.3), es de 100 kPa. Para el aire se tomará R' = 287 J/(kg K) y k = cp/cv = 1,40.

Figura 2.3 - Cilindro provisto de émbolo del ejemplo n° 3

14

En primer lugar, calculemos v1 y v2;

v1=R ′_T 1 p1 = 287 · (105 · 273,15) 450 · 103 = 0,2412 m3/kg v2= v1�p_p2 1� 1/k = 0,2412 �250_450�1/1,4= 0,367m3_/kg

Así, el trabajo específico de expansión es:

w = � pdv2 1 = 1 1 − k(p2p2− p1p1) = 1 1 − 1,4(250 · 0,367 − 450 · 0,2412)103= 41,975 J/kg

(21)

Trabajo, energía interna y calor

Por otra parte, para vencer la resistencia asociada a la presión exterior p0, se efectúa

un trabajo específico: w0= � p0dv

2

1 = 𝑝𝑝0(v2− v1) = 100 · 10

3_{(0,367 − 0,2412) = 12,58J/kg}

En consecuencia, el trabajo específico obtenido en el eje es: weje= � (p − p0)dv

2

1 = (w − w0) = (41,975 − 12,58) = 29,295J/kg

2.3 Trabajo de rozamiento

El trabajo de rozamiento es el que efectúan fuerzas tangenciales sobre los límites del sistema; por ejemplo, las palas del agitador situado en el cilindro mostrado en la figura 2.4, al hacer girar el eje. El fluido ofrece una fuerza resistente al movimiento de las palas y para vencerla se ha de hacer un trabajo de rotación en el eje. El trabajo de rozamiento no implica cambios de volumen del sistema. Obsérvese que es siempre un trabajo negativo, es decir, un trabajo entregado al sistema. Para obtener trabajo de rozamiento positivo, el fluido confinado en el cilindro tendría que actuar de manera organizada sobre las palas del agitador de forma que lo hiciese girar. Nunca se ha observado que ocurra una acción semejante. Dado que el trabajo de rozamiento es negativo, desde el punto de vista del sistema termodinàmico, en los balances se acostumbra a expresarlo en valor absoluto y precedido del signo menos explícito.

Figura 2.4 - Cilindro con un agitador para ilustrar el concepto de trabajo de rozamiento

Figura 2.5 - Cilindro con aportación de trabajo de rozamiento en forma de energía eléctrica (efecto Joule)

(22)

La aportación de energía mediante una resistencia eléctrica (véase la figura 2.5) se interpreta, también, como trabajo de rozamiento, aunque en este caso sea trabajo eléctrico, dado que produce los mismos efectos que el trabajo mecánico de rozamiento.

Ejemplo n° 4

Un cilindro de 0,30 m de diámetro interior contiene un gas. Mediante una resistencia eléctrica conectada a 60 voltios circula una corriente de 1,6 amperios durante un minuto. En el proceso, el gas expansiona desplazando el émbolo 250 mm. La expansión se produce a la presión constante de 180 kPa. Determinar el trabajo de expansión del gas, el trabajo de rozamiento que se efectúa sobre el sistema y el trabajo total.

El trabajo de expansión del gas es fácil de calcular puesto que la presión del gas coincide durante todo el proceso con la presión que el embolo ejerce sobre el gas.

W = p(V2− V1) = pAp(x2− x1) = pπ_{4 D}p2(x2− x1) = 180 · 103π_{4 0,3}2· 0,25 = 3,181J

El trabajo de rozamiento entregado al sistema en forma de trabajo eléctrico es: Wroz = ΔΦ I t = - 60 voltios · 1,6 amperios · 60 s = - 5.760 J

El signo menos indica que se trata de un trabajo efectuado sobre el sistema. Por consiguiente el trabajo total es:

Wtotal = W + Wroz = 3.181 + (- 5.760) = - 2.579 J ≈ - 2,58 kJ

En definitiva, se cede al sistema (el gas) más trabajo de rozamiento que el que él entrega al émbolo. Por esta razón, el trabajo total resulta negativo.

2.4 Energía interna

Si comprobamos los efectos que ocasiona la entrada de trabajo en un sistema gaseoso adiabático, se observa un aumento de las energías mecánicas microscópicas de las moléculas o átomos que constituyen el fluido. El efecto más inmediato es un aumento de la temperatura del gas. Esta constatación obliga a definir un tipo de energía, llamada interna termostàtica, representada con el símbolo U, a partir de la igualdad experimental:

U2 - U1 = - W12,adiab (18)

Un trabajo entregado al sistema produce un aumento de su energía interna; un trabajo cedido por el sistema es a costa de su energía interna. La energía interna sí que es una propiedad del sistema y, por tanto, independiente del proceso de transferencia de trabajo.

(23)

Trabajo, energía interna y calor

También el trabajo entregado a un muelle durante su compresión, o el entregado a una batería eléctrica durante su proceso de carga, modifican la energía de estos sistemas. Estos cambios sólo se pueden atribuir a la variación de su energía interna.

2.5 Calor

Si transferimos trabajo a un sistema cerrado no adiabático, mediante un proceso definido desde un estado 1 hasta un estado 2, la energía interna del sistema experimentará una variación que no coincidirá con el trabajo transferido. Es decir:

U2 - U1 ≠ - W12 (19)

El principio de conservación de la energía exige que otra forma de energía, distinta del trabajo, haya atravesado los límites del sistema. Esa forma de energía se denomina calor y se representa con el símbolo Q. Así pues, para un sistema no adiabático:

Q1 2= U2-U1+ W1 2 (20)

El calor aportado al sistema se considera positivo y el cedido negativo.

Puesto que no se puede transferir calor a un sistema adiabático, diremos que la pared o frontera que permite una transferencia de calor se denomina diatèrmica o diabàtica. La experiencia nos indica que sólo es posible trasferir calor a través de una pared diatèrmica cuando los sistemas separados por la pared están a diferente temperatura. Igual que se ha indicado en el caso del trabajo, se han de rehuir expresiones relacionadas con una falsa interpretación del calor, tales como calor acumulado, cuerpo muy caliente, masa de calor, etc. Aunque vulgarmente se puedan emplear, se ha de reconocer el inaceptable concepto implícito en estas expresiones.

El calor sólo es energía detectable en los límites del sistema, nunca en el propio sistema. Un hipotético observador situado en el interior de un sistema que contabilizara las unidades de energía que van entrando o saliendo del sistema, sería incapaz de distinguir si provienen de una transferencia de calor, de una transferencia de trabajo o

2.6 Entalpia

La entalpia H es una magnitud energética definida a partir de la expresión:

H = U + p V (21)

La entalpia es una propiedad cuya utilidad será puesta de relieve, fundamentalmente, en el estudio de los sistemas abiertos. La entalpia específica, es decir, referida a la unidad de masa del sistema por definición es:

h = u + p V (22)

(24)

2.7 Calores específicos a volumen y a presión

constantes

El calor específico a volumen constante, cv, se define como:

c

v

= �

∂u_∂T

� v

(23)

c

p

= �

∂h_∂T

� p

(24) Si consideramos u = u(T,v):

du = �

∂u_∂T

�

v

dt

+

�

∂u ∂v

�

_T

dv

(25)

y como que no hay trabajo (expansión libre y adiabática), ni transferencia de calor (proceso adiabático):

u2 - u1 = 0

o sea:

u2(T2, v2) = u1(T1,v1) ⇒ u = Cte

Es decir, la energía interna es la misma antes y después de la expansión libre adiabática. No obstante, es evidente que después de la expansión v2 ≠ v1, lo cual indica

que u no depende de v.

Por otra parte, existe constancia experimental (Gay-Lussac y Joule fueron los primeros en constatarlo) de que en las expansiones libres y adiabáticas de un gas ideal T2 = T1.

En gases no ideales (gases reales), se comprueba que existe una variación de temperatura que es tanto menor cuanto menor es la presión. En consecuencia, en el límite, para p = 0, es decir, para los gases ideales, la energía interna sólo depende de la temperatura: u = u(T). Esto implica que en un gas ideal el calor específico a volumen constante sólo depende de la temperatura. Resumiendo:

En los gases ideales ⇒ cv = cv (T) (26)

En los gases reales ⇒ cv = cv (T,v) (27)

Si se diferencia la expresión que define la entalpia: dh = du + d(pv)

1 8

y el calor específico a presión constante, cp:

La variación de energía interna experimentada por un gas ideal en un proceso de expansión libre adiabática ha de ser nula, puesto que:

𝑞𝑞12= u2− 𝑢𝑢1= � p dv 2 1

(25)

Trabajo, energía interna y calor

y consideramos un proceso elemental asociado a un gas ideal, el producto pv puede sustituirse por RT:

dh = du + d(R’ T)

Obsérvese que si la variación de la energía interna sólo depende de T y (R'T) sólo es función de T, en consecuencia, la variación de entalpia de un gas ideal sólo será función de T.

Dividiendo por dT y teniendo en cuenta que, para un gas ideal, cv y cp sólo dependen de

T, se cumplirá:

Cp(T) - Cv(T) = R' = Cte (28)

Esta relación se conoce como ecuación de Mayen

2.8 Transformación adiabática reversible de un

gas ideal

La ecuación (20) con magnitudes específicas y referida a un proceso elemental es:

δq = du + δw (29)

si el proceso es adiabático (δq = 0):

du + δw = 0 para una transformación reversible de un gas ideal:

cv dT + p dv = 0 (30)

y dado que pv = R' T:

cvdT +R′T_{v dv = 0}

o bien:

cvdT_{T + R′}dv_{v dv = 0}

Integrando ahora entre 1 y 2 para un proceso finito, se obtiene: cv lnT_T2 1+ R' ln v2 v1= 0 y de ahí se deduce:

�

T2 T1

�

cv

= �

v2 v1

�

−R´ 1 9

(26)

Teniendo en cuenta que R' = cp - cv y que cp/cv, = k, se obtiene: T2 T1 = � v2 v1� 1−k

Ejemplo n° 5

Determinar la variación de la energía interna y de la entalpia, específicas, que experimenta el aire al expandirse adiabáticamente y de manera reversible desde 400 kPa y 30 °C hasta 100 kPa. Considérese el aire como gas ideal con R' = 287,1 J/(kg K) y Cp = 1.004 J/(kg K).

El calor específico a volumen constante se obtiene de la ecuación de Mayer: cv = cp - R' = 1,004 - 0,2871 = 0,7169 kJ/(kg K)

El coeficiente adiabático:

k = cp/cv = 1,004/0,7169 = 1,40

De (34) se determina la temperatura final del proceso de expansión adiabática: T2 237,15 + 30 = � 100 400� 0,4/1,4 Así resulta T2 = 204,0 K, (t2 = -69,15 °C).

La variación de energía interna es:

∆u = Cv(T2 - T1) = 0,7169-(204,0 - 303,15) = -71,08 kJ/kg

y la de entalpia;

∆h = cp(T2 - T1) = 1,004-(204,0 - 303,15) = -99,55 kJ/kg

Cuando se considera un gas ideal con calores específicos constantes, se le conoce con el nombre de gas perfecto o gas ideal perfecto. De hecho en esta obra, el modelo de gas ideal no perfecto o semiperfecto se introduce en el apartado 4 del capítulo 12.

20

y puesto que p1v1/T1 = p2v2/T2:

P2V2k= P1V1k (32)

que de forma general se puede expresar como:

p vk_{= Cte} ₍₃₃₎

o bien, eliminando v entre (31) y (32); T2 T1= � p2 p1� (k−1)/k (31) (34)

(27)

Trabajo, energía interna y calor

2.9 Proceso politrópíco

Es de frecuente aplicación un tipo especial de proceso no isotérmico ni tampoco adiabático que suele comparase con uno ideal i reversible denominado politrópico. Un proceso politrópico es uno internamente reversible que cumple la relación:

pvn _{= Cte} ₍₃₅₎

o (relacionando dos estados):

p1v1n = p2v2n (36)

Donde n es una constante llamada índice politrópico. Para un gas ideal es fácil deducir que se cumplirá:

T2 T1 = � p2 p1� (n−1)/n T2v2n−1= T1v1n−1

trabajo que puede interpretarse como el área debajo de la curva que representa el proceso en un diagrama p-v.

Cuando la relación pvn = Cte se ha obtenido de un ajuste experimental de datos p y v, el

valor de la integral proporciona una estimación razonable del trabajo cuando la presión medida es sensiblemente igual a la que se ejerce en la cara interna. Si se trata de un proceso politrópico irreversible, esto no ocurrirá y, en consecuencia:

� pdv

2

1

=

_{1-n (p}

1

2

v

2

-p

1

v

1

) ≠ 𝑤𝑤

12 (37b)

Es decir, la integral no coincide con el trabajo ya que existen efectos de disipación de energía (trabajo de rozamiento).

En el proceso de compresión de los compresores alternativos aumenta la temperatura y (si el compresor no es adiabático) se rechaza calor al medio refrigerante. Este proceso de compresión suele asimilarse a uno politrópico en el que k > n > 1. Por tener aplicación inmediata en el estudio de los compresores alternativos (capítulo 11), este tema se desarrolla con mayor profundidad en el apartado 11.3.3.

En la figura 2.6 se han representado [1] diferentes curvas a partir de un estado 1 común situado en el origen de coordenadas de la ecuación (35) para distintos valores de n. El trabajo de expansión asociado a un proceso politrópico reversible, entre los estados 1 y 2 es:

(37)

(28)

Figura 2.6 - Efecto de la variación de n en la curva pvn_{= Cte}

Obsérvese que para valores comprendidos entre 1 y k las curvas politrópicas aparecen en un estrecho margen entre las isentrópicas y las isotermas.

2.10 Temas de ampliación

Cuando se analiza el comportamiento de un sistema termodinàmico puede hacerse desde un punto de vista microscópico o macroscópico. El primero debe tener en cuenta que el sistema está constituido por átomos o moléculas; las leyes de la física deben aplicarse a estos componentes esenciales. Dado que resultaría un número de ecuaciones extraordinariamente elevado se aplican consideraciones estadísticas y se aplica la teoría de las probabilidades. El resultado es la Termodinámica Estadística. El punto de vista macroscópico reduce drásticamente las leyes porque se consideran los efectos promediados del conjunto de todas las partículas que constituyen el sistema. El resultado es la Termodinámica Clásica. En esta obra, el punto de vista utilizado es el macroscópico. El lector interesado encontrará información en [2] y [3].

Bibliografía

[1] Wylen G. J., Sonntag R. E., Borgnakke C. Fundamentos de Termodinámica. Limusa. México, 1999.

[2] Reiss, H. Methodes of Thermodynamics. Blaisdell Publishing Co. Waltham, MA, 1989

[3] Sonntag, E. Van Wylen, G.J. Introduction to Thermodynamics, Classical and Statistical. John Wiley & Sons, New York, 1999.

(29)

Capítulo 3

Primer principio de

la termodinámica

3.1 Introducción

En capítulos anteriores, se han establecido las distintas clases de energías bien sea en forma de trabajo o de calor. Un aspecto fundamental de la energía es que no puede ser creada ni destruida. Cuando realizamos un balance de energía entorno de un sistema, siempre ocurre que la transferencia neta de energía coincide con la variación de energía experimentada por el sistema. Se denomina primer principio de la Termodinámica al principio de conservación de la energía. Éste adopta formas diversas según se aplique a sistemas cerrados, a volúmenes de control, a procesos estacionarios o transitorios, etc.

Curiosamente, el primer principio de la Termodinamica fue enunciado más tarde que el segundo. La evidencia y simplicidad del principio de conservación de la energía se veía perturbada por la incorrecta comprensión del calor. Hasta mediados del siglo XIX no se empezó a comprender bien el concepto de calor. Sólo a partir de entonces se pudo establecer con claridad el principio de conservación de la energía.

3.2 Primer principio aplicado a sistemas cerrados

Como se ha visto en el capítulo anterior, los sistemas cerrados poseen una propiedad termodinámica o variable de estado U, denominada energía interna termostatica, con las siguientes propiedades:

a) En los procesos adiabáticos, el cambio de U se debe al trabajo efectuado por el sistema (véase (18)):

u2 - u1 = w12, adiabático

Expresión que constituye la definición de U. b) En procesos no adiabáticos (véase (20)):

(30)

Expresión que constituye la definición del calor siendo, además, una primera formulación del primer principio de la termodinámica para sistemas cerrados en reposo y facilita una relación cuantitativa entre diversas formas de energía, calor, trabajo y energía interna termostàtica. Podría enunciarse como sigue: "El calor entregado al sistema menos el trabajo que éste efectúa, es igual al cambio que experimenta su energía interna". En cuanto al trabajo W12, recordaremos que está compuesto de trabajo de expansión y de

rozamiento:

W12 = Wexp. + Wroz. = Wexp.neto (38)

Consideremos ahora sistemas termodinámicos cerrados y en movimiento. Sea un cilindro provisto de émbolo que desliza por un plano inclinado en dos posiciones determinadas (1) y (2), entre las cuales ocurre un cierto proceso termodinàmico no adiabático (véase la figura 3.1). El gas contenido en el cilindro constituye un ejemplo de sistema cerrado en movimiento. El principio de conservación de la energía aplicado a este sistema continúa estableciendo que "el calor entregado al sistema menos el trabajo que éste efectúa es igual al cambio que experimenta su energía interna". No obstante, ahora el trabajo, además del trabajo de expansión y de rozamiento, incluye el trabajo efectuado por las fuerzas que elevan o aceleran el sistema, con lo cual varían sus energías potencial y cinética respectivamente. A este trabajo se le da el nombre de trabajo total:

Q12 - Wtotal = ∆E (39)

Donde Q12 es el calor transferido al sistema entre las posiciones (1) y (2) de la figura,

Wtotat el trabajo total y E la energía total del sistema, es decir, la interna termostàtica U,

cinética Ec, potencial Ep y otras formas de energía si las hubiere. En el caso considerado:

E = U + Ec + Ep Así pues:

(31)

Q12 - Wtotal = ∆U + ∆Ec + ∆Ep

y teniendo en cuenta (20), el trabajo total Wtotal se puede expresar en la forma:

Wtotal = Wexp.neto - ∆Ec - ∆Ep (40)

Si se sustituye Wtotal(39) resulta:

Q12 - Wexp neto ∆Ec + ∆Ep = ∆U + ∆Ec + ∆Ep

con lo que finalmente:

Q12 = ∆U + Wexp.neto (41)

O bien:

Q12 = ∆U + Wexp + Wroz

Tengamos presente que el trabajo de rozamiento, en un sistema cerrado, es el producido por las fuerzas tangenciales que surgen de los esfuerzos cortantes que actúan en los límites del sistema. Una característica fundamental de este trabajo es que tiene lugar sin cambios de volumen del sistema, ya que éstos requieren la acción de esfuerzos normales. El trabajo de rozamiento siempre es negativo, pues del sistema nunca puede obtenerse trabajo de rozamiento.

En consecuencia, una forma frecuente de expresar Wexp. neto

Wexp.neto = Wexp-|Wroz| (42)

Combinando (41) y (42):

Q12 = U2 - U1 + Wexp + Wroz (43)

V teniendo presente la definición de trabajo de expansión: Q12 = U2 - U1 + ∫ pdV − |W2 _roz|

1

(46) (44) y con magnitudes específicas:

Q12 = u2 - u1 + ∫ 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 − |𝑊𝑊2 _{𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟}|

1

Ésta sería una de las expresiones más útiles del primer principio de la Termodinámica aplicado a los sistemas cerrados. Si se trata de un proceso reversible, no puede haber trabajo de rozamiento y, en consecuencia:

q12, rev. = u₁− u₂+ ∫ p dv ₁2

(45)

(32)

Ejemplo n° 6

Un cilindro provisto de émbolo contiene nitrógeno en las condiciones siguientes, v1 = 0,15 m3, p1 = 100 kPa, t1 = 25 °C. El gas se comprime reversiblemente hasta una

presión de 350 kPa según un proceso politrópico definido por la ecuación pvn= Cte.

El índice de politropía n es 1,20. Considérese comportamiento de gas ideal perfecto con cp = 1,040 kJ/(kg K). La masa molecular del nitrógeno es 28 kg/kmol.

Determinar la variación de energía interna y la transferencia de calor durante el proceso de compresión (véase la figura 3.2).

Empezaremos calculando la constante R', cv y el coeficiente adiabático del gas:

R´ =

_{M =}

R

8,314

_{28 =0,297kJ/(kgK)}

y al final de la compresión: v2= v1�p_p1 2� 1/n = 0,8855 �100_350�1/1,2= 0,3117 m3_/kg

por lo que el trabajo específico de compresión es:

Figura 3.2 - Proceso de compresión del ejemplo n° 6

cv = cp - R' = 1,040 - 0,297 = 0,743 kJ/(kg K)

k = cp/cv = 1,040/0,743 = 1,40

El volumen específico del nitrógeno al inicio de la compresión es: v1=R′T_p 1

1 =

0,297 · 298,15

(33)

Primer principio de la termodinámica

w

12

= � pdv

2 1

=

_{1-n (p}

1

2

v

2

-p

1

v

1

)= -

_{0,2 (350·0,3117-100·0,8855= -102,7kJ/kg}

1

En cuanto a T2: T2=p2_{R' =}v2 350·10 3_·0,3117 297 = 367,3K(94,2ºC)

Por lo que la variación de energía interna es:

∆u = u2 - u1 = CV(T2 - T1) = 0,743(367,3 - 298,15) = 51,38 kJ/kg

Ahora, el primer principio de la termodinámica aplicado a un sistema cerrado permite calcular el calor que se transfiere en el proceso:

q12,rev. = U2 - U1 + W12 = 51,38 + (-102,7) = - 51,32 kJ/kg La masa de nitrógeno: m =V_v1 1= 0,15 0,8855 = 0,1694 kg Por lo que, finalmente, ∆U y Q valen:

∆U = m · Au = 0,1694 · 51,38 = 8,70 kJ Q = m · q = 0,1694 · (-51,32) = - 8,69 kJ

El signo menos que precede a los términos de calor indica que se trata de energía térmica disipada por el sistema a su entorno. En este ejemplo, se constata que, casualmente, el 50% del trabajo efectuado sobre el sistema se invierte en incrementar su energía interna, y que el 50% restante el sistema lo cede al medio exterior en forma de calor.

3.3 Primer principio en procesos cíclicos.

Sistemas cerrados

Consideremos un proceso cíclico constituido por las etapas 12, 23,..., (n-1)n, n1. Se puede aplicar (45) a cada etapa:

𝑞𝑞12= 𝑢𝑢2− 𝑢𝑢1+ ∫ pdV − �W₁2 roz,12�

𝑞𝑞23= 𝑢𝑢3− 𝑢𝑢2+ � pdV − �Wroz,23� 3

(34)

𝑞𝑞𝑛𝑛1= 𝑢𝑢1− 𝑢𝑢𝑛𝑛+ � p dV − �Wroz,1n� 1

n

Si sumamos todas estas ecuaciones, resulta:

qij= ∫_ciclop dV − ∑�Wroz,ij� (47)

Nótese que en los ciclos de sistemas cerrados reversibles: qij= ∫_ciclop dv

Si representamos gráficamente en un diagrama p-v un ciclo determinado, por ejemplo el constituido por las etapas 12, 23, 31 (véase la figura 3.3), la integral de ciclo es el área encerrada por el mismo y coincide con el trabajo útil sólo en caso de procesos reversibles.

Figura 3.3 - Proceso cíclico

a) b)

(35)

El sentido en el que se recorre un ciclo no es irrelevante. En la figura 3.4 se han representado dos ciclos, el (a) recorrido en sentido horario y el (b) recorrido en sentido antihorario. En el primer caso, el valor de la integral de ciclo será:

� p dv

ciclo = � p dv1a2 + � p dv2b1 = � p dv1a2 − � p dv1b2

Lo cual da un valor positivo, es decir, un ciclo recorrido en sentido horario permite obtener trabajo neto. Se llaman ciclos de potencia.

En el segundo caso: � p dv

ciclo = � p dv1b2 + � p dv1b2 = � p dv2a1 − � p dv1a2

Que da un valor negativo. Se trata de ciclos que absorben trabajo y ceden más calor que el que absorben y se pueden utilizar como ciclos de refrigeración.

Ejemplo n° 7

El gas de trabajo de un ciclo cerrado es aire. El ciclo (véase la figura 3.5) consta de las siguientes etapas, 12 compresión adiabática, 23 expansión isotérmica, 31 proceso isóbaro. Las condiciones iniciales son 100 kPa y 20 °C. La temperatura al final de la compresión adiabática es 150 °C. Considérese que todos los procesos son reversibles y que el aire se comporta como un gas ideal perfecto. Calcular las variables de estado en los estados iniciales de cada etapa así como la variación de energía interna, el trabajo y el calor en cada una de ellas. Las calores específicos del aire son, cp = 1.004 J/(kg K), cv = 716,9 J/(kg K).

Con los datos disponibles para el aire, calculamos, en primer lugar, R' y k: R' = cp - cv = 1,004 - 0,7169 = 0,2871 kJ/(kg K)

(36)

k = cp/cv = 1,004/0,7169 = 1,40

Para determinar el estado 2 del ciclo se calcula T2 mediante (34):

T2 T₁

= �

pp21

�

(k−1)/k ⇒

p

2

= p

1

�

T_T2₁

�

k/(k−1)

=

T2 T1

= 100 �

423,15 293,15

�

3,5 = 361,6 kPa Puesto que todos los estados son conocidos, ya que T3 = T2 y p3 = p1 procederemos a

calcular los cambios de la energía interna u:

∆u12 = u2 - u1 = cv(T2 - T1) = 0,7169 (423,15 - 293,15) = 93,20 kJ/kg

∆u23=u3-u2=cv(T3-T2)=0

∆u31 = u1 - u3 = cv(T1 - T3) = 0,7169 (293,15 - 423,15) = - 93,20 kJ/kg

Podemos constatar que ∆uciclo = 0.

Seguidamente se calcula el trabajo en cada una de las etapas del ciclo: q12 = 0 ⇒ w12=-∆u12 = - 93,20 kJ/kg

∆u23 = 0 ⇒ w23 = q23 y este trabajo se determina de (15):

w23=R´ T2lnv_v3 2=w23=R´T2ln p2 p3=0,2871·423,15 ln 361,3 100 =156,06KJ/kg w31= � 𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑣𝑣 1 3 = 𝑝𝑝3(𝑣𝑣1− 𝑣𝑣3) = 0,2871(293,15 − 423,15) = −37,32𝑘𝑘𝑘𝑘/𝑘𝑘𝑘𝑘

Así, el trabajo total del ciclo es:

Wciclo = Σ Wij = 25,54 kJ/kg

En cuanto al calor transferido en cada etapa del ciclo, como ya se ha visto: q12 = 0 y q23 = W23 = 156,06 kJ/kg y en cuanto a q31:

q31 = ∆u31 + w31 = - 93,20 - 37,32 = -130,52 kJ/kg

Por lo que:

qciclo = Σ qij = 25,54 kJ/kg

el calor neto absorbido por el aire coincide con el trabajo efectuado por el sistema tal como prevé la ecuación (47) para los ciclos reversibles.

(37)

Primer princìpio de la termodinámica

3.4 Primer principio para sistemas abiertos

3.4.1 Introducción

En este apartado aplicaremos el primer principio a un volumen de control de un sistema abierto y en condiciones estacionarias. Para una visión más completa del problema, véase el teorema del transporte de Reynolds [1] que generaliza la relación entre la derivada temporal de una propiedad referida a una masa de control (MC) con la derivada temporal de la misma propiedad referida a su volumen de control (VC) asociado.

En un sistema abierto, conviene tener en cuenta una clase especial de trabajo denominada trabajo de flujo, wflujo. El trabajo de flujo es el trabajo de expansión que

realiza la materia que entra y sale del VC al desplazar la existente en su interior. A la entrada, una masa de fluido Δm desplaza el volumen ∆V1 = v1 ∆m, siendo v1 el volumen

específico del fluido en la sección de entrada del VC. Análogamente, a la salida, ∆v2 = v2

∆m. El trabajo neto vendrá dado por la expresión:

Wflujo neto = p2 v2 ∆m - p1 v1 ∆m (48)

El signo menos, en el caso de la entrada, se debe a que se trata de un trabajo que se efectúa sobre el sistema. En cambio, a la salida, el trabajo es efectuado por el sistema.

3.4.2 Principio de conservación de la energía en un sistema abierto

Consideremos el sistema mostrado en la figura 3.6. En el instante t, la MC del sistema ocupa la posición 12. Como consecuencia de su desplazamiento por el VC, en el instante t = t + ∆t ocupa la posición 1'2'. Si se aplica el primer principio a la MC, ecuación (39), al proceso constituido entre a (posición 12) y b (posición 1'2'):

Qab = Eb- Ea + Wtotal (49)

siendo el trabajo interno aportado al fluido por alguna máquina situada en el VC más el trabajo de flujo neto de la masas contenidas en 11' y 22', es decir:

Wtotal = Wmaq + (p v ∆m)22' - (p v ∆m)11´ (50)

(38)

Siendo Wmáq el trabajo desarrollado por la máquina, es la energía interna termostàtica,

cinética y potencial de la MC en el instante t' (región de fluido 1'2') y es la energía interna termostàtica, cinética y potencial de la MC en el instante t (región 12).

Eb = E(1'2)t + E(22')t' Ea = E(11')t + E(1'2)t

Obsérvese que al restar ambas expresiones, E(1'2)t' = E(1'2)t por ser el régimen de flujo

estacionario y, en consecuencia, resulta:

Eb - Ea = E(22')t' - E(11')t

Además, al considerar régimen estacionario, la masa contenida en 11' es igual que la contenida en 22'. Si ∆t es suficientemente pequeño, las fronteras 1 y 1' se confunden. Igual ocurre con las fronteras 2 y 2'. En consecuencia, se podrá escribir, dividiendo todos los términos por ∆m:

q12 =(u2 +c2 2

2+ z2g) - (u1 + c12

2+ 𝑧𝑧1g) + p2v2 - p1v1+wmaq (51) o bien, introduciendo la entalpia:

q12 = h2 - h1+c2 2_{- c}

12

2 + g(z2 - z1)+wmaq (52)

Se obtiene la llamada ecuación de la energía. Ecuación que expresa la formulación del primer principio de la Termodinámica para un sistema abierto, en régimen estacionario, constituido por un volumen de control que posee una entrada (1) y una salida (2) y, también, con máquina intercalada. En la misma, es el trabajo específico interno de máquina, es decir, el que se intercambia internamente en la máquina entre el fluido y un émbolo o pistón, o bien entre el fluido y los álabes o paletas del rodete de la máquina. Conviene no confundir este trabajo con el trabajo calculado para el eje de la máquina.

El trabajo interno wmaq según (50) puede expresarse como:

wmáq = wtotal - (p2 v2 - p1v1) (53)

y el trabajo total, según (40) y (42) también es:

2 wtotal = � p dv - |wroz|-c2 2_{- c} 12 2 - g(z2 - z1) (54) 1 Combinando (52), (53) y (54) resulta: 1 2 𝑞𝑞12+ |Wroz| = 𝑢𝑢2− 𝑢𝑢1+ � p dV (55)

(39)

es decir, la ecuación generalizada de Bernoulli, también conocida como ecuación de la energía de la mecánica de fluidos.

Ejemplo n° 8

Un gas circula sin rozamiento, con una presión de 140 kPa, por un conducto horizontal de 0,0064 m2 de sección. El caudal másico de gas es 0,245 kg/s. El gas

entra a 145 °C y sale a 45 °C. La constante específica del gas es, R' = 300 J/(kg K) y el calor específico a presión constante, cp = 925,7 J/(kg K). Calcúlese la velocidad del

gas a la salida y el calor cedido al medio. T1 = 145 + 273,15 = 418,15 K

T2 = 45 + 273,15 = 318,15 K

Empezaremos calculando la densidad del gas a la salida (ver figura 3.7); ρ2=_R'Tρ2

2=

140·103

300·318,15 =1,467 kg/m3

y por aplicación de la ecuación de continuidad, 𝑚𝑚̇ = Acρ, determinaremos la velocidad:

𝑐𝑐2=_{𝐴𝐴𝜌𝜌}𝑚𝑚̇ 2=

0,245

0,0064 · 1,467 = 26,09 𝑚𝑚/𝑠𝑠

También necesitamos la velocidad a la entrada; empezamos calculando la densidad: ρ2=_R′Tρ2 1= 140 · 103 300 · 418,15 = 1,116 kg/m3 33

(57) (56) Si ahora se elimina q12 entre (52) y (56) resulta;

wmaq = - � v dp -c2 2_{- c} 12 2 2 1 - g(z2 - z1)- �wroz,12� � p dV2 1 = p2v2 - p1v1 − � v dp 2 1

también se obtiene la ecuación:

𝑞𝑞12+ |Wroz| = h2− h1− � v dp 2 1

(40)

Figura 3.7 - Ejemplo n° 8

c1=_Aρṁ 1=

0,245

0,0064 · 1,116 = 34,30 m/s Ahora aplicaremos la ecuación (52):

q=h2- h1+c2 2_{- c} 12 2 =cp(T2 - T1)+ c22 - c12 2 = 925,7(45-145) + 26,092_-34,32 2 =-92,818 J/kg

El signo menos indica que se trata de calor cedido al medio. La tasa de calor cedido: �Q̇�=|q|ṁ = 92818 · 0,245 = 22270 W

3.5 Primer principio en procesos cíclicos.

Sistemas abiertos

Los ciclos de Brayton y de Rankine, que se aplican a turbinas de gas y a centrales de vapor, respectivamente, son ejemplos de procesos cíclicos de etapas abiertas.

Consideremos un proceso cíclico constituido por las etapas 12, 23,..., (n-1)n, n1. Se puede aplicar la ecuación de la energía (52) a cada etapa:

𝑞𝑞12 = h2 - h1 + c2 2_{- c} 1 2 2 + g(z2 - z1) + wmaq,12 q23 = h3 - h2 + c3 2_{- c} 22 2 + g(z3 - z2) + wmaq,23 ... 34

(41)

________________________________ Primer principio de la termodinámica

qn1 = h1 - hn + c1 2_{- c}

n2

2 + g(z1 - zn) + wmaq,1n Si sumamos estas ecuaciones miembro a miembro, se obtiene:

Σqij = Σwmaq,ij (58)

Si se aplica la ecuación (57) a cada etapa: 𝑤𝑤𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚,12= − � 𝑣𝑣 𝑝𝑝𝑝𝑝 −c2 2_{- c} 1 2 2 + g(z2 - z1) + �𝑤𝑤𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟,12� 2 1 𝑤𝑤𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚,23= − � 𝑣𝑣 𝑝𝑝𝑝𝑝 −c3 2_{- c} 2 2 2 + g(z3 - z2) + �𝑤𝑤𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟,23� 3 1 𝑤𝑤𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚,1𝑛𝑛= − � 𝑣𝑣 𝑝𝑝𝑝𝑝 −c1 2_{- c} n 2 2 + g(z1 - zn) + �𝑤𝑤𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟,1𝑛𝑛� 𝑛𝑛 1 …..…………..

sumando estas ecuaciones miembro a miembro se obtiene: � v dp =

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑟𝑟 − ∑𝑤𝑤𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚− ∑�wroz,ciclo�

Obsérvese que para procesos reversibles, es decir, ideales: � v dp =

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑟𝑟 − ∑𝑤𝑤𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚

(59)

3.6 Temas de ampliación

Uno de los objetivos que los autores se han planteado con esta obra es que sea asequible a alumnos que cursen asignaturas relacionadas con la Termodinámica a partir ya de primer curso. Por tanto, era imprescindible dotarla de un cierto nivel de "baja intensidad matemática" sin que, por ello, los temas perdieran rigurosidad. Las ecuaciones básicas de la Termodinámica aplicadas a volúmenes de control en régimen no estacionario requieren el uso de integrales de superficie y de volumen. Su prematura introducción, podría inducir al desaliento en alumnos que carezcan de la debida preparación. En [1], aunque se trata de un texto de mecánica de fluidos, están muy bien explicadas estas ecuaciones. También en [2].

Otros temas que se han obviado en este capítulo, son los que analizan los efectos de los campos eléctricos y magnéticos en los sistemas que presentan interacciones de esta clase. En [3] se presentan, de manera sencilla y asequible, distintas formas de trabajo, además del mecánico.