Sistemas de Ayuda a la Decisión

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Sistemas de Ayuda a la Decisión

El Proceso de Decisión Luis Daniel Hernández Molinero

Dpto. Ingeniería de al Información y las Comunicaciones Facultad de Informática

Universidad de Murcia correo-e: [email protected]

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1 Sistemas de Preferencias 2 Escalas de Medida

Sistemas de Representación Tipos de Escalas

3 Cómo Valorar las Alternativas 4 Teoría de la Utilidad

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Contenidos

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Introducción

Idea Intuitiva

Un orden de preferencia entre las distintas alternativas y/o consecuencias reeja cuáles son más preferidas sobre otras.

¾qué es exactamente un orden de preferencias? ¾cuántos tipos existen?.

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Relaciones binarias

Denición

Denicion

Una relación binaria R sobre un conjunto de objetos O es un subconjunto todas las parejas ordenadas posibles de los elementos de O. Notación: (a, b) ∈ R o bien aRb

Otras relaciones a partir de R

Relación Complementaria Rc _{Relación Simétrica ¯R Relación Dual R}d

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Relaciones binarias I

Propiedades

Reexiva. Todo elemento de O está relacionado consigo mismo. oRo, ∀o ∈ O

El símbolo ∀ léalo como para cualquier elemento, y el símbolo ∈ como perteneciente a. ∀o ∈ O se leería para cualquier elemento o

perteneciente a O.

Irreexiva. Ningún elemento de O está relacionado consigo mismo.

¬(oRo), ∀o ∈ O

Simétrica. Para cualquier pareja (dos elementos relacionados) que se encuentra en R también podemos encontrar la pareja

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Relaciones binarias II

Propiedades

Asimétrica. Para cualquier pareja (dos elementos relacionados) que se encuentra en R no se encuentra la pareja simétrica.

Si aRb, entonces ¬(bRa), ∀a, b ∈ O

Antisimétrica. Si una pareja y su simétrica se encuentran en la relación R es porque los elementos de la pareja son los mismos.

Si aRb, bRa, entonces a = b ∀a, b ∈ O

Transitiva. Si a está relacionado con b y b está relacionado con c, entonces se verica que a está relacionado con c.

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Relaciones binarias III

Propiedades

Negativamente Transitiva. Si a no está relacionado con b y b no está relacionado con c, entonces se verica que a no está relacionado con c.

Si ¬(aRb) y ¬(bRc), entonces ¬(aRc) ∀a, b, c ∈ O

Completitud. Si cualquier dos elementos de O están relacionados en R.

∀a, b ∈ O O bien se cumple aRb, o bien se cumple bRa, o ambas

La propiedad de completitud también se denomina la propiedad de comparabilidad o conexión, que, de cumplirse para una relación R, se dice que la relación R está conectada o que los elementos son

comparables.

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Relaciones binarias I

Tipos

Una relación asimétrica R dene los siguientes órdenes:

1 Orden débil estricto si además es negativamente transitiva. 2 Orden estricto si además es transitiva.

3 Orden lineal estricto si es un orden estricto conexo.

Una relación transitiva R se llama

1 Orden si sólo cumple la propiedad transitiva. 2 Orden Parcial estricto si es un orden irreexivo.

3 Orden Fuerte estricto es un un orden parcial estricto completo. En

ocasiones se llama simplemente orden fuerte.

4 Cuasi-orden (o preorden) si es un orden reexivo. 5 Orden parcial reexivo si es un preorden antisimétrico. 6 Relación de equivalencia si es un preorden antisimétrico. 7 Débil si es un orden completo.

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Relaciones binarias II

Tipos

8 Orden débil reexivo si es un orden débil vericando reexividad. 9 Orden total si es un orden débil completo.

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Sistemas de Preferencias I

.

Denicion

Un sistema de preferencias entre objetos es una relación binaria que establece entre dos objetos cuál de ellos es más deseable (o preferido). Cada expresión verbal de preferencia se representa con un símbolo:

más preferido al menos tan preferido Indiferente

menos preferido ≺ tan preferido ∼

Por ejemplo, la relación se lee como:

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Relaciones de preferencias

Caulidades vs Cantidades

Sistema de preferencia cualitativo

Aquellos sistemas de preferencias que ordenan los objetivos, alternativas o resultados según el grado de deseabilidad subjetivo del decisor sin recurrir a valores numéricos.

Sistema de preferencia cualitativo

Aquellos sistemas de preferencias que ordenan los objetivos, alternativas o resultados según el grado de deseabilidad subjetivo del decisor recurriendo a valores numéricos.

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Obtención de Relaciones Conexas I

1 Partir de la relación ≺ para la que resulta difícil comprobar la

propiedad de conexión.

2 Comprobar que la relación de indiferencia, ∼, derivada de ≺, es una

relación de equivalencia (verica las propiedades reexiva, simétrica y transitiva).

Nota: En los capítulos sucesivos se establece con más detenimiento cómo se obtiene la relación ∼ a partir de ≺.

3 Agrupar aquellos objetos que son indiferentes entre sí. Cada uno de

esos grupos recibe el nombre de clase de equivalencia.

Matemáticamente lo que se hace es construir el conjunto cociente O∗ ₌_{O/ ∼ de clases de equivalencia respecto de ∼.}

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Obtención de Relaciones Conexas II

4 Elegir un elemento de cada clase y construir un nueva relación de

preferencia ≺∗ _{con los elementos seleccionados.}

Matemáticamente lo que se hace es denir una relación de preferencia sobre los representantes de cada clase. Es decir, se dene la relación (O∗, ≺∗) como:

a∗_≺∗ _b∗_⇔_{a ≺ b} _{para algun a ∈ a}∗ _{y b ∈ b}∗

5 Trabajar con la relación ≺∗ más que con la relación ≺ para comprobar

la completitud.

En esta nueva relación es presumible suponer que es transitiva (pero no hay garantías de que lo sea).

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Contenidos

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Pasar de lo cualitativo a lo cuantitativo I

Un conjunto relacional empírico. Conjunto de objetos empíricos, A = {a1,a2,a3, . . .},con relaciones entre ellos, R1,R2,R3, . . ..

A = (A; R₁,R₂,R₃, . . .)

Un conjunto relacional numérico. CSímbolos numéricos, N = {n1,n₂,n₃, . . .}, con conjunto de relaciones y operaciones, S1,S₂,S₃, . . ..

N = (N; S₁,S₂,S₃, . . .)

Una escala de medida. Función f : ARightarrowN, que asigna f (aj) =nj, y preservar relaciones

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Pasar de lo cualitativo a lo cuantitativo II

Denición (Ríos, et al)

Si existe una escala de medida, f , entre un conjunto relacional empírico, A, y un conjunto relacional numérico, N , entonces a la terna (A, N, f ) se le llama una representación del sistema (empírico) A en el sistema (numérico) N mediante la escala f .

Problema de la representación

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Pasar de lo cualitativo a lo cuantitativo III

Problema de la unicidad

Dadas las representaciones (A, N, f ) y (A, N, g) buscar una transformación

φque cumpla

φ :f (A)RightarrowN tal que g = φ ◦ f

Esto motiva el decir que f es la escala o que dene la representación de A en N: f es regular.

Teorema

Una escala f de una representación (A, N, f ) es regular sii para cualquier otra representación (A, N, g) y para cada par de objetos a1,a2 ∈A,

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Tipos de Escalas

Relación que preservan Tipo de Escala Transformación Admisible

Identidad Nominal Identidad φ(x) = x

Orden Ordinal Monótona x < y ⇔ φ(x) < φ(y)

Distancia Intervalar Lineal φ(x) = αx + β

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Escala Nominal

La que satisface los axiomas de identidad:

Prop. Reexiva. Cualquier elemento a de A debe coincidir con si mismo (aCa).

Prop. Simétrica. Si a coincide con b, entonces b coincide con a (aCb => bCa).

Prop. Transitiva. Si aCb e bCc, entonces aCc

Prop. de Relación. ∀a, b ∈ A o bien a coincide con b o bien a no coincide con b.

Transformación admisible

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Escala Ordinal

Además de la relación de coincidencia C (cuyo propósito es distinguir), impondremos en A una relación de precedencia P (cuyo propósito es ordenar). La combinación de las relaciones C y P dena una nueva relación binaria. ∀a₁,a₂ ∈A, a₁Ra₂ ⇔    a1 coincide con a2 (a1Ca2) o bien a1 precede a a2 (a₁Pa₂) Ejemplos: <,>, ≤ y ≥. Transformaciones admisibles: x > y ⇔ φ(x) > φ(y)

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Escala Ordinal

Obtención

La escala es aconsejable para un conjunto de objetos A, que verican las siguiente características:

1 Los objetos de A se pueden dividir en clases.

2 Los objetos de la misma clase se consideran equivalentes respecto del

atributo considerado.

3 Los objetos de distinta clase se pueden comparar y su comparación nos

lleva a una relación de orden (entre clases).

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Escala Ordinal

Tipos

Una escala está débilmente ordenada (o es de orden débil) cuando la ordenación R es un orden débil (reexiva, transitiva y conectada). Una escala está fuertemente ordenada (o es de orden estricto) cuando la ordenación P es estrictamente ordenada (transitiva y conectada). Intuitivamente: para un orden dado, se obtiene una escala débil cuando se puede producir coincidencia entre los elementos, mientras que en la fuerte dos elementos distintos no pueden tener el mismo valor (los empates no están permitidos).

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Escalas Intervalares

Cuando además de las ordenaciones entre los objetos se quiere que se preserve las diferencias que existen entre ellos. Es decir, f verica

aRb ⇔ f (a) ≤ f (b) y (a ◦ b)R0₍_{c ◦ d) ⇔ f (a) − f (b) ≤ f (c) − f (d)}

donde R es un orden débil entre los elementos de A y R0 _{es un orden débil}

entre las diferencias de los elementos de A. Ejemplo típico es la temperaturaen o_{C y} o_{F .}

Transformaciones admisibles son:

φ(x) = αx + β α 6= 0

y verican la propiedad de que conservan el cociente de diferencias, es decir:

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Escalas de Razón

Son escalas intervalares con un origen natural. Son las más restrictivas pero las más potentes.

Este tipo de escalas procede de la física aplicada: peso, masas, intervalos de tiempo, altura, etc...

Transformaciones admisibles: φ(x) = αx α > 0 y verican: φ(f (a₁)) φ(f (a₂)) = f (a1) f (a2)

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Contenidos

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Situación de trabajo I

Un conjunto de alternativas, X .

Un conjunto de objetivos a cumplir con atributos {A1,A2, . . . ,An}que

toman valores reales.

Seleccionar una alternativa x de X produce un impacto en cada atributo que puede representarse matemáticamente mediante una función fi:

fi : X −→ Ai ⊆ R

x → f_i(x) = f_i

donde fi es un valor que reeja el grado con que se alcanza el

correspondiente objetivo del atributo Ai.

El vector numérico f (x) = (f1,f2, . . . ,fn) ∈ Rn reeja el impacto de la

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Situación de trabajo II

Matemáticamente, f (x) viene dada por una función vectorial:

f : X −→ F = A1×A2× . . .An⊆ Rn

x → f (x) = (f₁(x), f₂(x), . . . , f_n(x)) que reeje las preferencias del decisor en el sentido de que armar f (x) f (x0₎_{sea equivalente a decir que x x}0_.

Con incertidumbre, deberá de pensar en las consecuencias:

Para cada alternativa x y un estado de la naturaleza θ tendrá una consecuencia, c(x, θ), que producirá un efecto en cada atributo Ai.

impacto puede representarse mediante una función fi, pero ahora

denida como:

fi : X × Θ −→ Ai ⊆ R

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Valoración de alternativas I

Información Nula. Incapaz de comparar dos alternativas. max

x∈X f (x)

La mejor decisión, x∗_{, será aquella que verica f}

i(x∗) ≥f_i(x) para cualquier atributo i = 1, 2, . . . , n.

Información Completa. Capaz de comparar dos alternativas. Puede

construir una función de valoración v : Rn_{→ R}_{que verique:}

f (x) f (x0_{) ⇔}_{v(f (x)) > v(f (x}0₎₎

La mejor alternativa es equivalente a resolver: max

x∈Xv(f (x)) = maxf ∈F v(f )

La mejor decisión, x∗_{, verica}

x∗ ₌_{arg max}

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Valoración de alternativas II

Información Parcial. Discernir preferencias sobre las alternativas considerando sólo algunos atributos. Podrá construir una función de valoración w : F ⊂ Rn_{→ R}m _{con m < n que}

verica:

f (x) f (x0

) ⇔w(f (x)) > w(f (x0)) y la mejor alternativa vendrá resolviendo el problema:

max

f ∈F w(f )

La mejor decisión, x∗_{, la que verica w}

i(f (x∗)) ≥w_i(f (x)) para cada componente i = 1, 2, . . . , m.

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Contenidos

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Teoría de la Utilidad

Tiene como objetivo encontrar funciones que valoren las alternativas reejando las preferencias del decisor.

Encontrar una función

v : F −→ _R

f (x) → v(f (x)) que reeje las preferencias

f (x) f (x0

) ⇔ v(f (x)) ≤ v(f (x0))

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Funciones Descomponibles

Función Descomponible

Se dice que una función de preferencias v : F = A1× . . . ×An→ R es

descomponible o separable si existen n-funciones vi :Ai → Ry una función

V : v1(A1) × . . . ×v_n(A_n) −→ Rvericando v(f ) = v(f1, . . . ,fn) =V [v1(f1), . . . ,vn(fn)] Decisiones Valoracionde objetivos Valoracion conjunta X −→f A₁× . . . ×A_n −→v R x → f (x) = (f₁, . . . ,f_n) → v(x) ≡ v(f (x)) ↓ || (v₁(f₁), . . . ,v_n(f_n)) 7−→V F (v₁, . . . ,v_n)

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Tipos de Funciones Descomponibles I

Descomposición aditiva. v(f (x)) = v1(f1) +v2(f2) + · · · +vn(fn) o más formalmente, v(f ) = Xn i=1 λ_iv_i(f_i)

donde para cada atributo i, vi es su correspondiente función valor,

λ_i >0 es una constante que reeja el peso o la fuerza del atributo en la función de preferencias v y además se verica que Pn_i=1λ_i =1.

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Tipos de Funciones Descomponibles II

Descomposición cuasiaditiva (o aditivo-multiplicativa). La función v se descompone como: v(f ) = Xn i=1 λ_iv_i(f_i) + n X i=1 n X j>i λ_i,jv_i(f_i)v_j(f_j) + + n X i=1 n X j>i n X k>j λ_i,j,kv_i(f_i)v_j(f_j)v_k(f_k) + · · · +λ_1,2,...,nv₁(f₂)v₂(f₂) . . .v_n(f_n)

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Tipos de Funciones Descomponibles III

Descomposición multiplicativa, que responde a la expresión:

v(f ) = Xn i=1 λ_iv_i(f_i) + µ n X i=1 n X j>i λ_iλ_jv_i(f_i)v_j(f_j) + +µ2 n X i=1 n X j>i n X k>j λ_iλ_jλ_kv_i(f_i)v_j(f_j)v_k(f_k) + · · · +µn−1λ₁λ₂· · · λ_nv₁(f₂)v₂(f₂) . . .v_n(f_n) Cuyos parámetros λi y µ verican:

1 + µ = (1 + µλ1)(1 + µλ₂) · · · (1 + µλ_n) y

n

X λ_i 6=1

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Contenidos

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Para más lecturas

Se han tomado como referencias principales:

Sixto Rios Insua, Concepción Bielza Lozoya, Alfonso Mateos Caballero.

Fundamentos de los Sistemas de Ayuda a la Decisión.

Ra-Ma, 2002

Orfelio G. León

Tomar Decisiones Difíciles.

Mc Graw Hill, 2000.

Vira Chankong, Yacov Y. Haimes

Multiobjetive Decision Making: Theory and Methodology. Vol 8..