ÍNDICE Previo Tema 1
1.1. Introducción a los modelos de matemática actuarial; valoración financiera y actuarial. 1.1 cálculo en diferencias y cálculo diferencial
1.2 tanto de interés de capitalización y de descuento 1.3 estadística actuarial vida
1.4 funciones de valoración basadas en la esperanza matemática Rentas:
1.2. Análisis estocástico de las operaciones sobre una vida y rentas de supervivencia discretas. 2.1 rentas de pago anual y sin variación. (Simplemente rentas de supervivencia) 2.2 rentas de pago intranual y sin variación.
2.3 rentas de pago anual y con variación anual
2.4 rentas de pago intranual y con variación intranual. Fraccionarias y fraccionadas. 2.5 Diferencia entre rentas prepagables y pospagables.
Seguros:
1.3. Valoración financiera y actuarial de seguros. 3.1 seguros continuos y sus aproximaciones. 1.4. Relación entre rentas y seguros.
4.1 El valor de las primas Tema 2
2.1 Las provisiones matemáticas. 2.2 Gastos
Tema 3
PREVIO Como introducción
a) se define cómo se pueden medir las variaciones de una variable, en campo continuo, discreto o general. b) y cómo se puede calcular esta variación dentro de un intervalo temporal.
c) se define qué es la valoración financiera, en base al equilibrio financiero de que las prestaciones en origen tienen que tener el mismo valor que las contraprestaciones futuras.
d) se incorpora la estadística actuarial vida; probabilidades de supervivencia y fallecimiento. El objetivo inicial es encontrar el valor en origen de una renta o de un seguro.
a) La renta, entendida como una serie de pagos a realizar durante un intervalo temporal, está condicionada a que el individuo esté vivo en cada uno de los periodos de pago. Su valor en origen supone un cálculo de valoración financiera, y al mismo tiempo actuarial: hay que valorar en origen la suma de cada pago futuro junto con la probabilidad de estar vivo en cada uno de esos momentos.
b) El seguro se entiende como un pago a realizar por la muerte del individuo. Se tiene que dar el fallecimiento para realizar el pago, con lo que el valor en origen también es un cálculo de valoración
financiera, y al mismo tiempo actuarial: hay que valorar en origen el capital a pagar en cada año junto con la probabilidad de fallecer en cada uno de esos momentos.
a) rentas:
A veces se simplifica valorando 1 euro, pero es más realista proponer importes no unitarios. Por ejemplo rentas de 5.000 euros anuales, o un seguro de fallecimiento de 5000 euros,… Y aún es mucho más realista suponer que
a) la renta se paga en mensualidades o cualquier otra fracción de año
b) el seguro se paga también al final de una fracción de año (p.ej. al final del mes de fallecimiento). Más aún: las cuantías a pagar pueden variar con el tiempo, normalmente crecer. Y así se crean las variaciones anuales o en fracciones de año, de las cuantías. Así, la cuantía puede ser
a) constante en el tiempo
b) creciente de una forma constante; variación lineal o aritmética c) creciente de una forma exponencial; variación geométrica. Finalmente las rentas se podrán clasificar en
a) fraccionadas: cuando la frecuencia de pago y la variación de la cuantía no coinciden; dentro de cada variación hay k-ésimos pagos.
b) fraccionarias: cuando frecuencia y variación sí coinciden; por cada variación sólo hay un pago. Las rentas se diferencian en prepagables o pospagables, según si el pago se hace efectivo de forma
anticipada al inicio del periodo o si es vencida; efectiva al final del periodo. Se podrá calcular la diferencia de valoración que haya entre ambas.
También se podrá hacer una aproximación del valor de las rentas fraccionadas a partir del valor de las rentas anuales. La aproximación se hace desde los capitales diferidos, o bien desde las
probabilidades de supervivencia. b) seguros
Funcionan de una forma muy parecida a las rentas; pueden variar, pagarse en fracciones de año, ser continuos en el tiempo, etc. Pero lo mejor es resaltar las diferencias:
a) los seguros son un capital diferido que se va valorando en el tiempo hasta que se produce la muerte del asegurado: no se trata de la suma de una serie de pagos.
b) los seguros son pospagables porque siempre suceden después de la muerte del asegurado. Los seguros continuos, aquellos que se pagan inmediatamente en el instante del fallecimiento, se pueden aproximar a partir de los seguros discretos.
Para contratar una renta o un seguro el asegurado deberá pagar una o varias primas. Las primas son en realidad el valor actual actuarial de las prestaciones en el momento de contratarlas. Podrá tratarse de una prima única, o repartirla en una serie de pagos, pero siempre manteniendo el equilibrio de que el valor de la prima (se pague como se pague) deberá ser igual al valor de la renta o el seguro.
Bajo esta condición de equilibrio, se pueden sumar otros componentes a parte de una simple renta o seguro. Por ejemplo, se puede añadir un contraseguro de primas que durante un plazo cubra la muerte del
asegurado y devuelva las primas que se hayan pagado. O también añadir un capital diferido, habitualmente el valor de las primas aportadas, que se pagará en un momento futuro si se llega vivo.
La provisión matemática.
La provisión matemática es aquel importe que la compañía de seguros debe tener en su haber en un momento determinado del tiempo para poder hacer frente a las prestaciones a las que se ha obligado. A partir de esta expresión, se definen las circunstancias que condicionan su cálculo:
¿estamos en el instante anterior a cobrar la prima o se acaba de pagar? ¿o ya se ha terminado el periodo de pago de primas? A pesar de que haya múltiples variaciones, es relativamente sencillo: a partir de la ecuación de equilibrio anterior, donde el valor de las primas es igual al valor de las prestaciones contratadas, la
provisión matemática se entiende como el valor en un momento dado de las prestaciones contratadas menos el valor en ese mismo momento de las primas pendientes de recibir, esto es: la provisión matemática
TEMA 1. INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA ACTUARIAL VIDA
1.1 La matemática actuarial vida; proceso estocástico de valoración financiera y actuarial 1. Evolución en el tiempo de una función: cálculo en diferencias y cálculo diferencial
Primero hay que definir cómo se pueden medir las variaciones de una variable: 1.
En el campo discreto el operador ∆ busca la diferencia entre un valor inicial y su siguiente. Se define al “siguiente” como θ , de esta forma;
Por ejemplo tengo el valor inicial como la probabilidad anual de fallecer con 30 años. ¿En cuánto se incrementa la probabilidad de fallecer si nos vamos “al siguiente” = ?
El incremento de la probabilidad será = Propiedades:
a) Si se trata de una función constante, no hay diferencia entre un valor inicial y su siguiente:
b) Si es una función polinomio de grado n, entonces su incremento será un polinomio de grado n-1, se puede generalizar como:
Como ejemplo de lo anterior: si la función es una recta, el incremento será constante
c) El incremento del producto, y si se reordena,
Que esto último es moverse escalonadamente en un gráfico de dos dimensiones: de la posición inicial Y/Z, mantienes constante Z y saltas al siguiente Y, y luego desde esta posición saltas al siguiente de Z. d) el incremento de un cociente,
y desarrollando,
2.
En el campo continuo, el operador d busca el valor siguiente a por cada unidad infinitesimal de aumento. De esta forma, el incremento infinitesimal o diferencial será , y será igual al valor de la derivada por la unidad de incremento … ,base x altura-.
Como ejemplo; el incremento infinitesimal de la probabilidad de fallecer a los 30 años. Propiedades:
b) si la función es un polinomio de grado n, el diferencial será un polinomio de grado n-1
c) el diferencial de una suma es = la suma de diferenciales d) el diferencial de un producto;
e) el diferencial de un cociente;
3.
El operador general δ es una simplificación del operador diferencia ∆ y diferencial d. Sólo dependerá de si el incremento es discreto o continuo que δ se transformará en ∆ ó d.
Las propiedades que tiene serán, a)
b) c) d)
e) y por último el cociente;
Una vez definido cómo varía una variable, hay que definir cómo podemos calcular esta variación en un intervalo.
1.
En el caso continuo se tiene el operador integral,
Para el intervalo (a,b), se puede aplicar Barrow, de tal manera que se tiene una integral definida,
Y si la integral no es inmediata, se puede intentar aplicar la integración por partes,
2.
En el caso discreto se utiliza el operador suma,
La última posición corresponde al rectángulo con base de y altura . Es decir, que en el caso de la suma se llega hasta la penúltima posición (ojo con despistarse!).
También existe la suma por partes,
3.
Se define también el método de las partes con el operador general δ,
2. La valoración financiera, el tanto de interés de capitalización y de descuento.
Se trata de la primera base técnica. Nuestro objetivo será encontrar el equilibrio: el valor actual de un capital futuro que se iguala al valor de un capital en un momento inicial. Para simplificarlo trabajaremos con un interés compuesto constante.
, es el interés efectivo anual: un índice que mide la rentabilidad de una unidad monetaria durante un año. , es el descuento efectivo anual: mide el descuento aplicado sobre una unidad monetaria por adelantarla un año.
La relación entre interés y descuento es,
Para aquellos casos en donde trabajamos con flujos de interés, se define el tanto instantáneo de interés, ρ, donde
El factor financiero es la expresión que da la rentabilidad por unidad monetaria;
El factor de actualización nos da el valor actual de una unidad monetaria
Y si buscamos el factor de actualización de un flujo financiero,
Y generalizando con el operador general δ,
Donde d(∆t) es el tanto nominal de descuento, que en el caso continuo coincide con el tanto instantáneo de interés.
3. Estadística actuarial vida
Es la segunda base técnica. Una vez tenemos el método de valoración actual de un capital, hay que
incorporar la probabilidad de que se tenga que desembolsar este capital. Se condiciona este reembolso a la supervivencia, fallecimiento, invalidez, incapacidad o dependencia del individuo en un periodo t.
De momento lo simplificamos a supervivencia y fallecimiento. Se define una variable aleatoria que condiciona el pago o no pago de la prestación. La variable nos proporciona el instante en el que fallece una persona; el momento en que sucede el siniestro. ∝ son los parámetros de la persona dentro de un colectivo. El intervalo de edades donde puede suceder el siniestro es [0, [ donde es el infinito actuarial o periodo al que nadie sobrevive.
Funciones,
es la función de distribución actuarial
es la función de distribución de la siniestralidad es la función de siniestralidad
es la función de intensidad relativa 1.
Función de distribución actuarial que recoge la probabilidad de que el siniestro NO ocurra antes de t. Es la probabilidad de que un individuo de edad x sobreviva hasta x+t.
Propiedades,
a) En el momento t= 0 , la probabilidad de sobrevivir es = 1. Porque el 100% de los sucesos posibles de supervivencia se acumulan a la derecha de la función.
F(∝, 1) sería la probabilidad de llegar vivo a 1 año de vida.
b) en el momento t = w, la probabilidad de no fallecer es = 0, todos los sucesos de fallecimiento ya han sucedido y no es posible sobrevivir el infinito actuarial.
c) es una función no creciente d) es continua por la derecha
e) es escindible; se supone que la mortalidad es estacionaria. 2.
Función de distribución de siniestralidad , recoge la probabilidad acumulada de muerte en un intervalo.
Propiedades,
a) en el momento t= 0, la probabilidad de fallecer es = 0. Todavía no ha sucedido ninguna muerte; todavía no se ha acumulado ninguna probabilidad.
b) en el momento t= w, la probabilidad de fallecer es = 1. Todos los posibles casos de fallecimiento ya han sucedido.
c) es una función creciente o como mínimo constante. d) es continua por la derecha
3.
Función de densidad , relaciona la probabilidad de fallecimiento con un intervalo.
Y cumple que, a)
b) 4.
Función de intensidad relativa , o tanto instantáneo de mortalidad, es la función de densidad anterior pero condicionado a la supervivencia en un momento inicial = t. Es decir, la función de densidad toma como origen el t=0, y el tanto instantáneo de fallecimiento toma como origen un momento t (normalmente la edad del individuo), esto supone tener que condicionar a que se llega vivo hasta t.
Desarrollando se puede obtener también la relación,
Y también que
4. Funciones de valoración basadas en la esperanza matemática.
Ya se puede relacionar la valoración de una o varias prestaciones futuras con la probabilidad de ocurrencia. La probabilidad de ocurrencia contempla; existencia o no de la prestación, su cuantía y el vencimiento. 1.
Caso cierto. Es el más simple, donde simplemente se valora un capital unitario que de forma cierta se hará efectiva en t. Cumple la ley de estacionalidad si la valoración es con interés compuesto.
Ya que
2.
Caso de no siniestralidad, o supervivencia. Se define como el valor actual actuarial de una unidad monetaria que se hará efectiva en t si el asegurado α sobrevive hasta ese momento.
Se crea un cuadro con la distribución de probabilidad (para simplificarlo, se hace la anual),
Indemnización en t Valoración financiera en Probabilidad de sobrevivir
En el momento inicial = 0 0
En el momento final = 1
Lo que significa que la probabilidad de que el individuo fallezca y no haya que pagar nada es . Como no hay que pagar nada, no hay valoración financiera de nada en t=0.
Y en cambio, la probabilidad de que el individuo sobreviva y haya que pagar 1 euro en t=1 será F(α,t) , lo que implica un valor actual = 1*
El valor actual actuarial tiene en cuenta ambas situaciones, y de ahí su expresión Propiedades,
a) El valor actual actuarial en el momento cero es = 1
b) El valor actual actuarial si la valoración se hace desde el infinito actuarial, es = 0 c) Es estrictamente decreciente, porque
F(α,t) es no creciente.
es decreciente , porque el valor actual siempre decrece cuanto más crece t. d) es continua por la derecha, al igual que F(α,t)
3.
Caso de siniestralidad, o fallecimiento. Se define como la intensidad de cuantía del valor actual correspondiente a la indemnización unitaria a realizar en el instante t, si en ese instante se produce el fallecimiento. Es decir; el valor actual de 1 va decreciendo a medida que t crece (suponiendo un tipo de interés es constante). La función B(α,t) nos da el decremento del valor actual en un instante determinado del tiempo.
En el campo discreto:
Indemnización en Valoración financiera en Probabilidad de fallecer
En el momento inicial = 0
En el momento final =
Y el valor esperado de la indemnización será
Aunque lo que nos interesa es la intensidad de este valor esperado; cuánto decrece el valor inicial al incrementar infinitesimalmente el tiempo:
Teniendo en cuenta la expresión de intensidad relativa
Se puede obtener una relación entre B(α,t) y E(α,t),
Que se interpretaría como que la intensidad del valor esperado, o cuánto decrece el valor inicial al
incrementar el tiempo, es la valoración financiera correspondiente al intervalo de tiempo incrementado (de t a incremento de t), por el valor esperado en el momento t, por la intensidad relativa en el momento t.
En el campo continuo:
Indemnización en t Valoración financiera en Probabilidad de fallecer
En el momento inicial = 0
En el momento final =
Como ahora estamos trabajando bajo la idea de que
Quedará que
Si se hace el mismo desarrollo que en el caso discreto se llega a que
Y se interpreta igual que en el caso discreto, sólo que ahora como estamos en el campo continuo el incremento de tiempo es despreciable y se elimina el
Se puede expresar una definición general de la expresión escalar de la intensidad del valor esperado,
Se puede demostrar la escindibilidad de B(α,t) suponiendo estacionalidad en la mortalidad y ley estacionaria (tipo de interés constante):
Que se interpretaría como que la intensidad del valor esperado en el momento es el valor esperado en por la intensidad del valor esperado en el momento .
4.
Relación entre el valor esperado y la intensidad del valor esperado: 1) El incremento del valor esperado (en términos generales δ) será 2) y teniendo en cuenta que,
3) y también que,
4) Se puede definir que 5)
6)
Interpretación.
1) el incremento del valor esperado es igual al incremento de la valoración en t por la probabilidad de sobrevivir en t, + la valoración inicial en t por el incremento de la probabilidad de sobrevivir.
2) El incremento de la valoración en t es = decremento de la valoración en t por el intervalo de tiempo. 3) el valor esperado en t es la valoración en t por la probabilidad de sobrevivir t.
4) el incremento del valor esperado en t es = al decremento que experimenta la valoración en t por el intervalo de tiempo por la probabilidad de sobrevivir en t, menos la intensidad de la valoración en t por el intervalo temporal
5) la intensidad de valoración en t por el intervalo temporal es = decremento que experimenta la valoración por el intervalo de tiempo por la probabilidad de sobrevivir t, menos el incremento que experimenta el valor esperado
6) la intensidad del valor esperado en t por el incremento temporal es = menos la valoración en t por el incremento temporal en t menos el incremento de valoración.
Si de aquí vamos a los casos discreto/continuo,
b) y cuando
4.
Se puede crear una función elemental general, para valorar cualquier tipo de capital financiero; renta o seguro, o sea, contingente a supervivencia o fallecimiento,
1.2 Análisis estocástico de las operaciones sobre una vida y rentas de supervivencia discretas 1. análisis estocástico de las operaciones sobre una vida
Se analizan desde el punto de vista estocástico prestaciones relacionadas con la supervivencia o
fallecimiento de una persona. Primero, y para simplificar las variables aleatorias que sirven para calcular el valor actual financiero, se verán rentas anuales de variación anual, y seguros de variación anual que se pagan al final del año en que se produzca el fallecimiento.
1.
Un capital diferido t años es una operación actuarial sobre una persona de edad x, consistente en el pago de 1 unidad monetaria (1 euro) si llega viva a x+t. ¿Qué valor tendrá ese euro en el inicio?
Así que tenemos una variable aleatoria (?) que es el valor actual financiero de 1 euro; , dicotómica (sobrevive a x+t, no sobrevive a x+t), con unos valores y probabilidades,
Valor Probabilidad
0
Es decir, con una probabilidad de no habrá que pagar ese euro (pagar 0) porque el individuo habrá fallecido. Y con una probabilidad de sí habrá que pagar ese euro porque el individuo habrá sobrevivido. La variable sirve para definir “pago vinculado a la supervivencia del individuo”.
La esperanza del valor actual financiero será
La varianza del valor actual financiero será
2.
Un capital al final del año del fallecimiento, consiste en el pago de 1 euro al final del año en que un individuo fallezca. Si el fallecimiento se produce entre t y t+1, y el pago se produce en t+1.
Así que tenemos una variable aleatoria (?) que es el valor actual financiero de ese euro , dicotómica (fallece entre x+t y x+t+1, no fallece), con unos valores y probabilidades,
Valor Probabilidad 0 ? 0 edad x 1 t x+t ? 0 edad x 1 t+1 x+t+1 t x+t fallece
Es decir, con una probabilidad de no habrá que pagar ese euro (pagar 0) porque el individuo habrá sobrevivido. Y con una probabilidad de sí habrá que pagar ese euro porque el individuo habrá
sobrevivido hasta x+t y habrá fallecido ese año. La variable sirve para definir “pago vinculado al fallecimiento del individuo”. Como “hay que esperar” hasta que el individuo fallezca para pagarle, el pago siempre es al final del periodo, y la máxima simplificación es pagarlo al final del año del fallecimiento. De ahí que el valor actual de 1 euro esté calculado desde “-(t+1)”
La esperanza del valor actual financiero será
La varianza del valor actual financiero será
3.
Una renta de supervivencia, consiste en el pago de una serie de capitales financieros condicionados a la supervivencia del individuo en cada momento en que se hacen efectivos. Puede darse un diferimiento m, y una temporalidad n. Y también ser un pago anticipado; al principio del periodo, o vencido; al final del periodo. Si la renta es inmediata no existe diferimiento; m=0. Si la renta es vitalicia, la temporalidad dura hasta que se llega al infinito actuarial; n=w-(x+m) la duración de la renta vitalicia será la edad infinito menos la edad desde la que empieza la renta (la actual x + el diferimiento m).
La función de intensidad de cuantía “u(t)” nos da el valor (en euros) de cada pago (t, anuales); €/año. MUY IMPORTANTE el concepto de que es “anual”!
Si se da el caso de que existe un diferimiento “m”, y la variable “t” es el intervalo temporal que incluye m+n, la función intensidad de cuantía se escribe “u(t-m)”, de forma que el primer pago será
u(m-m) = u(0) €/año u(m+1-m)=u(1) €/año u(m+2-m)=u(2) €/año …
u(m+n-1-m)=u(n-1) €/año
dejando un total de “n” pagos, que va de “0” a “n-1”.
Empezaremos simplificando la función de intensidad de cuantía = 1 euro/año. Volviendo a las rentas, se define “t” como
Así, la función de intensidad de cuantía, en el caso de una renta diferida y prepagable queda,
Existen “n” pagos, que comprenden desde el primero en el momento cero; u(0) hasta el n-ésimo pago, en el momento n-1; u(n-1).
Si se tratara de una renta pospagable, se paga al final del periodo, quedaría u(0) u(1) u(2) u(3) u(4) u(n-1)
0 m m+1 m+2 m+3 m+4 m+n-1 m+n edad x x+n x+m+n-1 x+m+n
u(0) u(1) u(2) u(3) u(n-2) u(n-1)
0 m m+1 m+2 m+3 m+4 m+n-1 m+n edad x x+n x+m+n-1 x+m+n
Donde igualmente hay n pagos, sólo que ahora se inician al final de cada periodo. La cuantía u(0)
correspondiente al periodo inicial m, se hace efectiva en m+1. La n-ésima cuantía u(n-1) se corresponde con el periodo m+n-1 pero se hace efectiva al final del mismo; m+n.
Si la renta es prepagable, diferida m y temporal n, para un individuo de edad x, se simboliza con Si la renta es pospagable, diferida m y temporal n, para un individuo de edad x, se simboliza con Si la renta es prepagable, inmediata, temporal n, etc…
Si es diferida y vitalicia, etc,
De esta forma la renta consiste en n pagos sujetos a la supervivencia del individuo. El valor actual es la variable , ó, , que representa la suma acumulada de capitales a desembolsar.
Una renta diferida m años y temporal n, con los pagos anticipados, queda:
teniendo en cuenta que y que Δt=1 y también que u(t-m)=1
Valor en cero Probabilidad
Si m>0 0
Y en el caso de la misma renta pero con pagos vencidos (sólo cambia que la valoración se hace a un periodo más);
y que Δt=1 y también que u(t-m)=1
Valor en cero Probabilidad
Si m>0 0
De esta forma, la renta es un conjunto de capitales diferidos. El capital diferido calcula el valor de un euro actual sujeto a una probabilidad de sobrevivencia, y la renta calcula el valor de un conjunto de euros sujetos a sus respectivas probabilidades de sobrevivencia.
Si el individuo fallece antes de que dé inicio la renta, no habrá pago, igual que cuando el capital diferido daba un valor = cero. Si el individuo sobrevive hasta el primer año de la renta cobrará el primer pago, y si fallece en ese momento ya no cobrará nada más, y el valor de la renta habrá sido este único pago.
Si el individuo sobrevive k años, cobrará k capitales diferidos con un valor = la suma de estos capitales diferidos.
Finalmente, si el individuo sobrevive todo el periodo de la renta habrá cobrado todo el conjunto de capitales diferidos; habrá cobrado toda la renta en su conjunto.
La probabilidad total es = 1. Ya que se contempla la probabilidad de que sobreviva o fallezca en todo el
periodo; 1= =
Hasta ahora se simplifica el importe a pagar u(t-m)… y podemos decir que es 1 euro o cualquier otro importe constante. Más adelante se trabajará con importes crecientes o decrecientes en el tiempo.
4.
Un seguro de fallecimiento, es un importe a pagar al final del año en que fallezca el individuo. Igual que la renta es un conjunto de capitales diferidos, el seguro de fallecimiento es un conjunto de capitales a pagar al final del año de fallecimiento.
Ahora el seguro se expresa con “A”,
teniendo en cuenta que
Valor en cero Probabilidad
Si m>0 0 Para ∀ t / m ≤ t ≤ m+n
Si m+n+x < w 0 5.
Un poquito más sobre la función de intensidad de cuantía. La forma general de expresarla será u(t-m), que permitirá deducir 3 casos básicos:
Renta constante: independientemente del año en que nos encontremos (t), el valor de la renta siempre será igual.
Renta variable aritméticamente, o lineal: Renta variable geométricamente:
En el caso de estar valorando un seguro, se hablará de “función de cuantía” y se tratará de un valor (€). En el caso de estar valorando una renta, se habla de “función de intensidad de cuantía”, (€/año).
Si por ejemplo tenemos el caso de una renta de 30.000 euros anuales constantes -cada año se paga la misma cantidad- la función de intensidad de cuantía del primer pago será = 30.000 €/año, el segundo pago será también de 30.000 €/año, y así hasta su fin.
Si se da el caso de que tenemos una renta de igualmente 30.000 euros pero repartidos en pagos anuales, nos salen 12 pagos de 2500 €. La función de intensidad de cuantía es una expresión con dimensión “euros/año” por lo que la forma correcta de expresar el primer pago sería = 2500€/mes*12 = 30.000€/año.
2. Rentas de supervivencia discretas
Ya se ha definido una renta de supervivencia como , ó, , es decir, como un conjunto de probables capitales diferidos. Ahora se añade un grado más de complejidad: la cantidad y/o la frecuencia de pago es variable. Puede suceder que varíe anualmente o intranualmente, y que se pague anualmente o
intranualmente. En todo caso, hay que tener en cuenta que la función de intensidad de cuantía es euros/año, con lo que habrá que “arreglar” la valoración para evitar sumas equivocadas. Si la variación es anual y la frecuencia de pago también, no existe problema y estamos en realidad en la renta de supervivencia del apartado anterior. Pero si la variación o la frecuencia son inferiores al año, entonces sí se complica. Poco a poco: Se añade “V” como la expresión de la función de intensidad de cuantía dentro de la renta, indicando también el importe inicial de la renta (el primer importe), es tan sencillo como cambiar lo que antes era 1 euro (unidad monetaria) por un importe cualquiera (más real):
donde h es el número de veces que varía la renta dentro del año, y k el número de veces que se paga dentro de cada variación. Por ejemplo, una renta diferida 25 años, temporal 20, de un individuo de 30 años, con pagos anuales que no varían (son constantes), y de un importe inicial de 1000 se escribe:
Así que para rentas constantes y anuales la h y la k sobran.
Si la variación de la cuantía y su frecuencia de pago no coinciden, son rentas fraccionadas. Si la variación y la frecuencia de pago sí coinciden, son rentas fraccionarias.
1.
Rentas sin variación, pero con frecuencia de pago inferior al año; en k-ésimos de año.
Supongamos una renta prepagable unitaria, para simplificar y verlo más claro. Lo que está sucediendo es que tenemos una renta de supervivencia donde el euro que se paga anualmente se divide en k términos. Por ejemplo, si se pagan 1200 euros anuales en 4 pagos trimestrales; 1200/4 = 300 euros trimestrales. Pero volviendo a la unitaria;
Y la pospagable igual, con la única diferencia de que se valora un término más adelante.
Y también se puede expresar aquella renta continua,
2.
Rentas de variación anual y pago anual. De cuantía constante, variable lineal y variable geométricamente. La variación anual significa h=1, y el pago anual significa k=1. Como la variación de la renta varía
anualmente, la base temporal que tomamos es la anual: el Δt=1 año. La función de intensidad de cuantía no necesita ninguna corrección, porque ya estamos en euro/año, y los incrementos de la renta (anuales) coinciden también con esta base temporal. Lo único que sucede es que tenemos una renta de supervivencia donde la función de intensidad de cuantía es diferente cada año. Por ejemplo; una renta inmediata de 3.000€ anuales crecientes en 300 año a año:
Si se trata de una renta prepagable, se escribe:
Donde el subíndice “t” se refiere a que los incrementos en la suma van de “t en t”. Y si fuera una renta pospagable,
Ejemplo de variación aritmética: calcular el valor actual actuarial de una renta pagadera mientras viva el asegurado (de 40 años de edad), anual, prepagable, inmediata y temporal 10 años. Con una cuantía inicial de 6.000 € que incrementan en 300€ anuales. Un tipo de interés técnico del 3% anual.
Este ejemplo anterior es una renta de variación lineal o aritmética, pero se podría plantear una renta de variación geométrica, donde de un año a otro la cuantía crece en un tanto por ciento:
Ejemplo de variación geométrica: calcular el valor actual actuarial de una renta pagadera mientras viva el asegurado (de 35 años de edad), diferida 15 años, vitalicia y pospagable. El primer importe es de 1200€ y crecen en un 5% anual. Tipo de interés técnico 3% anual.
Y se podría escribir como una renta prepagable si…
3.
Rentas con variación intranual y con frecuencia de pago intranual.
3.1 Fraccionarias: la frecuencia de la variación y la frecuencia del pago coinciden. Si se trata de una renta prepagable,
Si se trata de una renta pospagable
Donde “ent” se refiere a la parte entera del valor “t” (en el siguiente párrafo se explica). La renta varía cada h-ésimo de año y sólo hay un pago por variación. Por ejemplo; la renta varía semestralmente y los pagos también son semestrales. Entonces la frecuencia de variación h sería = 2 veces por año, y k sería = 1. k es el número de veces que hay un pago por cada vez que la renta varía. Si hay un pago por variación, significa que la renta varía cada semestre y hay un único pago por semestre. Si k=1 no hace falta indicarlo [ . Ejemplo; Un hombre de 25 años contrata una renta prepagable semestral inmediata (sin diferimiento), temporal 15 años, de cuantía 3000 el primer término y creciente en 100 euros semestrales.
a) Ya que la función de intensidad de cuantía es una expresión euros/año, hay que convertir los datos semestrales en anuales. 3000 euros semestrales son 3000*2=6000 euros anuales, y el crecimiento de 100 euros semestrales son 100*2=200 euros anuales. Esto se corresponde con b) como la renta avanza por semestres, hay que corregir la función de intensidad de cuantía añadiendo la coletilla … asumiendo un incremento de t de ½ en ½,
c) finalmente hay que corregir la expresión anual y convertirla en semestral. Es la parte … ½ … Muy fácil si se ve el resultado cuantía a cuantía, asumiendo que
función de intensidad de cuantía periodo importe
u(0)= 0 =3000 u(1)= 1 =3100 u(2)= 2 =3200 u(3)= 3 =3300 u(4)= 4 =3400 etc.
3.2 Fraccionadas: variación y frecuencia no coinciden. Si se trata de una renta prepagable:
Si se trata de una renta pospagable:
Ahora lo que sucede es que dentro de cada periodo de variación existen una serie de pagos del mismo
importe. Por ejemplo, la renta anterior que varía semestralmente (h=2) ahora se divide en pagos mensuales; dentro de cada semestre la renta es de 6 pagos iguales (k=6), [ . Si la renta fuera de variación anual con pagos trimestrales, la notación sería [ , y una renta de variación trimestral y pagos mensuales; [ . De nuevo: h es el número de variaciones de la renta dentro del año.
Ahora la función de intensidad de cuantía, que es una expresión anual, debe corregirse para llegar a expresar cómo avanza la renta dentro del año. Así, se divide por el número de variaciones intranuales, y también por el producto del número de variaciones y de número de pagos iguales.
Ejemplo; Un hombre de 25 años contrata una renta prepagable mensual inmediata (sin diferimiento), temporal 15 años, de cuantía 500 el primer término y creciente en 100 euros semestrales.
Lo que se ha hecho es;
a) Ya que la función de intensidad de cuantía es una expresión euros/año, hay que convertir los datos
semestrales y mensuales en anuales. 500 euros mensuales son 500*12=6000 euros anuales, y el crecimiento de 100 euros semestrales son 100*2=200 euros anuales. Esto se corresponde con
b) como la renta varía por semestres, hay que corregir la función de intensidad de cuantía añadiendo la
coletilla …
c) asumiendo un incremento de t de 1/12 en 1/12, finalmente hay que corregir la expresión anual y convertirla en mensual. Es la parte … …
Muy fácil si se ve el resultado cuantía a cuantía, si
función de intensidad de cuantía periodo importe
u(0/12)= 0 =500 u(1/12)= 1 =500 u(6/12)= 6 =516,66 u(7/12)= 7 =516,66 u(1+3/12)= 15 =533,33 etc.
Se puede comprobar que 6*500 + 6*516,66 son los 6000 euros de base más 100 semestrales.
4.
Ejemplos de cómo expresar variaciones intranuales de la función de cuantía:
a) Función de intensidad de cuantía de una renta prepagable, diferida 10 años, de 1000 euros trimestrales: Como la cuantía no varía: cuantía constante y punto. Es la más sencilla.
b) función de intensidad de cuantía de una renta prepagable, inmediata, mensual, de 200€ al mes durante el primer año, y crecientes en 25 euros mensuales de año en año:
Como la variación es anual y la frecuencia de pago es mensual, se trata de una renta fraccionada
Como la variación es anual pero la frecuencia de pago es mensual, es necesario “arreglar” la función de intensidad de cuantía incorporando la expresión “ent(t)” que significa que los 25*12 euros mensuales aparecerán sólo cuando el incremento de t sea un número entero, es decir, cuando pasemos de un año a otro. En el momento del primer mes, “t” toma un valor = , no entero, la parte no entera no se incorpora a la función. Por ejemplo, en el cuarto año y segundo mes la función de intensidad de cuantía sería
c) Función de intensidad de una renta prepagable, inmediata, semestral de 1000 euros el primer semestre y con un incremento semestral del 1% acumulativo:
Como la variación coincide con la frecuencia de pagos, se trata de una renta fraccionaria.
d) Función de cuantía de un seguro inmediato, pagadero al final del mes de fallecimiento y cuya cuantía es de 100.000 euros mensuales y se incrementa en 1000 año a año:
e) Función de cuantía de un seguro continuo, pagadero en el instante de fallecimiento, diferido 3 años y de 200.000 € variables a una tasa de interés instantánea de 0,5% anual.
5.
Relación entre rentas prepagables y pospagables.
La renta prepagable, diferida m, temporal n, para un individuo de edad x se escribe: Y la renta pospagable, diferida m, temporal n, para una edad x se escribe:
Se usa la letra ρ para referirse a las rentas en general (unitarias o del importe que sea), que, para recordarlo, de forma genérica se escribe:
Donde el “θt” se refiere al “siguiente t”, y para ambas rentas se tiene en cuenta su fraccionamiento al añadir el “Δt”.
ä ä a ä ä-a ä 1 1 1 1 1 … 1 periodo m m+1 m+2 m+3 m+4 m+5 m+r m+n-1 m+n 1 1 1 1 1 … 1 1 0 0 0 0 0 … 0 -1 1
Si una renta es prepagable es porque se hace efectiva -se paga- al inicio del periodo, y una renta es
pospagable porque se hace efectiva al final del periodo, se puede concluir que son la misma renta sólo que una -la prepagable- se ha anticipado un periodo, lo que afecta a su valor actual de forma que:
¿Por qué? Porque si hay que pagar en un momento “r” 1 euro, su valor financiero será mayor que el valor financiero de 1 euro que se tiene que pagar en “r+1”, ya que cuánto más nos alejamos en el tiempo más pueden rendir los intereses. Llevado al extremo: el valor hoy de un euro que se tuviera que pagar mañana es prácticamente el mismo euro, y si se tuviera que pagar dentro de 10 años sería de 0,7 … por suponer algo. El efecto actuarial también influye en el mismo sentido: Es más probable tener que pagar 1 euro mañana que dentro de 10 años (donde evidentemente es un plazo donde es más probable que suceda el fallecimiento). De esta forma se llega a esa conclusión de que el valor actual actuarial es mayor para una renta prepagable que para una pospagable.
A partir de las expresiones anteriores se puede encontrar la diferencia que existe entre ambas:
Es un primer paso: Lo que se ha hecho es sustituir por las expresiones generales, y luego cambiar de signo la expresión para poder ordenar los E(x,…) en la forma que nos da el incremento de una variable; “el siguiente” menos “el inicial” es igual “al incremento”. Y luego, aplicando la suma por partes donde la suma de una función u(x), por el incremento de otra función , queda como,
y ahora se puede realizar el segundo paso:
y la parte de la suma no es sino la definición de la renta pospagable:
Aunque con la particularidad de que es una renta pospagable con función de cuantía =
Ejemplo: Si tenemos una renta unitaria, anual y constante, la diferencia entre la renta prepagable y la pospagable será:
ä ä a ä ä-a ä periodo m m+1 m+2 m+n-1 m+n … Es decir, son la misma renta salvo en los extremos. El gráfico anterior hay que contemplarlo como si se cogieran dos rentas idénticas y una se desplazara un periodo hacia el origen. Y hay que recordar que hace referencia a la valoración financiera y actuarial :
Aplicando la expresión anterior, se puede calcular la relación entre rentas prepagables y pospagables para los siguientes casos:
a) Renta variable lineal anual b) Renta variable lineal fraccionaria
c) Renta variable lineal fraccionada de la anual
d) Renta variable lineal por h-ésimos y fraccionada en k partes. e) Renta variable geométrica anual
f) Renta variable geométrica fraccionaria
g) Renta variable geométrica fraccionada de la anual
h) Renta variable geométrica variable por h-ésimos y pagadera en k partes. a) Renta variable lineal anual
Que se interpreta como que la diferencia es igual a la resta de los extremos más la renta pospagable de
Otro ejemplo:
Si se tiene una renta de intensidad constante = 15000€/año, fraccionada por trimestres, encontrar: a) relación entre rentas diferidas m y temporales n
b) rentas inmediatas y temporales n c) rentas diferidas m y vitalicias d) rentas inmediatas y vitalicias
a) relación entre rentas diferidas m y temporales n
b) rentas inmediatas y temporales n
c) rentas diferidas m y vitalicias
d) rentas inmediatas y vitalicias
6.
Aproximación de las rentas unitarias fraccionadas a partir de una renta unitaria anual.
Si conocemos los valores de una renta unitaria anual, se puede realizar una aproximación a los valores de las rentas unitarias fraccionadas.
Las rentas unitarias anuales son:
a) La renta unitaria anual tiene como función de intensidad de cuantía = 1€/año, y los Δt son = 1, así:
b) Y la renta unitaria anual pospagable es lo mismo pero corrido todo un periodo:
Por otro lado, las rentas unitarias fraccionadas son,
a) Para la renta prepagable ahora los incrementos de t son k-ésimos, de forma que 1 euro por 1/k queda:
Donde además se sabe que;
y también se sabe que la relación entre prepagables y pospagables es;
6.1 Aproximación lineal de los capitales diferidos.
Consiste en plantearse que existe una relación lineal entre los capitales diferidos de la renta prepagable y la pospagable en el mismo periodo “t”. De forma que se plantea un punto intermedio tal que
Si la renta prepagable anual fraccionada se entiende como la suma del valor de cada k-ésimo;
entonces se puede añadir que cada k-ésimo se suma hasta completar el entero, en s-ésimos!
se trata de un doble sumatorio, donde el primero, que va de m a m+n suma los años enteros, y el segundo suma la cantidad “s” de k-ésimos de año de cero a uno. Cuando s=0 estamos al inicio del periodo, en E(x,t), y cuando s=1 estamos en E(x,t+1) .
El siguiente paso es incorporar el valor aproximado de E(x,t+s) a la segunda suma. De forma que
como el segundo sumatorio es independiente de t, se puede introducir aquí y dentro de los corchetes queda la suma;
Si luego el sumatorio que estaba afuera se liga a su E(x,…) respectivo, finalmente queda,
que se interpreta como si fuera una media ponderada. (Un ejemplo más adelante).
Se puede reescribir para que quede sólo en función de la renta prepagable, si se inserta la relación entre prepagable y pospagable.
O para que quede en función sólo de la renta pospagable;
y haciendo factor común,
6.2 Aproximación lineal de las probabilidades de supervivencia. Ahora la interpolación lineal se aplica no al E(x,t) sino al . El resultado final es;
1.3. Seguros de fallecimiento
Los seguros de fallecimiento son una operación actuarial consistente en el pago de un capital al producirse el fallecimiento del asegurado. Lo más sencillo es imaginar que se paga una prima en un momento inicial, y que a partir de ese momento el sujeto está cubierto; en el momento en que fallezca se le pagará (a sus herederos) una cuantía especificada.
Un poquito más complicado sería imaginar que la prima no es única, sino una serie de pagos, y/o que el seguro cubre un periodo futuro; está diferido.
Los seguros pueden ser discretos o continuos, según el momento en que se pague la cuantía.
a) son discretos cuando se paga al final del periodo de fallecimiento. De nuevo lo más sencillo es imaginar periodos anuales, pero también se puede fraccionar en periodos intranuales.
b) son continuos cuando se paga en el instante del fallecimiento.
Y finalmente, igual que con las rentas, los seguros pueden ser un importe variable, creciente en el tiempo, de forma anual o en fracciones intranuales.
Se diferencia de las rentas en que ahora se expresa con una “A” mayúscula:
Y ya se puede anticipar una diferencia notable con las rentas: el seguro siempre es pospagable porque primero hay que fallecer! No existen los seguros prepagables.
La grandísima diferencia con las rentas, es que la cuantía a pagar es una expresión en €… no se trata de una intensidad como la €/año de la función de intensidad de cuantía de las rentas. En los seguros se habla de “función de cuantía” y los importes no tienen una dimensión temporal.
La expresión general del seguro de una cuantía determinada, fraccionario, diferido y temporal será:
En este caso los incrementos temporales son y finalmente la ecuación queda:
y desarrollando un poquito más:
La valoración siempre será al final del periodo de fallecimiento:
La probabilidad de que se tenga que afrontar el pago será la de llegar vivo hasta el momento “t” y fallecer en el siguiente periodo:
Sólo para recordarlo:
Ejemplo de cómo expresar la función de cuantía de un seguro y su valor actual actuarial:
Seguro pagadero al final del mes del fallecimiento, de un individuo de edad x, si el seguro es diferido 5 años, vida entera, de 30.000€ crecientes en 1000 € semestralmente:
Por ejemplo,
en el 4º año y 2 meses: y el 4º año y 6 meses:
Una vez se tiene la función de cuantía, ya se puede escribir el valor actual actuarial:
A efectos del cálculo, cuando el seguro es pagadero en fracciones de año hay que ajustar el cálculo de la probabilidad de fallecimiento a estas fracciones. Como las probabilidades se crean a partir de las tablas anuales de mortalidad, hay que aproximar mediante una de las tres hipótesis de la teoría de estadística actuarial vida:
1. hipótesis de interpolación lineal.
2. hipótesis de tanto de mortalidad constante. 3. hipótesis de Balducci.
1.
Seguros continuos
Son aquellos seguros que se hacen efectivos en el instante de la muerte del asegurado. Se pasa así del campo discreto al continuo.
Si existía variación de la función de cuantía, se pueden dar dos situaciones.
a) que la variación también sea continua en el tiempo, hablando entonces de seguros doblemente continuos. b) que la variación sea discreta, cada una cierta fracción de tiempo, y se habla de seguros continuos con variación discreta de la cuantía.
a) seguros doblemente continuos
Su cálculo es muy complejo, la expresión de partida es:
Se simplifica un poquito si la cuantía es constante (C) y sale fuera de la integral, y si suponemos la hipótesis de distribución uniforme de la mortalidad, de forma que queda:
donde ρ es el interés continuo Ejemplo:
Una persona de 58 años contrata un seguro de 60.000€ pagadero al instante de fallecimiento si sucede después de la jubilación. ¿cuál es la prima única? Suponiendo un interés anual = 3% y tablas LGKM95. La prima única tiene el mismo valor que el valor actual de la contraprestación:
Suponiendo jubilación en 65 años, 65-58= 7 años de diferimiento.
Si el seguro es vida entera, y se supone un infinito actuarial de 121 años; 121-58 =63 años t *7,…,63+
suponiendo ahora distribución uniforme de la mortalidad:
b) seguros continuos con variación discreta de la cuantía
En este caso se plantea un seguro que se paga en el plano continuo, mientras que la cuantía varía en discreto en h-ésimos de año. La integral se puede escindir en estos dos planos:
Donde lo que se tiene es que dentro de cada variación de la cuantía, se multiplica por la valoración en continuo del seguro. Si de nuevo se plantea la hipótesis de distribución uniforme de los fallecimientos se obtiene:
donde ahora es el interés nominal capitalizable h-ésimos de año. Ejemplo:
Calcular la prima única de un seguro diferido 10 años, a vida entera, pagadero en el instante de fallecimiento y de 1000 euros el primer semestre, creciendo en 1% acumulativo cada semestre. El individuo que lo
contrata tiene 30 años. Bases técnicas: interés anual del 3% e infinito actuarial en 116 años. Si el diferimiento m=10,
el plazo t de la operación va de los 40 a los 116 años = 76 años. Y se avanza en semestres.
La función de cuantía será
2.
Aproximación al seguro continuo a partir de un seguro discreto.
Para poder realizar esta aproximación hay que definir de alguna manera cómo sucede el fallecimiento a lo largo del año. Una primera aproximación será, en plan salvaje, suponer que todos los fallecimientos suceden a mitad del periodo. Y otra segunda aproximación, un poco más seria, es suponiendo que la intensidad de la mortalidad es constante. Se utiliza cuando tenemos un seguro que se paga en el instante de fallecimiento y debemos expresarlo en sumas (para poder calcularlo!). Las dos aproximaciones no difieren
significativamente en su valoración, por lo que se puede utilizar cualquiera de las dos alternativamente si no se especifica lo contrario. En la página 36 se expresa un ejemplo de su uso, y más adelante en los ejemplos de las provisiones.
2.1 la aproximación heurística
Si se sabe que el seguro unitario anual es:
y que el seguro unitario continuo es:
Se puede entender que un seguro unitario continuo, si se escinde en periodos discretos, también es;
donde ahora la integral de r a r+1 se refiere al tiempo continuo intranual.
Una vez lo tenemos planteado, aplicamos la idea de que todos los fallecimientos suceden a mitad de periodo, de forma que la expresión anterior se convierte en:
se puede desarrollar otro paso más si el se corrige para llegar hasta la expresión de un seguro. Eso se puede conseguir multiplicando el sumatorio por de forma que;
Lo que significa que si planteamos que los fallecimientos suceden a mitad del periodo, y el seguro se paga en el instante en que se fallece, lo que se está haciendo es capitalizar el seguro discreto medio periodo.
2.2 la aproximación si se supone intensidad de fallecimiento constante.
Si la intensidad de fallecimiento es constante, entonces de forma que
donde
3.
Relación entre los valores actuariales de las rentas y los seguros. Si llamamos a la renta “rho”; ρ, y al seguro “sigma”; σ, y sabemos que;
y (pág. 10) sabemos que;
(donde “d” es la tasa de descuento)
Entonces se puede escribir;
separando la integral en dos y siendo “-d(Δt)” una constante que puede salir de la integral;
la primera integral es una renta prepagable, y desarrollando la segunda integral por partes;
ahora la segunda integral se parece bastante a una renta pospagable, sólo falta añadir para conseguirlo;
de forma que se reescribe;
y ahora ya sólo desarrollando Barrow y ordenando, quedará:
Hay que fijarse en el detalle de que se tienen elementos excluyentes en esta igualdad. Si el individuo sobrevive el seguro no se ejecuta, y si fallece las rentas se detienen en el momento de fallecimiento. En términos unitarios, anuales y crecientes en +1:
1+renta unitaria pospagable= renta que te paga los intereses por anticipado ó la devolución del nominal que se haya pagado cada año ó llegar vivo y recibir el capital diferido.
Se puede reescribir como valoración del seguro en función de las rentas:
Ejemplos:
1. Seguro unitario anual
Si es unitario u(t-m)=1 Δu(t-m)=0
y si es anual Δt=1 la tasa de descuento será = tasa de descuento anual
y el mismo seguro pero expresado en función de las rentas pospagables;
2. Seguro unitario fraccionario
Si es unitario u(t-m)=1 Δu(t-m)=0 y si es fraccionario Δt=1/h
de nuevo expresado en función de rentas pospagables;
3.Seguro unitario continuo
Si es unitario u(t-m)=1 Δu(t-m)=0
y si es continuo las rentas y el interés se expresan en continuo (y no hay diferencia entre pos y prepagables)
Otro ejemplo:
si; entonces,
de forma que;
Si se tratara de m=0 entonces;
1.4. El valor de las primas.
La prima Π es la cantidad que paga el individuo que contrata una renta o un seguro. La compañía de seguros podrá sumar recargos, costes y beneficios deseados, pero en un primer momento, y para simplificar, el valor de la prima deberá ser igual al valor de la prestación. Si una renta o un seguro tienen un valor actuarial igual a K, el valor actual de las primas deberá ser también igual a K.
El caso más sencillo es la prima única que se paga para cobrar un capital cierto en un futuro. Por capital cierto se entiende que alguien recibirá sí o sí ese capital. En este caso al calcular el valor actuarial de la renta o el seguro se obtiene directamente el precio de la prima. Un poco más complicado será cuando el capital no sea cierto, o cuando la prima se reparte en una serie de pagos. Así se crea una “renta de primas” cuyo valor actual será igual al valor actuarial de las rentas o el seguro.
1.
El caso cierto
1.1 A prima única: No es una operación actuarial, sino una operación de capitalización de matemática financiera. Se paga una prima única hoy para recibir un capital futuro (el asegurado o sus beneficiarios). La prima deberá tener el mismo valor que el capital futuro. No hay que olvidar que:
Ejemplo:
Se pagan 1000 euros hoy para recibir un importe equivalente (1500€, p.ej.) en el año “t”.
1.2 Con una renta de primas: Se paga una renta de manera cierta (el asegurado o sus garantías) y se recibe un capital futuro cierto (el asegurado o sus beneficiarios). La renta de n primas no será actuarial, sino financiera, y tendrá el mismo valor que el capital futuro en el año t.
Ejemplo:
Se pagan 100 euros durante 10 años para recibir 1500 euros en el año “t”. 2.
Capital diferido
2.1 Volviendo al mundo actuarial pero sin muchas complicaciones: Si el individuo llega vivo a “n” recibirá un capital C. Si es mediante una prima única:
Ejemplo:
Se pagan 980 euros hoy para recibir 1500 euros en el año “n” si se está vivo en ese momento.
2.2 Si se contrata mediante una renta de n pagos periódicos de un importe P, para recibir un capital C en el año n si se está vivo:
Este caso anterior supone que se paga una renta actuarial hasta el momento “n” que es cuando se hace efectivo el pago.
Ejemplo:
Se pagan 98 euros durante 10 años para recibir 1500 euros en el año 10 si se está vivo.
2.3 Si se contrata una renta de k pagos de importe P pero más corta que el plazo de tiempo n que ha de transcurrir hasta que se paga el seguro C:
Ejemplo:
2.4 Las primas no tienen por qué ser anuales. Se puede hacer una renta de pagos en m-ésimos de año.
Ejemplo:
Se pagan 8 euros al mes durante 10 años para recibir 1500 euros en el año 15 si se está vivo. 2.5 Las primas también pueden variar en el tiempo, y crecer, año a año, o intranualmente. …
Para ejemplificar un poco los puntos anteriores:
Un asegurado de edad 40 años contrata una renta de jubilación de 20 años de 1000 euros anuales
constantes. Pagará unas primas periódicas por trimestres durante 10 años, constantes. ¿Cuál es el valor de las primas?
Ejemplo:
Se contrata una renta trimestral de α al año, diferida m y vitalicia, mediante unas primas anuales P y constantes, inmediatas y temporales n. Determinar la ecuación de equilibrio.
La ecuación de equilibrio será, teniendo cuidado en el detalle de que α es anual! (Si no dijera nada se entendería α trimestral y se escribiría …4*α…)
La ecuación de equilibrio,
3.
El contraseguro de primas.
Dejando a un lado los casos de certeza, en los puntos anteriores si el asegurado fallece antes de cobrar la prestación perderá el valor de todas las primas que haya pagado. Se puede extender el seguro de forma que exista un contraseguro de primas, que en el caso de que se produzca el fallecimiento antes de cobrar la prestación, se le devuelvan al asegurado (a sus beneficiarios) el importe de las primas ya pagadas. 3.1 En el caso de una prima única para un capital diferido;
donde C está vinculado a la supervivencia E(x,n), el contraseguro supone sumar un término que sólo se activa si sucede lo contrario; el fallecimiento:
3.2 En el caso de una renta de primas inmediata donde hay un espacio temporal desde que termina la renta (en k) y llega el pago del capital diferido (en n), la expresión de equilibrio es:
ahora el contraseguro tiene que activarse o bien cuando aún se están pagando las primas, o bien en el espacio temporal que hay entre el fin del pago de las primas y el momento de cobrar el capital diferido:
En colores:
1. la renta de las primas de importe P pagadas durante k años es igual a
2. el valor actuarial de C si se llega vivo a n
3. más el valor de las primas P ya pagadas que haya que devolver si se fallece durante el pago de las mismas
4. más el valor de todas las primas que se devolverán si se fallece en el periodo entre final de la renta y pago del capital diferido
El término intermedio … … tiene esta forma porque hay que expresar el valor del seguro en el momento del fallecimiento: será igual al valor de las primas que haya pagado. A medida que avanzan los pagos se van acumulando “P”: Se supone un seguro con función de cuantía P y creciente en P cada
año:
Como la función de cuantía es u(t)=P+P*ent(t) se puede sacar factor común
y finalmente sacar P de la expresión, de forma que nos queda el valor de la prima “P” por un seguro continuo con función de cuantía = 1 creciente en 1 anualmente. Como existe este crecimiento, es expresa con
Cuando se termina el plazo “k” entonces ya se sabe que se tienen k*P términos (es el último término de la expresión), y por eso ahora sí se multiplica por el seguro unitario:
Ejemplo:
Para un individuo de 40 años, montar un seguro inmediato, vida entera, de 10.000 €, pagando primas anuales constantes hasta los 64 años (incluidos). Calcular la prima si se incorpora también un capital
diferido que en la jubilación le devuelva las primas si llega vivo, manteniéndose el seguro sin nuevas primas.
Otro ejemplo:
Un individuo de edad x contrata una renta prepagable de capital C anual, creciente geométricamente en β año tras año, diferido hasta m y vitalicia. Lo paga con primas inmediatas, prepagables, durante n años (n<m), anuales. Un contraseguro inmediato de primas le devolverá las primas si fallece antes de m. La ecuación de equilibrio será:
Expresado en sumas:
delante de los corchetes se ha hecho factor común con la Prima, pero además se tiene que decidir qué aproximación se quiere hacer del discreto al continuo: los seguros en la ecuación de equilibrio están
expresados en continuo: se pagan en el momento del fallecimiento. Por lo visto anteriormente (pag.30) se tiene que escoger si se quiere hacer la aproximación por la hipótesis de fallecimiento a mitad de periodo, o bien la hipótesis de intensidad de fallecimiento constante. Si no se dice lo contrario, se elige la que más apetezca. En este caso la segunda.
TEMA 2. PROVISIONES MATEMÁTICAS Y GASTOS 2.1 Provisiones matemáticas
Si un individuo contrata una renta o un seguro, la empresa aseguradora se estará comprometiendo a tener en un momento “n” la cantidad de dinero pactada; bien para pagarlo de golpe, o bien para repartirlo en forma de una renta. La cantidad de dinero que la empresa aseguradora debe tener guardado en cada
momento es lo que se conoce como la provisión matemática y crecerá en el tiempo a medida que se acerque el momento de realizarse la prestación.
Si la empresa aseguradora tiene la provisión matemática correcta estará siendo eficiente. Si tuviera más provisión matemática de la que debería tener, está guardando un exceso de capital que le resta
competitividad, y si tuviera menos provisión de la que debiera tener, entonces tiene un problema de solvencia y sostenibilidad.
La provisión entonces es aquel importe que debe tener la empresa aseguradora en un momento
determinado, teniendo en cuenta las primas que aún tiene que recibir y los pagos obligados que hará más adelante.
En el caso más sencillo, el de la prima única y prestación única, la empresa aseguradora recibe un capital en un momento t=0, lo capitaliza durante n periodos, y en t=n se lo devuelve al asegurado. La provisión matemática en este caso es, en t=0, la propia prima que acaba de cobrar, porque la gracia de todo lo visto anteriormente es sacarle rendimiento a este capital año a año. En cualquier momento intermedio t=r entre el cobro de la prima y el pago del capital diferido, la provisión matemática será
1. el valor capitalizado hasta “r” de esa prima única, 2. o lo mismo: el valor en r de la prestación a pagar.
Y cuando se llega al momento t=n, la prima única se ha capitalizado todos estos años hasta convertirse en el capital que desembolsará la empresa aseguradora.
Si lo que se contrata es un seguro de fallecimiento, puede parecer un problema que el asegurado fallezca antes de que las primas pagadas se hayan capitalizado lo suficiente como para poder convertirse en el capital pactado. Esto es inevitable, pero se soluciona con una amplia cartera de clientes y con la suma de recargos. En el caso de las rentas de jubilación, el asegurado se obliga a pagar una serie de primas para recibir en un futuro una renta por parte de la aseguradora. En el momento t=0 la empresa aseguradora tendrá una provisión igual a cero, ya que espera recibir todas las primas por parte del asegurado. En un momento t=r, mientras el asegurado está pagando primas, la empresa aseguradora tendrá ya guardadas (y rindiendo) las primas ya pagadas, estará pendiente de recibir las primas que restan y tendrá en el horizonte el valor de la renta a pagar. En este momento la provisión matemática; el dinero que la entidad debe tener para garantizar la solvencia de la operación, se puede obtener como:
1. las primas ya cobradas y su rendimiento obtenido
2. la diferencia entre el valor en “r” de la renta de jubilación y las primas que sabe que tiene aún que cobrar. El problema de 1. es que es difícil saber cuál es el rendimiento obtenido. El cálculo de la reserva matemática siempre se hará por el método prospectivo, el 2.
De esta forma, se cumple que al aproximarse al momento de iniciar la renta de jubilación el valor de la provisión va en aumento hasta tocar su máximo. A partir de que se empiece a pagar la renta de jubilación, la cantidad de dinero que la empresa aseguradora debe tener disponible va descendiendo, hasta llegar a un mínimo a medida que el individuo se aproxima al final de la renta o al infinito actuarial.
Las primas que ya se han pagado las guarda la empresa aseguradora y las va capitalizando con el paso del tiempo. Así que existe un momento inicial (todas las valoraciones hechas anteriormente), un momento final (donde la empresa ya dispondrá de todo el capital necesario para afrontar el pago al que se ha
comprometido), y todo el resto de momentos intermedios (donde a la empresa aseguradora cada vez irá recibiendo más primas hasta poder hacer frente al pago.
Si tenemos en cuenta el equilibrio actuarial:
Cuando calculamos la provisión matemática se tendrá:
En t=0, al inicio: No existe aún provisión porque la aseguradora está pendiente de recibir todas las primas; aún no ha recibido ningún pago.
En t=n, al final:
Las primas se habrán capitalizado hasta convertirse en la prestación: En t=r, en un momento intermedio: 1.
La provisión en las rentas
La provisión tendrá como expresión: un valor, para un individuo de edad x en un periodo r. Las primas serán P
Los pagos de una renta de jubilación serán La provisión mientras se pagan las primas:
Si se contrata una renta constante, vitalicia, diferida m, y para ella pagamos k primas, y todo es prepagable, la ecuación de equilibrio que nos daría el valor de las P sería:
De forma que pagando desde el momento inmediato hasta el año k, un total de k primas de valor P, se obtiene una renta desde el año m y hasta el infinito de α cada pago.
Si ahora llegamos al segundo año (r=2), cuál es el valor de la provisión matemática?
Por el método retrospectivo la reserva matemática sería el valor de las tres primas ya pagadas (porque son prepagables; una en el periodo cero, otra en el periodo uno, la tercera en el periodo dos), pero existe el problema de qué tipo de interés hay que suponer.
Y se leería como que la valoración en el periodo 2 de la provisión matemática del individuo x es igual al valor de la renta: corrigiendo que faltan dos años menos para que se inicie y que ahora el individuo tiene dos años más. Menos las primas pendientes: que es la prima inicial pero con 3 primas menos y corrigiendo también que ahora el individuo ya tiene dos años más.
En este punto ya se puede intuir un problema: cuando hablamos de “provisión matemática en el periodo 2” hay que concretar si ya se ha pagado la prima o si aún no se ha pagado.
Si nos referimos a que aún no se ha pagado la prima se entiende que estamos a un instante de pagarla; es el límite por la izquierda, es decir, se ha completado todo el primer periodo y estamos a un paso infinitesimal de iniciar el segundo periodo. Se expresa .
Si se acaba de pagar la prima, es que justo estamos en el instante donde se ha iniciado el segundo periodo. Es el límite por la derecha, en el sentido de que justo estamos iniciado el segundo periodo, y se expresa
Como es el momento exacto donde lo único que falta es pagar la prima, entonces, de forma general:
El ejemplo anterior, visto desde el límite por la izquierda se expresaría:
La provisión mientras se paga la renta:
Si ya ha pasado el periodo de recibir primas, y se ha iniciado la prestación, la aseguradora ahora espera ir pagando una renta hasta que el individuo fallezca o se llegue al final del plazo pactado. Por lo tanto ahora la provisión matemática irá decreciendo en el tiempo porque cada vez se espera pagar menos.
La provisión matemática, por el límite de la izquierda ahora será aquella provisión un instante antes de efectuar el pago de α, por ejemplo, si se hiciera el periodo 4 después de iniciarse la renta:
Y se lee como que el valor de la provisión en el periodo cuatro antes de pagar la renta de ese año es el valor de todas las pagas pendientes incluyendo el pago que se tendrá que hacer ya mismo: esto es una renta prepagable, inmediata, de un individuo con edad x+m+4, y por el precio de la prestación = α.
Si se calcula el límite por la derecha, se acaba de hacer ya mismo el pago de la renta que tocaba ese año, por lo que queda por pagar es una renta (que empieza el siguiente periodo), de pagos con valor= α, y para un individuo de edad x+m+4. Esto es: una renta pospagable:
Y se cumple que lo más inmediato tiene más valor:
La provisión en un periodo intranual:
Si nos encontramos en un momento τ entre “r-1” y “r”, sin importar si se está pagando primas o prestación, la provisión matemática en ese momento será como tomar el valor de la provisión en el límite de la izquierda y capitalizarlo hasta τ.
2.
0 k primas prepagables (de 0 a k-1) k-1 k m m+n-1 m+n Seguro C cubre de k a m Renta de n α prepagables de m a de (m a m+n-1)
Suponiendo que se contrata mediante el pago de una renta de primas inmediata, de k términos, y el seguro es de un capital C, diferido y vida entera, la ecuación de equilibrio es:
Como el seguro es continuo no se diferencia entre límites por la izquierda o la derecha; coinciden. La provisión durante la cobertura del seguro es:
Imaginando que estamos en el momento m+4:
La provisión intranual:
Suponiendo ahora que nos encontramos en un momento τ, entre m+3 y m+4, la provisión será:
3.
Ejemplos gráficos
Ejemplo 1:
Se contrata, mediante una renta de primas prepagables hasta k, un seguro C entre k y m, y una renta de m a m+n.
La ecuación de equilibrio será:
a) provisión matemática durante el periodo de pago de las primas:
Por el límite por la derecha, se ha pagado la prima del periodo r:
para el capital del seguro y la renta futura, hay que corregir el diferimiento y restar los “r” años que han pasado. Para las primas, si se ha pagado la prima del periodo ahora lo que queda es k-(r+1) primas, como no habrá pagado hasta el siguiente periodo: renta pospagable.
Por el límite por la izquierda, no se ha pagado la prima del periodo r:
El capital del seguro y la renta futura sufren las mismas correcciones que antes. Ahora para las primas; se han pagado “r” primas, falta la del periodo actual, de forma que queda una renta prepagable de k-r pagos. Además, como aún no se ha recibido la prima, el valor de es inferior al de
0
n primas prepagables (de 0 a n-1)
n-1 n m
Seguro de 0 a n que devuelve las primas
Capital C en m si vive b) provisión matemática durante el periodo de vigencia del seguro:
Ahora
La provisión será el valor del seguro inmediato y con vigencia durante m-r años, más la renta pendiente de pagar que se iniciará en m-r años y que dura n. En ambos, corrigiendo que ahora el individuo tiene x+r años. c) provisión matemática durante el periodo de la renta:
Ahora
La provisión matemática del límite por la izquierda; cuando aún no se ha realizado el pago del periodo,
Y por el límite por la derecha, cuando ya se ha realizado el pago del periodo,
Ejemplo 2:
Se contrata un capital cierto, que recibirá el asegurado o sus beneficiarios sí o sí en el año k (superior a n) pero sólo se pagará primas mientras viva y durante n periodos.
La ecuación de equilibrio será:
a) provisión en un momento r, mientras se pagan las primas, SI el individuo aún está vivo:
b) provisión en un momento r, después de haber pagado las primas, SI el individuo aún está vivo:
c) provisión en el momento de fallecimiento,
Para todo “r”, ya no se esperan cobrar primas y sólo queda el importe que se convertirá en C el año k
Ejemplo 3:
Mediante unas primas prepagables inmediatas y hasta el año n, se contrata un capital C en m a cobrar sólo si se llega vivo. Pero si se fallece antes de llegar a m, se devuelven las que se hayan pagado.
