1. Teoría de conjuntos
Cuando hemos estudiado rentas para un solo individuo estábamos en un plano sencillo donde la única preocupación era cómo calcular esa renta. Pero cuando cogemos grupos de individuos aparece entonces el problema de la cantidad de posibles permutaciones: el número de posibles ordenaciones de los elementos sin repetición. Sólo para dos individuos se pueden calcular 7 rentas, y para 3 individuos aparecerán otras 127 posibles rentas. Cosas del estilo: renta que se pagará a X mientras viva Y pero sólo después de que haya fallecido Z.
El álgebra de Boole se convierte en una herramienta que nos ayudará a calcular las rentas más complejas a partir de otras rentas más sencillas. El resultado final será que una renta como la anterior; se pagará a X mientras viva Y pero sólo después de que haya fallecido Z, será igual a sumas y restas de otras rentas que son fáciles de conocer.
2. Una cabeza
En el caso de una sóla cabeza (un individuo “x”), desde el punto de vista del álgebra de Boole, tenemos un generador (x) que tiene dos posiciones: vivo/muerto. Esto es: 1 generador genera 2 átomos.
Donde el primer X significa “vivo” y el significa el complementario: “muerto”. Si Ω es todo el espacio de probabilidad (Ω=1), y suponemos que es el cuadrado azul:
Se puede interpretar como el momento en el que un individuo nace y su probabilidad de supervivencia es =1
A lo largo de la vida de un individuo, su probabilidad de sobrevivir a un plazo de tiempo va evolucionando;
De forma que estos círculos se podrían interpretar como la probabilidad que se utilizaba anteriormente para calcular los valores actuales actuariales de las rentas:
En actuariales no interesa (porque es irrelevante) la posición muerto, por lo que nos quedamos con los átomos positivos, a los que se les llama monomios: si el generador X crea dos átomos , el monomio será simplemente . Y es que la renta de supervivencia para un individuo es
es decir, sólo nos interesa la parte positiva del átomo: X.
A esta reducción se le conocerá como “álgebra de Boole reducida”.
X
X X
3. Dos cabezas
Si ahora tenemos dos individuos, X e Y, tenemos dos generadores que generan dos posiciones cada uno
De forma que se tiene 2² átomos: la base “2” son las clasificaciones posibles, y el exponente “²” son el número de generadores. En total 4 átomos que suman la probabilidad total = 1, son las posiciones posibles:
los dos están vivos en el mismo momento X está vivo pero Y está muerto
Y está vivo pero ahora es X el que está muerto Los dos están fallecidos
Podemos excluir la parte doble negativa; y quedarnos sólo con 3 átomos…
los dos están vivos en el mismo momento; la intersección central monomio = XY X está vivo pero Y está muerto; la media luna monomio = X Y está vivo pero ahora es X el que está muerto; la otra media luna monomio = Y … para nuestros cálculos.
A partir de aquí lo que puede suceder es la combinación de estos 3 átomos entre sí:
los dos están vivos o X vive e Y está muerto monomio = XY+X
+ los dos están vivos o Y vive y X está muerto monomio = XY+Y
uno cualquiera de los dos está vivo y el otro muerto monomio = X + Y Hay alguien vivo: o los dos juntos o uno de los dos cualquiera. monomio = XY+X+Y Estas relaciones anteriores son desde el punto de vista de conjuntos, pero a nosotros realmente lo que nos interesa es añadirle la particularidad “renta que se paga si…”
Y X
renta que se paga mientras los dos vivan a la vez (hasta la disolución del grupo) renta que se paga mientras X está vivo después de la muerte de Y
renta que se paga mientras Y está vivo después de la muerte de X
renta que se paga siempre que X esté vivo, independientemente de lo que haga Y renta que se paga siempre que Y esté vivo, independientemente de lo que haga X renta que se paga si vive exactamente uno de los dos, cualquiera
renta que se paga siempre hasta que fallezcan los dos (extinción del grupo) Y para verlo aún más claro cuál sería la probabilidad asociada a cada situación,
renta que se paga mientras los dos vivan a la vez, hasta la disolución, intersección ∩
renta que se paga mientras X está vivo después de la muerte de Y
renta que se paga mientras Y está vivo después de la muerte de X
renta que se paga siempre que X esté vivo, independientemente de lo que haga Y
renta que se paga siempre que Y esté vivo, independientemente de lo que haga X
renta que se paga si vive exactamente uno de los dos, cualquiera
renta que se paga siempre hasta que fallezcan los dos (extinción del grupo) Es la unión: ∪ XY X X XY XY X X XY
Las hipótesis en que se basa este modelo es que existe independencia entre variables. Es decir, la muerte del individuo X no condiciona la supervivencia de Y. Por esto se puede decir que,
De esta forma, una renta sujeta a la supervivencia de dos individuos tendrá la forma
Y para cualquier cantidad de individuos,
Y la renta de supervivencia seguirá siendo
2. Átomos y monomios, demostración de rentas sobre 2 cabezas
Los átomos vistos con anterioridad se relacionan entre sí veces, y eliminando el vacío y trabajando sólo con la parte positiva de los átomos, los monomios; veces.
Si tenemos 1 generador; existen 2 átomos; 1 monomio se relaciona entre sí 1 vez. Existe 1 posible renta. Si tenemos 2 generadores; existen 4 átomos; 3 monomios permutan 7 veces: 7 posibles rentas.
Si tenemos 3 generadores; existen 8 átomos; 7 monomios 127 posibilidades. Si hay 4… 32767 posibilidades (15 monomios).
La dificultad entonces está en saber, cuál es la relación de monomios que componen cada renta Renta sujeta a la supervivencia de los dos individuos
Se pagará una renta prepagable, anual, inmediata, hasta que se produzca la disolución del grupo. Ya que X e Y pueden tener edades diferentes, hay que considerar que el plazo máximo será la supervivencia conjunta hasta el mínimo infinito actuarial de ambos. Es la renta de supervivencia conjunta:
Renta a partir del fallecimiento de Y, mientras X viva
Como primero tiene que suceder el fallecimiento de Y, la renta será pospagable, y durará hasta el infinito actuarial de X. Es la renta a partir de la disolución por culpa de Y:
Renta a partir del fallecimiento de X, mientras Y viva
Se puede obtener operando igual que en la anterior la renta a partir de la disolución por culpa de X:
Renta mientras vivan los dos o cualquiera de los dos individuos
Se trata de la renta unión de las dos anteriores, la renta hasta la extinción. Se paga durante la supervivencia de ambos, y continua activa aunque fallezca X o aunque fallezca Y.
Renta mientras viva exactamente uno de los dos
Se trata de la renta que existe entre la disolución y la extinción del grupo de 2 cabezas,
o lo que es lo mismo,
Renta continua a partir del fallecimiento de Y, mientras viva X
Simplemente es transformar las sumas en una integral, el concepto sigue siendo el de una renta que se paga a partir de la disolución por culpa de Y, pero ahora continua.
Ejemplo:
Valor de una renta prepagable hasta la extinción del grupo formado por X e Y (hasta que mueran los dos), si se pagan 2000€ mientras sobrevivan juntos, 500 si vive X y 300 si vive Y.
XYZ X Y Z XZ YZ XY XYZ X XZ XY 4. Grupos de 3 cabezas
Ahora aplicamos el Álgebra de Boole reducida sobre tres generadores {X, Y, Z}
Ahora existen 3 generadores, que generan 7 átomos, que si los expresamos ya como monomios son; XYZ la intersección central donde viven los 3 juntos
XY la intersección entre X e Y XZ intersección entre X y Z YZ intersección Y y Z X sólo vive X Y sólo vive Y Z sólo vive Z
Estos 7 átomos pueden permutar entre sí 127 veces; tomados de 1 en 1, de 2 en 2, de 3 en 3, de 4 en 4,… de 7 en 7 sólo habrá 1 posibilidad, que será la unión total.
De 1 en 1; XYZ XY XZ YZ X …gráficamente:
Si seleccionamos la renta del individuo X, también se toman las intersección con Y y Z, si se restan cada una de ellas también se habrá restado por 2 veces la intersección de los 3. Hay que “recuperarla” sumando.
Y
Z
Como se puede ver, el proceso del cálculo más sencillo, más directo, es la intersección de los 3 individuos, donde la probabilidad conjunta es el producto de las 3 probabilidades de supervivencia. El segundo cálculo más sencillo, casi directo, es el cálculo de la probabilidad conjunta de 2 de los 3 átomos, donde hay que restar entonces el punto de intersección central. Como se ve; la probabilidad “más compleja” es la de
encontrar la de uno de los 3 generadores ya que hay que restar las intersecciones con los otros dos átomos y “equilibrar” sumando de nuevo la probabilidad de intersección de los 3, gráficamente es más sencillo: Al seleccionar …hay que restar las intersecciones con Y y Z…
De 2 en 2;
XYZ + XY XYZ + X XY + XZ etc…
XYZ + XZ XYZ + Y XY + YZ XYZ + XY XYZ + Z XZ + YZ
¿Hay alguna forma de sistematizar estas combinaciones? Valoración en función de los monomios
Simbolizamos β como imagen de uno de los elementos del álgebra de Boole, de forma que μ(β) será la medida de ese elemento. Si estamos valorando rentas, entonces μ(β) será equivalente a la medida de esas rentas: ä(β). Todo el conjunto de posibles rentas que aparece al combinar un determinado número de generadores en álgebra de Boole reducida, se puede expresar como
Lo que se tiene son los coeficientes β que son dicotómicos; 1=sí, 0=no, y que se relacionan mediante un producto de matrices con los átomos que han generado los 3 generadores del álgebra de Boole reducida. Por ejemplo, el valor de la renta supone, como ya hemos visto antes, coger el conjunto X, descartar sus intersecciones con Z e Y, y equilibrar la intersección XYZ por haber sido doblemente descartada, en los coeficientes esto sería
De donde saldrá:
Se ha restado por dos veces y hay que recuperarlo…
Y a partir de aquí esta matriz resolverá otras combinaciones mucho más incómodas de plantear.
El vector de coeficiente beta multiplicado por un vector de cambio de variable que escribe los átomos en función de los monomios, será
Y si ahora buscamos la medida de una renta cualquiera a partir de los coeficientes beta,
Y ahora, multilplicando betas y matriz de cambio de base,
Lo que se tiene aquí son las combinaciones “básicas” que existen entre las rentas y sus interacciones.
De forma que al final tenemos 7 coeficientes para 7 monomios:
Para cualquier renta que nos planteemos ahora, indicando si hay que sumar (1), descartar (-1), o ignorar (0) los coeficientes, al multiplicar vector por matriz saldrán las rentas básicas a sumar y restar para obtener la renta objetivo.
Ejemplo:
y esto deja que la renta donde coincide la intersección de los XYZ y la intersección XY tiene valor
Es decir, la renta que se paga mientras vivan los 3 individuos o mientras vivan X e Y, tiene valor igual a la renta cuando viven X e Y, que será
Otro ejemplo:
Valor de la renta XYZ+X
Es decir, la renta que se paga mientras vivan los 3 individuos o mientras viva X, es decir, la renta que se paga siempre que X este vivo con los otros dos individuos o ninguno a la vez, tiene valor igual a,