Taller 3 Cálculo Dif-Derivadas

1

INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y APLICADAS

JEFATURA DE EDUCACIÓN Y CIENCIAS BÁSICAS

TALLER 3 CÁLCULO DIFERENCIAL

EJE TEMÁTICO 3: DERIVADAS Y SUS APLICACIONES

OBJETIVO

Comprender y aplicar el concepto de derivada, sus operaciones y propiedades para dar solución a situaciones en distintos contextos.

1. Dada la siguiente gráfica de f , indique los puntos donde no es derivable, esto es, donde

f



 

x

no existe, y explique la razón.

2. Determine si 𝑓(𝑥) = |𝑥| es derivable en 𝑥 = 0. 3. Determine si

f



 

0

existe para 𝑓(𝑥) = √𝑥. 4. Determine si

f



 



2

existe para 𝑓(𝑥) = tan 𝑥. 5. Determine si

f

 

x



Ln

 

x

es derivable en 𝑥 = 0. 6. Demuestre que

f

 

x



x



6

no es derivable en 𝑥 = 6.

x y

2

7.-20 Dadas las siguientes funciones, determine

f



 

x

a partir de la definición de derivada como un límite.

7.

f

 

x



17



6

x

8. f

 

x 7x2 5 9. f

 

x 28x5x2 10. f

 

x x3 x

11.

 

x x f

2 1

 _12.

_{ }





2

3 1



x f

13. f

 

x  3x1 14.

 

2 1    x x x f

15. f

 

x  x 16.

 

x

x

x

f





2

1

17.

 

2

1

3

x

x

f





18.

 

1   x x x f

19.

f

 

x



Senx

20.

f

 

x



Cosx

21-36 Determine

f



 

x

para cada una de las funciones que se presentan a continuación, utilizando las reglas de derivación.

21. f

 

x 3x2 5x6 22.

 

3 2

1 3

2 3_ 2_{ }

 x x x

x f

23. _f

 

_x _x23 _4x52 24. f

 

x 1.5x2 x3.7

25. f

 

x x x 26. f

  

x  4x8







x25x



27.

 

x x x f 3 1 3  

 28.

 

1 3 5 2     x x x x f

29.

 



6



30

2









x

x

x

x

f

30.

 



3



2

5   x x f

31. f

 

x x2Senx 32.

 

Cosx Lnx x

f 

33. f

 

x 

e

xTanx 34.

 

3

x Secx x

f 

35. f

 

x 



x2 1



Lnx 36.

 

1

2 2

 x x f x

e

37. Dada f

 

x x2 5x6

A. Encuentre una expresión general para la pendiente de todas las rectas que son tangentes a

f

 

x

B. Determine la pendiente de la recta tangente a

f

 

x

en

x



4

C. Hallar la ecuación de la recta tangente a

f

 

x

en el punto

 

4

,

2

3

E. Determine las coordenadas del punto sobre

f

 

x

para el cual la pendiente de la recta es 3 y halle la ecuación de dicha recta.

38. Si h

 

x x2 12x35

A. Encuentre una expresión general para la pendiente de todas las rectas que son tangentes a

h

 

x

B. Determine las coordenadas del punto sobre

h

 

x

para el cual la recta tangente es horizontal.

C. Determine las abscisas de los puntos sobre

h

 

x

para los cuales la recta tangente sube, esto es, donde es la pendiente positiva.

D. determine las abscisas de los puntos sobre

h

 

x

para los cuales la recta tangente baja, esto es, donde la derivada es negativa.

E. Determine

h



 

2

,

h



 

4

,

h



 

6

,

h



 

8

,

h



 

10

F. Grafique las rectas tangentes a

h

 

x

en

x



2

,

x



4

,

x



6

,

x



8

y

x



10

G. De acuerdo con la información obtenida en el numeral anterior, realice una gráfica aproximada de

h

 

x

39. Si g

 

x  x315x272x3

A. Encuentre una expresión general para la pendiente de todas las rectas que son tangentes a

g

 

x

B. Determine

g



 

3

,

g



 

4

,

g



 

5

,

g



 

6

y

g



 

7

C. Grafique las rectas tangentes a

g

 

x

en

x



3

,

x



4

,

x



5

,

x



6

y

x



7

D. De acuerdo con la información obtenida en el numeral anterior, realice una gráfica aproximada de

g

 

x

40. Si

 

x x

f  1 , encuentre la pendiente de la recta tangente al a curva de

f

 

x

en

a

x



41. Sea g

 

x 

_e

xSenx

A. Determine la pendiente de la recta tangente a

g

 

x

en

x



0

B. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

g

 

x

en el punto

 

0

,

0

42. Si

h

 

x



xLnx

A. Determine la pendiente de la recta tangente a

h

 

x

en

x



1

B. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

h

 

x

en el punto

 

1

,

0

C. Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de

h

 

x

y que es paralela a la recta con ecuación 3x y20

4

 

t



240

t



50

V

donde

V

 

t

está expresada en litros y

t

en horas.

A. Halle una expresión general para la velocidad de llenado del tanque en cualquier momento.

B. ¿Cuánta agua entra al tanque cada hora?

44. La posición de un carrito de cuerda sobre una pista recta está dada por:

 

t



3

t



9

S

donde

S

 

t

está expresada en centímetros y

t

en segundos.

A. Halle una expresión general para la velocidad del carrito en cualquier instante. B. ¿Cuál es la velocidad del carrito a los 20 segundos de iniciado el movimiento? C. ¿Y cuál es su aceleración?

45. La altura

H

 

t

con respecto al suelo de una pelota que se deja caer libremente desde un edificio está dada por:

 

2

9 . 4

50 t

t

H  

donde

H

 

t

está expresada en metros y

t

en segundos.

A. Halle una expresión general para la velocidad de la pelota en cualquier instante. B. ¿Cuál es la velocidad de la pelota a los 2 segundos?

C. ¿Cuándo llega la pelota al suelo?

D. ¿Cuál es la velocidad de la pelota cuando choca contra el suelo?

E. Halle una expresión general para la aceleración de la pelota en cualquier instante. F. ¿Cuál es la aceleración de la pelota a los 2 segundos?

46. Se arroja una pelota verticalmente hacia arriba desde el suelo, con una velocidad inicial de112pies/seg, su altura con respecto al suelo después de

t

segundos está dada por:

 

2

16

112t t

t

H  

A. ¿Cuál es la velocidad de la pelota en t2seg? B. ¿Cuándo alcanza su altura máxima?

C. ¿Cuándo cae al suelo?

D. ¿Cuál es la velocidad de la pelota cuando cae al suelo?

E. Halle una expresión general para la aceleración de la pelota en cualquier instante.

47-76 Funciones que se presentan a continuación utilizando la regla de la cadena.

47. f

  

x  2x5



3 48. f

 

x 



3x2 5x3



5

49. f

 

x  x3x2 50.

 



2



32

1

2 



 x x

x f

51.

 



2



4

1

2 

  Cos x Cosx x

f 52.

 

3

Senx x

x

5

53.

f

 

x



Sen



2

x



1



54. f

 

x Cos2x

55. f

 

x Ln



x2 4



56. f

 

x 

e

5x2

57. f

 

x Tanx2 58.

f

 

x



e

x3

59. f

 

x Ln 9x2 3 60. f

 

x Sec



4x2 9x



3

61. f

 

x 

e

x28 62. f

 

x 

e

xCos



2x5



63.

 







2 9



9 2    x Csc x Ln x

f _64.

 

5





3

2

3 

Sen x

x f

65. f

 

x Cot2



2x3 4x5



3 66. f

 

x Csc

   

3x2 Ln3x2

67.

f

 

x





e

x



Cos

2

 

5

x

68. f

 

x Senx2Sen2x

69. f

 

x 



Csc3

 

8x2 2x



2 70. f

 

x 



Ln



Cosx3





2

71. f

 

x  Ln



e

x 1



72.

 

x x

e

e

x

f

1

2



1





73.

 



       x xCot x x

f 5 2 3 1 74.

 

1 2 2   x Cot x Csc x f

75.

 

12

1

2

Tanx

x

f



_e

x



76.

 

x

Sec

x

Ln

x

f

2

2

2 1



77-94 Encuentre

dx dy

por derivación implícita.

77. 4x29y2 36 78. xy2x3x2 4 79. x3 x2y4y2 6 80. x2 2xy y3 C

81.

xy



y



x



0

82. x2y3 1

83.

3

x



2

y



1

84. 4CosxSeny1

85. y

x

y

x

e





86.

e

xy 2y3 5x2 11

87. x

e

y 3xLn



y1



3 88. 1xSen

 

xy2

89. ysenx2 xseny2 90. y

e

x x

e

y 1 91.

e

xSenyx

e

y 92.

Sen



x



y





ySenx

93. x y Cosy y

x _ 2 2 _

94.

e

xSeny

e

yCosx

95-104 Hallar una ecuación de la recta tangente a las gráficas de las funciones dadas en el punto indicado.

95.

 





6

1

2

1





x

x

6

96. f

 

x x

e

2x en

P

 

0

,

0

97. f

 

x Ln



x2 1



en

P

 

0

,

0

98. f

 

x Tanx 2Senx en 

    

0 , 4



P

99. 6x2 2xy y3 9 en

P



2

,



3



100. x2  y2 25 en

x



3

101. y



x2



e

x 5Lnx2 en

P

 

1

,



3

102. y53Cos6x en

 

,

1

3



P

103. yCscxSenx en





2

5

,

6



P

104. y3Ln





`x1



TanxSecx en

P

 



,

0

105-112 Dadas las siguientes funciones, hallar los puntos sobre la gráfica de f para los cuales la recta tangente es horizontal.

105 f

 

x  x2 4x5 106

f

(

x

)



sen

2

x

107 f(x) x2 4x5 108 x2 y2 2x4y

109 16x225y2 36 110 f(x)32cos4x

111 f(x)

e

xsenx 112 f(x)senxx

113-128 Utilice la derivación logarítmica para determinar la derivada de:

113. 𝑦 =𝑠𝑒𝑛

2_{𝑥 𝑡𝑎𝑛}4_𝑥

(𝑥2₊₁₎2

114. 𝑦 = √𝑥 𝑒𝑥2(𝑥2+ 1)10 115. 𝑦 = (2𝑥−3)2

√𝑥+1 (7𝑥+2)3

116. 𝑦 = 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 117. 𝑦 = (𝑠𝑒𝑛 𝑥)𝑥 118. 𝑦 = 𝑥𝑒𝑥 119. 𝑦 = (𝑙𝑛 𝑥)𝑥 120. 𝑥𝑦= 𝑦𝑥 121. 𝑦 = √𝑥 + 2𝑥

122. 𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝑥 123. 𝑦 = √𝑒𝑥 2𝑥+ 𝑠𝑒𝑛−1𝑥 124. 𝑥𝑦 = 𝑥2𝑥−𝑦

125. 𝑦 = (4𝑒𝑥)3𝑥 126. 𝑦 =𝑥 √𝑥+1

√𝑥−1 3

7 Aplicaciones de la derivada

Regla de L’hopital

129-156 Encontrar los siguientes límites:

129.

lim

𝑥→0

√1+2𝑥−√1−4𝑥 𝑥

130.

lim

𝑥→0 𝑡𝑎𝑛𝑥−𝑥

𝑥3

131.

lim

𝑥→∞

𝑥

3

_𝑒

−𝑥2

132.

lim

𝑥→0

𝑐𝑜𝑡 2𝑥 𝑠𝑒𝑛 6𝑥

133.

lim

𝑥→0+

𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑙𝑛 𝑥

134.

lim

𝑥→0

(𝑐𝑠𝑐 𝑥 − 𝑐𝑜𝑡 𝑥)

135.

lim

𝑥→∞

(√𝑥

2

_{+ 𝑥 − 𝑥)}

136.

lim

𝑥→∞

𝑥

𝑙𝑛2 1+𝑙𝑛𝑥

137.

lim

𝑥→0+

(𝑐𝑜𝑠𝑥)

1 𝑥2

138.

lim

𝑥→1

(2 − 𝑥)

tan(𝜋𝑥₂)

139.

lim

𝑥→∞

(𝑥 − 𝑙𝑛𝑥)

140.

lim

𝑥→1

1 ln 𝑥

−

1 𝑥−1

141.

lim

𝑥→0

𝑥

𝑥2

142.

lim

𝑥→0

(1 − 2𝑥)

1 𝑥 ⁄

143.

lim

𝑥→0

𝑒𝑥_{+𝑠𝑒𝑛 𝑥−1} 𝑙𝑛(𝑥+1)

144.

lim

𝑥→𝑎

𝑠𝑒𝑛 𝑥−𝑠𝑒𝑛 𝑎 𝑥−𝑎

145.

lim

𝑥→∞

(𝑒

𝑥

_{− 1)}

𝑥

146.

lim

𝑥→1+

𝑥 𝑥−1

−

1 ln 𝑥

147.

lim

𝑥→𝜋₂

(𝑠𝑒𝑐 𝑥 − 𝑡𝑎𝑛 𝑥)

148.

lim

𝑥→∞ 𝑒3𝑥 𝑙𝑛 𝑥

149.

lim

𝑥→∞

𝑙𝑛(𝑙𝑛 𝑥) 𝑙𝑛 𝑥

150.

lim

𝑥→∞ 𝑥 𝑙𝑛 𝑥 𝑥+ 𝑙𝑛 𝑥

151.

lim

𝑥→𝜋₂−

𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑙𝑛(𝑠𝑒𝑛 𝑥)

152.

lim

𝑥→𝜋₂

(𝑐𝑜𝑠 𝑥)

𝜋

2 ⁄ −𝑥

153.

lim

𝑥→0

𝑠𝑒𝑛2 _𝑥−𝑥2

(𝑒𝑥2₋₁₎2

154.

lim

𝑥→𝜋₂

(2𝑥 − 𝜋) 𝑠𝑒𝑐 𝑥

155.

lim

𝑥→∞

𝑒

−𝑥

_{𝑙𝑛 𝑥}

156.

lim

𝑥→∞

𝑥 𝑠𝑒𝑛

1 𝑥

Razones de cambio

157. Un conductor viaja por una carretera interestatal y observa que el tráfico adelante está detenido, por lo que aplica los frenos. La distancia recorrida por el vehículo durante

el frenado está dado por

s

t

t

2

t

80

t

3

4

)

8

A.

Halle una expresión general para la velocidad de frenado del vehículo.

B.

¿Cuál es la velocidad del auto después de 1 segundo?

C.

¿Cuánto se demora el vehículo en detenerse?

D.

¿Cuál era la velocidad del vehículo cuando pisó el freno?

E.

¿Cuál fue la aceleración del auto a los 2 y a los 3 segundos de haber pisado el freno?

F.

Trace una curva que represente la velocidad de frenado

G.

Trace una curva que represente la aceleración de frenado.

158. Después de t horas de un viaje de 8 horas, un automóvil ha recorrido una distancia

representada por 2 3

9

2

3

10

64

)

(

t

t

t

t

D







donde 𝐷(𝑡) está dada en kilómetros y 𝑡 en horas.

A. ¿Cuál es la velocidad del auto en la séptima hora?

B. Deduzca una expresión para la aceleración del auto como una función del tiempo C. ¿A qué razón cambia la velocidad del automóvil con respecto al tiempo al cabo de

6 horas? ¿Aumenta o disminuye la velocidad en ese momento?

159. La ley de Boyle para los gases afirma que PV c, donde 𝑃 denota la presión, 𝑉 el volumen y 𝑐 es una constante. Suponga que al tiempo 𝑡 (en minutos) la presión está dada por 202t (en 𝑔𝑚/𝑐𝑚2) y que el volumen en 𝑡 = 0 es de 60 𝑐𝑚3. Encuentre la razón de cambio del volumen con respecto al tiempo en 𝑡 = 5.

160. El desplazamiento de una cuerda que vibra está representado por

)

10

(

4

1

10

)

(

t

sen

t

s







, donde s(t) se mide en centímetros y t en segundos.

A.

Halle una expresión para la velocidad de la cuerda después de t segundos.

B.

¿Cuál es la velocidad de la cuerda a los 2 segundos de iniciada la vibración de la

cuerda?

C.

Halle una expresión para la aceleración de la cuerda después de t segundos

D.

¿Cuál es la aceleración de la cuerda a los 2 segundos de iniciada la vibración de

la cuerda?

161. En ciertas circunstancias, un rumor se esparce según la ecuación 𝑃(𝑡) = 1

1+10𝑒−0.5𝑡

donde 𝑃(𝑡) es la porción de población que conoce el rumor después de un tiempo 𝑡. Halle una expresión para la velocidad de esparcimiento del rumor después de un tiempo 𝑡.

Razones de cambio relacionadas

162. Si dos resistores 𝑅₁ y 𝑅₂ Ohms están conectados en paralelo en un circuito eléctrico para formar una resistencia de 𝑅 ohms, el valor de 𝑅 se puede encontrar a partir de la ecuación

1 𝑅=

1 𝑅₁+

9 Si 𝑅₁ decrece a una tasa de 1 𝑂ℎ𝑚

𝑠𝑒𝑔 y 𝑅2 aumenta a una tasa de 0.5 𝑂ℎ𝑚

𝑠𝑒𝑔, ¿a qué

tasa cambia 𝑅 cuando 𝑅₁ = 75 Ohms y 𝑅₂= 50 Ohms?

163. La impedancia 𝑍 (en Ohms ) en un circuito en serie está relacionada con la resistencia 𝑅 (en Ohms) y la reactancia 𝑥 (en Ohms), mediante la ecuación 𝑍 = √𝑅2_{+ 𝑥}2_{. Si 𝑅 aumenta a una razón de 3} 𝑂ℎ𝑚

𝑠𝑒𝑔 y 𝑥 disminuye a una razón de 2 𝑂ℎ𝑚

𝑠𝑒𝑔, ¿a qué razón cambia 𝑍 cuando 𝑅 = 10 Ohms y 𝑥 = 20 Ohms?

164. El voltaje 𝑣 (en voltios), la corriente 𝐼 (en Amperios) y la resistencia 𝑅 (en Ohms) de un circuito eléctrico están relacionados mediante la ecuación 𝑣 = 𝐼𝑅. Suponga que 𝑣 aumenta a razón de 1 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑖𝑜

𝑠𝑒𝑔 , mientras que 𝐼 disminuye a razón de 1 3

𝐴𝑚𝑝

𝑠𝑒𝑔. Determinar

la razón a la cual cambia 𝑅 cuando 𝑣 = 12 voltios e 𝐼 = 2 Amp. ¿𝑅 aumenta o disminuye?

165. Un tanque de agua tiene la forma de cono circular erecto invertido con radio de la base 2 metros y altura 4 metros. Si se bombea agua hacia el tanque a razón de 2

𝑚3

𝑚𝑖𝑛, encontrar la rapidez a la que el nivel del agua está subiendo cuando el agua tiene

3 metros de profundidad. Rta:

min

9

8

m



166. La Ley de Ohm para cierto circuito eléctrico establece que 𝑣 = 𝐼𝑅, donde 𝑣 es el voltaje (en voltios), 𝐼 la corriente (en Amperios) y 𝑅 la resistencia (en Ohms). Si el circuito se recalienta y el voltaje se mantiene constante a 10 voltios, la resistencia aumenta a razón de 0.5 𝑂ℎ𝑚

𝑠𝑒𝑔 . Hallar la velocidad con que decrece la corriente cuando

𝐼 = 2 Amp. Rta:

seg Amp dt

dI

2 . 0

 

167. Una persona situada en el extremo de un muelle a 8 pies del agua hala una cuerda atada a una boya en el agua. Si la cuerda se hala a una velocidad de 2 pies/min, ¿con qué rapidez se acerca la boya al muelle cuando esta se encuentra a 6 pies de éste?

168. Un niño que vuela una cometa suelta el hilo a razón de 2 pies por segundo, mientras la cometa se mueve horizontalmente a una altura de 100 pies. Suponiendo que el hilo no se pandea, encuentre la velocidad con la que se mueve la cometa en el momento en que se han soltado 125 pies de hilo. Rta: 10/3 pies/seg

10

169. Se bombea gas a un globo esférico a razón de 5 m3_{/min. ¿si la presión se mantiene}

constante, cuál es la razón de cambio del radio cuando cuando el diámetro mide 180 cms? Rta: 5/3.24



mts/min

170. Un vehículo que viaja hacia el norte a 60 km/h y un camión que viaja al este a 45 km/h se alejan de una intersección al mismo tiempo. ¿A qué velocidad cambia la distancia entre ellos 2 horas más tarde?

171. Una barra de metal tiene la forma de un cilindro circular recto. A medida que se calienta, su longitud y su diámetro aumenta a razón de 0.005 cm/min y 0.002 cm/min respectivamente. ¿a razón de cuantos cm3_{/min aumenta el volumen de la barra en el}

momento de que esta mide 40 cm de largo y 3 cm de diámetro?

172. Un faro giratorio que se encuentra a 200 mts del punto más cercano P sobre una playa recta, da vueltas cada 15 segundos. Calcule la velocidad con que el rayo de luz se mueve a lo largo de la playa en un punto a 400 𝑚𝑡𝑠 de 𝑃. (Nota: como el faro da cuatro vueltas cada minuto, entonces el ángulo que se forma entre el rayo de luz y recta trazada del faro a 𝑃, cambia a razón de 8 por minuto). Rta: 8000𝑚𝑡𝑠/𝑚𝑖𝑛. 173. Un avión vuela con una velocidad constante a una altura de 3000 mts a lo largo de

una trayectoria que lo hará pasar exactamente arriba de un observador que está en el suelo. En un instante dado el observador nota que el ángulo de elevación al avión es de 60 grados y que este aumenta a razón de i grado por segundo. ¿Cuál es la velocidad del avión en ese instante? Rta:200𝜋

9 𝑚 𝑠𝑒𝑔

174. En la mañana de un día en el que el sol pasará exactamente por el cenit, la sombra de un edificio de 24mts sobre suelo mide 18mts de largo. En ese mismo instante el ángulo



que el sol forma con el suelo crece a razón de

0

.

27

º

min

. ¿Con qué rapidez decrece la sombra?

Gráfica de funciones

113-132 Para cada una de las siguientes funciones que se presentan a continuación:

A.

Determine el dominio de la función.

B.

Encuentre las asíntotas verticales y/o horizontales si las tiene.

C.

Determine las coordenadas de los interceptos con los ejes.

D.

Determine las coordenadas de los puntos críticos.



m

11

E.

Halle los intervalos donde la función es creciente y decreciente.

F.

Determine las coordenadas de los puntos de inflexión.

G.

Halle los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo.

H.

De acuerdo con la información obtenida en los numerales anteriores, realice la gráfica de

f

 

x

.

I.

Determine el rango de la función.

113 f(x) x25x14 114 ( )6 213 15

x x x f

115 f(x)x34x2x6 ₁₁₆ f(x)x34x2x6

117 f(x)x3 2x3 118

 

3 4 4 4x x x

f  

119

 

16 4 2   x x x

f 120 f

 

x  9x210x1

121

 

3 5 2    x x x

f 122

 

7 2   x x x f

123

 

2 2

1

2 

  x x x x

f 124 _f

 

_x _x43_4x13

125

 

1

1

2 

 

x x x

f 126

 

3 2 2 3 2 2      x x x x x f

127

 

36 6 2 2    x x x x

f 128

f

 

x



x



2

Cosx

129 f

 

x 4Cos2x1 130 f

 

x  x

e

2x

131 f

 

x x2Lnx 132 f

 

x 

e

xSenx

Problemas de optimización: máximos y mínimos

133 En una central de abastos, el precio del fríjol por Kg varia durante el año de acuerdo con el siguiente modelo.

 

t 37.5t2 300t3800

P

Donde t está expresada en meses a partir del primero de enero y

P

 

t

en pesos.

A.

¿En qué mes el precio del fríjol registros su mínimo valor?

B.

¿Cuál es el precio mínimo registrado?

12

La altura Hdel techo medida en metros con respecto al piso está dada por

 

3

3 2 18

1 2  



 x x

x

H , donde

x

representa el ancho del auditorio, medido desde

una de los muros del mismo.

A.

¿A qué distancia de

x

horizontal medida desde uno de los muros el techo tiene su altura máxima?

B.

¿Cuál es la altura máxima del techo?

135 En un cultivo de mangos, el número de mangos cosechados tiende a variar periódicamente, de acuerdo con el siguiente modelo matemático:

 

t

sen

t

N



3250



1550

3

Donde

N

 

t

representa el número de mangos cosechados y

t

el número de años transcurridos a partir del 2005.

A.

¿Cuándo se da la mayor cosecha?

B.

¿Cuál es la cantidad máxima de mangos cosechados durante el año?

136 Una cadena de televisión realizó una encuesta sobre el rating de sus novelas entre las 5:00 pm. y la media noche. La expresión:

 



2 27 108 240



8

1 3  2  

 t t t

t R

Representa la cantidad de personas (medida en porcentaje) que sintonizan el canal

t

horas después de las 5:00 pm.

A.

¿A qué horas entre las 5:00 pm? y la media noche ven las novelas del canal el mayor número de personas?

B.

¿A qué horas el menor número de personas?

C.

¿Cuál es el mayor porcentaje de sintonía del canal entre las 5:00 pm? y la media noche?

 

x H

13

137 El ritmo aeróbico de una persona de 𝑥 años está representado por:

 

110 2 Para x10años

x Lnx x

A

¿A qué edad se maximiza la capacidad aeróbica?

138 En una finca se pretende destinar un área rectangular de 2250m2 para un potrero. Si al potrero hay que colocarle un cerramiento compuesto por 3 líneas de alambre de púas:

A.

¿Cuáles deben ser las dimensiones del potrero para que la cantidad de alambre de púas necesarias para el cerramiento sea mínima?

B.

¿Cuántos metros de alambre de púas se necesita para el cerramiento?

139 Se va a diseñar una lata con la forma de un cilindro circular recto con una capacidad de 2610cm3 para envasar un alimento en conserva?

A.

¿Cuáles son las dimensiones que debe tener la lata para que la cantidad de metal utilizada en su fabricación sea mínima?

B.

¿Cuál es el área de metal necesaria para la fabricación de la lata?

140 Se va a construir un tanque rectangular abierto de base cuadrada y un volumen de

3

32m . Si el costo por metro cuadrado de la base es de

$

150

.

000

y para los lados es de

$

100

.

000

encontrar las dimensiones del tanque para que el costo de construcción sea mínimo.

141 Un ingeniero diseña un canal de drenaje con una sección transversal trapezoidal tal como se muestra en la figura

Si se considera que la capacidad de drenaje del canal depende directamente de la sección transversal del mismo, ¿cuál debe ser el ángulo



para obtener la máxima capacidad?

142 A la 1:00 pm el barco A se encuentra a 30 millas al sur del barco B y viaja hacia el norte a 15 millas por hora. El barco B viaja hacia el oeste a 10 millas por hora. ¿A qué hora será la mínima distancia entre los dos barcos?

cm

50

h



14 BIBLIOGRAFÍA

ALARCÓN, Sergio; GONZÁLEZ, María Cristina y QUINTANA, Hernando. Cálculo Diferencial: Límites y Derivadas. Medellín: Fondo Editorial ITM, 2008.

DOWLING, Edward T., Cálculo para administración, economía y ciencias sociales. Primera edición. Bogotá: Mc. Graw Hill, 1992.

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LEITHOLD, Louis. El Cálculo con geometría analítica. 7a edición. México: Oxford University, 2003.

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STEIN, Sherman K. y BARCELLOS, Anthony. Cálculo y geometría analítica. Quinta edición. Bogotá: Mc. Graw Hill, 1994.

STEWART, James. Cálculo: Conceptos y contextos. Tercera edición. Bogotá: Thompson editores, 1999.

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SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo con geometría analítica. 2da edición. México: Grupo editorial Iberoamérica, 1989.

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