1.2 ECUACIONES LINEALES Y CUADRATICAS

•

Ecuación.

Es una igualdad en la que intervienen una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que sólo es verdadera para determinados valores de las incógnitas.

Ejemplos:

Recordemos

…

_{Conceptos b}

á

sicos.

Sab

í

as que

…

Los métodos para resolver ecuaciones datan desde la época de los babilonios (2000 a. C.), quienes las describían con palabras , en lugar de símbolos con variables , como lo hacemos hoy.

Los registros que se tienen son de naturaleza arqueológica, en arcilla. En relación con Mesopotamia, los registros más antiguos datan del 3 500 a.C. y terminan en el 539 a.C, fecha en la que estos territorios fueron conquistados por Persia.

Hay alrededor de 500 000 tablillas de arcilla que constituyen las fuentes principales de la cultura babilónica, y entre ellas unas 500 son de interés para las matemáticas.

en tablilla babilónica

Es cierto sólo para

Es cierto sólo para

Es cierto sólo para

4 5 z

10 7

x x 3

4 8

a a 12

Incógnita es una cantidad desconocida, se representa con las últimas letras del abecedario: p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z.

Las ecuaciones pueden clasificarse en dos formas: por el número de incógnitas y por el mayor grado o exponente de sus términos.

Ecuaciones

Por el número de incógnitas

Por el mayor grado de sus términos

•Con una incógnita. Ejemplo:

x+3=12

•Con dos incógnitas. Ejemplo:

2x-3y=1

•Con tres incógnitas. Ejemplo:

3x+2y+z=7

•etc.

•De Primer grado. Ejemplo:

4x-7=1

•De segundo grado. Ejemplo:

x²-2x-3=0

•De tercer grado. Ejemplo:

x³-3x²+3x=1

•Identidad.

Es una igualdad que se verifica para cualquier valor de las letras que se encuentren en ésta.

Ejemplo:

Son identidades porque se verifican para cualquier valor de las letras.

•Miembro.

Se llama primer miembro de una ecuación o de una identidad, a la expresión que está a la izquierda del signo de la igualdad ( = ) y segundo miembro, a la expresión que está a la derecha.

Ejemplo:

• Término.

Cada una de las cantidades que están conectadas con otra por el signo + ó ―, ó la cantidad que está sola en un miembro.

Ejemplo:

Los términos son: 3 x, ―5, ―2x y -3.

) )( (

) )( ( ) (

2 2

2

m a m a m a

b a b a b a

3 2 5

3x x

32

Primer miembro

Segundo miembro

y

x 5

•Despeje y sustitución algebraica.

Un término o cantidad se puede pasar de un miembro a otro con su operación inversa.

Primer miembro = Segundo miembro

+ –

– +

x

x

a² a

a a²

Despejar a la incógnita de una ecuación significa dejarla sola ya sea en su primer o segundo miembro.

Ejemplos:

1) En 4x + 5y = – 32, despejando a y se tiene:

5y = -4x – 32 pasamos restando 4x al 2do miembro.

y = -4x – 32, pasamos dividiendo 5 al 2do. Miembro. 5

a

•Solución y raíz

Es el valor numérico de la incógnita que verificando satisfacen la igualdad, es decir, que sustituidos en lugar de las incógnitas, convierten la ecuación en identidad o igualdad.

Ejemplo:

Resolver la ecuación

Las raíces son: ,

Comprobación (sustitución x=5):

Comprobación (sustitución x=-5):

•Resolver una ecuación.

Es hallar sus raíces, es decir, los valores de las incógnitas que satisfacen la ecuación. 75

4 7x2 x2

75 4

7x2 x2

75 3x2

3 75

2

x

25

2

x

25 x

5

1

x x2 5

75 ) 5 ( 4 ) 5 (

7 2 2

75 75

75 100 175

75 75

75 100 175

75 ) 5 ( 4 ) 5 (

6

•Transposición de Términos.

Consiste en cambiar términos de un miembro a otro, es decir, agrupar en un miembro todos los términos con x, y en el otro miembro, los términos independientes.

Nota: El término independiente consta sólo de un valor numérico y no tiene parte literal.

Ejemplos:

1)

• Transponiendo a b.

• Sumando b a los dos miembros de esta ecuación, la igualdad subsiste:

5x+b=2a-b+b

Como –b+b=0, queda:

5x+b=2a

Para conseguir cambiar a b de un miembro a otro se suma b en los dos miembros y así se logra eliminarla en el miembro donde esta restando, dejando a +b del otro lado.

2)

• Transponiendo a b.

• Restando b a los dos miembros de esta ecuación, la igualdad subsiste:

3x+b-b=2a-b

Como +b–b=0, queda:

3x=2a-b

De tal manera, para resolver ecuaciones podemos eliminar términos sumando, restando, multiplicando o dividiendo (su inverso) en los dos miembros.

REGLA:

“Cualquier término de una ecuación se puede pasar de un miembro a otro cambiándole signo”.

b a

x 2

5

a b

x 2

Para abreviar este proceso podemos hacer que un término que aparece en un miembro, aparezca de forma inversa en el otro, es decir:

•Si está sumando en un miembro, es equivalente a que esté restando en el otro, y si está restando, es equivalente a que esté sumando en el otro.

•Si está multiplicando en un miembro, es equivalente a que esté dividiendo en el otro, y si está dividiendo, es equivalente a que esté multiplicando en el otro.

•Términos iguales.

Los términos iguales que tienen el mismo signo, si están en distinto miembro de la ecuación se pueden suprimir.

Ejemplo:

2)

•Cambio de signos.

Los signos de todos los términos de una ecuación se pueden cambiar sin que la ecuación varíe, porque equivale a multiplicar los dos miembros de la ecuación por –1, con lo cual la igualdad no varia.

Ejemplo:

1)

Multiplicamos cada término en ambos miembros por –1, tendremos:

Sigue siendo la ecuación dada, con los signos de todos sus términos cambiados.

6 2 10 3

6 12 2 10 12 3

2 2

2 2

x x

x x x

x

15 3

2x x

15 3

2

) 1 ( 15 3

2 ) 1 (

x x

8 REGLAS FUNDAMENTALES DE LAS ECUACIONES

1. Si a los dos miembros de una ecuación se suma una misma cantidad positiva o negativa, la igualdad subsiste.

Ejemplos:

1)

2)

2) Cualquier término de una ecuación se puede pasar de un miembro z otro cambiándole de signo.

Ejemplos:

1)

2) 6

) 9 ( 15 ) 9 ( 9

15 9

x x x

22

) 8 ( 14 ) 8 ( 8

14 8

x x x

11 2 13

13 2

x x x

16 7 9

9 7

x x x

3) Si los dos miembros de una ecuación se multiplican por una misma cantidad positiva o negativa la igualdad subsiste.

Ejemplos:

1)

2)

4) Si los dos miembros de una ecuación se dividen entre una misma cantidad positiva o negativa la igualdad subsiste.

Ejemplos:

1)

2)

5) Si los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia, o si los dos miembros se les extrae una misma raíz, la igualdad subsiste.

Ejemplos:

1)

2) 24

) 8 )( 3 ( 8 ) 8 (

3 8

x x x

6

) 3 )( 2 ( 3 ) 3 (

2 3

x

x x

15 3 45 3 3

45 3

x x x

12 4 48 4 4

48 4

x x x

5 . 22

15 15

2 2

x x x

144 144

2 2

.

Es aquella en que, después de efectuadas todas las reducciones posibles el exponente de la incógnita es 1.

Las ecuaciones de primer grado se llaman también lineales o simples, a continuación analizaremos éstas.

•

ax+b=cx+d

Una ecuación es entera cuando ninguno de sus términos tiene denominador, además deben tener una incógnita en ambos miembros. Para resolver estas ecuaciones se efectúa el siguiente procedimiento.

1. Mediante una transposición de términos, pasar todos los términos que contienen incógnita al primer miembro de la igualdad y todas las cantidades conocidas (los términos que no contengan incógnita), al segundo miembro.

2. Se reducen en ambos miembros los términos semejantes.

3. Se despeja la incógnita dividiendo cada miembro de la ecuación entre el coeficiente de la incógnita.

Ejemplo:

7 9 63

9 63 9

) 9 (

63 9

40 23 2

7

2 23 2 40 2 23 23 7

x x

x x

x x

x x

x x

x

x 23 40 2

7

TRANSPOSICIÓN DE TÉRMINOS. (Ver pág. 71)

Reducción de términos semejantes

•Verificación.

Es la prueba de que el valor obtenido para la incógnita corresponde a la igualdad.

La verificación se realiza sustituyendo el valor obtenido de la incógnita en cada miembro de la ecuación, sí satisface la igualdad el resultado es correcto.

De tal manera, en el caso anterior:

Donde , en la ecuación dada tenemos:

•

Para resolver ecuaciones con paréntesis se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación.

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA.

El multiplicador se distribuye (multiplica), a cada elemento que está dentro del paréntesis.

Ejemplo:

Ejemplo de ecuación con paréntesis: 26

26

14 40 23 49

) 7 ( 2 40 23 ) 7 ( 7

7 x

EXISTE LA IGUALDAD

) (x a

m mx ma

MULTIPLICADOR

1 15 15

15 15

10 5 15

5 10 15

x x

x x x

5 ) 2 3 (

5 x Aplicar propiedad distributiva.

Aplicar transposición de términos.

Despejar la incógnita.

•

Una ecuación es fraccionaria sí en alguno o todos sus términos tienen denominadores.

Ejemplos:

1) 3–1= 4 x

2) 3 = 5 x-7 x+7

3) 1 – 1 = 1

x 4 12

Consiste en eliminar primero las expresiones fraccionarias (denominadores); y así convertir la ecuación fraccionaria en ecuación equivalente entera (sin denominadores).

De manera que se resuelve multiplicando ambos miembros de la ecuación por el m.c.m. de todos los denominadores.

¿Qué onda con…SUPRESIÓN DE DENOMINADORES.?

La supresión de denominadores se funda en la propiedad ya conocida de las igualdades. Una igualdad no varia si sus dos miembros se multiplican por una misma cantidad.

Recordemos

…

_M

í

nimo Com

ú

n M

ú

ltiplo (m.c.m.)

El mínimo común múltiplo de dos o más denominadores, es el menor múltiplo divisable entre cada uno de esos números.

Procedimiento ( m.c.m. ):

Para calcular el m.c.m. de varios números consiste en descomponer en sus factores primos, los números dados.

Ejemplos:

1) Encontrar el m.c.m. de 30, 42 y 60:

m.c.m. (30, 42 y 60) = 2² x 3 x 5 x 7 = 420

2) Encontrar el m.c.m. de 3x, 4x²y, 8x⁵y², 36x⁴:

m.c.m. = 2³ x 3²= 72

Observa:

El mayor exponente de x que aparece en las cuatro expresiones es x⁵.

El mayor exponente deyesy²

De tal manera, las literales del m.c.m. son : x⁵, y²

m.c.m. = 72 x⁵ y²

factores primos

3 4 8 36 2

3 2 4 18 2

3 1 2 9 2

3 1 1 9 3

1 1 1 3 3

1 1 1 1 30 42 60 2

15 21 30 2

15 21 15 3

5 7 5 5

1 7 1 7

1 1 1

Si una ecuación comprende fracciones se multiplica cada miembro por el m.c.m. de los denominadores, y mediante ello se obtiene una ecuación sin las fracciones.

Este procedimiento se conoce como eliminación de fracciones de una ecuación.

Ejemplo:

Paso 1. Obtener el m.c.m. De los denominadores:

Paso 2. Multiplicar cada término de la ecuación por el m.c.m.

Realizamos las operaciones para simplificar el m.c.m con los denominadores. De tal manera:

Paso 3. Aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación y eliminar paréntesis.

Paso 4. Transposición de términos. Pasar al primer término los miembros que tengan incógnita y en el segundo miembro los términos independientes.

Paso 5. Reducir términos semejantes.

m.c.m. = (2)²(3)= 12

Eliminaci

ó

n de fracciones de una ecuaci

ó

n:

4 3 6

5 4 3 1 6

10 x x

x

6 3 4 2

3 3 2 2

3 3 1 3

1 1 1

4 3 12 6

5 4 12 3 1 12 6

10

12 x x x

2 6

12 123 4 126 2 124 3

) 3 ( 3 ) 5 4 ( 2 ) 1 ( 4 ) 10 (

2 x x x

x x

x 20 4 8 10 9

2

4 20 8 9 10

2x x x

16 1x

Realizando previas transformaciones algebraicas se puede reducir una ecuación fraccionaria en una ecuación lineal entera.

Ejemplo:

Resolver la ecuación fraccionaria:

Paso 1. Multiplicar los productos cruzados.

Paso 2. Aplicar la propiedad distributiva y eliminar paréntesis.

Paso 3. Transposición de términos. Pasar al primer término los miembros que tengan incógnita y en el segundo miembro los términos independientes.

Paso 5. Reducir términos semejantes.

Transformaciones de ecuaciones fraccionarias:

2 1 1

1 x

x x

x

1 1 x x

2 1 x

x

) 1 ( 1 )

2 (

1x x x

x

1 2

2

) 1 ( 1 ) 2 ( 1

2 2

x x x x

x x

x x x

x

2 1 2

1 2

2 2

2

x x

x x x

x

•

Si en una ecuación además de las incógnitas sus coeficientes son literales. Estas letras suelen ser a, b, c, d, m y n, representando x a la incógnita.

Ejemplos:

1) a x + b=c

2) a x + b= c x + d

3) a x + b x + c = d x + e x + f

Las ecuaciones literales de primer grado con una incógnita se resuelven de la misma manera empleada con las ecuaciones numéricas.

•Primero, se efectúan las operaciones indicadas, si las hay.

•Luego, se transponen los términos, para agrupar en un miembro los términos que contengan la incógnita y en el otro miembro, los términos que no contienen la incógnita y por lo tanto son conocidos (aunque estén expresados con letras).

•Se reducen los términos semejantes en los dos miembros.

•Se despeja la incógnita.

Ejemplo:

5x = 8x –15 Transposición de términos:

5x – 8x = 8x – 8x –15 Reducir términos semejantes:

–3x = –15

(–3x)(–1) = (–15)(–1)

3x = 15

Dividir los dos miembros entre 3, nos resulta que:

x = 5

•

Las ecuaciones de primer grado con dos incógnitas son conocidas como ecuaciones indeterminadas, ya que tienen una infinidad de soluciones.

Ejemplo:

Despejando y, tendremos:

Cada valor que demos a x obtenemos un valor para y. Así tenemos:

Sustituyendo estos valores en la ecuación original, la convierten en identidad, es decir, satisfacen la ecuación. De tal manera, si damos valores a x, se pueden obtener infinitos pares de valores que satisfagan la ecuación.

Pero si fijamos la condición de que las soluciones sean enteras y positivas, el número de soluciones puede ser limitado en algunos casos.

Ejemplo: Resolver:

Despejando y, tenemos:

El valor de y depende del valor de x; x tiene que ser entera y positiva según la condición fijada.

Para que y sea entera y positiva, el mayor valor que podemos dar a x es 3, porque si x=4, entonces y=0; y si x=5, se tendría y =–1, que es negativa.

12 3 2x y

3 2 12 2 12 3 x y x y , 1 , 0 x x , 3 3 3 , 4 y y , 3 , 2 x x . ,... 2 , 3 2 2 etc y y 4 y x x y 4 1 x 3 1 4 y y 2 x 2 2 4 y y 3 x 1 3 4 y y 4 x 0 4 4 y y 5 x 1 5 4 y y

¿

Qu

é

onda con

…

las Ecuaciones de segundo grado?

Es toda ecuación simplificada donde el mayor exponente de la incógnita es 2.

Donde:

Término de 2do. Grado

Término de 1er. grado

Término independiente

•

Son ecuaciones de la forma:

Que cuentan con:

Un término de 2do. Grado

Un término de 1er. grado

Un término independiente

a

x

+

b

x

+

c

=0

a

x²

b

x

c

Forma general de la ecuación de segundo grado o cuadrática

Y se clasifican en:

Y pueden resolverse por:

  

•

Son ecuaciones de la forma:





•

Son los valores (solución) de la incógnita que satisfacen la ecuación. Toda ecuación cuadrática con una incógnita tiene dos raíces.

Ejemplo:

a

x

+

c

= 0

a

x

+

b

x

= 0

Carecen del término en x (término de primer grado).

Carecen del término independiente.

a

x

+

c

= 0

a

x

+

b

x

= 0

a c x₁

a c x₂

Ambos valores satisfacen esta ecuación.

0

1

x

a b x₂

Ambos valores satisfacen esta ecuación.

a

x

+

b

x

+

c

=0

a

ac b

b x

2 4

2

De esta fórmula se obtienen 2 valores de x, (dos raíces o solución) y según se tome:

Con signo + o – b 4ac

2

±

x1

2

x

Ambos valores

satisfacen esta ecuación.

1

•



•Como forzamos el binomio siempre podemos utilizar este método.

•Pasamos al segundo miembro el término independiente

C

.

El tercer término lo obtenemos con el cuadrado de la mitad del coeficiente del

segundo término.

•Formemos el trinomio. El resultado va a completar el trinomio para que sea un trinomio cuadrado perfecto.

Donde:



Primer miembro.

El 1er. Término es el cuadrado de x.

El 2do. Término es el doble producto de x por

El 3er. Término es el cuadrado de la mitad del coeficiente del segundo término.

x +

b

x +

c

= 0

Caso 1. En donde el coeficiente de x² es 1.

x +

b

x =

c

binomio

2do. término.

b

2

2

mitad del coeficiente del 2do. Término.

cuadrado de la mitad del coeficiente del

2do. Término.

coeficiente del 2do. Término.

bx x2

o bien:

b

4

2

2 b

2 2x b

4

2

b



Segundo miembro.

Para que no se altere la ecuación se le agrega la misma cantidad que le agregamos al 1er. miembro.

•Factoramos el 1er. miembro (trinomio) como un binomio al cuadrado.

Para factorar un TCP se obtiene la raíz del término cuadrático y del término independiente.

Se forma el binomio al cuadrado con los dos términos obtenidos de las raíces de los términos extremos (del primer miembro), tomando el signo del segundo término (término lineal) del trinomio.

•De tal manera que:

Ahora extraemos la raíz cuadrada a ambos miembros.

•Despejamos x

•y obtenemos dos soluciones, una positiva y una negativa: bx x2 4 2 b 4 2 b _c c b b bx x 4 4 2 2 2 raíz x x 2 2 2 4 2 b

Recordemos

…

_{factorar un TCP}

2 2 b x

+

+

c b b x 2 2 2 2

Binomio al cuadrado. Factorización del TCP.

2 2 2 2 2 2 c b b x 2 b

x ••Al momento de obtener la raíz del 2do. Miembro obtenemos dos signos. Se toman dos raíces, una con valor positivo del radical y otra con valor negativo.

• Recuerda que las ecuaciones de 2do. Grado tienen dos soluciones.

•Despejamos los términos donde se encuentra la va variable x, mediante la transposición del término independiente (

2 2

).

•Dividimos cada término de la ecuación, entre el coeficiente del primer término.

El tercer término lo obtenemos con el cuadrado de la mitad del coeficiente del

segundo término.

•Formemos el trinomio.

Donde:



Primer miembro.

El 1er. Término es el cuadrado de x.

El 2do. Término es el doble producto de x por

El 3er. Término es el cuadrado de la mitad del coeficiente del segundo término.

4

x +

3

x –

2 2

= 0

Caso 1l. En donde el coeficiente de x², no es 1.

mitad del coeficiente del 2do. Término.

coeficiente del 2do. Término.

4 3

x x

4 3 8 3 2

22 3 4x x

4 22 4 3 4 4x x

•Observa: Se forma un binomio en el Primer miembro . Y para ser un Trinomio Cuadrado Perfecto le falta un término.

binomio

2do. término.

2

x

4 22

3

4

Obtenemos el cuadrado de la mitad del coeficiente del

2do. Término.

o bien:

9

6 4

3

4

2

3

4

2

1

Multiplicamos todos los externos y

todos los internos

3

8

3

8

2

64 9 4 3

2

x x

2 4 3 2x

1 2 4 3



Segundo miembro.

Para que no se altere la ecuación se le agrega al 2do. miembro la misma cantidad que le agregamos al 1er. miembro.

•Factoramos el 1er. miembro (trinomio).

•Busquemos dos números que multiplicados den (el valor del 3er. término) y que sumados den (el valor del coeficiente del 2do. término).

•Dos números que multiplicados den x². •Dos números que multiplicados den

•Y a la vez sumados den

• Simplificamos el 2do. miembro.

• Para sumar (o restar) dos números con distinto denominador, se debe reducir las fracciones a un mismo denominador.

•Reducción de fracciones a un mismo denominador:

•Buscamos el mcm de los denominadores.

•Dividimos el mcm entre el denominador de la primera fracción (64), el resultado de esta división lo multiplicamos por el numerador de la misma fracción (9).

•Este resultado lo ubicamos sobre la línea de fracción.

•Escribimos luego el signo de la operación respectiva (suma o resta) sobre la línea de fracción.

•Dividimos el mcm entre el denominador de la primera fracción (4), el resultado de esta división lo multiplicamos por el numerador de la misma fracción (22).

• Simplificamos fracciones.

4 22 x

x 4 3

2

64 9 64

9

64 9

4 3

64 9

4 3

64 9

8 3

8 3

2

x x x

4 3

8 3

8 3

8 3 8

3 x x

2

8 3 x

binomio al cuadrado

4 22

64 9 352

64 361

2 64 2

1 32 2

1 16 2

1 8 2

1 4 2

1 2 2

1 1

m.c.m 2⁶=64

64 9

Recordemos… Suma o Resta de fracciones con distinto denominador.

•Por lo tanto:

•Para eliminar el cuadrado aplicamos raíz a ambos miembros.

•Despejamos la variable en cuestión (x)

•y obtenemos dos soluciones, una positiva y una negativa: 64

361 8

3 2 x

2 2

2

64 361 8

3 x

64 361 8

3 x

•Al momento de obtener la raíz del 2do. Miembro obtenemos dos signos.

•Se toman dos raíces, una con valor positivo del radical y otra con valor negativo.

• Recuerda que las ecuaciones de 2do. Grado tienen dos soluciones.

19 361

8 64

•Nota: Por propiedad de las raíces en fracciones éstas se pueden separar y obtener la respectiva raíz.

8 19 8

3 x

8 19 8 3 x

2 8 19 8 3

1

x

4 11

8 22

8 19 8 3

2



•Este método se puede utilizar siempre y cuando la ecuación se pueda factorar.

•Descomponiendo en dos factores binomios con un término común, el primer miembro de una ecuación.

Donde:

Nota: Recuerda como factorar un trinomio de la forma x²+bx+c.

Ejemplo 1:

Resolver por factorización la ecuación

•Descomponemos el trinomio en dos binomios, cuyo primer término es la raíz cuadrada de x² o sea x.

•En el 1er. factor después de x se escribe el signo

+

(positivo) del 2do. término del trinomio.

• En el 2do.factor después de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del 2do. término del trinomio por el signo del 3er. término del trinomio.

(+) (+) = +

0 6 5

2

x x

x

+

b

x

+

c

= (

x

+

p

) (

x

+

q

)

p

+

q

=

b

y

(

p

) (

q

) =

c

0 6 5

2

x x

x x2

raíz x x

+

x

+

x

0 6 5

2

x x

2do. término

3er. término

+

x

+

x

+

+

Caso 1. En donde el coeficiente de x² es 1.

•En los dos factores binomios tenemos en medio signos iguales, por lo que ahora se buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del 2do. término (5) del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del 3er. término (6) del trinomio.

•Esos números son

2

y

3

: 2+3=5

(2)(3)=6

•Por último igualamos a cero ambos factores:

Ejemplo 2:

Resolver por factorización la ecuación

•Descomponemos el trinomio en dos binomios, cuyo primer término es la raíz cuadrada de x² o sea x.

•En el 1er. factor después de x se escribe el signo

–

(positivo) del 2do. término del trinomio.

• En el 2do.factor después de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del 2do. término del trinomio por el signo del 3er. término del trinomio.

(–) (–) = +

•En los dos factores binomios tenemos en medio signos distintos, por lo que ahora se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del 2do. término (6) del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del 3er. término (27) del trinomio.

x

+

2

x

+

3

₀

0 ) 2 )( 3

(x x

3 0 3

1

x x

2 0 2

2

x x

0 27 6

2

x x

x x2

raíz

x x

–

x

–

x

2do. término

3er. término

–

x

–

x

+

0 27 6

2

x x

0 27 6

2

x

•Esos números son

9

y

3

: 9-3=6

(9)(3)=27

•El mayor

9

, se escribe en el 1er. binomio y se tendrá:

•Por último igualamos a cero ambos factores:

Ejemplo 1:

Resolver por factorización la ecuación

•Buscamos dos números que multiplicados den el primer término (16x²) y buscamos dos números que multiplicados den el tercer término (49), ambos verticalmente y cruzados den como resultado el segundo término (-56).

•De tal manera que:

•Por último igualamos a cero ambos factores:

•Para y (por ser factores iguales).

x

–

9

x

+

3

₀

0 ) 3 )( 9

(x x

9 0 9

1

x x

3 0 3

2

x x

Caso 1l. En donde el coeficiente de x² no es 1.

a

x

+

b

x

+

c

= 0

0 49 56 16x2 x

2

16 4 x x x 4

49 7 7

56 28 28

dos números que multiplicados den el primer término

dos números que multiplicados den el tercer término

cruzados den como resultado el

segundo término

0 ) 7 4 )( 7 4

( x x

4 7 7 4

0 7 4

2 , 1

x x x

1

x x₂

er

Ejemplo 2:

Resolver por factorización la ecuación

•Buscamos dos números que multiplicados den el primer término (2x²) y buscamos dos números que multiplicados den el tercer término (7), ambos verticalmente y cruzados den como resultado el segundo término (+5x).

•De tal manera que:

•Por último igualamos a cero ambos factores:

• Las soluciones son:

0 7 5 2x2 x

2

2x x x 2

7 1 7

5 7 2

dos números que multiplicados den el primer término

dos números que multiplicados den el tercer término

cruzados den como resultado el

segundo término

0 ) 1 )( 7 2

( x x

2 7 7 2

0 7 2

1

x x x

er

do

1 0 1

2



•Este método siempre lo podremos utilizar.

De la ecuación de segundo grado igual a cero:

La fórmula general es una ecuación que nos va a indicar el valor de la variable al cuadrado.

•Primero completamos el cuadrado perfecto de una ecuación de segundo grado de la forma:

•Despejamos los términos que tienen

x

, transponiendo

c

(término independiente).

•Despejamos el coeficiente de la variable al cuadrado

a

. Para eliminarla dividimos todos los términos entre a, tanto del primer como del segundo término.

a ac b

b x

2 4

2

¿Qué onda con… la fórmula general?

a

x

+

b

x

+

c

= 0

variable al cuadrado

¿Cómo la obtenemos?

a

x

+

b

x

+

c

= 0

a

x

+

b

x

= –

c

a c a bx a ax2

a c x a b x2

Observa que se formó un binomio y le falta un tercer término para completar un

•Completamos el trinomio cuadrado perfecto.

•El tercer término lo obtenemos con el cuadrado de la mitad del coeficiente del segundo término.

•Formemos el trinomio. Para que no se altere la ecuación se le agrega la misma cantidad que le agregamos al 1er. miembro.

•Factoramos el 1er. miembro (trinomio) como un binomio al cuadrado (obtenemos la raíz del término cuadrático y del término independiente).

•Se forma el binomio al cuadrado con los dos términos obtenidos de las raíces de los términos extremos (del primer miembro), tomando el signo del segundo término (término lineal) del trinomio.

x a b x2 a c 3er. término 2do. término

mitad del coeficiente del 2do. Término.

coeficiente del 2do. Término.

Obtenemos el cuadrado de la mitad del coeficiente del

2do. Término. o bien:

b

a

2

b

a

2

1

Multiplicamos todos los externos y todos los internos

b

2

a

2

b

2

a

b

²

4

a

²

2 2 2 2 2 4 4 a b a c a b x a b x 2 2 2 2 2 4 4 a b a c a b x a b x raíz x x 2 2 2 2 2 4a b 2 2a b x

+

+

Binomio al cuadrado. Factorización del TCP.

•Realizamos las operaciones del segundo miembro.

Multiplicaremos por productos cruzados.

1. Primero multiplica los denominadores para tener un común denominador. 2. Multiplica la diagonal

3. Multiplica la diagonal

4. Reduce los términos semejantes

•De tal manera la ecuación queda así :

•Ahora despejamos x eliminando el cuadrado, para esto sacamos la raíz cuadrada a ambos miembros.

•Sacamos la raíz al segundo miembro, recordemos que en las fracciones se pueden separar las raíces:

•De tal manera que:

•Despejamos x transponiendo al 2do. miembro. a c 2 4a a 2 4a c 2 b a 2 2 4a b 3 2 2 4 4 a ab c a c a2 4 2 ab 3 4a 2 2 4 4 a c a b 2 2 2 4 4 2 a c a b a b x 2 2 2 2 2 4 4 2 a c a b a b x 2 2 2 4 4 2 a c a b a b x

•Al momento de obtener la raíz del 2do. miembro obtenemos dos signos.

•Se toman dos raíces, una con valor positivo del radical y otra con valor negativo.

• Recuerda que las ecuaciones de 2do. Grado tienen dos soluciones.

2 2

4a c b 2 2 4a 2 2 2 4 4 a c a b

En este caso no sabemos cuanto valen los valores, por lo que no simplificamos. 2 4 2 a a 2 2 a 2 a c a b 2 4 2 a c a b a b x 2 4 2 2 a b 2 a b a c a b x 2 2 4

2 _{Observa que tenemos}

•Simplifica:

•En ecuaciones de segundo grado, de la forma:

•Se puede utilizar la fórmula general donde:

a

= coeficiente de

x

b

= coeficiente de

x

c

= término independiente.

Ejemplo 1.

•Resolver la ecuación:

Donde:

•Sustituye los valores de los coeficientes en la fórmula general. a

c a b b x

2 4

2

Conclusi

ó

n:

a

x

+

b

x

+

c

= 0

–

b

± √

b

– 4

a

c

x

=

2

a

0 8 6 2x2 x

a = 2

b = – 6

C = – 8

–

b

± √

b

– 4

a

c

x

=

2

a

2 2

8 2 4 6

6 2

Ecuación Discriminante Raíces Valores de las raíces

imaginarias

•

•De la fórmula general:

La expresión

b

– 4

a

c

que está dentro del radical se llama . El discriminante nos permite analizar los tres casos que pueden presentar la solución de

una ecuación cuadrática.

Cuando

b

– 4

a

c

es:

(positivo) las raíces son reales y desiguales. (negativo) las raíces son imaginarias. (cero) las raíces son reales y desiguales. Ejemplos:

Primer caso: Cuando

b

– 4

a

c

es

Segundo caso: Cuando

b

– 4

a

c

es

Tercer caso: Cuando

b

– 4

a

c

es Sabías que….

–

b

± √

b

– 4

a

c

x

=

2

a

a

x

+

b

x

+

c

= 0

0

Ecuación Discriminante Raíces Valores de las raíces

real y desigual 0 224 2 2 x x 900 896 4 224 1 4 2 4 2 2 ac b 16 14 2 1 x x 0 5 2 2x2 x

36 40 4 5 2 4 2 4 2 2 ac b 2 3 2 1 2 3 2 1 2 1 x x

Ecuación Discriminante Raíces Valores de las raíces

imaginarias

0 5 2 2x2 x

•Realizamos las operaciones y tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el − :

• Las soluciones son:

Ejemplo 2.

•Resolver la ecuación:

Donde:

•Sustituye los valores de los coeficientes en la fórmula general. 4

10 6

4 100 6

4 64 36 6 x

4 4 16

4 10 6

1 4

4 4

10 6

4

1

x x2 1

0 8 6 2x2 x

a = 2

b = – 6

C = – 8

–

b

± √

b

– 4

a

c

x

=

•



•La forma de este tipo de ecuaciones es:

•Transponemos

c

al segundo miembro:

•Despejamos

x

:

•Para eliminar el cuadrado aplicamos raíz a ambos miembros.

•Las raíces son:

•Si

a

y

c

tienen el mismo signo las raíces son imaginarias por ser la raíz cuadrada de una cantidad negativa.

•Si

a

y

c

tienen signo distinto, las raíces son reales.

•Se puede llegar al mismo resultado aplicando la fórmula general a esta ecuación (

a

x

+

c

= 0

) teniendo presente que b = 0, ya que el término bx es nulo. De tal manera:

a

x

+

c

= 0

a

x

= –

c

x

= –

c

a

2

a c x

x

2 2 •Al momento de obtener la raíz del 2do. Miembro obtenemos dos signos. •Se toman dos raíces, una con valor positivo del radical y otra con valor negativo.

• Recuerda que las ecuaciones de 2do. Grado tienen dos soluciones.

a c x

a c x₁

a c x₂

Checa esto…

Observa que…

a c

a c a

a c a x

2

4 4

2 4

a c x1

•Ejemplo :

Resolver la ecuación

•Primero suprimimos denominadores. (Para eliminar el denominador 9 multiplicamos por 9). Para no alterar la ecuación realizamos esta operación a cada término.

•Transponemos el término independiente al 2do. miembro y todas las x al 1er. miembro.

•Reducimos términos semejantes.

•Despejamos x:

•Extraemos la raíz cuadrada a ambos miembros.

• Las soluciones son:

•Las dos raíces +3 y –3 son reales y racionales. 3

9 7 1

2

2 x

x

3 9 9 7 9 1 9 9

2

2 x

x

27 7

9 9x2 x2

9 27 7

9x2 x2

18 2x2

9 2 18

2 2

x x

x x

2 2

2 _{9 3}

9

2

x



•La forma de este tipo de ecuaciones es:

•Factoramos por término común (x):

•Igualamos a cero ambos factores:

Si

x

=0, es una solución.

Si

a

x

+

b

= 0 ,

es la segunda solución.

•Las soluciones son:

•En estas ecuaciones una raíz siempre es cero y la otra es el coeficiente del término en x (

b

) con signo cambiado dividido entre el coeficiente del término en x² (

a

) .

•El resultado se obtiene de igual manera aplicando la fórmula general a esta ecuación (

a

x

+

b

x

= 0

) teniendo presente que c = 0, ya que el término c es nulo. De tal manera:

a

x

+

b

x

= 0

a b x

b ax

b

ax 0

0

1

x

a b x₂

x

(

a

x

+

b

)

= 0

x

= –

b

a

Observa que…

a c a b b x

2 4

2

a b b

a b b x

2 2

2

0 2

0 2

1

a a

b b x

a b a

b a

b b x

2 2 2

•Ejemplo :

Resolver la ecuación

•Primero suprimimos denominadores. (Para eliminar el denominador x-2 multiplicamos por x-2). Y para no alterar la ecuación realizamos esta operación a cada término.

•Transponemos el término independiente al 2do. miembro y las x al 1er. miembro.

•Reducimos términos semejantes.

•Factoramos por término común.

•Igualamos a cero ambos factores:

Si 3x=0, es una solución.

Si x–4=0, es la segunda solución.

•Las soluciones son:

2 2 5 1 3

x x x

2 2 5 2 1

3 2

x x x

x x

2 5 2 7

3x2 x x

2 1 3

x x

x

x 1

3 2

2 6x

2 7 3x2 x

Realizamos la multiplicación

0 12 3

2 2 5 7 3

2 2

x x

x x x

0 4 3x x

0 3 0 0 3

x x x

4 4

0 4

x x x

0

1

•

Toda ecuación de segundo grado con una sola incógnita en el eje x representa una parábola, cuyo eje es paralelo al eje de las ordenadas.

Para comenzar con el método gráfico considera que en el plano cartesiano debemos tener dos variables x,y.

Para graficar un punto necesitamos una coordenada en x y otra en y. En el ejemplo anterior tenemos un punto A con las coordenadas 2,4 (esto quiere decir, coordenadas 2 en x y 4 en y).

Ejemplo 1:

•Tenemos que adaptarla para convertirla y que tenga a y.

•Volteamos la ecuación.

•En lugar de cero (0) ponemos y.

•Así, el primer miembro de esta ecuación es una función de segundo grado. de x.

Recuerda…

0 8 6

2

x

x Esta ecuación de

2do. grado sólo tiene una variable (x)

8 6

0 x2 x _{misma ecuación}Sigue siendo la

8 6

2

•

•En matemáticas se dice que una magnitud o cantidad es función de otra, si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Una función cuadrática o de segundo grado es definida como:

• En donde a, b y c son números reales (constantes) y a es distinta de cero (0).

•La representación gráfica en el plano cartesiano es una parábola cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas.

•La parábola se abrirá hacia arriba si el signo de a es positivo y se abrirá hacia abajo en caso contrario.

c bx ax x