GUIA: RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES
A.- RAZONES
1.- Exprese en la forma más simple posible las siguientes razones:
a) 15 m es a 3 m. b) 10 kg es a 2 kg. c) 3 g es a 15 g.
d) 24 s es a 18 s. e) 2,50 m es a 1,50 m. f) 1,25 cm es a 5 cm.
g) 2
2 1
años es a 2 años. h) 2
4 1
h es a
4 1
h.
Resps.: a) 5; b) 5; c)
5 1
; d)
3 4
; e)
3 5
; f)
4 1
; g)
4 5
; h) 9.
2.- Exprese en la forma más reducida posible las siguientes razones:
a) 2 años es a 3 meses. b) 800 g es a 2,4 kg. c) 80 cm es a 3,20 m.
d) 1200 seg. es a 1,5 hrs. e) 50 cm es a 2 dm. f) 1,25 dm es a 500 mm.
Resps.: a) 8; b)
3 1
; c)
4 1
; d)
9 2
; e)
2 5
; f)
4 1
.
3.- Exprese en la forma más reducida posible las siguientes razones:
a) 50 es a 60. b) 70 es a 55. c) 175 es a 75.
d) 6.3. es a 10,8. e) 12 es a
8 3
. f) 25x es a 40x.
g) 4ab es a 6ab. h) 5s2 es a s3. i) 12a2b es a 18ab2.
Resps.: a) 6 5
; b)
11 14
; c) 3 7
; d)
12 7
; e) 32; f) 8 5
g) 3 2
; h) s 5
; i)
b 3
a 2
.
4.- Siendo 5x y 3x, dos números que están en razón de 5:3, halle estos números sabiendo, en cada caso, que:
a) Su suma es 88. b) Su diferencia es cuatro.
c) el doble del mayor más el triple del menor es igual a 57.
d) El triple del menor es igual al mayor más 20 unidades.
Resps.: a) 55 y 33; b) 10 y 6; c) 15 y 9; d) 25 y 15.
a) (3 – x): (x + 1) = 2:1 b) (x + 3):10 = (3x – 2):8
c) (x – 1):(x + 1) = (2x – 4):(x + 4) d) (x + 3): (x – 2) = 3:2
e) (x + 1):4 = (x + 6):2x f) (2x + 1):(x + 1) = 5x:(x + 4)
Resps.: a) x = 3 1
; b) x = 2 c) x∈∈∈∈{0, 5}; d) x = 12. e) x∈∈∈∈{4, – 3} f) x∈∈∈∈{2, – 3 2 }
6.- Encuentre la cuarta proporcional de los conjuntos de números que se indica, si en cada caso ella es el segundo extremo de la proporción. Es decir, a:b = c:x.
a) 2, 3, 6. b) 4, – 5, 10. c) a2, ab, 2. d) 3, 4, 12. e) – 2, 5, 6. f) m + 2, m – 2, 3.
Resp.: a) x = 9; b) x = –
2 25
c) x =
a b 2
; d) x = 16; e) x = –15; f) x = 3
2 m
2 m
++++ −−−−
.
7.- Encuentre la tercera proporcional de los pares de números que se indica, si en cada caso ella es el segundo extremo de la proporción. Es decir, a:b = b:x.
a) 2 y 3. b) – 2 y
3 8
. c) 3 y 5. d) – 2 y 4. e) a y b. f) ab y ab .
Resp.: a) x =
2 9
; b) x = –
9 32
c) x =
3 25
; d) x = – 8; e) x =
a b2
; f) x = 1.
8.- Obtenga la media proporcional para los pares de números que se indica:
a) 2 y 8. b) 3 y 27. c) – 4 y – 8. d) 3 2 y 6 2 . e) m + 2 y m + 1
Resp.: a) x = ±±±± 4; b) x = ±±±± 9; c) x = ±±±± 4 2; d) x = ±±±± 6; e) x = ±±±± m2 ++++3m++++2.
9.- Si x:y como 12:50, entonces el valor de x cuando y es 28 es .... , Resp.: x = 6,72
10.- Si a:b = 3:5 y se sabe que b – a = 6, ¿cuál es el valor de a y de b? Resp.: a = 9 y b = 15.
11.- Sabiendo que a:b como 5:6 y que 2a – 3b = – 32, obtenga a y de b. Resp.: a = 20 y b= 24.
12.- Determine dos números que estén en la razón 3:4 y que sumándoles 4 unidades a cada uno, su razón pasa a ser 4:5. Resp.: Los números son 12 y 16.
13.- Divida 253 en cuatro partes proporcionales a 2, 5, 7 y 9. Resp.: 22, 55, 77 y 99.
14.- Si x:y:z = 2: – 5:4 y, 2x + 4y – 3z = 20, obtenga x, y, z. Resp.: x = 6, y = – 15, z = 12.
15.- Si x:y:z = 4: – 3:2 y además, x – 3y + z = 63, obtenga x, y, z. Resp.: x = – 8, y = 6, z = – 4.
16.- Si (x + y):(x – y) = 5:2, determine x:y. Resp.:
B.- PROPORCIONES.
1.- Exprese cada una de las siguientes ecuaciones en la forma y = k·x, e indique las variables que son directamente proporcionales:
a) 120R = P b)
d c
= ππππ c) 0,05 =
P I
d) f =
d m
, con f =
3 2
e) A =
2 1
bh, con b constante f) V = ππππR2h, con R = 8
Resp.: a) P = 120R; P y R b) c = ππππd; c y d c) I = 0,05P; I y P
d) m =
3 2
d; m y d e) A = kh, k =
2 1
b; A y h f) V = 64ππππh, V y h
2.- Complete cada una de las siguientes frases:
a) Si y = 8x, y a x se le multiplica por tres, entonces y __________.
b) Si C = ππππD, y a D se le multiplica por cuatro, entonces C ______________.
c) Si C = ππππD, y a C se le divide por dos, entonces C se reduce a __________.
d) Si D = VT, con T = 12 y a V se le divide por cuatro, entonces D se reduce a ___________.
e) Si A = BH, con B constante, y a H se le reduce a la mitad, entonces A ___________.
Resp.: a) se triplica b) se cuadruplica c) la mitad d) la cuarta parte e) se duplica.
3.- Complete cada una de las siguientes frases y presente la fórmula de la variación correspondiente:
a) Con velocidad constante, a un tiempo duplicado le corresponde __________ de distancia recorrida.
b) Si el tiempo empleado en recorrer un tramo es constante, a una velocidad aumentada al triple le corresponde __________ de distancia.
c) Si la altura de un triángulo es fija, para que su área se quintuplique se debe amplificar el lado correspondiente ________.
d) Si el valor de una fracción es constante y el numerador se reduce a la mitad, el denominador _____________________.
Resp.: a) el doble b) el triple c) por 5 d) Se reduce a la mitad.
a) 5vt = 500 b)
2 1
pv = 7 c) f =
d m
, con m = 3 d) A =
2 1
bh, con A constante.
Resp.: a) vt = 100; v y t b) pv = 14; p y v c) fd = 3; f y d d) bh = 2A; m y d.
5.- Complete cada una de las siguientes frases:
a) Si xy = 25, y a x se le triplica, entonces y ____________________________________
b) Si 50 = vt, y a v se le reduce a un décimo, entonces t ___________________________
c) Si bh = 5, y a b se le multiplica por tres medios, entonces h _____________________
d) Si a = bh, con a constante, y h se duplica, entonces b __________________________
e) Si pv = k, con k constante, y a v se le cuadruplica, entonces p ___________________
Resp.: a) reduce a un tercio b) se decuplica c) se reduce a dos tercios
d) se reduce a la mitad e) se reduce a la cuarta parte.
6.- Complete cada una de las siguientes frases y presente la fórmula de la variación correspondiente:
a) A igual distancia recorrida en movimiento uniforme, si se duplica la velocidad entonces el tiempo_______________________________________________________
b) Para un área fija, al multiplicar el largo por cinco, el ancho_______________________
c) En un gas en un recipiente cerrado a temperatura constante, si se divide la presión por siete, el volumen _______________________________________________________
d) Aplicando a un cuerpo una fuerza constante, si se duplica la masa, la aceleración ______________________________________________________________________
Resp.: a) se reduce a la mitad b) se divide por 5.
c) se multiplica por 7. d) reduce a la mitad.
7.- Resuelva los siguientes problemas de fracciones:
a) Juan tenia U.$ 60 y gasto U. $ 18. ¿ Qué parte de su dinero gastó y que parte ahorró?
Resp.:
10 7 , 10
3
b) Con los U.$ 65 que tenía compré libros por U.$ 15 y gasté en un traje los
10 7
del resto.
¿Cuánto me queda? Resp.: U.$15
c) Una persona tiene derecho a recibir los
20 7
de $ 2.000. Si cobra
2 1
4 1
de $2.000.
d) Pedro tiene 9 años y la edad de Pedro es
2 3
de la de Enrique. ¿Qué edad tiene éste?
Resp.: (6 años)
e) Con los
4 3
y los
9 2
de mi dinero compré un caballo de U.$ 105. ¿ Cuánto tenía y
cuánto me quedó? Resp.: U.$ 108, U. $ 3
f) Compré un traje por U.$ 30 y lo vendo ganando los
10 3
del costo. Obtenga el precio
de la venta. Resp.: U.$ 39.
g) Al vender un caballo en U.$ 910 gano los
13 5
de la venta. Determine el costo.
Resp.: U.$ 560
8.- Resuelva los siguientes problemas de razones y proporciones.
a) En la fabricación de pólvora para romper rocas, el carbón y el salitre están en la razón de 16:5 y el salitre con el azufre en la razón de 10:3. ¿Cuántos kilos de cada uno entran en 5.049Kg de pólvora?
b) Por la compra de dos artículos del tipo B y un artículo del tipo A se paga $16.016. ¿Cuánto cuesta cada articulo si los precios de A y B están en la razón de 5:4?.
c) Hay que repartir un capital de $8.800 entre tres personas. Halle la cantidad que recibirá cada una de ellas sabiendo que una persona recibe $4.000 y las otras dos reciben cantidades que están en la razón 7:5.
d) Dos personas se reparten U$4.200 de modo que sus partes estén en la razón 3:4. ¿Cuánto recibe cada una?
Resp.: a) 3.590,4 kg de Carbón; 336,6 kg de Azufre; 1.122 kg. de Salitre. b) A = $8.897,77 y B = $ 7.118,23.
c) Recibirán $4.000, $2.800 y $2.000. d) U$1.800 y U$2.400.
9.- Resuelva los siguientes problemas de proporcionalidad.
a) Un avión recorre 1.600 km a 240 km/h. En el mismo tiempo,
i) ¿cuántos kilómetros recorrerá a 300 km/h?
ii) ¿a qué velocidad debiese ir para recorrer 2.400 km?
b) Un automóvil recorre 105 km y consume a razón de 7 km por litro de bencina. Si consume el mismo número de litros de combustible,
c) Un vendedor gana $250 por cada venta de $5.000 que realiza. Si el índice de su comisión es constante,
i) ¿cuánto cobrará de comisión por ventas de $70.000?
ii) ¿A cuánto deben ascender sus ventas si se propone reunir por concepto de comisiones $45.000?
d) El beneficio anual en la venta de artículos por valor de $600.000 es de $36.000. Estimando el mismo índice de ganancia, ¿qué beneficio anual debiésemos esperar por la venta de $45.000.000 en artículos?
e) De una palanca equilibrada penden dos cuerpos de 40 y 48 kilos de peso (kp), respectivamente. Si el primer cuerpo dista 15 cm del punto de apoyo, a qué distancia del punto de apoyo se encuentra el otro cuerpo?
f) En una palanca, un cuerpo de 42 kp pende de un extremo a 20 cm del punto de apoyo. Si se considera despreciable el peso propio de la palanca,
i) ¿qué peso habrá que colocar en el otro extremo, que dista 60 cm del apoyo, para equilibrar el sistema?
ii) ¿qué peso a 5 cm del punto de apoyo equilibrará el sistema?
iii) ¿a qué distancia del punto de apoyo se debe situar a un cuerpo que pesa dos tercios del que se ubica en el otro extremo para que el sistema esté en equilibrio?
g) Un piñón tiene 60 dientes y engrana con otro más pequeño de 48 dientes.
i) Obtenga revoluciones que efectúa la pequeña, si la grande efectúa 28.
ii) Obtenga revoluciones que efectúa la grande cuando la pequeña efectúa 40.
h) Dos poleas se hallan conectadas por la misma correa. El diámetro de una de ellas es de
16 cm y su velocidad angular es de 450 r.p.m.
i) Obtenga la velocidad de la otra polea, suponiendo que su diámetro mide 10 cm.
ii) Obtenga el diámetro de la otra polea, suponiendo que su velocidad es de 360
r.p.m.
Resp.: a) i) 2.000 km; ii) 360 km/h. b) i) 75 km; ii) 8 km/lt. c) i) $3.500; ii) $900.000. d) $2.700.000
e) 12,5 cm. f) i) 14 kp; ii) 56 kp; iii) 30 cm. g) i) 35; ii) 32. h) I) 720 r.p.m.; 20 cm.
C.- PORCENTAJES.
1. Hallar: a) El 10% de
5 2
d) El % 3 2
16 de 1914. e) El % 2 1
12 de 105.704.
Respuestas: a) 1,54, b) 261, c) 4,78, d) 319, e) 13.213.
2. ¿De qué número es
a) 35 el 5%? b) 850 el 72% ? c) 95 el
5 3
% ? d) 196 el 0,56%? e)
6 1
150 el %
3 1
?
Respuestas: a) 700, b)
9 5
1180 , c)
3 1 833 .
15 , d) 35.000, e) 45.050.
3. Juan tiene que pagar U$ 90. Si le rebajan el 5% de su deuda. ¿Cuánto debe pagar todavía?
(R: U$ 85.5).
4. Un metro de tela me cuesta U$ 15 ¿ A cómo tengo que venderlo para ganar el 20% del costo? (R: U$ 18).
5. Al comprar un traje que me costó U$ 105, gasté el 25% de mi dinero ¿Cuánto tenía?
(R: U$ 420).
6. Un niño tiene 57 bolitas azules que representan el % 7 1
8 del total de sus bolitas. ¿Cuántas
bolitas tiene? (R: 700 bolitas).
7. Una persona tiene “a” pesos para gastar en un Supermercado. Si gasta el 20%:
a) ¿ Qué cantidad gasto del total? (R: 0,2a)
b) ¿ Cuánto dinero le quedó? (R: 0,8a)
8. Una persona tiene un sueldo mensual de “x” pesos. Le aumentan a $100000. ¿Qué porcentaje
tuvo de aumento ?. (R:
x 10000000
)
9. Para el problema anterior, determine el porcentaje si “x” es igual a $50000 (R: 20)
Supermercado; un 30% de lo restante para arriendo; un 22% del restante en cancelar sus deudas con casas comerciales y un 18% en gastos varios.
Determine: a) ¿Qué cantidad de dinero empleó en el Supermercado y en gastos varios?.
(R: $ 65.000 y $117.000)
