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Unidad 5

Valores Máximos y Mínimos

Algunas de las aplicaciones más importantes del cálculo diferencial son los problemas de optimización, en que se nos pide

determinar el monto óptimo (el mejor) de llevar a cabo algo. En muchos casos estos problemas

se pueden reducir a encontrar el valor máximo o mínimo

Definición

: Una función f tiene un máximo absoluto en c si para todo x en D, donde D es el dominio de f. El número f(c) se llama valor máximo de f en D. Igualmente, f tiene un mínimo absoluto en c si para todo x en D; el número f( c) se denomina valor mínimo de f en D. Los valores máximo y mínimo de f se conocen como valores extremos de f.

) ( )

(c f x

f ≥

) ( )

(c f x

f ≤

Mínimo

absoluto en c

Máximo

Definición: Una función f tiene un máximo local (o máximo relativo) en c si hay un intervalo abierto I que contiene a c, tal que para toda x en I. Asimismo, f posee un mínimo local en c (o mínimo relativo) si existe un intervalo abierto I, que contenga a c, tal que para toda x en I.

)

(

)

(

c

f

x

f

≥

) ( )

(c f x f ≤

Máximo local en x = -2

Teorema del valor extremo

: Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f alcanza un valor máximo absoluto f(c) y un valor mínimo absoluto f(d) en ciertos números c y d en [a, b].

Máximo absoluto

Ejemplo

: Extremos absolutos de y = 2x3 _{+ 3x}2 _{– 12x – 7}

en [–3, 0].

Máximo absoluto

Observemos que la función por partes f definida en el intervalo cerrado

[0, 2]

no tiene valor máximo

¿Contradice este ejemplo al teorema anterior?

  

≤ ≤

< ≤

=

2 x

1 0

1 x 0

)

(

2

x x

f

El teorema de valor extremo señala que una función continua, en un intervalo cerrado, tiene un valor máximo y un valor mínimo pero no indica cómo encontrar dichos valores.

Hemos de resaltar que una función continua podría tener un valor máximo o mínimo aun cuando esté

definida en un intervalo abierto. Asimismo, una función discontinua

Al observar la gráfica ¿qué puedes decir de la recta tangente a la curva en los puntos máximos y mínimos?

2

)

(

2

−

=

x

x

x

Teorema de Fermat

Si la función f tiene un extremo local (esto es, un máximo local o un mínimo local) en c y existe f ’(x), entonces f ’(c) = 0.

Observación:

La función f(x) = 3x – 1, 0≤ x ≤1 tiene un valor máximo cuando x = 1 pero f´(1) = 3 ≠ 0. Esto no contradice el teorema de Fermat porque f(1) = 2 no es un máximo local

No podemos determinar valores extremos tan sólo igualando f´(x) = 0

La función f(x) = IxI tiene su valor mínimo (local y absoluto) en 0 pero no se puede determinar igualando f´(x) = 0, porque f´(0) no existe

Si f(x) = x3_{, entonces f´(x) = 3x}2 _{y así}

f ´(0) = 0. Pero f no posee máximo ni mínimo en 0.

Observamos que aun cuando f´(c)=0, no es necesario que haya

Definición

: Un número crítico de una función f es un número c del dominio de f, tal que f ’( c) = 0 o bien f ’( c ) no existe.

Si f tiene un extremo local en c, entonces c es un número crítico de f.

¿Cómo se observan gráficamente los puntos críticos?

Cimas

[ ]

[

]

[

]

[ ]

[ ]

[

]

2 1, , 1 x x f(x) 1 32, , x ) x ( f 2 1, , x 9 f(x) 3 0, , 2 x 2 x ) x ( f 5 / 4 2 2 + = = − = + − =

Ejercicio

: Hallar los valores máximo y mínimo absoluto de f en el intervalo dado.

Para determinar los valores máximo o mínimo absolutos de una función continua f en un intervalo cerrado [a, b]:

1. Se determinan los valores de f en los números críticos de f en (a, b).

2. Se encuentran los valores de f(a) y f(b).

Ejercicio

: Con una calculadora gráfica, estime los valores máximo y mínimo absolutos de la función f(x) = x - 2senx, 0≤x ≤2π.

Emplee el cálculo diferencial para hallar los valores máximo y mínimo exactos.

Ejercicio

: Determine los valores máximos y mínimos absolutos de cada función







≤

≤

−

<

≤

=

2

x

1

si

x

2

1

x

0

si

2x

)

x

(

f

 

 _{≤ <}

= x si 1 x 0

) x ( g

Teorema de Rolle

: Sea f una función que satisface las tres hipótesis siguientes:

1) f es continua en el intervalo cerrado [a, b]. 2) f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b). 3) f(a) = f(b).

Entonces existe un número c, en (a, b), tal que f ’(c) = 0.

a b

Ejercicio

: Demuestre que la ecuación x3 _{+ x – 1 = 0 tiene una}

y sólo una raíz real.

El teorema de Rolle nos permite demostrar un importante teorema, enunciado por Joseph-Louis Lagrange

Teorema del valor medio

Sea f una función que satisface las siguientes hipótesis: 9 f es continua en el intervalo cerrado [a, b].

9 f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b). Entonces existe un número c en (a, b) tal que

(1) )

a ( f ) b ( f ) c ( '

c

a _b

b a

c c’

Interpretación geométrica del Teorema del valor medio

Ejercicio

: Compruebe que f(x) = 2x3 _{+ x}2 _{– x – 1, x en [0,2]}

satisface las hipótesis del teorema del valor medio.

Ejercicio

: Sea f función continua y diferenciable en el intervalo [0,2] y suponga que f(0) = -3 y f ’(x) ≤ 5 para todos los x en [0, 2]. ¿Qué valor probable alcanza f(2)?

Teorema

: Si f ’(x) = 0 para toda x en un intervalo (a, b), entonces f es constante en (a, b).

Criterio para la monotonía de una función

Sea f función continua en [a, b] y diferenciable en (a, b),

1. Si f ’(x) > 0 para toda x en (a, b), entonces f es creciente en [a, b].

2. Si f ’(x) < 0 para todo x en (a, b), entonces f es decreciente en [a,b].

Funciones monótonas

Ejercicio

: Determine los intervalos donde la función f dada es creciente y donde es decreciente.

Pendientes positivas

Pendientes negativas

a) f ‘(x) > 0 para x ∈ (a,b), luego f(x) es creciente

Sea c un número crítico de una función continua f.

1. Si f ’ cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo local en c.

2. Si f ’ pasa de negativa a positiva en c, entonces f posee un mínimo local en c.

3. Si f ’ no cambia de signo en c (esto es, f ’ es positiva en ambos lados de c o bien, negativa en ambos lados de c), entonces f carece de extremo local en c.

Prueba de la primera derivada para valores extremos

Sea c un punto crítico de una función continua f tal que f ’(c) = 0 y f ’’ es continua en un intervalo abierto que contiene a c.

a) Si f ``(c) > 0, entonces f tiene un mínimo local en c.

b) Si f ``(c) < 0, entonces f posee un máximo local en c.

Prueba de la segunda derivada para valores extremos

Ejercicio

: En cada caso, determine los valores extremos de la función dada. Compruebe su respuesta con la calculadora.

Si la gráfica de f está arriba de todas sus tangentes en un intervalo I, se dice que f es cóncava hacia arriba en I o

convexa en I. Si la gráfica de f queda debajo de todas sus tangentes en I, se llama cóncava hacia abajo en I.

Cóncava hacia arriba

Cóncava hacia abajo

Pendiente negativa

Pendiente 0

Pendiente positiva

Pendiente 0

Pendiente negativa

Sea f función que tiene segunda derivada en un intervalo I.

a) Si f ``(x) > 0 para todo x en I, entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en I o convexa en I.

b) Si f ``(x) < 0 para todo x en I, entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo en I o, simplemente, cóncava en I .

Prueba de concavidad

Un punto P(x, f(x)) de una curva se llama punto de inflexión si en él la curva cambia el sentido

Posibles combinaciones de funciones creciente,

decreciente y cóncavas

a) Creciente cóncava hacia arriba

Ejercicio

: En cada caso, estudie el sentido de concavidad de la curva correspondientes a las gráfica de y = f(x).

3 x x ) x ( f 5 x 2 x x ) x ( f ₂ 3 2 2 3 4 4 1 − = + + − =

Ejercicio

: Grafique la curva y = f(x) indicando los intervalos de monotonía, valores extremos, intervalos de concavidad / convexidad y puntos de inflexión (si existen). Compruebe sus respuestas con calculadora.

Ejercicio

: Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique.

a) Si a > 0, la función definida en su dominio máximo tiene sólo un valor extremo.

b) La función es estrictamente decreciente en .

c) La función no tiene máximo y no tiene mínimo.

2 ax

e

)

x

(

f

=

−

x 2 3_e x ) x ( f =

]

_{− ∞,− 2}3

]

3 x )

x (

f = −

x

x

]

]

V o F

Problema

: Se ha de construir un tanque con una base cuadrada horizontal y lados rectangulares verticales. No tendrá tapa. El tanque debe tener una capacidad de 4 metros cúbicos de agua. El material con que se construirá el tanque tiene un costo de $10 por metro cuadrado. ¿Qué dimensiones del tanque minimizan el costo del material?

Problema

: Una pequeña empresa manufacturera puede

vender todos los artículos que produce a un precio de US$6 cada uno. El costo de producir x artículos a la semana (en dólares) es C(x)= 1000 + 6x - 0.003x2 _{+ 10}-6_x3_{. ¿Qué valor de x}

Problema

: El costo de producir x artículos por semana es C(x) = 1000 + 6x - 0.003x2 _{+ 10}-6_x3_{. El precio en que x artículos}

pueden venderse por semana está dado por la ecuación de demanda p = 12 - 0.0015x. Determine el precio y el volumen de ventas en que la utilidad es máxima

Problema

: Una cisterna subterránea ha de construirse con

Problema

: Un granjero tiene 200 metros de cerca con la cual puede delimitar un terreno rectangular. Un lado del terreno puede aprovechar una cerca ya existente. ¿Cuál es el área máxima que puede cercarse?

Ejercicio

: Inscribir un rectángulo de área máxima entre la recta x = 6, la parábola y = 4x2 _{y el eje X. Determinar las dimensiones} de dicho rectángulo.

3

3

2 2

x

60 cm2

Problema

: Un panfleto

rectangular debe tener 60 cm2 _de