La Creatividad en la Resolución de Problemas que Implican Funciones Polinomiales Edición Única

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(1)UNIVERSIDAD TECVIRTUAL ESCUELA DE GRADUADOS EN EDUCACIÓN La creatividad en la resolución de problemas que implican funciones polinomiales Tesis que para obtener el grado de: Maestría en Educación con Acentuación en Procesos de Enseñanza-Aprendizaje presenta: Ana Laura Álvarez Méndez. Asesor tutor: José de Jesús López Villalobos Asesor titular: Dra. Perla Adriana Salinas Olivo. Querétaro, Querétaro, México. Marzo 2013.

(2) Dedicatorias A mi mamá, Raquel, por su ejemplo de trabajo y constancia durante toda la vida. A mi esposo Gilberto y a mi hijo Mauricio por su comprensión para culminar con este proyecto. A mi amiga Luz del Carmen por su apoyo moral desde siempre.. ii.

(3) Agradecimientos A todos mis estudiantes que con su entusiasmo me han inyectado la energía para seguir actualizándome y poder otorgarles un mejor servicio educativo. Al Lic. Aurelio Ramírez y a la Lic. Ma. Eugenia Arellano por su apoyo para la realización de este trabajo. A mi asesor José de Jesús López por su paciencia y el tiempo dedicado para animarme en la conclusión exitosa de mi tesis.. iii.

(4) La creatividad en la resolución de problemas que implican funciones polinomiales Resumen La etapa que se vive a nivel internacional exige un mayor compromiso con el desarrollo de competencias personales, situación que incide a que la práctica educativa forme sujetos pensantes que sepan seleccionar la información adecuada y creen nuevas rutas de solución a problemas comunes. El problema de investigación tratado en el presente documento se centra en la búsqueda de elementos que permitan desarrollar la creatividad en la resolución de problemas matemáticos en la vida cotidiana con un grupo de estudiantes de una institución pública de educación media superior del Estado de Querétaro, México. El objetivo fu valorar una serie de técnicas didácticas integradas en una estrategia educativa constructivista que permita identificar las dificultades que tienen los estudiantes al momento de resolver un problema, desarrollar habilidades de pensamiento, detectar los factores escolares que promueven el pensamiento creativo y comparar los índices de aprovechamiento escolar con la creatividad que muestran los estudiantes en un determinado conjunto de actividades escolares. Se plantea un enfoque cualitativo con evidencias procedentes de encuestas, productos relativos a las actividades diseñadas, datos oficiales y observación. Se justifica con base a la necesidad de quitar el tabú social de las matemáticas inútiles, aburridas y complicadas e involucrar acciones que respondan a los intereses y necesidades de alumnos, institución y sociedad. La validez y confiabilidad se muestra con la triangulación de datos que se obtuvieron de los estudiantes, observaciones directas y literatura. Los hallazgos más notorios corresponden a la esfera personal de los estudiantes, situación no acorde con los prejuicios generales que se dirigen más hacia la infraestructura y equipamiento de las instituciones. iv.

(5) Índice Capítulo 1. Planteamiento del problema…………………………………………... 1.1 Marco contextual del problema…………..………………………………. 1.2 Antecedentes del problema…………………………….……………........ 1.3 Definición del problema……………………….…………………………. 1.4 Objetivos de la investigación…….…………………………………......... 1.5 Supuestos de investigación ……………...……………………………….. 1.6 Justificación de la investigación………………………………………….. 1.7 Delimitaciones y limitaciones...…………………………………….……. 1.8 Definición de términos………………………………………………......... 1 1 4 4 6 6 7 8 9. Capítulo 2. Marco Teórico…………………………………………………………. 2.1 Resolución de problemas matemáticos…………………………………... 2.1.1 Acercamiento al concepto de problema…….……………………... 2.1.2 Competencia matemática…………………………...……………... 2.1.3 Heurísticas…..…............................................................................... 2.2 Creatividad para resolver problemas matemáticos…………..……….…... 2.2.1 Creatividad en matemáticas………………………………..…….... 2.2.2 Habilidades de pensamiento…….………......………..……….….... 2.4 Estudio de arte del tema………………………………….…………..…... 2.4.1 Internacionales………………………………………………..….... 2.4.2 Nacionales……………………………………………………..….... 11 12 12 16 24 29 31 41 44 44 49. Capítulo 3. Metodología…………………………………………………………….. 3.1 Justificación del método de investigación................................................... 3.2 Contexto institucional................................................................................. 3.3 Participantes……………..………………..…………………………..….. 3.4 Instrumentos de evaluación...……………………………………….…..... 3.5 Procedimientos para la aplicación de instrumentos……..……….…..…... 3.5.1 Fases para el desarrollo del estudio……..…………..…………..... 3.6 Análisis de datos………….………………………………………….......... 55 56 58 58 59 60 60 64. Capítulo 4. Análisis de resultados …………………………………………………. 4.1 Descripción del proceso de análisis………...…………………………… 4.2 Selección del grupo de estudio……………………..…………………..... 4.3 Intervención previa: El diagnóstico……………………………..………. 4.4 Primer momento de intervención didáctica: El diagnóstico……….......... 4.5 Segundo momento de intervención didáctica: Desarrollo…………......... 4.6 Tercer momento de intervención didáctica: Cierre………………...…….. 66 68 68 69 74 76 86. v.

(6) Capítulo 5. Conclusiones…………………………………………………………… 5.1 Respuesta a preguntas secundarias………………………………….…. 5.1.1 ¿Qué dificultades enfrenta el estudiante al resolver un problema relacionado a funciones polinomiales? ……………………………….... 5.1.2 ¿Cómo podemos desarrollar la resolución creativa de problemas matemáticos? …………………………………………………..……... 5.1.3 ¿Cuáles son los factores escolares que inciden en el desarrollo de la creatividad? …………………………………………………………... 5.1.4 ¿En qué medida se relaciona la creatividad de los estudiantes con su aprovechamiento académico?........................................................ 5.1.5 ¿Es factible medir el desarrollo de la creatividad?........................ 5.2 Limitantes en la investigación……….………………………………….. 5.3 Debilidades de la investigación…………….………………………........ 5.4 Recomendaciones y propuestas de mejora…….……………………….... 94 95 95. 101 102 103 103. Referencias.................................................................................................................... 104. 97 98 100. Apéndices Apéndice A. Apéndice B. Apéndice C.. Reporte de alumnos irregulares……………………………... Nota de campo observacional………………………………. Cuestionario sobre acceso a computadora, Internet y Redes sociales……………………………………………………… Diagnóstico sobre conocimientos previos………………….. Transcripción parcial de la sesión con la pregunta cómo intervención cognitiva……………………………………… Ejemplos de organizadores gráfico-textuales sobre clasificación de funciones constantes y lineales…………….. Ejemplos de mapas mentales………………………………... Impresión de pantalla de la Red Social Facebook empleada en la intervención didáctica y documento para ThatQuiz…… Problemas estructurados con preguntas de análisis…………. Impresión de pantalla donde se solicitó visitar el sitio “Lléname”…………………………………………………... Actividad “Lléname”……………………………………….. Ejemplo de problema presentado en la fase de cierre………. Carta de consentimiento para realización del estudio……….. 111 112 118. Currículum Vitae…………………………………..................................................... 136. Apéndice D. Apéndice E. Apéndice F. Apéndice G. Apéndice H. Apéndice I. Apéndice J. Apéndice K. Apéndice L. Apéndice M.. vi. 119 120 123 125 126 128 130 131 134 135.

(7) Índice de Tablas Tabla 1. Resultados del examen diagnóstico………………………………………… 71 Tabla 2. Resultados de la actividad con el REA “thatquiz “…………………………. 80 Tabla 3. Heurísticas empleadas en la resolución de un problema estructurado……… 82 Tabla 4. Resultados del problema para resolución individual………………………… 84 Tabla 5. Resultados del segundo problema para resolución individual……………….. 85 Tabla 6. Resultados de la actividad “Lléname”………………………………………... 86 Tabla 7. Dificultades que enfrenta el estudiante en la resolución de problemas matemáticos…………………………………………………………………………….. 96 Tabla 8. Técnicas que desarrollan la resolución creativa de problemas matemáticos…. 98 Tabla 9. Factores escolares que inciden en el desarrollo de la creatividad…………….. 99 Tabla 10. Relación entre la creatividad y aprovechamiento de los estudiantes………… 101 Tabla 11. Ideas sobre medición de la creatividad………………………………………. 102. vii.

(8) Capítulo 1. Planteamiento del problema Este primer capítulo aborda el planteamiento del problema de investigación, situación que implica conocer como antecedente el contexto donde surge para entender la pertinencia y relevancia del caso. Con base a lo anterior se presenta el planteamiento del problema, las preguntas de investigación que se pretenden responder, el objetivo general, la justificación y las limitaciones, con la finalidad de permitir un acercamiento real al presente estudio. 1.1. Marco contextual del problema La educación actual se desarrolla en transformaciones rápidas en economía, política,. comunicación, ciencia y tecnología repercutiendo a nivel internacional, es así que se requiere cada vez más a personas preparadas que hagan frente a las exigencias de una sociedad globalizada. Estos factores inciden en la necesidad de formar personas competentes y competitivas que logren transferir conocimientos a otros ámbitos, de forma creativa, con calidad y eficiencia. Todas estas transformaciones mundiales conducen a replantear el proceso educativo para que otorgue una formación congruente con las necesidades actuales, lo cual implica que las personas enfrenten problemas y los resuelvan creativamente. Lo anterior remite a la necesidad de cambiar los procesos educativos en las instituciones, introducir estrategias que impacten e interesen a los estudiantes, modelos de aprendizaje activo que desarrollen habilidades de pensamiento y creatividad que lleve a los estudiantes a realizar propuestas diversas para resolver una situación problema. Es importante considerar lo que menciona D’Amore (2005), “no hay duda que el conocimiento, en la escuela, y su aprendizaje como construcción, se hallen condicionados por situaciones específicas de la institución” (p. 28), es decir, la escuela no es el único lugar. 1.

(9) donde se aprende y por consecuencia es importante considerar el medio sociocultural y económico donde se han desarrollado los estudiantes. El Colegio de Bachilleres del Estado de Querétaro (COBAQ), Plantel No.1 se encuentra ubicado en la Delegación Félix Osores Sotomayor, cuenta con 30 asentamientos irregulares, 50 colonias en su mayoría de interés social y varias unidades de condominios verticales de donde proviene la mayoría de estudiantes del. El entorno socio-económico es de medio a bajo, con jefes de familia en situación de desempleo o subempleo. Las actividades productivas preponderantes son como empleados en la industria, obreros u operadores y comerciantes formales o informales con ingresos entre uno y tres salarios mínimos en promedio, lo cual provoca que destinen pocos recursos para la educación de sus hijos, existiendo en algunos casos la necesidad del estudiante por incorporarse a la vida laboral para continuar con sus estudios. Esta incompatibilidad de horarios debida a que todos los miembros de la familia trabajan, así como padres poco o nada involucrados en el proceso educativo de sus hijos, se traduce en que aproximadamente un 35 a 40% de los alumnos deserten antes de concluir sus estudios. Los que concluyen sus estudios se distribuyen en el campo laboral, estudios técnicos y una minoría en estudios profesionales. El COBAQ es un organismo público descentralizado que ofrece bachillerato general que involucra el aprender a aprender, aprender a hacer, aprender a vivir juntos y aprender a ser. Pedagógicamente, el modelo educativo es constructivista con enfoque en competencias. Su visión es “ser una institución líder por impulsar la transformación del sistema público de educación media superior, para mejorar el nivel de vida de sus estudiantes y de la sociedad” y su misión es “contribuir a la formación integral de los estudiantes a través del logro de competencias, para que accedan a una vida más plena; así 2.

(10) como al fortalecimiento de la educación media superior pública de calidad en favor de la igualdad, el bienestar y el desarrollo social” (COBAQ, s.f.). El estudio surge en el plantel No. 1 Satélite, que ofrece educación presencial en dos turnos, a una cantidad aproximada de 2300 estudiantes con edades comprendidas entre los 14 y 20 años, de los cuales un 99.6% provienen de instituciones educativas federales de enseñanza media básica y el resto de colegios privados. Se conforman grupos con un promedio de 50 estudiantes por aula, mismas que cuentan con bancas individuales y pintarrón. El trabajo académico se planea en la academia de matemáticas de manera semestral, más son espacios con poco intercambio de estrategias didáctico-pedagógicas y por ello cada docente implementa sus propias estrategias. Lo anterior causa una heterogeneidad en las bases matemáticas de los estudiantes con la situación de que las asignaturas en el área van ligadas, provocando así un rezago en los conocimientos previos y habilidades de pensamiento de un nivel a otro y asignaturas relacionadas. Al considerar el contexto que rodea el proceso educativo, es necesario planear una innovación que permita el desarrollo de habilidades de pensamiento y creatividad, para que el estudiante pueda enfrentarse a los problemas que se presentan en su vida cotidiana, en una asignatura colateral, en un semestre posterior, en la educación superior o en sus actividades laborales. Lo anterior se logra a través una planeación didáctica adecuada al nivel cognitivo de los estudiantes, sus intereses y el reto asequible de actividades que impliquen espontáneamente un conjunto de habilidades y la libertad de expresar lo que se piensa.. 3.

(11) 1.2 Antecedentes del problema Existen muchas investigaciones que señalan un bajo aprovechamiento en el área matemática y máxime si se enfoca en la resolución de problemas, los conflictos no radican únicamente en los estudiantes sino también en los profesores. Vargas (2011) expresa que un porcentaje alto de futuros maestros presentan dificultades al resolver problemas de matemáticas, situaciones que comienzan desde la comprensión de los enunciados, determinar datos relevantes y superfluos, planear y ejecutar una estrategia de resolución, manejo del lenguaje y capacidad de argumentación. Mochón (2000) señala que uno de los problemas en la educación matemática, radica en la falta de situaciones concretas que les den significado y las conecten con entornos reales que se analizan en otros contextos, es decir, se deben plantear vías factibles que conjunten el conocimiento matemático y el científico con recursos como la modelación y uso de hojas electrónicas de cálculo. Por lo tanto, es importante en este estudio considerar la problemática desde el profesor y sus acciones didáctico-pedagógicas para proseguir con los factores incidentes en el aprendizaje de los estudiantes. 1.3 Definición del problema En el COBAQ, se imparten cuatro asignaturas básicas de matemáticas con una carga horaria de cinco horas semanales: álgebra, geometría y trigonometría, geometría analítica y funciones polinomiales y trascendentes. Durante el último año, el componente propedéutico ofrece las asignaturas de cálculo diferencial y cálculo integral, reduciendo la carga horaria a tres horas semanales y además de que se introducen como materias obligatorias. La experiencia docente de la Academia de Matemáticas del COBAQ Plantel No. 1 permite detectar una serie de deficiencias factuales, conceptuales, procedimentales y de habilidades de pensamiento con respecto a la resolución de problemas. El tema de funciones 4.

(12) polinomiales se queda como un contenido sin sentido al ser tratado algorítmicamente, lo cual conduce que al retomar dichos conocimientos en la asignatura de cálculo diferencial, no logran conectarlos para comprender los conceptos de derivada y los procesos de resolución durante el tema de máximos y mínimos donde invariablemente se trata la resolución de problemas. Moreno y Cuevas (2004) mencionan en un estudio realizado con maestros de cálculo diferencial de una escuela superior y estudiantes de ingeniería, que el tema de máximos y mínimos conducido como un conocimiento procedimental sin sentido, se evidencia cuando las personas se enfrentan a problemas no rutinarios. De manera que conduce a interpretaciones falsas sobre conceptos matemáticos y proporcionan respuestas inadmisibles que contradicen la solución intuitiva. Lo anterior se evidencia con los estudiantes de cálculo diferencial y con algunos egresados de COBAQ No.1 que ingresan a estudios profesionales relacionados con las ciencias exactas, algunos regresan al plantel por asesoría presencial o recurren a la asesoría virtual con los maestros del plantel. En la materia de funciones polinomiales y trascendentes donde se tratan los antecedentes de cálculo diferencial, se retoman muchos conceptos algebraicos y geométricos que deben emplearse creativamente para plantear y resolver un problema. Al momento de cursar cálculo diferencial, los estudiantes entregan tareas copiadas y sin comprender su proceso de resolución, finalmente el porcentaje de reprobación es alto, los alumnos se decepcionan y se alejan de profesiones que se relacionen con la matemática. Esta situación, sucede año con año y no se tiene el cuidado de realizar una planeación y diseño estrategias innovadoras que impacten e interesen a los estudiantes, que además impacten en un aprendizaje real para que desarrollen sus estrategias generales y aquéllas relacionadas directamente con la matemática. 5.

(13) 1.4. Objetivos de la investigación Objetivo general. Evaluar técnicas didácticas que desarrollan la creatividad en estudiantes de. bachillerato durante la resolución de problemas en el tema de funciones polinomiales con la finalidad de mejorar la formación propedéutica para la materia de cálculo diferencial así como para carreras científicas y administrativas. Objetivos particulares.  Identificar las dificultades que los estudiantes enfrentan al resolver un problema.  Integrar al proceso educativo, técnicas didácticas que permitan el desarrollo de habilidades de pensamiento creativas en los estudiantes.  Relacionar el proceso creativo y los índices de aprovechamiento escolar.  Identificar los factores que inciden en el desarrollo de la creatividad.  Identificar si puede medirse el desarrollo de la creatividad. 1.5. Preguntas de investigación Es así que con el objeto de reducir dicha problemática entre los procesos de. resolución y las funciones polinomiales, se originan la siguiente pregunta de investigación: ¿Cómo se pueden desarrollar las habilidades de pensamiento creativas para la resolución de problemas en el tema de funciones polinomiales? Preguntas secundarias: 1.. ¿Qué dificultades enfrenta el estudiante al resolver un problema relacionado a funciones polinomiales?. 2.. ¿Cómo podemos desarrollar la resolución creativa de problemas?. 3.. ¿Cuáles son los factores escolares que inciden en el desarrollo de la creatividad?. 6.

(14) 4.. ¿Cómo se relaciona la creatividad de los estudiantes con su aprovechamiento. académico? 5. 1.6. ¿Se puede medir el desarrollo de la creatividad?. Justificación de la investigación Las matemáticas son un tabú social y la postura general es de rechazo en la mayoría. de los estudiantes, existen diversos factores que inciden en esa visión y que Mochón (2000) los resume en cuatro ideas erróneas sobre las matemáticas: no sirven para la vida diaria, son abstractas, son exactas y son solamente para genios, agregando que en el entorno y medios de comunicación (comerciales televisivos) las emiten como fastidiosas, monótonas, sin sentido y muy difíciles de aprender. Los resultados de exámenes internacionales son desalentadores para nuestro país, por lo tanto es apremiante modificar el proceso educativo de las matemáticas hacia un aprendizaje activo, donde el estudiante se sienta implicado, motivado por estrategias interesantes, que le causen curiosidad y a la vez puedan desarrollar su potencial creativo y sus habilidades de pensamiento. La pertinencia involucra un aprendizaje significativo que se aborda desde el enfoque de “qué” enseñar y “para qué” enseñar, es decir, durante la realización de este estudio se explorarán técnicas didácticas enfocadas a promover la resolución creativa de problemas que implican funciones polinomiales y su aplicación práctica durante el curso, haciendo la observación de que son conocimientos previos para cálculo diferencial y requisitos para carreras científicas y administrativas. La relevancia es la intención del estudio, responde a los intereses y aspiraciones de alumnos, institución y sociedad. A nivel del estudiantado se adquieren nuevos procesos cognitivos que le permitan un mejor desarrollo en el área y en otras secciones de su vida; a nivel institucional se tendrá conocimiento de lo realizado en la línea de investigación para 7.

(15) la mejora de calidad en la educación, respondiendo a las necesidades actuales de formar en y para la vida, aunado a mejores resultados estadísticos; finalmente, a nivel sociedad se tendrán personas más competentes y competitivas en los ámbitos familiares, escolares y laborales. 1.7 Delimitación del estudio El estudio se llevará a cabo con 48 alumnos de cuarto semestre, turno matutino, en el COBAQ Plantel No.1, durante la asignatura de Funciones polinomiales y trascendentes en el semestre 13-A. Los estudiantes tenían edades que oscilan entre los 16 a 19 años. Inicialmente se aplicará un cuestionario escrito de diagnóstico que permita obtener información cuantitativa y cualitativa sobre los constructos: creatividad, habilidades de pensamiento y resolución de problemas sobre funciones polinomiales. Posteriormente se aplicarán estrategias que conecten los tres constructos mencionados y así proceder a relacionarlos; se tomará una muestra representativa para aplicar una entrevista semiestructurada a los estudiantes y por último aplicar un cuestionario final que permita la comparación con el cuestionario inicial de diagnóstico. La información que se recabe será sometida a un análisis mixto. Las limitaciones versan en cuanto a la disponibilidad de acceso a software y laboratorio de informática, al cual no tiene acceso el área de matemáticas. Al lado del plantel existe una Unidad de Medios Estatal manejada por la Secretaría de Educación Básica, se realizarán los trámites necesarios para que permitan utilizar freeware con los estudiantes. Al prever lo anterior, se solicitará a la dirección general de la institución que requieran un convenio para no tener que hacer el trámite en cada ocasión. Otra situación que se debe resolver es que la investigadora obtenga para el próximo semestre, grupos de la asignatura donde pretende realizar el estudio. 8.

(16) 1.8. Definición de términos Analogías: “Es una estrategia de razonamiento que permite relacionar elementos o. situaciones cuyas características guardan semejanza” (Pimienta, 2005, p. 149). Aprendizaje por descubrimiento: “Situación en que el contenido principal que se va a aprender no se muestra en su forma final, sino el alumno tiene que generarlo y descubrirlo por sí mismo. Es propio de la formación de conceptos y la solución de problemas” (Díaz Barriga y Hernández, 2002, p. 427). Autoconcepto: “Producto social, elaborado a partir de la interacción del sujeto con el contexto, en la relación con las personas, considerando las iniciativas propias y la aceptación o rechazo que encuentra en los otros. Interiorización que la persona hace de su imagen social” (Adell, 2004, p. 42). Autoestima: “Valoración positiva o negativa que el sujeto hace de su autoconcepto, incluyendo las emociones que asocia a ellas y las actitudes que tiene respecto de sí mismo” (Arancibia, C.V., Herrera, P.P. y Strasser, S.K., 1999, p. 176). Comprensión de textos: “Proceso cognitivo complejo de carácter constructivo e interactivo, donde influyen de manera importante características del lector, del texto y del contexto en donde ocurre” (Díaz Barriga y Hernández, 2002, p. 428). Habilidades de pensamiento: “Procedimientos libres de contenido que permiten aprender, resolver problemas y comprender” (Arancibia, Herrera y Strasser, 1999, p. 146). Heurísticas: Estrategias generales aplicables a todo tipo de problemas que proveen el tipo de direcciones para aproximarse a los problemas, comprenderlos, confrontarlos y resolverlos (Arancibia, Herrera y Strasser, 1999, p. 116). Hipertexto: “Esta estrategia permite profundizar en las definiciones, buscando hasta el final todo lo que nos haga dudar” (Pimienta, 2005, p. 149). 9.

(17) Lenguaje gráfico: Es la representación del comportamiento de una situación por medio de puntos en un plano cartesiano (Mochón, 2000). Lenguaje numérico: Es la representación del comportamiento de una situación por medio de valores donde se relacionan dos o más variables de un sistema (Mochón, 2000). Lenguaje simbólico: El más conocido y usado. Consta de un conjunto de ecuaciones que relacionan las variables del fenómeno. Expresión matemática del tipo y = f (x), (Mochón, 2000). Lluvia de ideas: “Técnica grupal que permite indagar u obtener información acerca de lo que un grupo conoce sobre un tema determinado” (Pimienta, 2005, p. 74) Mapa mental: “Es una técnica extraordinaria para evitar la rigidez del pensamiento, al expandir la creatividad por medio de la producción y asociación de ideas en una estructura creciente y organizada de patrones” (Montes y G. de Montes, 2002). Puente cognitivo: “Ideas, conceptos o apoyos que permiten enlazar la estructura cognitiva contenidos por aprender, de manera tal que orientan a alumno forma regulada a detectar las ideas fundamentales, organizarlas e integrarlas significativamente en su estructura de conocimientos” (Díaz Barriga y Hernández, 2002, p. 436). Respuesta anterior-pregunta-respuesta posterior. “Estrategia que nos permite construir significados en dos momentos basados en una pregunta, una respuesta anterior anticipada y una respuesta posterior” (Pimienta, 2005, p. 129).. 10.

(18) Capítulo 2. Marco teórico En el presente capítulo se exponen las conceptualizaciones teóricas y estudios relacionados al tema: la creatividad en la resolución de problemas que implican funciones polinomiales, lo cual involucra una serie de factores que inciden directamente en las habilidades de pensamiento que los estudiantes deben desarrollar al enfrentar un problema y resolverlo creativamente. Se comienza el desarrollo abordando la conceptualización de problema, que al ser un constructo social implica considerar situaciones contextuales que intentan definirlo y caracterizarlo. Posteriormente se trata el tema de resolución de problemas desde el punto de vista del tipo de situación que se maneja, procesos algorítmicos en la resolución de ejercicios y problemas tipo, hasta tratar de comprender el conjunto de procesos y habilidades que se requieren para lograr llegar a una solución en el planteamiento de un problema no rutinario; es así necesario abordar las estrategias generales que deben ser desarrolladas para trazar un plan general de acción, éstas son las llamadas heurísticas que son el soporte holístico no enfocado a una disciplina particular y que proporcionan el proceso a seguir en la resolución de un problema. En consecuencia, muy ligado a las heurísticas se tienen las habilidades de pensamiento que será la forma de abordar el problema, si se acepta el reto y se está en disposición de encontrar la secuencia adecuada para llegar a la meta. Y en conjunto las habilidades de pensamiento y heurísticas tenemos a la creatividad, que apoyada en las experiencias previas y conocimientos es capaz de plantear procesos de resolución novedosos, diferentes a lo que sería una metodología algorítmica y con etapas estáticas, repetitivas. Finalmente, se introducen algunos estudios realizados en el campo de las. 11.

(19) funciones polinomiales con el objetivo de conocer los obstáculos y las sugerencias para lograr que los estudiantes puedan desarrollar su creatividad y aplicarla a la resolución de problemas que implican funciones polinomiales como conocimiento previo para la comprensión de la derivada en cálculo diferencial. 2.1 Resolución de problemas matemáticos En la actualidad, los procesos de globalización y la disponibilidad acelerada de la información ha llevado a que los países compitan y por consecuencia, que las escuelas deban ofrecer una formación orientada al aprendizaje autónomo y aprender a pensar para ser capaces de incluirse en los continuos cambios en el mundo. Este nuevo paradigma provoca que se utilicen nuevas estrategias de enseñanza-aprendizaje como la resolución de problemas y el desarrollo de la creatividad (García, 1998). A lo largo de la vida, las personas nos enfrentamos a problemas, algunos tienen resoluciones directas, otros se resuelven buscando información adicional y podemos sugerir más de una salida, pero algunos son tan complicados que aun indagando y pensando, no logramos obtener una solución y, debido a la variedad en las características de los problemas, son necesarios procesos diferentes y en ocasiones, desafiantes (Ormrod, 2005). 2.1.1 Acercamiento al concepto de problema. El concepto de problema es un constructo social de complicada definición que nos puede llevar a confusiones, para ello es necesario conceptualizarlo y no confundirlo con un ejercicio. Es común escuchar a maestros y estudiantes decir que emplean problemas en su proceso de enseñanza-aprendizaje, más se refieren en muchos de los casos a enunciados de situaciones rutinarias y análogas llamados “problemas tipo”, los cuales a través de una serie de repeticiones se transforman en un ejercicio con solución única y que no requiere más allá de un conjunto de algoritmos para obtener la solución. Entonces ¿qué características 12.

(20) debe tener una situación para considerarse problema? Abordemos algunas conceptualizaciones teóricas: Perrenoud (1997) se refiere una situación-problema como un escenario donde los estudiantes se enfrentan a obstáculos cognitivos, ofrece una resistencia suficiente que conduzca a nuevos cuestionamientos y elaboración de nuevas ideas, consume de los alumnos tiempo y energía pero en la escuela, debe tenerse cuidado de evitar el desaliento y sentimiento de impotencia. Arancibia, Herrera y Strasser (1999) definen problema como una situación cuantitativa o cualitativa para el cual no se conoce el proceso hacia la respuesta, requiere de pensamiento y síntesis de conocimientos previos y debe satisfacer tres criterios:  El sujeto debe aceptar el desafío del problema,  Inicialmente, sus respuestas y procesos habituales no deben funcionar,  Compromiso de explorar nuevos métodos de enfrentamiento. Entonces un problema debe ser desafiante, interesante, requiere de habilidades de análisis crítico, observación, comprensión y se presta a una variedad de resoluciones con la consecuencia de múltiples respuestas. Díaz y Poblete (2001), muestran como definición de problema matemático a una situación que supone alcanzar una meta, donde existen obstáculos y por lo tanto requiere de una reflexión pues no hay un algoritmo específico para la resolución, a diferencia de un ejercicio donde la estrategia para llegar a la solución es rápidamente identificada. Presentan una clasificación de problemas: los problemas rutinarios que son similares a los que se tratan durante la instrucción e implican comprensión de conceptos y algoritmos. Los problemas no rutinarios donde no basta aplicar un método sino que fuerza a la búsqueda y. 13.

(21) elaboración de una solución a partir de los conocimientos previos y experiencias anteriores. Obando y Muñera (2003) exponen que una situación problema se puede asumir como un instrumento de enseñanza-aprendizaje que propicia niveles de conceptualización y simbolización de manera progresiva hacia la construcción de conocimientos matemáticos. Por otra parte, García y Santarelli (2004) señalan que el valor de un problema reside en su potencial heurístico y se trata de una situación nueva que requiere conceptos, estrategias generales, pruebas y toma de decisiones, lo cual implica una organización creativa de los componentes de la situación para llegar a su solución. Díaz Barriga (2006) caracteriza como problemas “abiertos” a situaciones donde existe incertidumbre y controversia, puede existir más de una opción de solución y la información está sujeta a diversas interpretaciones, no existiendo un procedimiento ordenado para el proceso de solución, por lo que es necesario crear dicho proceso de resolución. Son algunas aproximaciones a la conceptualización de problema, se observan múltiples características sin llegar a una definición, lo más importante es considerar que se cumplan ciertos lineamientos mínimos pues una situación determinada puede ser un problema para una persona y un ejercicio para otra, es decir, inciden las características personales de quien va a resolver el problema y en ello influirán muchos factores como lo son conocimientos previos, nivel cognitivo, contexto, edad, factores escolares y estilo de aprendizaje, entre otros. En la metodología Aprendizaje Basado en Problemas se presenta la definición de problema como un escenario, es decir, la presentación del problema bajo diversos formatos, desde un texto, mapa, video o cualquier otra forma en el que se plantea la situación a resolver. Este escenario debe presentar una situación real y problemática con suficiente desestructuración, no debe contener los elementos suficientes para resolver el problema 14.

(22) fundamental pero que si pueda resolverse por medio de la indagación de datos faltantes (Sola, 2005). De acuerdo con Ormrod (2005), los problemas varían mucho según su estructura y los han clasificado como problemas bien definidos y mal definidos. El problema bien definido cuenta con un objetivo y datos establecidos de manera clara, contienen la información suficiente y existe un algoritmo para llegar a la respuesta; el problema mal definido tiene un objetivo ambiguo, no cuenta con la información necesaria para resolverlo y no existe un algoritmo válido. Analizando los conceptos anteriores, podríamos aseverar que son precisamente los problemas mal definidos los que se presentan en la realidad y requieren de procesos más complejos que la aplicación de una fórmula. Basándonos en los conceptos anteriores, un problema no es un enunciado que nos proporciona datos, seleccionamos alguna colección de algoritmos, los aplicamos ordenadamente y encontramos una solución, sino que es una situación nueva que nos lleva a utilizar diversos tipos de recursos cognitivos sin la certeza de llegar al objetivo. Es importante considerar que el problema como recurso de aprendizaje, se presente a través de un escenario con variables bien definidas pero no estructuradas, de tal forma que esté sujeto a discusión por la interpretación personal, que sea factible de encontrar más de una opción de solución y sea asequible al enfrentamiento de los obstáculos cognitivos llevándonos a elaborar una estrategia creativa para su solución. Este debiera ofrecer una resistencia suficiente que conduzca a nuevos cuestionamientos y elaboración de nuevas ideas, sin embargo, también se debe cuidar no provocar decepción o desánimo planteado situaciones que consuman demasiado tiempo y energía, lo cual podría provocar desinterés o abandono del mismo. La intención es que desarrollen habilidades de pensamiento y procesos creativos de resolución, por lo tanto, durante un curso no sería adecuado plantear problemas que 15.

(23) conlleven un trabajo fuera de las posibilidades de los estudiantes, en esta parte, el rol del docente es importante al momento de ir integrando problemas que vayan aumentando el nivel de complejidad, plantear inicialmente algunos con menor carga cognitiva, aprovechar el aprendizaje social a través del trabajo en equipos para lograr constituir redes de aprendizaje colaborativo. 2.1.2 La competencia matemática. Dentro de este nuevo paradigma, se hace mención de la competencia matemática, que puede definirse según Goñi (2008, p. 146) como “la capacidad de utilizar el conocimiento matemático en un contexto”, el autor se basa en tres acepciones de problema obtenidas del diccionario de la Real Academia Española: “cuestión que se trata de aclarar”, “proposición o dificultad de solución dudosa” y “planteamiento de una situación cuya respuesta desconocida debe obtenerse a través de métodos científicos”, utilizando la palabra situación como sinónimo de contexto y combinando las definiciones, llega a la conclusión de que la competencia matemática es equivalente a la capacidad de resolver problemas de matemáticas, situando al problema como el corazón del quehacer matemático y que para desarrollarla es necesaria una combinación armónica y organizada de situaciones que además se adapten a las características personales de los estudiantes. El mismo aclara que es imposible que los estudiantes aprendan a resolver problemas si no se plantean en clase y si no se dedica suficiente tiempo a exponer de manera explícita procedimientos heurísticos, ya que la posibilidades de resolución varían mucho de una situación a otra (Goñi, 2008). Hasta ahora se concluye que la resolución de un problema no es un proceso algorítmico, sino más bien una situación que para ser resuelta requiere de ciertos parámetros que incluyen las características personales de quien lo resuelve, por ejemplo, los conocimientos previos, destrezas algorítmicas, habilidades de pensamiento y desarrollo de 16.

(24) creatividad que le permita proponer varios procesos de resolución; las características del problema también son determinantes al momento de tratar de resolverlo, algunos pueden ser concretos pero los que se presentan en la vida real son complejos y requieren de toma de decisiones, lo cual puede permitir una serie de soluciones de acuerdo a las consideraciones que se realicen durante el proceso. Surge la pregunta ¿Es realmente novedoso emplear este sistema de enseñanzaaprendizaje a través de la resolución de problemas? La respuesta es negativa. García (1998) expone: El proceso de resolución de problemas ha sido investigado desde los años 50, época en la cual se centraron en mejorar la capacidad de estudiantes universitarios para resolver problemas, llegaron a la conclusión de que se deben enseñar hábitos y práctica centrándose en el proceso y no en la solución, con la condición de tener la información adecuada sobre el proceso de resolución e información específica en el campo al que pertenece el problema. En los años 60, la investigación se centró en diseñar programas para desarrollo del pensamiento productivo, incluía estrategias para mejorar la capacidad de resolver problemas y para generar ideas creativas fomentando el pensamiento divergente. En los 70, las investigaciones se orientaron hacia el entrenamiento en el manejo de heurísticos, se originaron programas con el objetivo de enseñar patrones de resolución de problemas. En los 80, se concentraron hacia una combinación de sesiones de aprendizaje para construcción de conocimientos específicos de un área y otras dedicadas al desarrollo de las capacidades creadoras. Se puede decir que al menos hace más de 60 años que los investigadores educativos estudiaron esta forma de aprendizaje, no es nueva y en el campo de la didáctica de las ciencias podemos encontrar cinco líneas de investigación:. 17.

(25) 1. Resolución de problemas como estrategia para generar cambios conceptuales, metodológicos y actitudinales. Se sitúa en la enseñanza tradicional que no permite al alumno una estrategia que supere el sentido común y la algoritmia. 2. Organización cognoscitiva del conocimiento y la capacidad para resolver problemas, que trata de explicar cómo el nivel cognitivo se relaciona con el desempeño de un individuo y así diseñar y probar formas mejores de procesamiento, almacenamiento y memoria. 3. Comparación entre individuos expertos y novatos, que diferencia los procedimientos entre ambos tipos de individuos pretendiendo convertir los procesos empleados por los expertos en técnicas de enseñanza para los novatos, así como hacer conscientes de sus errores a los novatos para que los supriman en procesos subsiguientes. 4. Diseño de heurísticos para la resolución de problemas, se propones e implementan herramientas heurísticas para llevar a cabo con mayor eficacia, cada etapa del proceso, y finalmente tenemos la última línea de investigación, la que interesa específicamente para la propuesta de investigación que nos ocupa, 5. La creatividad como resolución de problemas, concibe la resolución de un problema como un proceso donde se demanda mejorar o transformar una situación a través de la generación de ideas creativas, seleccionarlas, adaptarlas e implementarlas (García, 1998). De acuerdo con Amadeo y Santarelli (2004), la resolución de problemas es una actividad compleja que se considera como uno de los doce componentes de la enseñanza matemática para el siglo XXI, supone un pensamiento productivo que genera soluciones nuevas y a partir un proceso creativo acorde a la situación que se le presente. Para que un 18.

(26) estudiante aprenda a resolver problemas deben ocurrir las siguientes fases, entender el enunciado, captar que no lo resolverá con conocimientos únicamente algorítmicos, realizar analogías con otros problemas conocidos y analizarlos desde diferentes puntos de vista. Es necesario enfrentar al estudiante ante diversas situaciones que generen incertidumbre pero no en solitario sino en interacción con otros estudiantes, lo cual permite que utilicen sus recursos, surjan ideas y discutan sobre ellas. El proceso debe ser gradual y situado en el contexto escolar, generando así un proceso heurístico de descubrimiento. Concluyen al final de su estudio, que los alumnos toman esta estrategia como un desafío siempre y cuando el proceso lleve un sistema de acompañamiento por el docente, en los docentes generó un clima positivo y permite que se desarrollen actividades interdisciplinarias. Analizando lo anterior, se pude decir que introducir la resolución de problemas en la educación matemática actual ¡no es nuevo! Y entonces ¿Qué significa ser innovador? “Innovar es cambiar introduciendo novedades, y una novedad es algo nuevo y diferente” (León, 2006, párr. 4). A pesar de que no siempre las innovaciones traen resultados positivos. Las tendencias actuales se enfocan hacia: 1. Aprendizaje activo de las matemáticas, vinculando al alumno con situaciones reales matematizables, lo cual además favorece la motivación hacia su estudio. 2. Uso de la intuición sin olvidar la fundamentación y formalización, incluyendo actividades concretas y lúdicas sin menospreciar la abstracción. 3. Enseñanza centrada en desarrollar procesos de pensamiento a la par de los contenidos curriculares, con la finalidad de que adquieran estrategias para aprender a aprender. 4. Ajuste de los procesos de enseñanza-aprendizaje a los avances tecnológicos, que permite cambios en contenidos y forma de abordarlos (León, 2006). 19.

(27) El reto de la educación es desafiante tanto para estudiantes como para docentes, la innovación requiere de una formación y actualización docente continua, sin olvidar que para ser un docente “completo” debe introducirse en la investigación de los procesos que ocurren en su contexto institucional, analizar origen de los problemas, analizarlos y aplicar acciones tendientes a la mejora de la calidad del servicio educativo. A continuación revisaremos algunos casos de estudio en resolución de problemas a nivel bachillerato: Sepúlveda y Santos (2006) realizaron un estudio con las siguientes etapas de aplicación: 1. Actividad previa con una breve introducción sobre la tarea para contextualizarla. 2. Trabajo en equipos de tres alumnos con diferentes niveles de desempeño con la consigna de entregar reporte de solución. 3. Presentación a la clase de la solución que cada equipo encontró, permitiendo preguntas del grupo a los expositores. 4. Discusión colectiva promovida por el profesor para analizar ventajas y desventajas de los procesos de solución presentados. 5. Trabajo individual a partir de la discusión colectiva para aplicar los nuevos conocimientos como producto de la interacción. Los problemas propuestos fueron previamente analizados por los investigadores para identificar conceptos matemáticos, identificar posibles procesos de resolución y soluciones. Como resultados se expone que existe evidencia que al inicio, los estudiantes exteriorizan recursos limitados para resolución y en su mayoría de corte cuantitativo. Al demandarles una argumentación, se dan cuenta de sus limitaciones. El trabajo en equipo les permite conocer y contrastar otros acercamientos, permitiendo con ello mejorar sus propios procesos y ampliar sus métodos de solución a través de negociaciones con sus pares, 20.

(28) adoptando un papel receptivo. Las presentaciones permitieron discutir sobre el entendimiento del problema, el empleo de diversas representaciones, análisis de las relaciones matemáticas, verificar soluciones y extensión de lo requerido por el problema. Concluyendo en que la forma de instrucción se convirtió en una estrategia de aprendizaje, ya que alumnos con bajo desempeño lograron superar algunas dificultades de aprendizaje, fueron favorecidos aquellos estudiantes que mostraron disposición hacia la actividad pero alumnos sobresalientes vieron frenado su progreso. También hubo problemas para mantener el interés de los integrantes del equipo, manejo de lenguaje entre los estudiantes y la nueva modalidad de trabajo con respecto a los roles tradicionales de estudiante y profesor. Con la experiencia referida y los resultados obtenidos podemos vislumbrar que es posible desarrollar en los estudiantes, la capacidad para resolver problemas pero invariablemente depende de la heterogeneidad de los grupos, la disponibilidad de los estudiantes, sus creencias previas sobre la educación y otros factores que inciden directamente en el proceso que implemente el docente. Presentemos otro caso, Sepúlveda, Medina y Sepúlveda (2009) realizaron un estudio con el diseño que propusieron Sepúlveda y Santos (2006) en el caso expuesto en este capítulo. Exponen la importancia de ofrecer diferentes escenarios de aprendizaje donde los estudiantes puedan combinar el trabajo colaborativo en equipo y en grupo con el trabajo individual. La intervención del profesor debe ayudar a aclarar posibles controversias para lograr avanzar en el aprendizaje pero siempre motivando cambios en el pensamiento, contribuyendo a la comprensión sin llegar eliminar el desafío de la tarea. Durante la estrategia, lograron la atención y participación del alumnado por tratarse de tareas atractivas, motivaron su participación recuperando sus procesos de pensamiento, 21.

(29) propició modificaciones en las ideas iniciales de algunos equipos, mejoró el nivel de desempeño a nivel individual (no en todos los casos) y por tanto, se ilustra la evolución en el manejo de recursos matemáticos y uso de estrategias propias del pensamiento matemático como toma de decisiones, desarrollo de patrones así como habilidades de comunicación y argumentación. Las dificultades versaron en mantener el interés durante el trabajo por equipos, manejo de lenguaje y habituarse a la forma de trabajo. Otro estudio, aunque realizado a nivel secundaria nos permite conocer otro tipo de conclusiones en el nivel educativo anterior al que se realizará el estudio propuesto en el presente trabajo, Pujol, Figueiras y Deulofeu (2011) mencionan que la divulgación sobre resolución de problemas es una tarea pendiente pues no es común encontrar qué contenidos curriculares pueden ser construidos por cada problema, es decir, nos falta como comunidad académica organizar un repositorio internacional de situaciones problema que incluyan la forma de abordarlos, el nivel educativo para implementar y los temas que podemos abordar con ellos. Además, a partir de su investigación proponen tres interpretaciones de la enseñanza con enfoque en la resolución de problemas: 1. Enseñar a resolver problemas es un cometido de la educación matemática pero el mayor propósito debe ser promover. la experimentación, observación, búsqueda de. patrones, conjeturas que aprueben o desaprueben resultados. 2. Debe ser una encomienda que acerque a los estudiantes a estrategias que faciliten el descubrimiento, indagación e invención. 3. Construir conocimiento matemático curricular a la vez de promover el desarrollo creativo. Es importante rescatar la necesidad de promover el intercambio académico para que los docentes podamos contar con una colección de problemas, indizados, valorados y 22.

(30) probados por otros profesores, es decir, compartir experiencias educativas exitosas y así intercambiar materiales y estrategias que nos permitan mejorar la calidad de la educación, no solamente a nivel bachillerato sino en todos los niveles. Vilanova, Rocerau, Valdez, Oliver, Vecino, Medina, Astiz y Alvarez (2010) nos presentan cinco factores que inciden en proceso de resolución de problemas matemáticos: 1. Los recursos matemáticos de los que dispone la persona, los cuales pueden ser información adecuada o incorrecta, así que las concepciones previas y sus limitaciones conceptuales son las herramientas con que cuentan y pueden ser: conocimiento intuitivo o informal del problema, hechos, definiciones, algoritmos y lenguaje contextual 2. Heurísticas o estrategias generales de comprensión, diseño de planeación, poner en práctica un plan y examinar si la solución es adecuada. 3. Aspectos metognitivos que analizan las etapas del proceso, monitorear y controlar el progreso de las actividades intelectuales, es decir, la forma de administrar los recursos matemáticos y las heurísticas que se tienen. 4. Sistemas de creencias como el autoconcepto matemático y autoestima, los cuales se construyen durante la experiencia escolar sobre la conceptualización docente de matemática que van desde considerarla como un cuerpo estático de conocimientos absolutos y acabados hasta un campo de creación e invención en constante esparcimiento, de tal forma que para el estudiante es una zona de transición entre aspectos cognitivos y afectivos. 5. La comunidad de práctica en la actualidad, se concibe como una actividad social y constructiva donde se desarrollan hábitos y habilidades, así que el grupo al que. 23.

(31) uno se pertenece modela el desarrollo de sus miembros, lo que se piensa que la matemática es, determinará los entornos matemáticos y su comprensión. Estos aspectos intervienen en la resolución de problemas pero aún no se conocen las interacciones entre ellos y cómo en conjunto intervienen en la persona para darle sentido a la actividad matemática. Inspeccionando lo expuesto hasta ahora, se puede suponer que es factible que los estudiantes aprendan a resolver problemas a través de estrategias de enseñanza-aprendizaje adecuadas pero no es tarea sencilla, tampoco es una receta mágica pues podemos encontrar casos exitosos y otros de fracaso, por ello debemos encontrar en cada contexto la dosificación adecuada entre las diferentes estrategias que podemos implementar en el aula y fuera de ella. Pero ¿qué encontramos en lo expuesto por los investigadores y que coincide para poder desarrollar la capacidad de resolución de problemas? En resumen, se mencionan las heurísticas, habilidades de pensamiento, creatividad, estrategias de enseñanzaaprendizaje y características personales de los estudiantes, lo cual trataremos a continuación. 2.1.3 Heurísticas. Las heurísticas son las estrategias generales para representar un problema e idear un plan para resolverlo. Proporciona direcciones para comprender, confrontar y resolver una situación de cualquier tipo, existen varios modelos de heurísticas, todos tienen como ventaja que ayuda a clarificar qué se sabe y qué no se sabe sobre la resolución de un problema. Un modelo propuesto y que no es discrecional pues se puede avanzar y retroceder entre las categorías es:. 24.

(32)  Focalizar: identificar, observar y clarificar.  Analizar: organizar, clasificar, recordar, formular vínculos, representar y conjeturar.  Resolver: concluir y determinar.  Validar: probar, explicar y verbalizar.  Reflejar: generar, sintetizar, aplicar y considerar enfoques alternativos (Krulic y Rutnick, citados en Arancibia, Herrera y Strasser, 1999). Los mayores obstáculos para la resolución de problemas es la actitud negativa hacia sus propias habilidades, esta desconfianza se externa como desinterés, no querer explorar nuevos dominios, autocrítica, falta de compromiso y para ello debemos utilizar activamente las estrategias adecuadas que permitan la autoconfianza, mejoren el autoconcepto en el área y se den la oportunidad de obtener éxito (Arancibia, Herrera y Strasser, 1999). Ormrod (2005) enfatiza en dos heurísticas, la representatividad y la accesibilidad. La representatividad se basa en las características del problema para llegar a conclusiones sobre una solución y, la accesibilidad es una estrategia empleada para resolver un problema con la información más nueva que viene a la mente de forma inmediata. Las heurísticas se aplican cuando los problemas no se pueden resolver con un algoritmo y entonces debemos emplear aproximaciones para encontrar la solución, mismas que pueden o no funcionar. Incluyen estrategias generales de resolución de problemas basados en la experiencia. Azcue, Diez, Lucanera y Scandroli (2006) mencionan en su experiencia que la tarea de encontrar soluciones es una actividad intelectual compleja, es así que la enseñanza debe ir más allá del conocimiento en sí mismo y más bien emplearlo en situaciones nuevas para resolver problemas. Lo interesante que plantean es utilizar como enfoque la investigación. 25.

(33) sobre las estrategias heurísticas como métodos de búsqueda de soluciones. La heurística moderna trata de comprender las operaciones mentales que conducen a solucionar un problema, definiendo como estrategia heurística a la organización de los recursos disponibles para alcanzar un resultado, sistematizar este proceso de búsqueda, obteniendo una visión holística de dicho proceso y dividiendo en fases cada tarea. Algunos ejemplos de heurísticas que mencionan éstos autores son: búsqueda de un problema análogo, representación a través de un sistema simbólico, descomponer el problema en partes, diferenciar las partes condicionantes, generalizar, hacer tablas, particularizar, usar la notación adecuada, búsqueda de propiedades conectadas al problema o comenzar a resolver en sentido inverso. En su estudio emplearon precisamente la última heurística, sugerida por los investigadores al momento de la aplicación con un problema, el grupo de estudio logró construir una lista de las etapas que realizaron para solucionar el problema, logrando un orden lógico aunque no único, que permitió lograr el objetivo. Concluyendo que dicha estrategia conforma un modelo interesante en la enseñanza de la resolución de problemas. Marino y Rodríguez (2009) en un estudio exploratorio de corte cualitativo ubicado en la transición entre la preparatoria y el nivel superior, consideraron las heurísticas que utilizan los estudiantes de manera espontánea al resolver problemas. Refieren el modelo del proceso de resolución de problemas propuesto por George Polya en 1945, mismo que plantea la sistematización de fases y heurísticas útiles en dicho proceso que son: comprender el problema, concebir un plan, ejecutar el plan y examinar la respuesta obtenida. Señalan que la resolución de un problema implica un proceso creativo y de una complejidad cognitiva mayor, pues el estudiante debe construir su propio método de resolución, recurriendo a sus conocimientos previos, estableciendo relaciones entre ellos y 26.

(34) utilizando procesos algorítmicos y heurísticos, es decir, estrategias heurísticas que permiten entender un problema y trazar una vía hacia la meta pero su empleo no asegura encontrar la solución. Lo hallazgos indican que los estudiantes no emplean las heurísticas referidas a planificar o modificar el problema, quizá por requerir una comprensión más profunda de todo lo vinculado con la actividad, en cambio, dispusieron de heurísticas como la ejemplificación con la examinación de casos particulares y solución, aquellas relacionadas con activar experiencia previa y seleccionar una representación adecuada, recursos comunes en los estudiantes y docentes. Concluyen señalando que las heurísticas mencionadas son generadas espontáneamente y se considera entonces que deberían ser enseñadas para que el estudiante disponga de ellas, con ello se favorecería su desempeño y su inserción en los estudios superiores. Callejo (2000) comenta el libro Cómo plantear y resolver problemas de George Pólya, centrándose en la situación de apoyo a los estudiantes para que desarrollen la habilidad de pensar por sí mismos, todo ello a partir de la imitación del maestro y la práctica con un proceso que se ha desglosado en cuatro fases: entender la situación problema, idear un plan, desarrollar dicho plan y finalmente revisarlo, de tal manera que exista una actividad mental que lleve al diálogo interno o con otra persona para lograr la meta. En la realidad no sucede que el proceso siempre avance hacia la solución, sin rodeos ni obstáculos, por lo general suceden situaciones como bloquearse totalmente al no aceptar el desafío, trazar varios caminos o retroceder a una etapa anterior con la finalidad de decidir si el proceso avanza o es necesario cambiar de dirección, más para lograr los objetivos se necesita adquirir hábitos intelectuales que permitan llevar a cabo el plan, no se enfatiza en los algoritmos pues se trata más bien de estrategias generales que requieren de una serie de toma de decisiones. La cuestión es que los estudiantes al carecer de práctica, pretender 27.

(35) resolver con la primera idea que tienen, resuelven y además no reflexionan si lo que hicieron es lo adecuado, por tanto, el docente debe intervenir sugiriendo y realizando preguntas orientadoras que permitan a cada estudiante dar lo mejor de sí mismo. Para aprender estrategias heurísticas de debe presentar cada una de forma particular, describirla, aplicarla de diferentes formas y posteriormente practicar con ella, aunque no hay evidencia clara de que esto mejore la habilidad para resolver problemas, más si obtienen mayor cantidad de recursos para abordarlos, ya que se trata de un esquema descriptivo. Uno de los mayores problemas es no abordar diversas maneras de resolución, ejercitar de una forma lineal y por ello, es mejor explorar las heurísticas de manera natural y no presentarlas a priori, es decir, desaprender de experiencias anteriores y llevar a cabo un aprendizaje reflexivo sobre sus propios procesos, para lograrlo se necesita esfuerzo y tiempo suficiente. Alberdi (2010) habla sobre la importancia de la resolución de problemas para desarrollar la competencia matemática, hacer un ejercicio se sitúa dentro de un nivel de reproducción pues se trata de identificar una técnica y aplicar correctamente uno o varios algoritmos. En cambio resolver un problema se relaciona con la creación, se trata de una tarea comprensible pero no directamente abordable. Cita a Miguel de Guzmán con su libro Aventuras Matemáticas donde propone cinco fases para resolver un problema: entender lo que presenta la situación, comprender el problema, buscar estrategias de resolución, seleccionar la más adecuada y reflexionar sobre el proceso elegido. Pero además se debe contar con estrategias generales como la codificación, organización, experimentación, buscar analogías, explorar, apoyarse de elementos auxiliares, seccionar el problema, buscar patrones, entre otros.. 28.

(36) Las estrategias generales son procesos que nos permiten organizar recursos para aplicar lo que conocemos a situaciones distintas de donde adquirimos dichos conocimientos, la adecuada transferencia de esquemas da lugar a la creatividad cognitiva y no se limita a áreas específicas. En general, los métodos nos permiten un marco sistemático para ayudarnos a organizar pensamiento, conocimientos y procesos eficaces para alcanzar una meta. Uno de éstos métodos es el llamado “programa de intervención” que se desarrolla con resolución de problemas y/o prácticas mediante una diversidad de procedimientos para potenciar la actividad autónoma de los participantes, empleando las herramientas con que cuentan para articular conocimientos y experiencias con la finalidad de lograr una solución al planteo de la situación que se les presenta. El programa se lleva a cabo en tres etapas: la planificación donde se diseña y organiza, la intervención es la aplicación mediante técnicas de aproximación y la evaluación que se centra en la autoevaluación responsable y crítica. Dicho programa en las investigaciones realizadas han mostrados transformaciones en los participantes (Freiría, 2004). En síntesis, las heurísticas son las estrategias generales que nos permiten organizar adecuadamente los conocimientos previos, las experiencias individuales y trazar una ruta crítica por etapas para plantear la resolución de un problema y llegar a la solución o soluciones de una forma argumentada, lo cual nos permite aplicar nuestras habilidades creativas y pensamiento divergente. 2.2 Creatividad para resolver problemas matemáticos En el ámbito educativo actual se reconoce que la creatividad es indispensable para un mejor desempeño en cualquier área, pero tratar de definir el concepto resulta muy conflictivo al ser un constructo social de reciente creación, así que partiremos de sus raíces etimológicas, la palabra crear proviene del latín creare y significa hacer algo que no se ha 29.

(37) hecho antes; si revisamos la bibliografía podemos encontrar infinidad de definiciones, según García (1998) el término creatividad aparece en el diccionario Webster en 1993, Parnés (1963 citado por Corte, 2010) señala que la creatividad es un proceso de pensamiento y acción que necesita contacto con experiencia previa, responde a estímulos y genera al menos una respuesta nueva y única. En 1995, Torrance (citado por Corte, 2010) afirma que es un proceso que requiere sensibilización ante los problemas, formular diversas ideas y derivar soluciones nuevas y atractivas, si observamos, ambas enfatizan en las mismas características aun con más 30 años de diferencia. Es importante aclarar que el término creatividad fue aceptado hasta 1984 por la Real Academia de la Lengua Española (Corte, 2010). Refiriéndonos al estudio que nos ocupa, las matemáticas escolares no deben considerarse aisladas del medio sociocultural e intereses de los estudiantes, sino adecuarse a sus necesidades e integrar espacios que promuevan el pensamiento divergente o lateral y la creatividad, de manera que cuando el estudiante se encuentre ante un problema, sus estructuras cognitivas conciban procesos de resolución creativos y novedosos, aunque sería aventurado aseverar que la creatividad surja sin un mínimo de conocimientos sobre el tema tratado en la situación-problema. León (2006) menciona que un elemento clave para desarrollar la creatividad en los estudiantes es precisamente la creatividad docente, a partir de tres casos estudiados (resolución de problemas, lúdica y contextualización) concluye que la novedad no proviene directamente de la estrategia sino de la forma en que se implementa con la participación de docentes y estudiantes, poniendo especial atención en la comprensión, razonamiento y aplicabilidad. Reyes (2003) expresa que el desarrollo de la creatividad corresponde tanto al aprendizaje de los alumnos como al trabajo de los profesores, fomentar en ellos la 30.