Variables aleatorias continuas
Ejemplo: Con el fin de realizar un control de calidad en una fábrica de baterías, se mide el tiempo de duración de baterías elegidas al azar y se define la v.a.
X: tiempo de duración de una batería
La v.a. X es esencialmente continua (“tiempo”), siendo su rango el intervalo real [0,∞). pero supongamos que medimos la duración de la batería en días, es decir “discretizamos” el rango de la v.a. y se convierte en No = N ∪ {0}. Por tratarse de una v.a. discreta, su función de probabilidad puntual puede representarse mediante un histograma con área total igual a 1. Si medimos la duración en horas, obtenemos un histograma con mayor número de intervalos de menor longitud cada uno, pero que sigue teniendo área total igual a 1.
Si continuamos aumentando la precisión de la medición (minutos, segundos, décimas de segundo, etc), obtenemos como límite de los histogramas una curva suave, y la probabilidad de que la duración de la batería se encuentre entre dos valores a y b ( a < b) estará dada por el área bajo la curva entre a y b.
Definición: Una v.a. X es continua si existe una función
f
:
ℜ
→
ℜ
+=
[
0
,
∞
)
llamada función de densidad de la v.a. X tal que
∈
=
∫
∀
⊆
ℜ
AA
dx
x
f
A
X
P
(
)
(
)
[ ]
=
≤
≤
=
∫
b adx
x
f
b
X
a
P
(
)
(
)
yP
(
X
=
a
)
=
P
(
a
≤
X
≤
a
)
=
0
∀
a
∈
ℜ
.
Propiedad: Para que una función
f
(x
)
sea una función de densidad, debe satisfacerℜ
∈
∀
≥
x
x
f
(
)
0
∫
∞ ∞ −=
1
)
( dx
x
f
Observación: Nota que
f
(x
)
no es una probabilidad, de hecho puede ser mayor que 1. Es simplemente el valor de una función en un punto.Ejemplo: Sea
≤
≤
=
caso
otro
en
0
3
1
si
)
(
2x
x
a
x
f
Otra forma de expresar la densidad es
(
)
[ ]1,3(
)
2
x
I
x
a
x
f
=
, donde la funciónI
se define como
∉
∈
=
A
x
A
x
x
I
Asi
0
si
1
)
(
a) Calcular el valor de la constante
a
.
.
26
3
1
3
26
1
3
1
1
1
)
(
3 1 3 3 1 2 3 1 2=
⇔
=
⇔
=
⇔
=
⇔
=
⇔
=
∫
∫
∫
∞ ∞ −a
a
x
a
dx
x
a
dx
x
a
dx
x
f
b) Calcular P(X ≥ 2).∫
∫
∞=
−
=
=
=
=
≥
2 3 2 3 3 2 2.
26
19
26
8
27
3
26
3
26
3
)
(
)
2
(
X
f
x
dx
x
dx
x
P
Definición: La función de distribución acumulada de una v.a. continua X con función de densidad
f
(x
)
se define para todo x∈ℜ, como
∫
∞ −=
≤
=
P
X
x
xf
t
dt
x
F
(
)
(
)
(
)
Ejemplo: En el ejemplo anterior, obtengamos la función de distribución acumulada de la v.a. X. Si x<1,
∫
∫
∞ − −∞=
=
=
≤
=
x xdt
dt
t
f
x
X
P
x
F
(
)
(
)
(
)
0
0
Si 1≤x≤3,∫
∫
∞ −−
=
=
=
=
x x xx
t
dt
t
dt
t
f
x
F
1 3 1 3 226
1
3
26
3
26
3
)
(
)
(
Six
>
3
,
1
26
3
)
(
)
(
3 1 2∫
∫
∞ −=
=
=
xf
t
dt
t
dt
x
F
Resumiendo,
>
≤
≤
−
<
=
3
si
1
3
1
si
26
1
1
si
0
)
(
3x
x
x
x
x
F
Observamos que se trata de una función continua, no decreciente que toma valores entre 0 y 1.
Propiedades de la función de distribución acumulada: Sea X una v.a. continua,
i)
∀
x
∈
ℜ
,
F
X(
x
)
∈
[ ]
0
,
1
.iv)
lim
(
)
1
y
lim
(
)
0
-x=
=
∞ → ∞ →F
Xx
F
Xx
xObservemos que las propiedades i), ii) y iv) ya las hemos demostrado en general al considerar las v.a. discretas. Respecto a la propiedad iii), en el caso discreto probamos que la función de distribución es continua a derecha en todo punto, mientras que en este caso es continua en todo punto.
Proposición: Sean
a
y btales que a≤b, entonces)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
P
a
≤
X
≤
b
=
P
a
<
X
≤
b
=
P
a
≤
X
<
b
=
P
a
<
X
<
b
=
F
b
−
F
a
. Dem: Resulta inmediatamente del hecho que, si X es continua,P
(
X
=
x
)
=
0
Proposición: Si X es una v.a. continua con función de densidad
f
(x
)
y función de distribución acumuladaF
(x
)
, entonces en todo punto dondeF
(x
)
es derivable,'
(
)
(
)
f
(
x
)
x
x
F
x
F
=
∂
∂
=
Dem: Resulta del Teorema Fundamental del Cálculo Integral, y de la definición de
F
(x
)
.Distribución Uniforme
:Definición: Se dice que X tiene distribución Uniforme en el intervalo [A,B ], si su función de densidad es
(
)
1
I
[ ],(
x
)
A
B
x
f
AB−
=
es decir, la densidad es constante sobre el intervalo [ A,B ] y 0 fuera de él. A y B son los parámetros de la distribución.
Función de distribución: Hallemos la función de distribución acumulada de X ~ U (A,B). Si
∫
∫
∞ − −∞=
=
=
⇒
<
A
F
x
xf
t
dt
xdt
x
(
)
(
)
0
0
. Si∫
∫
∞ −−
−
=
−
=
−
=
=
⇒
≤
≤
x x A x AB
A
A
x
A
B
t
dt
A
B
dt
t
f
x
F
B
x
A
(
)
(
)
1
. Si∫
∫
∞ −=
−
−
=
−
=
−
=
=
⇒
>
x B A B AB
A
A
B
A
B
t
dt
A
B
dt
t
f
x
F
B
x
(
)
(
)
1
1
.
Resumiendo,
>
≤
≤
−
−
<
=
B
x
B
x
A
A
B
A
x
A
x
x
F
si
1
si
si
0
)
(
Percentiles de una distribución continua
: Sea X una v.a. continua con función de densidadf
(x
)
y función de distribución acumuladaF
(x
)
y sea 0 < p < 1, el percentil (100 p)-ésimo de la distribución de X es el valor xp tal que
∫
∞ −=
=
≤
=
p x p pP
X
x
f
t
dt
p
x
F
(
)
(
)
(
)
Ejemplos: 1) Sea X con función de densidad [ ]
(
)
26
3
)
(
1,3 2x
I
x
x
f
=
. Su función de distribución está dada por
>
≤
≤
−
<
=
3
si
1
3
1
si
26
1
1
si
0
)
(
3x
x
x
x
x
F
Obtengamos el 25-percentil de esta distribución ( p = 0.25). Buscamos x0.25 tal que
25
.
0
)
(
x
0.25=
F
.0
.
25
(
0
.
25
26
1
)
1
.
96
26
1
25
.
0
)
(
0.25 1/3 3 25 . 0 25 . 0=
⇔
=
⋅
+
=
−
⇔
=
x
x
x
F
>
≤
≤
−
−
<
=
B
x
B
x
A
A
B
A
x
A
x
x
F
si
1
si
si
0
)
(
Hallemos el 50-percentil de esta distribución ( p = 0.50). Buscamos x0.50 tal que
50
.
0
)
(
x
0.50=
F
..
2
)
(
50
.
0
50
.
0
50
.
0
)
(
0.50 50 . 0 50 . 0B
A
A
A
B
x
A
B
A
x
x
F
=
⇔
=
−
+
=
+
−
−
⇔
=
El 50-percentil se denomina mediana de la distribución.
Esperanza o valor esperado de una v.a. continua:
Definición: Sea X una v.a. continua con función de densidad
f
(x
)
, la esperanza o valoresperado de X se define como
∫
∞ ∞ −=
=
x
f
x
dx
X
E
(
)
µ
X(
)
siempre que∫
∞ ∞ −∞
<
dx
x
f
x
(
)
. Si esta integral es ∞, la esperanza no puede definirse y decimos que no existe.Ejemplo: Sea X ~ U (A,B),
∫
∫
∞ ∞ −+
=
−
−
=
−
=
−
=
=
B A B AB
A
A
B
A
B
A
B
x
dx
A
B
x
dx
x
f
x
X
E
.
2
)
(
2
)
(
2
1
)
(
)
(
2 2 2Proposición: Si la v.a. continua X tiene función de densidad
f
(x
)
, entonces la esperanza de cualquier función real h(X), está dada por
∫
∞ ∞ −=
h
x
f
x
dx
X
h
E
(
(
))
(
)
(
)
si
∫
∞ ∞ −∞
<
dx
x
f
x
h
(
)
(
)
.Propiedad (Linealidad): Si
a
y b son constantes reales,E
(
aX
+
b
)
=
aE
(
X
)
+
b
. Dem: Seah
(
X
)
=
aX
+
b
,
entonces
∫
∫
(
)
∫
∫
∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ −+
=
+
=
+
=
=
h
x
f
x
dx
ax
b
f
x
dx
a
x
f
x
dx
b
f
x
dx
aE
X
b
X
h
E
(
(
))
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
.Ejemplo: Dos especies compiten en una región para controlar una limitada cantidad de cierto recurso. sea X: proporción del recurso controlada por la especie 1. Supongamos que X ~ U (0,1), es decir
[ ]
[ ]
∉
∈
=
1
,
0
si
0
1
,
0
si
1
)
(
x
x
x
f
Este modelo de asignación de recursos se denomina “broken stick” o “vara rota” ya que es análogo a quebrar una vara en un punto aleatorio. La especie que controla la mayoría del recurso, controla la cantidad.
Sea
≤
≤
<
≤
−
=
−
=
1
2
1
si
2
1
0
si
1
)
1
,
(
max
)
(
X
X
X
X
X
X
X
h
El valor esperado para la cantidad controldad por la especie que más controla es:
∫
∫
∫
=
∫
−
=
−
+
=
=
∞ ∞ − ∞ ∞ − 2 / 1 0 1 2 / 1)
(
)
(
)
1
(
)
(
)
1
,
(
max
)
(
)
(
))
(
(
h
X
h
x
f
x
dx
x
x
f
x
dx
x
f
x
dx
x
f
x
dx
E
.
4
3
4
1
1
8
1
2
1
8
1
2
1
2
2
)
1
(
1 2 / 1 2 2 / 1 0 2 2 / 1 0 1 2 / 1=
−
=
−
+
−
=
+
−
=
+
−
=
∫
x
dx
∫
x
dx
x
x
x
Varianza de una v.a. continua:
Definición: Sea X una v.a. continua con esperanza µX y densidad
f
(x
)
, la varianza de X, que se denotará V(X),σ
2X óσ
2, es[
(
)
]
∫
∞ ∞ −−
=
−
=
=
E
X
x
f
x
dx
X
V
(
)
σ
X2µ
X 2(
µ
X)
2(
)
y el desvío standard de X, es
σ
X=
+
V
( X
)
. Proposición:V
(
X
)
=
E
(
X
2)
−
(
E
(
X
)
)
2. Dem:=
(
−
)
=
∫
−
=
∫
−
+
=
∞ ∞ − ∞ ∞ −dx
x
f
x
x
dx
x
f
x
X
E
X
V
(
)
(
µ
X)
2(
µ
X)
2(
)
(
22
µ
Xµ
2X)
(
)
∫
∫
∫
∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ −−
=
+
−
=
+
−
2 2 2 2 2 2)
(
2
)
(
)
(
)
(
2
)
(
x
dx
Xx
f
x
dx
Xf
x
dx
E
X
X X XE
X
Xf
x
µ
µ
µ
µ
µ
µ
como queríamos demostrar.
Ejemplos: Sea X ~ U (A,B), hemos demostrado que
,
2
)
(
X
A
B
E
=
+
es decir el punto medio del intervalo. Hallemos la varianza de X. ComoV
(
X
)
=
E
(
X
2)
−
(
E
(
X
)
)
2, necesitamos calcularE
(
X
2).
=
−
+
+
−
=
−
−
=
−
=
=
=
∞∫
∫
∞ −3
(
)
)
)(
(
)
(
3
)
(
3
A
-B
1
)
(
)
(
2 2 3 3 3 2 2 2A
B
A
AB
B
A
B
A
B
A
B
A
B
x
dx
x
dx
x
f
x
X
E
B A B A3
)
(
B
2+
AB
+
A
2=
Entonces,(
)
=
+
−
+
+
=
−
=
2 2 2 2 22
3
)
(
)
(
)
(
)
(
X
E
X
E
X
B
AB
A
A
B
V
.
12
)
(
12
2
12
)
2
(
3
)
(
4
B
2AB
A
2A
2AB
B
2B
2AB
A
2B
−
A
2=
+
−
=
+
+
−
+
+
=
Por lo tanto,.
12
)
(
)
(
2A
B
X
V
=
−
V
(
aX
+
b
)
=
a
2V
(
X
)
yσ
aX+b=
a
σ
X . Dem: : Observemos que, en general,
∫
(
)
∞ ∞ −−
=
h
x
E
h
X
f
x
dx
X
h
V
(
(
))
(
)
(
(
)
2(
)
entonces, sih
(
x
)
=
ax
+
b
,
[
+
−
+
]
=
[
+
−
−
]
=
=
+
∫
∞∫
∞ − ∞ ∞ −dx
x
f
b
X
aE
b
ax
dx
x
f
b
aX
E
b
ax
b
aX
V
(
)
(
)
(
)
2(
)
(
)
2(
)
∫
[
]
∫
[
]
∞ ∞ − ∞ ∞ −=
−
=
−
=
ax
aE
(
X
)
2f
(
x
)
dx
a
2x
E
(
X
)
2f
(
x
)
dx
a
2V
(
X
),
como queríamos demostrar.
