Tema 3:Introducción a las variables aleatorias PROBLEMAS PROPUESTOS
1. ¿Puede ser la función de densidad de una variable aleatoria continua mayor que uno en algún punto? SOLUCIÓN:
Sí
2. La función de densidad de la variable aleatoriaX viene dada por la expresión
f(x)=
(
12x2(1−x), 0< x <1
0, en el resto
Se pide:
(a) Calcular el coeficiente de variación deX. (b) Calcula la moda (c) Calcula la mediana SOLUCIÓN: (a) CV= 1/3 (b) moda=2/3 (c) Mediana=0.61
3. Dada la variable aleatoriaX, cuya función de densidad es
f(x)=
(
k(1−x2), 0< x <1
0, en el resto
Obtenerk, así como la media y la varianza de la variableY = 3X−1. SOLUCIÓN:
k= 3/2;E(Y) =18;Var(Y) = 171320.
4. La función de densidad de una variable aleatoria X viene dada por:
f(x)=
(
0 x /∈(0,1) kx2(1−x) x∈(0,1)
(a) Calcular el valor dekpara quef sea función de densidad. (b) Calcular la función de distribución de probabilidad. (c) Calcular E[X]y var[X].(junio 98)
(a) k= 12 (b) F(x) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 0 x≤0 12³x33 −x44´ 0< x≤1 1 x >1 (c) E[X] = 35; var[X] = 251
5. La longitud de cierta pieza se distribuye con función de densidad
f(x)=
(
k(x−1)(3−x) x∈[1,3]
0 resto
Se consideran válidas las piezas cuya longitud esté comprendida entre 1.7 y 2.4 cm. Se pide: (a) Calcular el valor de k para que sea función de densidad.
(b) Calcular la probabilidad de que una determinada pieza sea útil. (sep. 98) SOLUCIÓN:
(a) k=34.
(b) P(útil) = 0.50.
6. Un vendedor de helados suele ganar 100 euros en un día soleado y 25 euros en un día lluvioso. Hallar la ganancia esperada del vendedor en un día para el que se sabe que la probabilidad de que llueva es de 1/4. SOLUCIÓN:
Ganancia esperada=81.25euros.
7. Se desea asegurar un coche de 12000 euros. La probabilidad de que un coche tenga un accidente en un año es de 0.15, en cuyo caso los daños ascienden a
20% del valor con probabilidad 0.8 60% del valor con probabilidad 0.12 100% del valor con probabilidad 0.08
Hallar la prima anual que debe cobrar la aseguradora para que el coste esperado de la compañía sea 0. (julio 99).
SOLUCIÓN: Prima= 561.6euros
8. Decir si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas
(a) SeaX una variable aleatoria continua con función de densidad definida entre 0 y 1. EntoncesX no puede tomar valores negativos
(b) SeaX una variable aleatoria discreta que puede tomar los valoresX={0,1,3,6}con probabilidades según su función de probabilidadp(x). Entonces la esperanza matemática (media poblacional) será μ= (0 + 1 + 3 + 6)/4 = 2.5
(c) SeaXla variable aleatoria de arriba. Entonces la media poblacional no pueder ser un valor no entero (d) SeaX la variable aleatoria de arriba. Entonces la media no podrá ser mayor que 6
(e) Sea X la variable aleatoria de arriba y sean x1, x2, ..., xn un conjunto de n datos (realizaciones) procedentes de ella. Entonces la media de esosndatos será igual aE(X)
(f) Sea X una variable aleatoria de varianza Var(X) = 5, y sea Y independiente de X y de varianza Var(Y) = 2.Entonces Var(X+Y) = 3.5
(g) Sean X e Y las dos variables aleatorias anteriores. Entonces Var(X −Y) = 3;Var(−X −Y) = −7;Var(2X−Y) = 8.
9. SeaX una variable aleatoria discreta que toma los valores x= 1,2,3,4,5y seacuna constante determi-nada. ¿Cuál de las funciones siguientes puede ser función de probabilidad deX?
(a) p(x) = x−c2 (b) p(x) =c(x+ 1) (c) p(x) =x2−3 (d) p(x) =c−x SOLUCIÓN: Sólo la b)
SeaXuna variable aleatoria continua definida en el intervalo[1,2].Calcula la función de densidad sabiendo que su función de distribución crece linealmente en dicho rango.
SOLUCIÓN:
Uniforme en el intervalo[1,2]
PROBLEMAS RESUELTOS
10. Una variable aleatoriaXque toma valores en el intervalo [0,1] tiene una función de densidadf(x) =a+bx, dondeayb son constantes a determinar. Se pide:
(a) Calculaa ybpara que f(x)sea una función de densidad de forma que la densidad de probabilidad enX = 1sea el doble que enX = 0.
(b) Calcula los cuartiles de la variable aleatoriaX
SOLUCIÓN:
(a) Comof(1) =a+b yf(0) =a,y comof(1) = 2f(0)se tiene que
a+b= 2a⇒b=a⇒f(x) =a(1 +x)six∈[0,1] Entonces se tiene que
Z ∞ −∞ f(x)dx= 1⇒ Z 1 0 a(1 +x)dx=a ∙ x+x 2 2 ¸1 0 =a3 2= 1⇒a= 2 3.
Por tanto
f(x) =
( 2
3(1 +x) six∈[0,1]
0 en el resto (b) SeaQ1 el primer cuartil. Entonces se tiene que
Z Q1 −∞ f(x)dx= 0.25⇒ Z Q1 0 2 3(1 +x)dx= 0.25, 2 3 ∙ x+x 2 2 ¸Q1 0 =2 3 ∙ Q1+ Q2 1 2 ¸ = 0.25. Se tiene entonces la siguiente ecuación de segundo orden:
2 6Q 2 1+ 2 3Q1− 1 4= 0 (1) o bien, 4Q21+ 8Q1−3 = 0 (2)
cuyas soluciones son
−8±√64 + 48
8 =
(
−2.32 0.32
Por lo que se tiene que Q1= 0.32.Sea ahoraQ2 el segundo cuartil. Entonces
Z Q2 −∞ f(x)dx= 0.5⇒ Z Q2 0 2 3(1 +x)dx= 0.5, 2 3 ∙ x+x 2 2 ¸Q2 0 = 2 3 ∙ Q2+ Q2 2 2 ¸ = 0.5. Se tiene entonces la siguiente ecuación de segundo orden:
2 6Q 2 2+ 2 3Q2− 1 2= 0 o bien 2Q22+ 4Q2−3 = 0
cuyas soluciones son
−4±√4 + 24
4 =
(
−2.58 0.58 Por lo queQ2= 0.58.Finalmente, seaQ3 el tercer cuartil. Entonces
Z Q3 −∞ f(x)dx= 0.75⇒ Z Q3 0 2 3(1 +x)dx= 0.75, 2 3 ∙ x+x 2 2 ¸Q3 0 =2 3 ∙ Q3+ Q2 3 2 ¸ = 0.75. Se tiene entonces la siguiente ecuación de segundo orden:
2 6Q 2 3+ 2 3Q3− 3 4= 0
o bien
4Q21+ 8Q1−9 = 0
cuyas soluciones son
−4±√4 + 24 4 = ( −2.8 0.8 por lo queQ3= 0.8.
11. SeaX una variable aleatoria definida paraX≥1y sea su función de distribución en dicho rangoF(x) = 1−e(1−x).Se pide:
(a) Calcula la mediana
(b) Calcula la función de densidad. SOLUCIÓN:
(a) La medianaxm es el valor tal queF(xm) = 0.5. Por tanto se tiene que 1−e(1−xm)= 0.5
⇒xm= 1−ln(0.5) = 1.6931
(b) La función de densidad se obtiene derivando la función de distribución. Por tanto f(x) = dF(x)
dx =e
(1−x).
12. Cierta operación industrial está compuesta por dos tareas consecutivas, realizadas de forma automática por dos equipos con distinta CPU, tal y como muestra la Figura (a).
(a) (b)
Llamemos T1 al tiempo que la CPU-1 tarda en ejecutar la Tarea 1 y T2 al tiempo que la CPU-2 tarda
en ejecutar la Tarea 2. La probabilidad de que la CPU-1 tarde en ejecutar la Tarea 1 más det segundos es P(T1 > t) = e−t/α; siendo αuna constante, α >0, (t >0), mientras que la probabilidad de que la
CPU-2 tarde en ejecutar la Tarea 2 más de t segundos esP(T2 > t) =e−t/β; con β una constante que
verifica β > α. Estas probabilidades basadas en funciones exponenciales con exponentes negativos son muy frecuentes en procesos reales. La Figura (b) muestra estas probabilidades, donde puede apreciarse que la probabilidad de que la tarea dure más det segundos decae exponencialmente cont.Se pide:
(a) Calcula la función distribución deT1.
(b) Calcula el tiempo medio que la CPU-2 tardará en ejecutar la tarea 2.
(c) Calcula el tiempo medio que se tardará en ejecutar la operación completa (Tarea 1 y Tarea 2). SOLUCIÓN:
(a) F(t) = 1−P(T1 > t) = 1−e−t/α. f(t) =dF(t)/d(t),dondeF(t) = 1−P(T1> t) = 1−e−t/α. Por
tanto, parat >0,
f(t) = 1 αe
−t/α.
(b) Las propiedades estadísticas deT2 son iguales a la deT1,cambiandoαporβ.Entonces
E(t) = Z ∞ −∞ tf(t)dt= Z ∞ 0 t βe −t/βdt.
Integrando por partes mediante el cambio de variablesu=t, v=−e−t/β se tiene E(t) = −te−t/βi∞ 0 + Z ∞ 0 e−t/βdt=h−βe−t/βi∞ 0 =β
(c) E(T1+T2) =E(T1) +E(T2) =α+β
13. Sea X una v.a. con función de densidad
f(x) =
(
1
2 −1≤x≤0
ae−x x >0
Calcular el valor de a para que f sea una función de densidad. Calcular la función de distribución de probabilidad. (sep. 97) SOLUCIÓN: Como R−∞1f(x)dx= 1,entonces Z ∞ −1 f(x)dx= Z 0 −1 1 2dx+ Z ∞ 0 ae−xdx =1 2+ (−ae −x)¤∞ 0 = 1 2+a= 1⇐⇒a= 1 2. La siguientefigura muestra esta densidad
-20 -1 0 1 2 3 4 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Función de densidad x d e n s id a d
Función de distribución: F(x) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 0 x≤ −1 1 2(x+ 1) −1< x≤0 1−12e−x x >0 -2 -1 0 1 2 3 4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Función de distribución
14. La función de densidad de una variable aleatoria X es:
f(x) =
(
e−k(x−1) six >1
0 six≤1 (a) Calcular el valor de k para que sea una función de densidad. (b) Calcular la función de distribución correspondiente.
(c) Calcular E(X)y V ar(X).(junio 99) SOLUCIÓN:
(a) ComoR1∞f(x)dx= 1,entonces,
Z ∞ 1 e−k(x−1)dx= −1 k e −k(x−1) ¸∞ 1 = 0 + 1 k = 1⇐⇒k= 1 (b) Función de distribución: F(x) = ( 0 x≤1 1−e−(x−1) x >1 (c) E(X) =R1∞xe−(x−1)dx=−xe−(x−1)¤∞ 1 + R∞ 1 e− (x−1)dx= 2. E(X2) =R∞ 1 x 2e−(x−1)dx= −x2e−(x−1)¤∞ 1 + 2R1∞xe−(x−1)dx = −x2e−(x−1)¤∞1 + −2xe−(x−1)¤∞1 + 2R1∞e−(x−1)dx = 1 + 2 + 2 = 5. var(X) = E(X2)−[E(X)]2 = 5−4 = 1
15. SeaX una variable aleatoria de función de densidad f(x) =ax−1/2,definida en0< x <1.
(a) Determina el valor deapara quef(x)sea función de densidad.
(b) Sea Y otra variable aleatoria cuya esperanza es E(Y) = 2/3. Calcula la esperanza de la variable aleatoriaZ=X+Y.(junio 05)
(a) Debe verificarse quef(x)≥0,yR01f(x)dx= 1⇒ Z 1 0 ax−1/2dx=a " x−12+1 −12+ 1 #1 0 =a ∙ x0.5 0.5 ¸1 0 = 2a⇒a= 1 2 y al sera >0se cumple que, para todo x, f(x)≥0.
(b) E(Z) =E(X) +E(Y).
E(X) = Z 1 0 1 2x 1/2dx=1 2 ∙ x3/2 3/2 ¸1 0 = 1 3. Entonces E(Z) = 1 3+ 2 3 = 1
