Topología de Skorohod y algunas aplicaciones

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(1)ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL. FACULTAD DE CIENCIAS. TOPOLOGÍA DE SKOROHOD Y ALGUNAS APLICACIONES. PROYECTO DE TITULACIÓN PREVIO A LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE MATEMÁTICO. LUIS FELIPE HERRERA QUISHPE [email protected]. Director: DR. LUIS ALCIDES HORNA HUARACA [email protected]. QUITO, OCTUBRE 2015.

(2) DECLARACIÓN. Yo LUIS FELIPE HERRERA QUISHPE, declaro bajo juramento que el trabajo aquı́ escrito es de mi autorı́a; que no ha sido previamente presentado para ningún grado o calificación profesional; y que he consultado las referencias bibliográficas que se incluyen en este documento. A través de la presente declaración cedo mis derechos de propiedad intelectual, correspondientes a este trabajo, a la Escuela Politécnica Nacional, según lo establecido por la Ley de Propiedad Intelectual, por su reglamento y por la normatividad institucional vigente.. Luis Felipe Herrera Quishpe.

(3) . CERTIFICACIÓN. Certifico que el presente trabajo fue desarrollado por LUIS FELIPE HERRERA QUISHPE, bajo mi supervisión. Dr. Luis Alcides Horna Huaraca Director del Proyecto.

(4) AGRADECIMIENTOS. A toda mi familia y amigos, por compartir su tiempo y enseñanzas conmigo. En especial: A mis padres, por todo el sacrificio y la confianza que han depositado en mı́. A mi hermana, por estar conmigo desde el principio y apoyarme en cada momento. A mi Naty, por ser mi amiga y consejera en esta nueva aventura. A mi Benja, por hacer que cada dı́a sea “super”. A mis suegros, por toda la ayuda recibida. A mi director, por su paciencia y dedicación a lo largo de este proyecto..

(5) DEDICATORIA A mis padres, Gandy y Susy A mi nueva familia, Naty y Benjamı́n.. Felipe.

(6) Índice de contenido Índice de figuras. viii. Índice de tablas. ix. Índice de códigos. x. Resumen. xi. Abstract. xiii. 1 Introducción 1.1 Álgebras y σ-álgebras . . . . . 1.2 Espacio medible (R, B(R)) . . 1.3 Espacio medible (Rn , B(Rn )) 1.4 Espacio medible (R∞ , B(R∞ )) 1.5 Espacio medible (RT , B(RT )) 1.6 Espacio medible (C, C ) . . . . 1.7 Funciones medibles . . . . . . 1.8 Medidas . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. 1 1 3 9 12 14 15 16 18. 2 Topologı́a de Skorohod 2.1 El espacio medible (D, D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Métrica d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Métrica d◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Separabilidad y Completitud de D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Compacidad de D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Una caracterización de conjuntos relativamente compactos en D. 20 20 25 33 38 43 46. D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49 49 50 53. . . . . . . . .. . . . . . . . .. 3 Convergencia débil y densidad del 3.1 Definiciones básicas . . . . . . . . 3.2 Conjuntos de dimensión finita . . 3.3 Funciones aleatorias en D . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. espacio . . . . . . . . . . . . . . .. vi. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . ..

(7) 3.4 3.5 3.6. Distribuciones de dimensión finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Convergencia débil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4 Simulación de algunos procesos 4.1 Proceso Estocástico . . . . . . 4.2 Proceso de Poisson . . . . . . 4.3 Proceso de Wiener . . . . . . 4.4 Proceso de Lévy . . . . . . . .. estocásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54 56 59. . . . .. 62 62 63 71 74. 5 Una aplicación a la teorı́a de renovación 5.1 Proceso de renovación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Proceso de renovación con recompensa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 78 78 81 82. 6 Conclusiones y recomendaciones 6.1 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Recomendaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 86 86 87. Referencias. 88. Anexos. 91. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . ..

(8) Índice de figuras 1.1 1.2. Una función del conjunto It1 ,t2 ,t3 (I1 × I2 × I3 ). . . . . . . . . . . . . . . Relación entre tipos de convergencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14 17. 2.1 2.2 2.3 2.4. Aplicaciones λn . Aplicaciones λ′n . Aplicaciones λ′′n . Aplicación λt,s .. 30 32 32 33. 4.1. Trayectoria de un proceso de Poisson homogéneo con parámetro λ = 4 sobre el intervalo [0, 1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trayectoria de un proceso de Poisson no homogéneo con parámetro λ(t) = 4t sobre el intervalo [0, 1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trayectorias de un proceso de Poisson homogéneo con λ(t) = 4 y Poisson no homogéneo con λ(t) = 4t sobre el intervalo [0, 100]. . . . . . . . . . . Trayectoria de un proceso de Poisson compuesto con λ = 5 y Yi ∼ N (0, 1), i = 1, . . . sobre el intervalo [0, 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . Trayectoria de un proceso de Wiener estándar sobre el intervalo [0, 1]. . Trayectoria de un proceso de variación cuadrática de Wiener estándar sobre el intervalo [0, 1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trayectoria de un proceso de Lévy sobre el intervalo [0, 1]. . . . . . . . Trayectoria de un proceso de variación cuadrática de Lévy sobre el intervalo [0, 1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8. 5.1. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. Trayectoria de un proceso de renovación sobre el intervalo [0, 10]. . . . .. viii. 65 67 69 70 73 73 75 76 82.

(9) Índice de tablas 4.1. 4.4. Tiempos llegada de un proceso de Poisson homogéneo con parámetro λ = 4 sobre el intervalo [0, 1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tiempos llegada de un proceso de Poisson no homogéneo con parámetro λ(t) = 4t sobre el intervalo [0, 1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tiempos llegada de un proceso de Poisson compuesto con λ = 5 y Yi ∼ N (0, 1), i = 1, . . . sobre el intervalo [0, 1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . Relación entre los procesos estocásticos: Poisson, Wiener y Lévy. . . . .. 5.1 5.2. Resultados del proceso de renovación con recompensa. . . . . . . . . . . Resultados de la aplicación sobre los intervalos [0, T ], T = 10, 100, 1000.. 4.2 4.3. ix. 66 68 71 77 84 85.

(10) Índice de códigos 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 5.1. Proceso Proceso Proceso Proceso Proceso Proceso. de de de de de de. Poisson homogéneo. . . . . Poisson no homogéneo. . . Poisson compuesto. . . . . Wiener. . . . . . . . . . . . Lévy. . . . . . . . . . . . . renovación con recompensa.. x. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. 65 67 70 74 76 83.

(11) Resumen Las series de tiempo, que son trayectorias asociadas a ciertos procesos estocásticos, representan un papel muy importante a la hora de intentar pronosticar algunos fenómenos meteorológicos, financieros, médicos, como por ejemplo: el precio del petróleo, las ventas de una empresa, la variación de las tasas de interés, el ritmo cardı́aco, entre otros. Por esta y otras razones, es necesario analizar el fondo probabilı́stico que éstas poseen, ası́ como su topologı́a y los diferentes procesos que generan. Este estudio resume definiciones y resultados fundamentales existentes, y sistematiza una secuencia entre la teorı́a del espacio de Skorohod (D, D), los procesos estocásticos y sus aplicaciones. Comprender la parte teórica que enlaza el espacio D con los procesos estocásticos, como son los procesos estocásticos càdlàg, es de nuestro interés. Poder simular algunos procesos estocásticos nos permitirá entender de mejor manera cuál es el comportamiento y la implicación de los teoremas y proposiciones que se presentan. Finalmente se pretende llevar a la práctica gran parte de lo estudiado, mediante una aplicación sencilla, pero que recoge lo fundamental de la teorı́a expuesta. A pesar de no haber recibido formación regular en el ámbito de la simulación estocástica se realizaron algunas simulaciones utilizando el entorno de programación R. Dicho entorno es un proyecto de software libre ampliamente utilizado en la academia y en el sector gubernamental. El presente trabajo se divide en capı́tulos donde se exponen definiciones y resultados importantes ya sea con teoremas o proposiciones y se finaliza con las notas correspondientes. Por lo tanto los resultados expuestos constan dentro de la bibliografı́a que se indica al final en las referencias. Primero en el capı́tulo 1 se realizará una construcción secuencial de los espacios medibles, empezando por (R, B(R)) hasta llegar a (C, C ). Luego, en el capı́tulo 2 se analizará a profundidad la topologı́a del espacio medible (D, D), que se conoce como topologı́a de Skorohod. xi.

(12) Más adelante, en el capı́tulo 3 se expondrá cómo son las variables o funciones aleatorias en D, mediante la convergencia débil y densidad del espacio D. Para el capı́tulo 4 se simularán algunos procesos: el de Poisson, el de Wiener y el de Lévy. En el capı́tulo 5 se analizarán brevemente los procesos de renovación y se realizará una aplicación que es sencilla pero ilustra claramente los principales resultados anotados en este trabajo. Por último, en el capı́tulo 6 se compendian las conclusiones mas relevantes que se han detectado a lo largo de este estudio. Adicionalmente se realizan sugerencias fruto de la experiencia adquirida durante el desarrollo del presente trabajo.. xii.

(13) Abstract The time series, which are pathways associated with certain stochastic processes, represent a very important role in trying to forecast some weather events, financial events, medical events, such as: oil prices, sales of a company, the variation interest rates, heart rate, among others. In this context, it is necessary to analyze the probabilistic background that time series have, their topology and the different processes that generate. This study summarizes existing definitions and key results, and organizes a sequence between the theory of Skorhod’s space (D, D), stochastic processes and their applications. It is in our interest to understand the theoric link of space D with stochastic processes (càdlàg). To simulate some stochastic processes will allow us to understand the behavior and involvement of the theorems and propositions presented. Finally, we try to put it into practice through an application, which is simple but contains the substance of the exposed theory.. xiii.

(14) Capı́tulo 1 Introducción 1.1. Álgebras y σ-álgebras. Los conceptos de álgebra y σ-álgebra de conjuntos son muy importantes en la Teorı́a de la medida, Teorı́a de probabilidades, Procesos estocásticos, por la cual es pertinente introducir en nuestro estudio estas definiciones de carácter teórico, aunque a veces no se palpa su importancia en la práctica cotidiana. Se debe tener siempre presente que vamos a utilizar el lenguaje de la Teorı́a de conjuntos, pues nos interesa la interpretación topológica y no geométrica de nuestros espacios. En este primer capı́tulo la referencia fundamental utilizada corresponde al texto [Shiryaev, 1996], connotado académico ruso perteneciente a la escuela de Kolmogorov. Definición 1.1.1 (Álgebra). Una clase A de subconjuntos de un conjunto dado Ω, tal que verifica: (i) Ω y ∅ pertenecen a A ; (ii) si A ∈ A , entonces Ac ∈ A ; y (iii) si A ∈ A , B ∈ A , entonces A ∪ B ∈ A y A ∩ B ∈ A se dice un álgebra. Notemos que esta definición nos garantiza que bajo las operaciones unión e intersección finitas y el complemento, los resultados se mantienen en la misma clase, familia o sistema de conjuntos. Definición 1.1.2 (σ-álgebra). Una clase A de subconjuntos de un conjunto dado Ω, tal que verifica: (i) Ω y ∅ pertenecen a A ; 1.

(15) (ii) si A ∈ A , entonces Ac ∈ A ; y (iii) para toda familia numerable (An )n∈N de elementos de A , se tiene [. n∈N. An ∈ A. y. \. n∈N. An ∈ A. se dice una σ-álgebra. Se aprecia que la σ-álgebra se diferencia del álgebra en cuanto a que las operaciones unión e intersección se realizan para una familia numerable. En ambas definiciones muchas veces puede considerarse una sola de las operaciones o unión o intersección, pues la otra operación también se cumple por la Ley de Morgan. A partir de aquı́, Ω será nuestro espacio muestral. Notemos que las familias F∗ = {∅, Ω},. F ∗ = {A : A ⊆ Ω}. son ambas álgebras y σ-álgebras. A F∗ se lo conoce como la σ-álgebra más “pobre” y a F ∗ como la σ-álgebra más “rica”, puesto que contiene a todos los subconjuntos de Ω, es decir, es el conjunto partes de Ω. El siguiente resultado, cuya demostración es sencilla, nos da una metodologı́a para encontrar álgebras y σ−álgebras pequeñas, tal como lo afirma la proposición 1.1.2. Proposición 1.1.1. Sea (Ai )i∈I una familia de σ-álgebras de Ω con I un conjunto de T ı́ndices no necesariamente contable, entonces i∈I Ai es una σ-álgebra.. Definición 1.1.3. Sea E una familia de subconjuntos de Ω. La σ-álgebra de subconjuntos de Ω más pequeña que contiene a E , se conoce como la σ-álgebra generada por E y se denota por σ(E ). De igual manera el álgebra mas pequeña que contiene a E , se denomina álgebra generada por E y se denota por α(E ). Proposición 1.1.2. Sea E una familia de subconjuntos de Ω. Entonces existen α(E ) y σ(E ).. Demostración. Como F ∗ es una σ-álgebra, entonces existe por lo menos una σ-álgebra que contiene a E . Si tomamos σ(E ) como la intersección de todas las σ-álgebras de subconjuntos de Ω que contienen a E , es decir, σ(E ) =. \. A,. A una σ-álgebra.. E ⊆A. Se tiene entonces que E ⊆ σ(E ). Y por la proposición 1.1.1, σ(E ) es una σ-álgebra. De forma similar se obtiene el resultado para α(E ). 2.

(16) Para el caso de álgebras se tiene un caso particular, pero muy importante, cuando E es una partición finita de Ω. Definición 1.1.4 (Espacio medible). Sea E una σ-álgebra de subconjuntos de Ω, decimos que el par (Ω, E ) es un espacio medible. A continuación vamos a ver, rápidamente, una generalización secuencial de los espacios medibles, empezando por el espacio de los reales (R, B(R)), hasta llegar al espacio de las funciones continuas (C, C ), y finalmente al espacio de Skorohod (D, D).. 1.2. Espacio medible (R, B(R)). Sean R = (−∞, ∞) la recta real y (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}, para todo a y b, −∞ ≤ a < b < ∞, un intervalo de R. Los intervalos de la forma (a, ∞] se escriben, (a, ∞). Definimos A como la familia de subconjuntos de R, tal que los elementos de este conjunto son sumas (uniones) finitas de intervalos disjuntos de la forma (a, b], es decir, si n X A= (ai , bi ], n < ∞, (1.1) i=1. entonces A ∈ A . Si incluimos al conjunto vacı́o (∅) en el conjunto A , se transforma en un álgebra. En efecto: • ∅ ∈ A y R = (−∞, ∞) es un intervalo, por lo que R ∈ A . • Si A ∈ A , entonces A se puede escribir como una suma de intervalos y, sin pérdida de generalidad, podemos ordenar los intervalos de tal manera que ai < bi ≤ ai+1 < bi+1 ,. para i = 1, ..., n − 1 y suponer que a1 = −∞. De donde al tomar el complemento de A, se obtiene el siguiente resultado c. A =. n−1 X i=1. (bi , ai+1 ] ∪ (bn , ∞),. para algún n < ∞, por lo tanto Ac ∈ A . Para el caso en que a1 6= −∞ simplemente se añadirá el termino (−∞, a1 ] al conjunto Ac . De forma similar, si bn = ∞ se eliminará el término (b, ∞) de Ac . • Adicionalmente si A ∈ A y B ∈ A , entonces existen n < ∞, m < ∞ tal que: A∪B =. n X i=1. (ai , bi ] ∪ 3. m X j=1. (cj , dj ],.

(17) de donde A ∪ B es a lo más la suma (unión) de n + m < ∞ intervalos disjuntos, es decir, A ∪ B ∈ A . Sin embargo A no puede ser una σ-álgebra, ya que si tomamos los intervalos An = S (0, 1 − 1/n], entonces n∈N An = (0, 1) 6∈ A . A σ(A ), la σ-álgebra generada por A , se la conoce como el σ-álgebra de Borel de subconjuntos de la recta real y se denota por B(R). Sus elementos se denominan Borelianos. Proposición 1.2.1. Si I es una clase formada por intervalos de la forma (a, b], entonces σ(I ) es igual al σ-álgebra de Borel. Demostración. Primero verifiquemos que A = α(I ). Sea A ∈ A , es decir, A=. n X. (ai , bi ]. i=1. para algún n < ∞. Pero para todo i = 1, . . . , n, (ai , bi ] ∈ I y por lo tanto A ∈ α(I ). Por otra parte A es un álgebra que contiene a I , y por tanto α(I ) ⊆ A . Ahora demostremos que σ(I ) = σ(α(I )), pero como I ⊆ α(I ), se sigue que σ(I ) ⊆ σ(α(I )). Por otro lado sea B ∈ σ(α(I )), sin pérdida de generalidad podemos tomar B=. n X. (ai , bi ],. i=1. para algún n < ∞, pero como para todo i = 1, . . . , n, (ai , bi ] ∈ I , se sigue que B ∈ σ(I ). Nota 1.2.1. La σ-álgebra de Borel se puede obtener mediante I , sin tener que usar el álgebra A , ya que σ(I ) = σ(α(I )). Utilizar los intervalos abiertos por la izquierda y cerrados por la derecha es de mucha importancia práctica, fundamentalmente, cuando se estudian las funciones de distribución de variables aleatorias. 4.

(18) Notemos además que: ∞ [. 1 (a, b) = a, b − , n n=1 ∞ [ 1 [a, b] = a − ,b , n n=1 ∞ \ 1 a − ,a . {a} = n n=1. a < b, a < b,. Lo que implica que la σ-álgebra de Borel, incluye los conjuntos unitarios {a} y las siguientes formas de intervalos: (a, b), [a, b], (a, b], [a, b), (−∞, b), (−∞, b], (a, ∞), [a, ∞).. (1.2). Es importante mencionar que la construcción de B(R), puede estar basada en cualquiera de los tipos de intervalos presentados en (1.2), en lugar de los de la forma (a, b], que utilizaremos en nuestro estudio. Nota 1.2.2. El espacio medible (R, B(R)) se denota generalmente por (R, B) o (R1 , B1 ). Ya que nuestro propósito es identificar los abiertos en R, presentamos la siguiente proposición. Proposición 1.2.2. Sea ρ1 una función de R2 en R, tal que ρ1 (x, y) =. |x − y| , x ∈ R, y ∈ R, 1 + |x − y|. entonces: (i) ρ1 es una métrica en R; y (ii) para todo (x, y) ∈ R2. ρ1 (x, y) < 1. . Demostración. (i). • Por definición ρ1 (x, y) ≥ 0 • Supongamos que ρ1 (x, y) = 0, entonces |x − y| =0 1 + |x − y| 5.

(19) de donde |x − y| = 0, y por lo tanto x = y. Si suponemos ahora que x = y, se tiene entonces que |x − y| = 0 y finalmente ρ1 (x, y) = 0. • Simetrı́a |x − y| 1 + |x − y| |y − x| = 1 + |y − x| = ρ1 (y, x).. ρ1 (x, y) =. • Desigualdad triangular. Primero notemos que la función f : R+ −→ R+ , tal que t , f (t) = 1+t es creciente. En efecto, si 0 < s < t se tiene que 1 1 > s t 1 1 +1 > +1 s t 1+s 1+t > s t s t < 1+s 1+t f (s) < f (t). Por otra parte, usando la desigualdad triangular del valor absoluto f (|x − y|) ≤ f (|x − z| + |z − y|). Pero por definición ρ1 (x, y) = f (|x − y|). De donde se sigue que ρ1 (x, y) ≤ f (|x − z| + |z − y|) |x − z| + |z − y| ≤ 1 + |x − z| + |z − y| |z − y| |x − z| + ≤ 1 + |x − z| 1 + |z − y| ≤ ρ1 (x, z) + ρ1 (z, y). 6.

(20) (ii) Supongamos que existe un par (x, y) ∈ R2 , tal que ρ1 (x, y) = 1. Sin embargo por definición de ρ1 se tiene la siguiente igualdad 1 + |x − y| = |x − y|, pero esto es una contradicción y por lo tanto se concluye la demostración.. Proposición 1.2.3. Sean B0 (R) la σ-álgebra generada por los conjuntos abiertos Sρ (x0 ) = {x ∈ R : ρ1 (x, x0 ) < ρ}, ρ > 0, x0 ∈ R, entonces B0 (R) = B(R). Demostración. (i) Sea A ∈ B0 (R), entonces existen x0 ∈ R y ρ > 0, tal que A = Sρ (x0 ) = {x ∈ R : ρ1 (x, x0 ) < ρ}, es decir, los elementos del conjunto A verifican la siguiente desigualdad |x − x0 | < ρ, 1 + |x − x0 | de esta ecuación se sigue que |x − x0 | <. ρ 1−ρ. En conclusión, podemos escribir al conjunto A como un intervalo, de la siguiente manera ρ ρ 0 0 , x + A= x − 2(1 − ρ) 2(1 − ρ) y por lo tanto A ∈ B(R). (ii) Ahora supongamos que A ∈ B(R), entonces A puede ser cualquier tipo de intervalo presentado en (1.2). Suponemos que A = (a, b), entonces si tomamos x0 =. 7. a+b 2.

(21) y. b−a , 1+b−a A se puede escribir de la siguiente manera ρ=. A=. . ρ ρ , x0 + x − 2(1 − ρ) 2(1 − ρ) 0. . y por lo tanto si x ∈ A, entonces |x − x0 | <. ρ 1−ρ. |x − x0 | < ρ 1 + |x − x0 |. lo que implica que A = Sρ (x0 ). Para el caso que A = (−∞, b), escribimos el intervalo como una unión infinita de intervalos, es decir, A=. ∞ [. n=1. (a − n, b), a < b,. tomando an = a − n, estamos en un intervalo de la forma An = (an , b), el cual acabamos de demostrar que se puede escribir como un abierto de B0 (R), y como este procedimiento podemos realizar para cada n, se sigue que An ∈ B0 (R), para todo n, y al ser B0 (R) una σ-álgebra, A=. ∞ [. n=1. An ∈ B0 (R).. Nota 1.2.3. La métrica ρ1 (x, y) es equivalente a la métrica δ(x, y) = |x − y|. Cuando trabajemos sobre la recta real extendida, es decir, R̄ = [−∞, ∞], definimos a B(R̄) como la σ-álgebra más pequeña generada por los intervalos de la forma (a, b] = {x ∈ R̄ : a < x ≤ b}, donde (−∞, b] = {x ∈ R̄ : −∞ < x ≤ b}.. 8. −∞ ≤ a < b ≤ ∞,.

(22) 1.3. Espacio medible (Rn, B(Rn)). Sea Rn = R × · · · × R el producto cartesiano de n rectas reales, es decir, el conjunto de n-tuplas ordenadas de la forma x = (x1 , . . . , xn ), donde −∞ < xk < ∞ para k = 1, . . . , n. Definimos el conjunto I = I1 × · · · × In donde Ik = (ak , bk ], con ak ∈ R, bk ∈ R. Nótese que I = {x ∈ Rn : xk ∈ Ik , k = 1, . . . , n}, adicionalmente a este conjunto se lo conoce como un rectángulo, y a los Ik como un lado del rectángulo. Denotamos por I al conjunto de todos los rectángulos I. La σ-álgebra más pequeña generada por I , es el álgebra de Borel (σ-álgebra) de subconjuntos de Rn y se denota por B(Rn ). Sin embargo, podemos obtener el álgebra de Borel de otra manera, en lugar de tomar los rectángulos I = I1 × · · · × In , tomamos los rectángulos de la forma B = B1 × · · · × Bn , donde los Bk son borelianos de la recta real que aparecen en la k-ésima posición del producto cartesiano R × · · · × R. La σ-álgebra más pequeña generada por los rectángulos borelianos se la conoce como el producto directo de σ-álgebras B(R) y la denotaremos por B(R) ⊗ · · · ⊗ B(R). La siguiente proposición será de mucha ayuda para ver la relación que existe entre B(Rn ) y el producto directo de n σ-álgebras B(R). Proposición 1.3.1. Sean E una clase de subconjuntos de Ω, B ⊆ Ω, y E ∩ B = {A ∩ B : A ∈ E }, entonces σ(E ∩ B) = σ(E ) ∩ B.. 9. (1.3).

(23) Demostración. [Shiryaev, 1996] Puesto que E ⊆ σ(E ), se tiene el siguiente resultado E ∩ B ⊆ σ(E ) ∩ B.. (1.4). Por otra parte como σ(E ) es una σ-álgebra, σ(E ) ∩ B también lo es, por lo tanto E ∩ B ⊆ σ(E ∩ B), y gracias a (1.4) σ(E ∩ B) ⊆ σ(E ) ∩ B,. (1.5). esto se debe a que σ(E ∩ B) es la σ-álgebra más pequeña que contiene a E ∩ B. Por otro lado, definimos el siguiente conjunto CB = {A ∈ σ(E ) : A ∩ B ∈ σ(E ∩ B)}, el cual es una σ-álgebra, puesto σ(E ) y σ(E ∩ B) son σ-álgebras. Luego por la forma en que se construyó CB , E ⊆ CB ⊆ σ(E ) y por lo tanto σ(E ) ⊆ σ(CB ) ⊆ σ(E ), es decir, σ(CB ) = σ(E ), pero como CB es una σ-álgebra, entonces σ(CB ) = CB , lo que implica que CB = σ(E ). Finalmente, para todo A ∈ σ(E ), se tiene que A ∩ B ∈ σ(E ∩ B), es decir, σ(E ) ∩ B ⊆ σ(E ∩ B), y por (1.5) se tiene el resultado deseado. Proposición 1.3.2. La σ-álgebra más pequeña generada por los rectángulos I = I1 × · · · × In es igual a la generada por los rectángulos borelianos B = B1 × · · · × Bn , es decir, B(Rn ) = B(R) ⊗ · · · ⊗ B(R). Demostración. [Shiryaev, 1996] Para n = 1, se verifica el resultado inmediatamente.. 10.

(24) Para n = 2, basta demostrar que B(R) ⊗ B(R) ⊆ B(R2 ),. (1.6). puesto que Ii ⊆ Bi para i = 1, 2, y por tanto se tiene que B(R2 ) ⊆ B(R) ⊗ B(R). Para demostrar (1.6) vamos a definir los siguientes conjuntos: R2 = R 1 × R2 , donde R1 y R2 son la “primera” y “segunda” recta real respectivamente, B̃1 = B1 × R2 B̃2 = R1 × B2 , donde B1 × R2 (o R1 × B2 ) es una colección de subconjuntos de la forma B̃1 = B1 × R2 (o B̃2 = R1 × B2 ), con B1 ∈ B1 (o B2 ∈ B2 ). Adicionalmente sean I1 y I2 conjuntos de intervalos en R1 y R2 , respectivamente, y Ĩ1 = I1 × R2 Ĩ2 = R1 × I2 , entonces, sean B̃1 ∈ B̃1 y B̃2 ∈ B̃2 B1 × B2 = (B1 ∩ R1 ) × (B2 ∩ R2 ) = (B1 ∩ R1 ) × (R2 ∩ B2 ) = (B1 × R2 ) ∩ (R1 × B2 ) = B̃1 ∩ B̃2 . Notemos además que si definimos B̃1 ∩ B̃2 = {A ∩ B2 : A ∈ B̃1 }, entonces B1 × B2 ∈ B̃1 ∩ B̃2 luego B̃1 ∩ B̃2 ⊆ σ(B̃1 ) ∩ B̃2 = σ(Ĩ1 ) ∩ B̃2 pero gracias a (1.3) σ(Ĩ1 ) ∩ B̃2 = σ(Ĩ1 ∩ B̃2 ) 11.

(25) ⊆ σ(Ĩ1 ∩ Ĩ2 ) = σ(I1 × I2 ), y puesto que esto se cumple para todo B̃1 ∈ B̃1 y B̃2 ∈ B̃2 , se concluye que B(R) ⊗ B(R) ⊆ B(R2 ). Para n > 2, se demuestra mediante inducción, procediendo de la misma manera. Nota 1.3.1. Sea B0 (Rn ) la σ-álgebra más pequeña generada por los conjuntos abiertos de la forma Sρ (x0 ) = {x ∈ Rn : ρn (x, x0 ) < ρ}, x0 ∈ Rn , ρ > 0, con la métrica ρn (x, x0 ) =. n X. 2−k ρ1 (xk , x0k ). k=1. 0. donde x = (x1 , . . . , xn ), x =. (x01 , . . . , x0n ).. (i) para todo y ∈ Rn , x ∈ Rn ,. Entonces:. ρn (x, y) < 1 −. 1 ; 2n. (ii) B0 (Rn ) = B(Rn ). Esta nota contiene una conclusión que amplı́a el resultado de la proposición 1.2.3.. 1.4. Espacio medible (R∞, B(R∞)). El espacio R∞ es el espacio de las sucesiones ordenadas de números x = (x1 , x2 , . . .), −∞ < xk < ∞, k = 1, 2, . . . Sean Ik y Bk , los intervalos de la forma (ak , bk ] y los subconjuntos borelianos de la k-ésima componente, respectivamente. Consideramos los conjuntos cilindro de la siguiente forma I (I1 × · · · × In ) = {x : x = (x1 , x2 , . . .), x1 ∈ I1 , . . . , xn ∈ In },. (1.7). I (B1 × · · · × Bn ) = {x : x = (x1 , x2 , . . .), x1 ∈ B1 , . . . , xn ∈ Bn },. (1.8). I (B n ) = {x : (x1 , x2 , . . .) ∈ B n },. (1.9). donde B n es un conjunto boreliano en B(Rn ). Por su importancia teórico - práctica se enuncia el siguiente resultado que nos permite trabajar con cilindros y no con borelianos, que evidentemente conllevan una visualización mas compleja.. 12.

(26) Proposición 1.4.1. Sean B(R∞ ), B1 (R∞ ), B2 (R∞ ) las σ-álgebras mas pequeñas generadas los conjuntos (1.7), (1.8) y (1.9), respectivamente. Entonces B(R∞ ) = B1 (R∞ ) = B2 (R∞ ). Demostración. [Shiryaev, 1996] Puesto que Ii ⊆ Bi , para todo i = 1, 2, . . ., se sigue que B(R∞ ) ⊆ B1 (R∞ ). Además como I (B n ) puede tener su base en R∞ y por la proposición 1.3.2, se tiene que B1 (R∞ ) ⊆ B2 (R∞ ). Por otra parte, si definimos n o Cn = A ∈ B(Rn ) : {x : (x1 , . . . , xn ) ∈ A} ∈ B(R∞ ) , para n = 1, 2, . . . y tomamos B n ∈ B(Rn ), entonces como I (B n ) puede tener su base en R∞ , se sigue que I (B n ) ∈ B(R∞ ). De donde se tiene que B n ∈ Cn Sin embargo puesto que Cn es una σ-álgebra, se tiene que σ(Cn ) = Cn y por tanto B(Rn ) ⊆ Cn ⊆ B(R∞ ), de donde se concluye que B2 (R∞ ) ⊆ B(R∞ ). De esta manera se tiene el siguiente resultado, que es totalmente compatible con los resultados obtenidos en los espacios medibles expuestos anteriormente. Nota 1.4.1. Sea B0 (R∞ ) la σ-álgebra mas pequeña generada por los conjuntos abiertos Sρ (x0 ) = {x ∈ R∞ : ρ∞ (x, x0 ) < ρ}, con la métrica 0. ρ∞ (x, x ) =. ∞ X. 2−k ρ1 (xk , x0k ),. k=1. donde x = (x1 , x2 , . . .), x0 = (x01 , x02 , . . .). Entonces: 13. x0 ∈ R ∞ ,. ρ > 0,.

(27) (i) para todo y ∈ R∞ , x ∈ R∞ ,. ρ∞ (x, y) < 1;. (ii) B(R∞ ) = B0 (R∞ ).. 1.5. Espacio medible (RT , B(RT )). Sea T es un subconjunto arbitrario, no necesariamente numerable de R. Definimos el espacio RT como el conjunto de todas las funciones reales x = (xt ) que están definidas para t ∈ T . Puesto que el caso en que T es un conjunto no numerable, es de mayor importancia, vamos a suponer que T = [0, ∞). Consideramos los siguientes conjuntos cilindro It1 ,...,tn (I1 × · · · × In ) = {x : xt1 ∈ I1 , . . . , xtn ∈ In },. (1.10). It1 ,...,tn (B1 × · · · × Bn ) = {x : xt1 ∈ B1 , . . . , xtn ∈ Bn },. (1.11). It1 ,...,tn (B n ) = {x : (xt1 , . . . , xtn ) ∈ B n },. (1.12). donde Ik y Bk son los intervalos de la forma (ak , bk ] y los subconjuntos borelianos de la k-ésima componente, respectivamente. B n es un conjunto boreliano en B(Rn ). En la figura 1.1 se observa un ejemplo de una función del conjunto It1 ,t2 ,t3 (I1 × I2 × I3 ) tal que en los tiempos t1 , t2 y t3 atraviesa por unas “ventanas”, que son los intervalos I1 , I2 , I3 , y tiene valores arbitrarios en cualquier otro tiempo. 0.8. 0.7. 0.6. 0.5. 0.4. 0.3. 0.2. 0.1 f t1 t2 t3. 0. -0.1 0. 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. 0.5. 0.6. 0.7. 0.8. 0.9. 1. Figura 1.1: Una función del conjunto It1 ,t2 ,t3 (I1 × I2 × I3 ).. 14.

(28) Teorema 1.5.1. Sean T un conjunto no numerable y B(RT ), B1 (RT ), B2 (RT ) las σálgebras mas pequeñas generadas los conjuntos (1.10), (1.11) y (1.12), respectivamente. Entonces B(RT ) = B1 (RT ) = B2 (RT ) y para todo A ∈ B(RT ) existen un conjunto numerable de puntos {t1 , t2 , . . .} en T y un boreliano B ∈ B(R∞ ) tal que: o n A = x : (xt1 , xt2 , . . .) ∈ B .. (1.13). La demostración de este teorema es una generalización del resultado para el espacio medible (R∞ , B(R∞ )) y se la puede encontrar en [Shiryaev, 1996]. Su importancia radica en que nos permite trabajar con funciones tales que en cierta familia contable de puntos, cumplen unas restricciones determinadas.. 1.6. Espacio medible (C, C ). Sean T = [0, 1] y C el espacio de las funciones continuas x = (xt ), 0 ≤ t ≤ 1. Si dotamos este espacio con la siguiente métrica ρ(x, y) = sup |xt − yt |, t∈T. entonces C es un espacio métrico. Adicionalmente si denotamos por B0 (C) a la σálgebra generada por los abiertos con respecto a la métrica ρ y C a la σ-álgebra generada por los conjuntos (cilindro) de la forma Vtη = {x ∈ C : xt < η} con η ∈ R, entonces B0 (C) = C . En efecto, [Shiryaev, 1996] sean ǫ > 0 y Aǫ = {y ∈ C : y ∈ Bǫ (x◦ )}, donde x◦ ∈ C y. n o Bǫ (x◦ ) = x ∈ C : máx |xt − x◦t | < ǫ t∈T. ◦. es una bola abierta centrada en x . De esta manera se tiene que Aǫ = {y ∈ C : y ∈ Bǫ (x◦ )} o n = y ∈ C : máx |yt − x◦t | < ǫ t∈T. 15.

(29) =. \n tr. o y ∈ C : |ytr − x◦tr | < ǫ ,. donde los tr son los números racionales del intervalo [0,1]. Por lo tanto Aǫ ∈ C . Por otro lado, sean η ∈ R, t0 ∈ T y y ◦ ∈ Vtη0 , donde Vtη0 = {y ∈ C : yt0 < η} es un conjunto cilindro. Entonces existe un α > 0 tal que α + yt0 < η. De esta manera la bola abierta Bρ (y ◦ ) = {z ∈ C : |zt0 − yt◦0 | < α} ⊆ {z ∈ C : zt0 < α + yt◦0 } ⊆ {z ∈ C : zt0 < η}. ⊆ Vtη0 . Por lo tanto Vtη0 es un abierto, es decir,. Vtη0 ∈ B0 (C). En el siguiente capı́tulo se tratará un espacio medible más generalizado y además será tema fundamental de nuestro estudio.. 1.7. Funciones medibles. Inmediatamente se dará una de las definiciones mas importantes en Teorı́a de probabilidades, relacionadas con elementos aleatorios, en particular con variables aleatorios y vectores aleatorios. Definición 1.7.1 (Función medible). Sean (Ω, E ) y (Ω′ , E ′ ) dos espacios medibles. La función g : Ω −→ Ω′. 16.

(30) se dice E /E ′ -medible, (o medible si no existe ambigüedad), si para todo A ∈ E ′ , g −1 (A) ∈ E . Teorema 1.7.1. Sea (Ω, E ) un espacio medible. La función f : Ω −→ R es medible, si y solo si, para todo α ∈ R, {ω ∈ Ω : f (ω) > α} ∈ E . Este resultado es una caracterización de lo que es una variable aleatoria. El siguiente teorema nos permite manipular con certeza los lı́mites de sucesiones de variables aleatorias. Teorema 1.7.2. Sea (Ω, E ) un espacio medible y para todo n = 1, . . ., las funciones fn : Ω → R son medibles, entonces: (i) las funciones ı́nf n∈N fn y supn∈N fn son medibles. (ii) las funciones lı́m inf n→∞ fn y lı́m supn→∞ fn son medibles. (iii) la función lı́mn→∞ fn es medible. A su vez este resultado nos garantiza que los lı́mites de sucesiones de variables aleatorias es también una variable aleatoria, misma que permite establecer los diferentes tipos de convergencia en Teorı́a de probabilidades: convergencia casi segura, convergencia en probabilidad, convergencia en Lp y convergencia en distribución que satisfacen el siguiente esquema. Convergencia en Lp E[(Xn − X)p ] → 0. Convergencia casi segura P(Xn → X) = 1. Convergencia en probabilidad P(|Xn − X| ≥ ǫ) → 0, ∀ǫ > 0. Convergencia en distribución FXn (t) → FX (t), FX cont. en t Figura 1.2: Relación entre tipos de convergencia.. 17.

(31) El siguiente resultado, en la práctica tiene mucha relevancia puesto que muestra la relación que existe entre las funciones continuas y las funciones medibles, para el caso en que nuestro dominio es al recta real. Teorema 1.7.3. Si la función f : R −→ Rk es continua, entonces es medible. Teorema 1.7.4. Sean (Ω, E ) un espacio medible y fi : Ω −→ R,. i = 1, . . . , k. funciones medibles, entonces la función ω 7−→ ϕ(f1 (ω), . . . , fk (ω)) es medible, si ϕ : Rk −→ R, es medible. En particular si ϕ es continua.. 1.8. Medidas. Esta sección es muy importante para poder tener una idea que conjuntos pueden ser medibles y de ser ası́, cual serı́a su medida o tamaño. Definición 1.8.1 (Medida). Dado un espacio medible (Ω, E ), decimos que la aplicación µ : E −→ [0, ∞] es una medida si verifica: (i) µ(∅) = 0, (ii) para toda familia numerable (An )n∈N de elementos de E , disjuntos dos a dos, se tiene [ X µ( An ) = µ(An ) (1.14) n∈N. n∈N. A la propiedad (1.14) se la conoce como la σ-aditividad de µ. Definición 1.8.2 (Espacio medido). Sea (Ω, E ) un espacio medible y µ una medida de (Ω, E ), decimos que la tripleta (Ω, E , µ) es un espacio medido. Definición 1.8.3 (Espacio probabilı́stico). Sea (Ω, E , µ) un espacio medido. Si µ(Ω) = 1, 18.

(32) decimos que (Ω, E , µ) es un espacio probabilı́stico. Adicionalmente a µ se la conoce como una medida de probabilidad Esta es una definición muy importante y al mismo tiempo simple dentro de la axiomática de Kolmogorov, uno de los grandes matemáticos del siglo XX y perteneciente a la escuela rusa de Teorı́a de probabilidades. Adicionalmente a µ(A) se la conoce como la µ-medida de A, y en la práctica puede tener muchas connotaciones como longitud, área, importancia, peso, etc. Si la medida de todo el espacio es finita, es decir, µ(Ω) < ∞, diremos que µ es una medida finita. Definición 1.8.4 (Conjunto de medida nula). Sea (Ω, E , µ) un espacio medido (probabilı́sto). Si un conjunto A ∈ E verifica: µ(A) = 0, decimos que A es un conjunto de medida (probabilidad) nula. Esta definición es de mucha importancia en el desarrollo teórico de las probabilidades. Cuando se trabaja con álgebras los conjuntos de medida nula simplemente se eliminan pues carecen de sentido.. 19.

(33) Capı́tulo 2 Topologı́a de Skorohod Para este capı́tulo se utilizó como referencia fundamental los textos [Billingsley, 1999], [Billingsley, 1995], [Kumaresan, 2005], [Shiryaev, 1996] y [Royden and Fitzpatrick, 2010].. 2.1. El espacio medible (D, D). Durante este trabajo se hará un estudio topológico de este espacio mas no geométrico. Por lo que nuestro principal objetivo será ver cuales son las propiedades de los abiertos y no como son estos. Sea D = D[0, 1] el espacio de la funciones reales x definidas sobre [0, 1] tales que son continuas por la derecha y tienen lı́mite por la izquierda, es decir, • x(t+) = lı́ms↓t x(s) existe y x(t+) = x(t), para 0 ≤ t < 1 • x(t−) = lı́ms↑t x(s) existe, para 0 < t ≤ 1. Este tipo de funciones se conocen como càdlàg por su significado en francés “continu à droite, limites à gauche” y de uso muy generalizado en el ámbito estocástico. Para x ∈ D y T ⊆ [0, 1] definimos ωx (T ) = ω(x, T ) = sup |x(s) − x(t)|.. (2.1). t,s∈T. Además definimos el módulo de continuidad en D de la siguiente manera ωx (δ) = ω(x, δ) =. sup ωx [t, t + δ].. (2.2). 0≤t≤1−δ. Para tener una idea de la uniformidad de las funciones càdlàg se presenta la siguiente proposición.. 20.

(34) Proposición 2.1.1. Para cada x ∈ D y cada ǫ > 0, existen puntos t0 , t1 , . . . , tn tales que 0 = t 0 < t 1 < · · · < tn = 1 (2.3) y ωx [ti−1 , ti ) < ǫ.. (2.4). Demostración. [Billingsley, 1999] Sea t◦ el supremo de todos los t ∈ [0, 1], tal que [0, t) puede ser descompuesto en un número finito de intervalos de la forma [ti−1 , ti ) que satisfacen (2.4). Pero como x ∈ D, entonces x(0) = x(0+) y por lo tanto t◦ > 0. Por otra parte x(t◦ −) siempre existe y además [0, t◦ ) puede ser descompuesto en subintervalos. Luego si t◦ < 1, se tiene que x(t◦ ) = x(t◦ +) y por lo tanto existe un t∗ < 1 tal que t∗ > t◦ y además ωx [t◦ , t∗ ) < ǫ, es decir, t◦ no es el supremo. En conclusión t◦ = 1 De este resultado se sigue que existe a lo más un número finito de puntos t tal que |x(t) − x(t−)| >. 1 , n. para algún n > 0,. por lo que x tiene a lo mucho un número contable de discontinuidades. De donde se sigue que x es acotada, es decir, kxk = sup |x(t)| < ∞.. (2.5). t∈[0,1]. Finalmente se tiene que x puede ser aproximada uniformemente por funciones constantes a trozos, es decir, x es Borel medible. Nota 2.1.1. Una función continua sobre [0, 1], es uniformemente continua. Definición 2.1.1 (δ-disperso). Sea {ti } un conjunto que satisface (2.3), entonces decimos que {ti } es un conjunto δ-disperso si mı́n (ti − ti−1 ) > δ.. 1≤i≤n. 21.

(35) Para 0 < δ < 1, definimos otro módulo de continuidad en el espacio D ωx′ (δ) = ω ′ (x, δ) = ı́nf máx ωx [ti−1 , ti ), {ti } 1≤i≤n. (2.6). donde el ı́nfimo se entiende sobre todos las colecciones {ti } δ-dispersos. Como veremos más adelante ésta es una expresión que nos permite caracterizar a los elementos del espacio D, cuando δ tiende a 0. Proposición 2.1.2. La proposición 2.1.1 es equivalente a lı́mδ→0 ωx′ (δ) = 0, para todo x ∈ D. Demostración. (i) Sean x ∈ D, ǫ > 0 cualquiera y t0 , . . . tn tal que verifican (2.3) y (2.4), y tomamos δ < mı́n (ti − ti−1 ). 1≤i≤1. Pero gracias a la forma en que se escogieron los ti , i = 1, . . . , n máx ωx [ti−1 , ti ) < ǫ.. 1≤i≤1. Luego por (2.6) se tiene que ωx′ (δ) ≤ máx ωx [ti−1 , ti ) < ǫ, 1≤i≤1. y por lo tanto lı́m ωx′ (δ) = 0.. δ→0. (ii) Sean x ∈ D, ǫ > 0 y. lı́m ωx′ (δ) = 0,. δ→0. entonces existe un δ ′ > 0 tal que si δ < δ ′ , se verifica |ωx′ (δ)| < ǫ, es decir, si tomamos δ < δ ′ existe una colección de los {ti } δ-disperso tal que verifica (2.3) y (2.4).. Nota 2.1.2. ωx′ (δ) es independiente del valor de x(1), por el tipo de intervalos que se consideran. Nota 2.1.3. lı́mδ→0 ωx′ (δ) = 0 es una condición necesaria y suficiente para que x ∈ D. 22.

(36) Esta nota es de suma relevancia en nuestro estudio por cuanto caracterizan a los elementos de D. A continuación veamos la relación que existe entre ωx′ (δ) y ωx (δ). Dado que el intervalo [0, 1) puede ser descompuesto en subintervalos [ti−1 , ti ) tal que δ < ti − ti−1 ≤ 2δ, con δ < 1/2, entonces se tiene que ωx′ (δ) ≤ ωx (2δ),. si δ < 1/2.. (2.7). En efecto, ωx′ (δ) = ı́nf máx ωx [ti−1 , ti ) {ti } 1≤i≤n. ≤ máx ωx [ti−1 , ti ) 1≤i≤n. ≤ máx ωx [ti−1 , ti−1 + 2δ) 1≤i≤n. ≤. máx ωx [t, t + 2δ). 0≤t≤1−2δ. = ωx (2δ) ya que ti − ti−1 ≤ 2δ. En la dirección opuesta no se tiene una desigualdad general ya que si x tiene discontinuidades, entonces lı́m ωx (δ) 6= 0. δ→0. Sin embargo si consideramos el máximo salto (absoluto) para x como: j(x) = sup |x(t) − x(t−)|. (2.8). 0<t≤1. vemos que este supremo es alcanzado puesto que dado algún número positivo solo un número finito de saltos superan este número, es decir, dado ρ > 0, existe una única colección {ti } con n > 0 tal que se verifica: |x(ti ) − x(ti −)| > ρ,. i = 1, . . . , n.. Ahora si tomamos la colección {ti } δ-disperso tal que para cada i = 1, . . . , n ωx [ti−1 , ti ) < ωx′ (δ) + ǫ,. ǫ > 0.. Si |s − t| ≤ δ, entonces se tienen dos casos: s y t pertenecen al mismo intervalo [ti−1 , ti ), o se encuentran en intervalos adyacentes.. 23.

(37) Caso 1. Supongamos que s ∈ [ti−1 , ti ) y t ∈ [ti−1 , ti ), entonces |x(s) − x(t)| ≤ ωx [ti−1 , ti ) ≤ ωx′ (δ) + ǫ,. tomando el lı́mite cuando ǫ → 0, se tiene que |x(s) − x(t)| ≤ ωx′ (δ) Caso 2. Supongamos que s ∈ [ti−1 , ti ) y t ∈ [ti , ti+1 ), entonces aplicando la desigualdad triangular a |x(s) − x(t)|, se obtiene el siguiente resultado: |x(s) − x(t)| ≤ |x(s) − x(ti −)| + |x(ti −) − x(ti )| + |x(ti ) − x(t)| ≤ ωx [ti−1 , ti ) + j(x) + ωx [ti , ti+1 ) ≤ 2ωx′ (δ) + j(x) + 2ǫ,. tomando el lı́mite cuando ǫ → 0, se tiene que |x(s) − x(t)| ≤ 2ωx′ (δ) + j(x). Por lo tanto se concluye que ωx (δ) ≤ 2ωx′ (δ) + j(x).. (2.9). Si la función x es continua entonces j(x) = 0, y por tanto (2.9) quedarı́a de la siguiente manera: ωx (δ) ≤ 2ωx′ (δ). (2.10) Además gracias a (2.7) y (2.10), se tienen que los módulos ωx (δ) y ωx′ (δ) son esencialmente los mismos cuando x es una función continua. Adicionalmente introducimos un nuevo módulo, que será de mucha ayuda mas adelante en la parte de caracterización de los conjuntos relativamente compactos en D. ωx′′ (δ) = ω ′′ (x, δ) = sup {|x(t) − x(t1 )| ∧ |x(t2 ) − x(t)|}.. (2.11). t1 ≤t≤t2 t2 −t1 ≤δ. Es importante señalar que el supremo es sobre todo los t ∈ [0, 1], t1 ∈ [0, 1] y t2 ∈ [0, 1] que verifican las respectivas desigualdades. Notemos que, ωx′′ (δ) es no decreciente para todo x ∈ D. En efecto, sean 0 < δ1 < δ2 ,. 24.

(38) entonces como t1 ≤ t ≤ t2 y t2 − t1 ≤ δ1 es equivalente a: t1 ≤ t ≤ t2 ≤ t 1 + δ 1 y por lo tanto t1 ≤ t ≤ t2 ≤ t1 + δ 2 . De donde se sigue que ωx′′ (δ1 ) ≤ ωx′′ (δ2 ). Ahora veamos qué relación existe entre ωx′ (δ) y ωx′′ (δ). Sea δ > 0 y supongamos que ωx′ (δ) < ǫ. Tomemos además {si } un conjunto δ-disperso tal que para todo i ωx [si−1 , si ) < ǫ. Además puesto que t2 − t1 < δ se tiene que t1 y t2 pertenecen al mismo intervalo o se encuentran en intervalos consecutivos. Caso 1. Si t1 ∈ [si−1 , si ) y t2 ∈ [si−1 , si ) y t1 < t < t2 , entonces |x(t) − x(t1 )| < ǫ y |x(t)2 − x(t)| < ǫ. Caso 2. Si t1 ∈ [si−1 , si ) y t2 ∈ [si , si+1 ) y t1 < t < t2 , entonces t ∈ [si−1 , si ) o t ∈ [si , si+1 ), es decir, se verifica |x(t) − x(t1 )| < ǫ o |x(t2 ) − x(t)| < ǫ. De donde se concluye que ωx′′ (δ) < ǫ. Finalmente si hacemos que ǫ ↓ ωx′ (δ), se tiene que ωx′′ (δ) ≤ ωx′ (δ).. 2.2. (2.12). Métrica d. Esta métrica fue propuesta por el matemático soviético (ucraniano) Skorohod en 1956. Sea Λ la clase de todas las aplicaciones continuas y estrictamente crecientes de [0, 1]. 25.

(39) en [0, 1]. Además si λ ∈ Λ, entonces λ0 = 0 y λ1 = 1. Sean x ∈ D y y ∈ D, definimos d(x, y) = ı́nf. (. ). ǫ > 0 : ∃λ ∈ Λ : sup |λt − t| + sup |x(t) − y(λt)| ≤ ǫ . t∈[0,1]. t∈[0,1]. (2.13). Es importante señalar que λ satisface: sup |λt − t| = sup |t − λ−1 t|. (2.14). sup |x(t) − y(λt)| = sup |x(λ−1 t) − y(t)|.. (2.15). t∈[0,1]. t∈[0,1]. y t∈[0,1]. t∈[0,1]. Antes de continuar notemos que la métrica d puede ser escrita de la siguiente manera n o d(x, y) = ı́nf ǫ > 0 : ∃λ ∈ Λ : kλ − Ik + kx − yλk ≤ ǫ . Veamos ahora que d(x, y), es en efecto una métrica. • Por la forma en que se encuentra definida, d(x, y) ≥ 0 • Tomando λt ≡ t, se tiene que d(x, y) = 0 ⇐⇒ ⇐⇒. sup |x(t) − y(t)| = 0. t∈[0,1]. x(t) = y(t), para todo t ∈ [0, 1]. ⇐⇒ x = y • Si λ ∈ Λ, entonces λ−1 ∈ Λ por definición de Λ. Por otra parte gracias a (2.14) y (2.15), se tiene que d(x, y) = d(y, x). • Si λ1 ∈ Λ y λ2 ∈ Λ, entonces λ1 λ2 ∈ Λ. En efecto λ 1 λ2 0 = λ1 0 = 0 y λ1 λ2 1 = λ1 1 = 1. Adicionalmente si s < t, se tiene que λ2 s < λ2 t, y finalmente λ1 λ2 s < λ1 λ2 t. Para la continuidad sean s ∈ [0, 1], t ∈ [0, 1] y ǫ > 0, entonces por la continuidad de λ1 existe δ1 > 0, tal que |λ2 s − λ2 t| < δ1 =⇒ |λ1 λ2 s − λ1 λ2 t| < ǫ 26.

(40) y gracias a la continuidad de λ2 se sigue que existe δ2 > 0, tal que |s − t| < δ2 =⇒ |λ2 s − λ2 t| < δ1 y por lo tanto basta tomar δ < δ2 , para obtener que |s − t| < δ =⇒ |λ1 λ2 s − λ1 λ2 t| < ǫ. Por otra parte, utilizando la notación simplificada se tiene kλ1 λ2 − Ik =. sup |λ1 λ2 t − t|. t∈[0,1]. sup |λ2 t − λ−1 1 t|. =. t∈[0,1]. h i sup |λ2 t − t| + |t − λ−1 1 t|. ≤. t∈[0,1]. sup |λ2 t − t| + sup |t − λ−1 1 t|. ≤. t∈[0,1]. t∈[0,1]. = kλ2 − Ik + kI − λ−1 1 k. (2.16). y además kx − yλ1 λ2 k = =. sup |x(t) − y(λ1 λ2 t)|. t∈[0,1]. sup |x(λ−1 1 t) − y(λ2 t)|. t∈[0,1]. ≤ ≤ =. sup t∈[0,1]. . |x(λ−1 1 t) − z(t)| + |z(t) − y(λ2 t)|. . sup |x(λ−1 1 t)) − z(t)| + sup |z(t) − y(λ2 t)|.. t∈[0,1]. kxλ−1 1. t∈[0,1]. − zk + kz − yλ2 k. (2.17). De donde por (2.16) y (2.17) se sigue que d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y). Esta métrica define la topologı́a de Skorohod. Cabe recalcar que λ en d(x, y) representa una pequeña deformación uniforme de la escala de tiempo. Definición 2.2.1. Decimos que una sucesión xn en D converge a x en la topologı́a de Skorohod si y solo si existe una sucesión de aplicaciones λn en Λ tal que si n → ∞, entonces (2.18) kxn λn − xk → 0 27.

(41) y kλn − Ik → 0. Proposición 2.2.1. rohod, entonces. (2.19). (i) Si la sucesión xn en D converge x en la topologı́a de Skoxn (t) → x(t),. para todos los t ∈ [0, 1] donde x es continua. (ii) Si x es continua sobre todo [0, 1] y la sucesión xn en D converge a x en D en la topologı́a de Skorohod, entonces kxn − xk → 0,. cuando n → ∞.. Demostración. (i) Por hipótesis existe una sucesión λn en Λ, tal que verifica (2.18) y (2.19), por lo tanto como |xn (t) − x(t)| ≤ |xn (t) − x(λn t)| + |x(λn t) − x(t)| se sigue que si n → ∞,. (2.20). |xn (t) − x(t)| → 0.. (ii) Sea x continua, si llamamos δ = kλn − Ik, entonces |x(λn t) − x(t)| ≤ ≤. sup |x(u) − x(v)|. |u−v|≤δ. sup ωx [s, s + δ] 0≤s≤1−δ. = ωx (δ) Luego por (2.20) se tiene que |xn (t) − x(t)| ≤ |xn (t) − x(λn t)| + ωx (δ) y por lo tanto kxn − xk ≤ kxn − xλn k + ωx (kλn − Ik) Finalmente como los λn verifican (2.18) y (2.19), lo que implica que si n → ∞, entonces kxn − xk → 0.. 28.

(42) Nota 2.2.1. La topologı́a de Skorohod en C coincide con la topologı́a uniforme de C. Ejemplo 1. [Billingsley, 1999] Consideremos j(x) como el máximo salto de x. Demostremos primero que j(·) es continua en la topologı́a uniforme. Sean ǫ > 0 y kx − yk < ǫ/2, entonces. |j(x) − j(y)| =. t∈[0,1]. ≤. t∈[0,1]. ≤. t∈[0,1]. ≤. t∈[0,1]. ≤. t∈[0,1]. sup |x(t) − x(t−)| − sup |y(t) − y(t−)| t∈[0,1]. sup |x(t) − x(t−) − y(t) + y(t−)| sup (|x(t) − y(t)| + |x(t−) − y(t−)|). sup |x(t) − y(t)| + sup |x(t−) − y(t−)| t∈[0,1]. sup |x(t) − y(t)| + sup |x(t−) − y(t−)| t∈[0,1]. ≤ 2kx − yk < ǫ. Ahora veamos que j(·) es continua en la topologı́a de Skorohod. Sean ǫ > 0 y d(x, y) < ǫ/2, adicionalmente tenemos que j(y) = j(yλ), para todo λ ∈ Λ, en efecto j(y) =. sup |y(t) − y(t−)|. t∈[0,1]. =. sup |y(λλ−1 t) − y(t−)|. t∈[0,1]. =. sup |y(λt) − y(λt−)|. t∈[0,1]. = j(yλ). Si tomamos λ ∈ Λ tal que verifique d(x, y) < ǫ/2, entonces se tiene que |j(x) − j(y)| = |j(x) − j(yλ)| =. sup |x(t) − x(t−)| − sup |y(λt) − y(λt−)|. t∈[0,1]. ≤. t∈[0,1]. ≤. t∈[0,1]. t∈[0,1]. sup |x(t) − x(t−) − y(λt) + y(λt−)| sup (|x(t) − y(λt)| + |x(t−) − y(λt−)|) 29.

(43) ≤. t∈[0,1]. sup |x(t) − y(λt)| + sup |x(t−) − y(λt−)|. ≤. t∈[0,1]. t∈[0,1]. sup |x(t) − y(λt)| + sup |x(t−) − y(λt−)| t∈[0,1]. ≤ 2d(x, y) < ǫ. Nota 2.2.2. El espacio D no es completo con la métrica d. Para ilustrar esta nota presentamos el siguiente ejemplo. Ejemplo 2. Sea xn = 1(1/2n ,1] , donde 1(1/2n ,1] representa la función indicatriz del conjunto (1/2n , 1], y supongamos que para n ≥ 2 λn. . 1 2n. . =. 1 2n−1. .. Además si λn es de forma lineal sobre [0, 1/2n ] y [1/2n , 1], tal como se indica en la figura 2.1, para todo n ∈ N, entonces kxn+1 − xn λn+1 k = 0.. 1. 0.9. 0.8. 0.7. 0.6. 0.5. 0.4. 0.3. 0.2. λ2 λ3 λ4 λ5 λ6 λ∞. 0.1. 0 0. 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. 0.5. 0.6. 0.7. Figura 2.1: Aplicaciones λn .. 30. 0.8. 0.9. 1.

(44) En efecto, kxn+1 − xn λn+1 k = sup |xn+1 (t) − xn (λn+1 t)|, t∈[0,1]. pero notemos que si t ≤ 1/2n+1 , entonces λn+1 t ≤ 1/2n , lo cual implica que xn (λn+1 t) = 0 y xn+1 (t) = 0, y por lo tanto |xn+1 (t) − xn (λn+1 t)| = 0,. si t ≤. 1 . 2n+1. Por otra parte si t > 1/2n+1 , se tiene que λn+1 t > 1/2n , y además que xn (λn+1 t) = 1 y xn+1 (t) = 1, y por lo tanto |xn+1 (t) − xn (λn+1 t)| = 0,. si t >. 1 , 2n+1. de donde se obtiene el resultado expuesto. Adicionalmente kλn+1 − Ik = =. sup |λn+1 t − t|. t∈[0,1]. λn+1. . 1 2n+1. . −. 1 2n+1. 1 1 − n+1 n 2 2 1 1 1− = 2n 2 1 = n+1 , 2 =. y por lo tanto d(xn+1 , xn ) =. 1 2n+1. ,. es decir, xn es una sucesión de Cauchy. Luego para t > 0, xn (t) → 1, cuando n → ∞. Pero como kxn − 1k = 1, concluimos que d(xn , 1) 6→ 0. Es decir, xn no puede ser sucesión de Cauchy. Otros tipos de funciones λn que también se podrı́an usar para ilustrar este ejemplo cuando tomamos xn = 1[0,1/2n ) son: • λ′n (1/2n ) = 1/2n+1 que tendrı́an la siguiente forma 31.

(45) 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 λ1 λ2 λ3 λ4 λ5 λ∞. 0.2 0.1 0 0. 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. 0.5. 0.6. 0.7. 0.8. 0.9. 1. Figura 2.2: Aplicaciones λ′n .. • λ′′n (1 − 1/2n ) = 1 − 1/2n+1 que tendrı́an la siguiente forma 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 λ1 λ2 λ3 λ4 λ5 λ∞. 0.2 0.1 0 0. 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. 0.5. 0.6. 0.7. Figura 2.3: Aplicaciones λ′′n .. 32. 0.8. 0.9. 1.

(46) 2.3. Métrica d◦. Al ver las limitaciones de la métrica d, es imprescindible introducir una nueva métrica d◦ , mediante la cual D sea completo. Sean x ∈ D, y ∈ D, definimos d◦ (x, y) = ı́nf. (. λt − λs ǫ > 0 : ∃λ ∈ Λ : sup ln + sup |x(t) − y(λt)| ≤ ǫ t−s s<t t∈[0,1]. ). (2.21). Adicionalmente, λ satisface la siguiente ecuación kλk◦ = kλ−1 k◦ , donde kλk◦ = sup ln s<t. (2.22). λt − λs . t−s. (2.23). Notemos que si llamamos. λt − λs , t−s entonces λt,s se puede entender como la pendiente de la recta secante que pasa por s y t, en R2 . Mediante la siguiente figura se puede apreciar de mejor manera el significado de λt,s . λt,s =. 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0. λ λ t,s. 0. 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. 0.5. 0.6. 0.7. Figura 2.4: Aplicación λt,s. 33. 0.8. 0.9. 1.

(47) De igual manera que para d(x, y), d◦ (x, y) puede ser escrito de la siguiente manera: n o d◦ (x, y) = ı́nf ǫ > 0 : ∃λ ∈ Λ : kλk◦ + kx − yλk ≤ ǫ . Ahora verifiquemos que d◦ (x, y), es en efecto una métrica. • Por la forma en que se encuentra construida, d◦ (x, y) ≥ 0 • Tomando λt ≡ t, se tiene que d◦ (x, y) = 0 ⇐⇒. sup |x(t) − y(t)| = 0. t∈[0,1]. ⇐⇒ ∀t ∈ [0, 1], x(t) = y(t) ⇐⇒ x = y • Puesto que λ−1 ∈ Λ, y gracias a (2.22) se sigue que d◦ (x, y) = d◦ (y, x). • Si λ1 ∈ Λ y λ2 ∈ Λ, entonces sabemos que λ1 λ2 ∈ Λ. Por otra parte kλ1 λ2 k◦ = sup ln s<t. λ1 λ 2 t − λ 1 λ 2 s t−s. = sup ln (λ1 λ2 t − λ1 λ2 s) − ln (t − s) s<t. = sup ln (λ1 λ2 t − λ1 λ2 s) − ln (λ2 t − λ2 s) s<t. + ln (λ2 t − λ2 s) − ln (t − s) λ1 λ 2 t − λ 1 λ 2 s λ 2 t − λ2 s + ln λ2 t − λ 2 s t−s s<t λ1 λ 2 t − λ 1 λ2 s λ 2 t − λ2 s + sup ln ≤ sup ln λ t − λ s t−s s<t s<t 2 2 −1 −1 λ λ 2 t − λ1 λ 2 s λ2 t − λ2 s = sup ln 1 + sup ln λ 2 t − λ2 s t−s s<t s<t −1 −1 λ λ2 t − λ1 λ2 s λ2 t − λ2 s = sup ln 1 + sup ln λ2 t − λ2 s t−s s<t λ2 s<λ2 t ≤ sup ln. ◦ ◦ = kλ−1 1 k + kλ2 k .. Y gracias a (2.17) se sigue que d◦ (x, y) ≤ d◦ (x, z) + d◦ (z, y).. 34.

(48) Con esto queda demostrado que d◦ es en efecto una métrica. Proposición 2.3.1. Si d(x, y) < δ 2 y δ ≤ 1/2, entonces d◦ (x, y) ≤ 4δ + ωx′ (δ). Demostración. [Billingsley, 1999] Sean ǫ < δ y {ti } un conjunto δ-disperso tal que ωx [ti−1 , ti ) < ωx′ (δ) + ǫ, para cada i = 1, . . . , n. Escogemos µ ∈ Λ tal que verifique: sup |x(t) − y(µt)| = sup |x(µ−1 t) − y(t)| <. t∈[0,1]. t∈[0,1]. y sup |µt − t| <. t∈[0,1]. δ2 2. δ2 . 2. (2.24). (2.25). Luego tomamos λ ∈ Λ tal que para i = 1, . . . , n, λ(ti ) = µ(ti ) y además sea de forma lineal en cada [ti , ti+1 ). Pero puesto que µ−1 λ(ti ) = ti , t y µ−1 λ(t) siempre pertenecen al mismo intervalo [ti−1 , ti ), para algún i = 1, . . . , n. Luego por (2.24) y la forma del conjunto {ti } |x(t) − y(λt)| ≤ |x(t) − x(µ−1 λt)| + |x(µ−1 λt) − y(λt)| < ωx′ (δ) + ǫ + δ 2 /2. < ωx′ (δ) + δ + δ 2 /2 < 2δ + ωx′ (δ). Ahora veamos que kλk◦ ≤ 2δ. Debido a (2.25) y al hecho de que ti − ti−1 > δ, se tiene que |(λti − λti−1 ) − (ti − ti−1 )| < δ 2 < δ(ti − ti−1 ) y por lo tanto, |(λt − λs) − (t − s)| < δ|t − s|,. 35. (2.26).

(49) para todo t ∈ [ti − ti−1 ) y s ∈ [ti − ti−1 ). Adicionalmente de (2.26) se tiene que λt − λs −1 <δ t−s y por lo tanto podemos concluir que ln(1 − δ) ≤ ln. λt − λs ≤ ln(1 + δ). t−s. Sin embargo sabemos que | ln(1 ± u)| ≤ 2|u|,. para |u| ≤ 1/2,. mediante lo cual concluimos que kλk◦ ≤ 2δ. Teorema 2.3.2. Las métricas d y d◦ son equivalentes. Demostración. Por las proposiciones 2.1.1 y 2.3.1, se tiene que d(xn , x) → 0, implica que d◦ (xn , x) → 0. Para demostrar el recı́proco, vamos a utilizar la siguiente desigualdad |u − 1| ≤ exp (| ln u|) − 1,. para todo u > 0.. Si tomamos u ≥ 1, se verifica la desigualdad, pues u − 1 = exp (ln u) − 1. Si u < 1, entonces |u − 1| = 1 − u 1−u ≤ u 1 ≤ −1 u . 1 −1 ≤ exp ln u ≤ exp (− ln u) − 1 ≤ exp (| ln u|) − 1.. 36. (2.27).

(50) Por otra parte kλk =. sup |λt − t|. (2.28). 0≤t≤1. λt − λ0 −1 t−0 0<t≤1 λt − λ0 ≤ sup −1 . t−0 0<t≤1 =. sup t. (2.29). Pero por (2.27) λt − λ0 − 1 ≤ exp t−0. . ln. λt − λ0 t−0. . −1. y por lo tanto λt − λ0 −1 sup t−0 0<t≤1. λt − λ0 ≤ exp sup ln t−0 0<t≤1 ≤ exp (kλk◦ ) − 1. . . −1. Luego por (2.29), se sigue que kλk ≤ exp (kλk◦ ) − 1.. (2.30). Adicionalmente como conocemos que u ≤ exp (u) − 1,. para todo u.. (2.31). se tiene que |x − y(λt)| ≤ exp (|x − y(λt)|) − 1.. (2.32). Es decir, kx − yλk ≤ exp (kx − yλk) − 1 y gracias a (2.30) se tiene que kx − yλk + kλk ≤ exp (kx − yλk) + exp (kλk◦ ) − 2 ≤ 2 exp (kx − yλk + kλk◦ ) − 2.. Finalmente se sigue que d(x, y) ≤ 2(exp (d◦ (x, y)) − 1). En conclusión d◦ (x, y) → 0 implica d(x, y) → 0. 37. (2.33).

(51) 2.4. Separabilidad y Completitud de D. Al hablar de completitud es muy conveniente tener clara la idea de una sucesión de Cauchy, ya que estas ayudan a definir la completitud. Pero en términos simples, una sucesión es de Cauchy cuando sus elementos están tan cerca unos a otros como nosotros queramos, a partir de un ı́ndice suficientemente grande. De esta manera podemos decir que los espacios métricos son completos cuando las sucesiones convergentes y las sucesiones de Cauchy son las mismas, es decir, cuando el lı́mite de toda sucesión de Cauchy pertenece al espacio métrico. Para demostrar la separabilidad de D nos será de mucha ayuda la siguiente proposición. Recordemos que un espacio es separable si existe un subconjunto denso numerable, en otras palabras, existe una sucesión en D tal que cada subconjunto abierto de D diferente del vacı́o contiene al menos un elemento de esta sucesión. Proposición 2.4.1. Dados 0 = s0 < s1 < · · · < sk = 1, definimos la aplicación φ : [0, 1] → [0, 1], tal que φt =. (. si−1 1. para t ∈ [si−1 , si ),. i = 1, . . . , k. para t = 1.. (2.34). Si máx (si − si−1 ) ≤ δ, entonces para todo x ∈ D d(xφ, x) ≤ δ + ωx′ (δ). Demostración. [Billingsley, 1999] Sea ǫ > 0, tomamos un conjunto {tj } σ-disperso tal que verifique ωx [tj−1 , tj ) < ωx′ (δ) + ǫ, para cada j. Notemos además que tj − tj−1 > δ ≥ si − si−1 . Luego tomamos λ ∈ Λ, tal que λ0 = 0 y λtj = si−1 , si tj ∈ [si−1 , si ), i = 1, . . . , k. Adicionalmente λ debe ser de forma lineal entre cada ti . Pero por la forma de λ, se sigue que si tj ∈ [si−1 , si ), entonces λtj ∈ [si−1 , si ). Esto. 38.

(52) implica que λt y t siempre pertenecen al mismo intervalo y por lo tanto kλk = sup |λt − t| ≤ δ. t∈[0,1]. Ahora demostremos que |x(φt) − x(t)| ≤ ωx′ (δ) + ǫ. Sin embargo para t = 0 y t = 1, se verifica inmediatamente. Sea 0 < t < 1, entonces basta demostrar que φt y λ−1 t pertenecen al mismo intervalo [tj−1 , tj ). Pero para esto vamos a probar que φt < tj ⇐⇒ λ−1 t < tj , ya que si esto se verifica entonces también se tiene que φt ≥ tj. ⇐⇒. λ−1 t ≥ tj .. Sea tj ∈ (si−1 , si ] y supongamos que φt < tj , entonces por hipótesis φt < si pero notemos que t ≥ si implica φt ≥ si lo que es una contradicción, por lo que t < si . Ahora suponemos que t < si , pero por definición φt ≤ t y por tanto φt < si . Además por la forma de la función φ se tiene que φt = sr para algún r = 1, . . . , i − 1. De donde se concluye que φt ≤ si−1 Luego por hipótesis se tiene que φt < tj . Es decir, hemos demostrado que φt < tj. ⇐⇒. t < si .. (2.35). Pero como λtj = si , (2.35) es equivalente a t < λtj. ⇐⇒. λ−1 t < tj ,. y de esta manera se concluye con la demostración. Teorema 2.4.2. El espacio D es separable con la métricas d y d◦ , y es completo con 39.

(53) la métrica d◦ . Demostración. [Billingsley, 1999] (i) Separabilidad. Debido a que la separabilidad es una propiedad topológica y por el teorema 2.3.2 vamos a trabajar con d. Sea k ∈ N, definimos si =. 1 , k. i = 1, . . . , k. y Bk como el conjunto de todas las funciones que tienen valor (racional) constante sobre cada [si−1 , si ) y para t = 1. Entonces B=. [. Bk. k∈N. es un conjunto numerable. Ahora es suficiente probar que dados ǫ > 0 y x ∈ D, existe al menos un y ∈ B, tal que d(x, y) < 2ǫ. Para esto tomamos k tal que k −1 < ǫ/2 y ωx′ (k −1 ) < ǫ/2, y gracias a la proposición 2.4.1 d(xφ, x) ≤ ǫ. Sin embargo, siempre podemos encontrar un y ∈ Bk tal que verifique d(xφ, y) < ǫ, luego si aplicamos la desigualdad triangular a d(x, y), se tiene que d(x, y) < 2ǫ.. (ii) Completitud. Sea {xn } una sucesión de Cauchy, entonces existe una subsucesión {xnk }, la cual llamaremos {yk } tal que d◦ (yk , yk+1 ) <. 1 . 2k. Entonces existe una sucesión {µk } en Λ tal que kµk k◦ <. 1. y sup |yk (t) − yk+1 (µk t)| = sup |yk (µ−1 k t) − yk+1 (t)| <. t∈[0,1]. t∈[0,1]. 40. (2.36). 2k+1 1 2k+1. .. (2.37).

(54) Por otra parte, si designamos a la composición de aplicaciones µk,m = µk µk+1 · · · µk+m , y por la siguiente desigualdad exp (u) − 1 ≤ 2u,. 0 ≤ u ≤ 1/2,. se tiene que kµk,m+1 − µk,m k = =. sup |µk,m+1 t − µk,m t|. t∈[0,1]. sup |µk+m+1 t − t|. t∈[0,1]. ≤ exp(kµk+m+1 k◦ ) − 1. ≤ 2kµk+m+1 k◦ 1 ≤ k+m . 2. Esto implica que para cada k fijo, la sucesión {uk,m } es de Cauchy. Luego definimos λk = lı́m µk,m , m→∞. y veamos que λk ∈ Λ. Para esto necesitamos que λk sea creciente, sin embargo basta probar que kλk k◦ < ∞, ya que si kλk k◦ = ∞, entonces existen s < t, tal que λt − λs ln = ∞, t−s es decir, λt = λs. Sea s < t, entonces ln. µk,m t − µk,m s t−s. ≤ kµk,m k◦ = kµk µk+1 · · · µk+m k◦. ≤ kµk k◦ kµk+1 k◦ · · · kµk+m k◦ 1 1 1 ≤ k + k+1 + · · · + k+m 2 2 2 1 ≤ k−1 2 y si hacemos que m → ∞, se sigue que kλk k◦ ≤ 41. 1 . 2k−1.

(55) Y por lo tanto si k → ∞, entonces kλk k◦ → 0. (2.38). Notemos además que por la forma que tienen las λk λk = λk+1 µk . Luego por (2.37) se tiene que sup |yk (λk t) − yk+1 (λk+1 t)| =. t∈[0,1]. =. sup |yk (λk+1 µk t) − yk+1 (λk+1 t)|. t∈[0,1]. sup |yk (µk t) − yk+1 (t)|. t∈[0,1]. ≤. 1 2k+1. ,. es decir, la sucesión {yk (λk )} es de Cauchy y pertenece a D. Y por lo tanto existe una función y tal que si k → ∞, entonces kyk λk − yk → 0. Ahora veamos que lı́mδ→0 ωy′ (δ) = 0. Sea ǫ > 0, entonces existe una colección {ti } δ-disperso tal que para todo k ∈ N, ωyk (λk ) [ti−1 , ti ) < ǫ. Por otra parte para todo i = 0, . . . , n, ωy [ti−1 , ti ) =. sup t,s∈[ti−1 ,ti ). ≤. t,s∈[ti−1 ,ti ). ≤. t,s∈[ti−1 ,ti ). sup sup +. |y(t) − y(s)| (|y(t) − yk (λk t)| + |yk (λk t) − yk (λk s)| + |yk (λk s) − y(s)|) |y(t) − yk (λk t)| +. sup t,s∈[ti−1 ,ti ). ≤. sup t,s∈[ti−1 ,ti ). sup t,s∈[ti−1 ,ti ). |yk (λk t) − yk (λk s)|. |yk (λk s) − y(s)|. |y(t) − yk (λk t)| +. sup t,s∈[ti−1 ,ti ). |yk (λk s) − y(s)| + ǫ.. y si tomamos el lı́mite cuando k → ∞, se tiene que ωy [ti−1 , ti ) ≤ ǫ,. 42. i = 0, . . . , n..

(56) Es decir, máx ωy [ti−1 , ti ) ≤ ǫ,. i=0,...,n.. y por lo tanto ı́nf máx ωy [ti−1 , ti ) ≤ ǫ, δ i=0,...,n.. Finalmente se tiene que y ∈ D y por (2.38) se sigue que si k → ∞, entonces d◦ (yn , y) → 0.. 2.5. Compacidad de D. Cuando hablamos de conjuntos compactos es difı́cil tener una idea acerca de cómo son, no obstante un subconjunto compacto de un espacio métrico se puede entender como una generalización de un conjunto finito. Para caracterizar los conjuntos compactos en D, vamos a formular un teorema de forma análoga al teorema de Arzelà-Ascoli. Sin embargo antes veamos algunas definiciones y resultados importantes. Definición 2.5.1 (ǫ-red). Sea A ⊆ D, decimos que un conjunto {xk } ⊆ D es una ǫ-red de A, si para todo x ∈ A, existe un k tal que verifica d◦ (x, xk ) < ǫ. Definición 2.5.2 (Conjunto totalmente acotado). Decimos que un conjunto A ⊆ D es totalmente acotado si para todo ǫ > 0, existe una ǫ-red finita de A. Definición 2.5.3. Decimos que un conjunto A ⊆ D es relativamente compacto si Ā es compacto. Nota 2.5.1. Ā representa la clausura de A. Teorema 2.5.1. Las siguientes condiciones son equivalentes: (i) A es relativamente compacto. (ii) A es totalmente acotado y Ā es completo. (iii) Toda sucesión en A tiene una subsucesión convergente (el lı́mite necesariamente pertenece a Ā).. 43.

(57) Para ver la demostración de este teorema, revisar [Billingsley, 1999]. Definición 2.5.4 (Semi-continuidad superior). Una función f se dice semi-continua superiormente en x ∈ D, si para todo ǫ > 0, existe un δ > 0 tal que si d(x, y) < δ, entonces f (y) < f (x) + ǫ. Por la definición que acabamos de presentar se puede concluir directamente que f es semi-continua superiormente sobre todo D si y solo si, para todo ǫ > 0 los conjuntos {x ∈ D : f (x) < ǫ} son abiertos. Proposición 2.5.2. Sea δ > 0, entonces ωx′ (δ) es semi-continua superiormente en x. Demostración. [Billingsley, 1999] Sean x ∈ D, δ > 0, ǫ > 0 y {ti } un conjunto δ-disperso tal que ωx [ti−1 , ti ) < ωx′ (δ) + ǫ/3 para cada i. Luego podemos escoger α > 0 suficientemente pequeño tal que, α < ǫ/3 y mı́n(ti − ti−1 ) > δ + 2α.. (2.39). Si suponemos que d(x, y) < δ, entonces existe λ ∈ Λ tal que ky − xλk < δ y kλ−1 − Ik < δ. Si tomamos si = λ−1 ti , entonces (si − ti ) − (si−1 − ti−1 ) > −2α y por (2.39) si − si−1 > ti − ti−1 − 2α > δ. Por lo tanto si u ∈ [si−1 , si ) y v ∈ [si−1 , si ), entonces λu ∈ [ti−1 , ti ) y λv ∈ [ti−1 , ti ), 44.