Extensi´ on de medidas
Problemas para examen
Semianillos de conjuntos
1. Escriba la definici´on de semianillo de conjuntos.
2. Convenio: el conjunto vac´ıo pertenece a cualquier semianillo. En los siguientes problemas se supone que la condici´on ∅ ∈ S est´a incluida en la definici´on de semianillo de conjuntos. Algunos autores no la incluyen.
3. Semianillo de los conjuntos unipuntuales de un conjunto. Sea X un conjunto.
Denotemos porS al conjunto que consiste en el conjunto vac´ıo y en todos los subconjuntos unipuntuales de X:
S = {∅} ∪ {x}: x ∈ X . Demuestre que S es un semianillo de conjuntos.
4. F´ormulas para la intersecci´on y la diferencia de dos intervalos semiabiertos.
Sean a, b, c, d ∈ R.
I. Encuentre una f´ormula general para [a, b) ∩ [c, d). Sugerencia: usar max y min.
II. Suponiendo que c < d represente R \ [c, d) como una uni´on de dos intervalos.
III. Suponiendo que c < d encuentre una f´ormula para [a, b) \ [c, d).
Recordamos que para cualesquiera a, b ∈ R el conjunto [a, b) se define como {x ∈ R : (a ≤ x) ∧ (x < b)}.
5. Semianillo de los intervalos semiabiertos del eje real. Muestre que los intervalos [a, b), donde a, b ∈ R, forman un semianillo sobre R. Sugerencia: use las f´ormulas del problema anterior.
6. Teorema (el producto de dos semianillos es un semianillo). Sean X, Y algunos conjuntos, S1 un semanillo sobre X yS2 un semianillo sobre Y . Definimos
S1×S2 :=A × B : A ∈S1, B ∈ S2
Muestre queS1×S2 es un semianillo sobre X × Y .
7. Intersecci´on de dos semianillos no necesariamente es semianillo. Construya dos semianillosS1 yS2 sobre un conjunto X tales que su intersecci´onS1∩S2no sea semianillo.
Indicaci´on: puede construir S1 y S2 sobre un conjunto de tres elementos: X = {0, 1, 2}.
Anillos de conjuntos
8. Escriba la definici´on de anillo de conjuntos.
9. Escriba la definici´on de ´algebra de conjuntos sobre un conjunto X.
10. Conjunto-potencia es un ´algebra de conjuntos. Demuestre que 2X es un ´algebra de conjuntos sobre X.
11. Exprese algunas operaciones con conjuntos a trav´es de otras:
4 en t´erminos de ∪ y \.
∩ en t´erminos de \.
\ en t´erminos de 4.
∪ en t´erminos de 4 y ∩.
12. Cualquier anillo de conjuntos es un semianillo de conjuntos. SeaA un anillo sobre un conjunto X. Demuestre que A es un semianillo sobre X.
13. Intersecci´on de anillos es un anillo. Sea A un conjunto de anillos sobre un conjunto X. Demuestre que el conjunto
B := Y ⊂ X : ∀A ∈ A Y ∈ A es un anillo sobre X.
14. Anillo generado por un conjunto. Sean X un conjunto y C ⊂ 2X. Escriba la definici´on del anillo generado por C.
15. Teorema (descripci´on del anillo generado por un semianillo). Sea S un se- mianillo sobre un conjunto X. Denotemos porA al conjunto de todas las uniones finitas disjuntas de elementos de S:
A :=
A ⊂ X : ∃m ∈ {1, 2, . . .} ∃P1, . . . , Pm ∈S disjuntos, A =
m
[
i=1
Pi
. Demuestre que A es el anillo generado por S.
16. Anillo generado por los subconjuntos unipuntuales de un conjunto. Sea X un conjunto. Denotemos por S al conjunto que consiste en el conjunto vac´ıo y en todos los subconjuntos unipuntuales de X:
S = {∅} ∪ {x}: x ∈ X .
Se sabe que S es un semianillo. Describa el anillo generado por S.
Premedidas
17. Escriba la definici´on de premedida.
18. Toda premedida es finitamente aditiva. Demuestre que toda premedida cumple con la propiedad finitamente aditiva.
En los siguientes cuatro problemas denotamos por S al conjunto de los intervalos semi- abiertos (de la forma [a, b) con a ≤ b) y por µ a la longitud: µ([a, b)) = b − a. Vamos a demostrar que µ es una premedida sobreS.
19. Lema. Sean P1, . . . , Pn, Q ∈ S tales que P1, . . . , Pn son disjuntos a pares y Pk ⊂ Q para cada k. Demuestre que
n
X
k=1
µ(Pk) ≤ µ(Q).
20. Lema. Sean c, d ∈ R tales que c < d, y sea A un conjunto finito de intervalos abiertos acotados en R tal que
[c, d] ⊂ [
A∈A
A.
Demuestre que
d − c < X
A∈A
(sup(A) − inf(A)).
Sugerencia: utilice el teorema de Heine–Borel de la compacidad de intervalos cerrados acotados en R.
21. Lema. Sea (Pk)k∈N una sucesi´on en S y sea Q un elemento de S tales que
Q ⊂
∞
[
k=1
Pk.
Entonces
µ(Q) ≤
∞
X
k=1
µ(Pk).
22. Teorema. Sea S el conjunto de los intervalos semiabiertos del eje real:
S := [a, b): a, b ∈ R, a ≤ b .
Definimos la funci´on µ : S → [0, +∞] mediante la regla µ([a, b)) = b − a, para cualesquier a, b ∈ R tales que a ≤ b. Demuestre que µ es una premedida usando los tres lemas anteriores.
23. Teorema de la extensi´on de una premedida de un semianillo al anillo ge- nerado. Enuncie el teorema. La demostraci´on se divide en las siguientes partes:
Unicidad.
Definici´on de la premedida µ en el anillo y justificaci´on de la definici´on.
Verificaci´on de los axiomas de premedida para la funci´on µ.
Clases mon´ otonas de conjuntos
24. Escriba la definici´on de clase mon´otona de conjuntos.
Los siguientes ejercicios de clases mon´otonas no se incluyen en el examen.
25. Demuestre que la intersecci´on de un conjunto de clases mon´otonas es una clase mon´otona.
26. Teorema. SeaS un anillo de conjuntos. Demuestre que la clase mon´otona M generada por S es un σ-anillo de conjuntos. En particular, si S es una ´algebra de conjuntos sobre X, entoncesM es una σ-´algebra sobre X.
27. Corolario (descripci´on del σ-anillo generado a trav´es de la clase mon´otona generada). SeaS un semianillo de conjuntos sobre X. Denotemos por A al anillo generado por S y por M a la clase mon´otona generada por A. Demuestre que M es el σ-anillo generado por S. En particular, si S es una semi´algebra sobre X, entonces M es una σ-
´
algebra sobre X.
Medidas exteriores
28. Escriba la definici´on de medida exterior sobre un conjunto X.
29. Ejemplo. Sea X un conjunto. Definimos ϕ : 2X → [0, +∞] mediante las siguientes reglas:
ϕ(∅) = 0.
ϕ(A) = 1, si A es un subconjunto unipuntual de X.
ϕ(A) =√
3, si A ⊂ X y A tiene por lo menos dos elementos diferentes.
Demuestre que ϕ es una medida exterior sobre X.
30. Demuestre que toda medida exterior es finitamente subaditiva.
31. Criterio de medida exterior. Muestre que dos condiciones en la definici´on de medida exterior se pueden sustituir por una sola condici´on.
32. Teorema de la medida exterior generada por una premedida. Sean A un anillo de conjuntos sobre X y µ :A → [0, +∞] una premedida.
Escriba la definici´on de la medida exterior µ∗: 2X → [0, +∞] generada por µ.
Demuestre que efectivamente µ∗ es una medida exterior.
Demuestre que µ∗(A) = µ(A) para todo A ∈A.
Construcci´ on de Carath´ eodory:
σ-´ algebra y medida asociadas a una medida exterior
En los siguientes problemas se supone que ϕ : 2X → [0, +∞] es una medida exterior.
33. Escriba la definici´on de conjunto ϕ-medible (o Carath´eodory ϕ-medible).
Vamos a denotar el conjunto de los conjuntos ϕ-medibles por Cϕ. 34. Escriba la definici´on de medida completa.
35. Teorema de la σ-´algebra y medida asociadas a una medida exterior. Enuncie el teorema sobre Cϕ y la restricci´on de ϕ aCϕ.
36. Demuestre queCϕ es una ´algebra de conjuntos sobre X.
37. Sean A, B ∈Cϕ disjuntos y P ⊂ X. Demuestre que
ϕ(P ∩ (A ∪ B)) = ϕ(P ∩ A) + ϕ(P ∩ B).
38. Sean m ∈ {1, 2, 3, . . .}, A1, . . . , Am ∈Cϕ mutualmente disjuntos y P ⊂ X. Demuestre que
ϕ P ∩
m
[
j=1
Aj
!!
=
m
X
j=1
ϕ(P ∩ Aj).
39. Sea (An)n∈N una sucesi´on disjunta en Cϕ y sea B = [
n∈N
An.
Demuestre que B ∈Cϕ y
ϕ(B) =X
n∈N
ϕ(An).
40. Sean X un conjunto y A una ´algebra de conjuntos sobre X cerrada bajo uniones numerables disjuntas. Demuestre que A es una σ-´algebra sobre X.
De los lemas anteriores sigue que Cϕ es una σ-´algebra y la restricci´on ν de ϕ a Cϕ es una medida.
41. Demuestre que {A ⊂ X : ϕ(A) = 0 ⊂ Cϕ y que ν es completa.
42. Teorema de Carath´eodory de extensi´on de una premedida definida en un anillo a la σ-´algebra generada por este anillo. Enuncie y demuestre el teorema.
Medida de Lebesgue y sus propiedades
En esta secci´on denotamos por τ a la topolog´ıa en Rn, porF a la σ-´algebra de Lebesgue y por µ a la medida de Lebesgue.
43. Explique c´omo definir la medida de Lebesgue en Rn usando la construcci´on de Ca- rath´eodory.
44. Regularidad de la medida de Lebesgue. Demuestre que la medida de Lebesgue tiene las siguientes propiedades:
Para cualquier A ∈ τ \ {∅}, µ(A) > 0.
Para cualquier Y ∈F y cualquier ε > 0 existe un conjunto A ∈ τ tal que Y ⊆ A y µ(A \ Y ) < ε.
Para cualquier Y ∈F y cualquier ε > 0 existe un conjunto C ⊆ Rn tal que Rn\ C ∈ τ , C ⊆ Y y µ(C \ Y ) < ε.
Para cualquier Y ∈ F con µ(Y ) < +∞ y cualquier ε > 0, entonces existe un conjunto compacto C ⊆ Y tal que µ(Y \ C) < ε.
45. Invariancia bajo traslaciones de la medida de Lebesgue. Demuestre que para cualquier conjunto Lebesgue-medible A ⊆ Rn y cualquier n´umero b ∈ Rn
µ(A + b) = µ(A).
Aproximaci´ on de funciones medibles por funciones continuas (tareas adicionales, no se incluyen en el examen)
46. Teorema de Luzin. Denotemos por F a la σ-´algebra de Lebesgue en el intervalo [α, β], donde α < β, y por µ a la medida de Lebesgue restringida a este intervalo. Sea f ∈M([α, β], F, µ, C) y sea η > 0. Demuestre que existe un conjunto cerrado K ⊂ [α, β]
tal que f |Y es continua y µ([α, β] \ K) < η.
47. Denotemos por F a la σ-´algebra de Lebesgue en el intervalo [α, β], donde α < β, y por µ a la medida de Lebesgue restringida a este intervalo. Sea f ∈ M([α, β], F, µ, C) y sea η > 0. Demuestre que existe una funci´on continua g ∈ C([α, β], C) tal que
sup
x∈[α,β]
|g(x)| ≤ kf k∞ y µ({x ∈ X : f (x) 6= g(x)}) < η.
