Tema 10. Física cuántica

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Cristina Fernández Sánchez www.nikateleco.es - [email protected]

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Tema 10. Física cuántica

1. Limitaciones de la física clásica 1.1 Radiación térmica del cuerpo negro

1.1.1 Ley del desplazamiento de Wien 1.1.2 La catástrofe ultravioleta

1.1.3 La interpretación de Planck 1.2 Efecto fotoeléctrico

1.2.1 Teoría cuántica de Einstein

2. Mecánica cuántica

2.1 Dualidad onda-partícula. Hipótesis de De Broglie 2.2 Principio de indeterminación de Heisenberg

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OBJETIVOS DIDÁCTICOS (basados en los CE)

• Analizar las fronteras de la física a finales del s. XIX y principios del s. XX y poner de manifiesto la incapacidad de la física clásica para explicar determinados procesos.

• Conocer la hipótesis de Planck y relacionar la energía de un fotón con su frecuencia o su longitud de onda.

• Valorar la hipótesis de Planck en el marco del efecto fotoeléctrico.

• Aplicar la cuantización de la energía al estudio de los espectros atómicos e inferir la necesidad del modelo atómico de Bohr.

• Presentar la dualidad onda-corpúsculo como una de las grandes paradojas de la física cuántica.

• Reconocer el carácter probabilístico de la mecánica cuántica en contraposición con el carácter determinista de la mecánica clásica.

• Describir las características fundamentales de la radiación láser, los principales tipos de láseres existentes, su funcionamiento básico y sus principales aplicaciones.

• Reconocer y utilizar las estrategias básicas de la actividad científica.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN Y RELACIÓN CON LAS COMPETENCIAS CLAVE

CE 6.5. Analizar las fronteras de la física a finales del s. XIX y principios del s. XX y poner de manifiesto la incapacidad de la física clásica para explicar determinados procesos. CEC, CSC, CMCT, CAA, CCL.

CE 6.6. Conocer la hipótesis de Planck y relacionar la energía de un fotón con su frecuencia o su longitud de onda. CEC, CMCT, CAA, CCL.

CE 6.7. Valorar la hipótesis de Plank en el marco del efecto fotoeléctrico. CEC, CSC.

CE 6.8. Aplicar la cuantización de la energía al estudio de los espectros atómicos e inferir la necesidad del modelo atómico de Bohr. CEC, CMCT, CAA, CCL, CSC.

CE 6.9. Presentar la dualidad onda-corpúsculo como una de las grandes paradojas de la física cuántica. CEC, CMCT, CCL, CAA.

CE 6.10. Reconocer el carácter probabilístico de la mecánica cuántica en contraposición con el carácter determinista de la mecánica clásica. CEC, CMCT, CAA, CCL.

CE 6.11. Describir las características fundamentales de la radiación láser, los principales tipos de láseres existentes, su funcionamiento básico y sus principales aplicaciones. CCL, CMCT, CSC, CEC.

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1. LIMITACIONES DE LA FÍSICA CLÁSICA

A finales del siglo XIX aparecieron algunos fenómenos físicos experimentales que pusieron en duda las leyes clásicas aplicadas a la interacción entre la radiación electromagnética y la materia. Algunos de estos fenómenos, estudiados a continuación, fueron claves para el desarrollo de la denominada revolución cuántica.

1.1 Radiación térmica del cuerpo negro

Cuando el hierro se calienta cambia de color. Al principio solo emite radiación infrarroja, que no vemos; después empieza a emitir luz roja y, a temperaturas superiores, presenta color blanco.

La energía electromagnética que emite un cuerpo debido a su temperatura se denomina radiación térmica. Cualquier cuerpo, cuando se calienta, irradia energía.

Josef Stefan estudió la radiación térmica de distintos cuerpos y comprobó que la intensidad de radiación emitida era proporcional a la cuarta potencia temperatura. Sin embargo, su ley dependía de las características del propio cuerpo, lo que suponía una dificultad para completar la expresión matemática.

Para estudiar la radiación térmica emitida con independencia del cuerpo, Stefan ideó trabajar con un cuerpo negro: cuerpo que solo emite la radiación debida a su estado térmico, ya que sus paredes absorben cualquier otra radiación que le llegue.

En 1884 Stefan estableció junto con Ludwig Boltzmann la expresión que relaciona la potencia emitida por un cuerpo negro con su temperatura absoluta, Ley de Stefan-Boltzmann:

𝑷 =𝒅𝑬

𝒅𝒕 = 𝝈 · 𝑺 · 𝑻^𝟒

donde 𝜎 = 5,67 · 10^"# 𝑊 · 𝑚^"$· 𝐾^"% es la constante de Boltzmann y 𝑆 la superficie de emisión.

Como 𝜎 era la misma para cualquier cuerpo negro, se pensó que la emisión térmica tenía que ver con alguna característica común a las partículas que forman la materia (átomos o moléculas).

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1.1.1 Ley del desplazamiento de Wien

Whilhelm Wien estudió el espectro de la radiación térmica emitida por un cuerpo negro. De los resultados se deduce que:

• El cuerpo emite radiación de toda una serie de longitudes de onda. La intensidad de la radiación emitida aumenta con la temperatura.

• A medida que se eleva la temperatura, se aprecia una zona del espectro en el que la intensidad de las radiaciones emitidas es mayor (aparece un máximo de la función).

• La longitud de onda de la radiación que se emite con mayor intensidad (𝜆_&'() es menor, cuanto mayor es la temperatura absoluta del cuerpo.

Wien estableció una ley de forma experimental, conocida como la Ley del desplazamiento de Wien, según la cual:

𝝀_𝒎𝒂𝒙· 𝑻 = 𝟐, 𝟖𝟗𝟖 · 𝟏𝟎^"𝟑 𝒎 · 𝑲

Este hecho es coherente con los cambios de color del hierro (por ejemplo): a medida que aumenta la temperatura, el máximo de emisión se va desplazando a longitudes de onda más bajas. Por eso vemos el metal rojo y, finalmente, amarillo- blanco.

1.1.2 La catástrofe ultravioleta

A principios del año 1900 dos físicos ingleses, lord John W. Rayleigh y sir James H. Jeans utilizaron los principios del electromagnetismo y la termodinámica clásicos para describir la radiación del cuerpo negro. Obtuvieron una expresión matemática (Ley de Rayleigh-Jeans) en la que la energía de radiación disminuye al aumentar la longitud de onda, pero aumenta indefinidamente al disminuir esta.

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5 En cambio, según los resultados experimentales, la energía tiende a cero para longitudes de onda muy pequeñas. Este hecho se conoció como la <<catástrofe ultravioleta>>.

1.1.3 La interpretación de Planck

Como los resultados experimentales no podían explicarse mediante la teoría clásica de la radiación, era necesario buscar una nueva interpretación teórica de estos hechos. Fue Max Planck, en 1900, quien sentó las bases de una nueva teoría, la Teoría Cuántica.

Planck supuso que en la materia existen pequeños osciladores (átomos o moléculas) que vibran con determinadas frecuencias, absorbiendo y emitiendo energía en forma de ondas electromagnéticas. Según su teoría, la energía que puede absorber o emitir un oscilador no es continua, sino discontinua, siendo un múltiplo entero de paquetes de energía de frecuencia determinada (cuanto/fotón).

La energía de un cuanto viene dada por:

𝑬 = 𝒉 · 𝒇

donde 𝑓 es la frecuencia de la radiación emitida (a veces también se escribe con la letra 𝜐), y ℎ = 6,63 · 10^"-% 𝐽 · 𝑠 llamada constante de Planck.

Basándose en esta hipótesis, dedujo una ecuación para la radiación térmica, Ley de Radiación de Planck, cuya gráfica coincide con la obtenida experimentalmente.

1.2 Efecto fotoeléctrico

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En 1887, Heinrich Hertz descubrió que al someter determinadas superficies metálicas a la acción de la luz (visible o ultravioleta) estas desprendían electrones (llamados fotoelectrones). Este fenómeno se denomina efecto fotoeléctrico.

https://www.educaplus.org/game/efecto-fotoelectrico

Existen tres hechos en este experimento que no pueden explicarse mediante la teoría electromagnética:

a) La emisión solo tiene lugar solo si la frecuencia de la radiación supera una frecuencia mínima, propia de cada metal, llamada frecuencia umbral (𝑓_.).

Sin embargo, según la teoría clásica, el efecto fotoeléctrico debería de ocurrir para cualquier frecuencia de la luz siempre que la radiación fuese lo suficientemente intensa.

b) Si la frecuencia es mayor que 𝒇_𝒖 el número de electrones emitidos (medidos a través de la corriente detectada en el circuito) es proporcional a la intensidad de radiación incidente. Sin embargo, su energía cinética máxima es independiente de esta, lo cual no tiene explicación en la teoría clásica.

c) Nunca se ha podido emitir un tiempo de retraso entre la iluminación del metal y la emisión de los fotoelectrones. Sin embargo, según la teoría clásica, debe existir si la intensidad de luz es muy débil (hasta que el material hubiera absorbido energía suficiente).

1.2.1 Teoría cuántica de Einstein

Albert Einstein propuso en 1905 una nueva teoría para la naturaleza de la luz. A partir de la hipótesis de Plank enunció que toda la energía emitida por la radiación luminosa está cuantizada en fotones.

Cuando la radiación luminosa llega al cátodo, cada fotón interacciona con uno de sus electrones y, si tiene energía suficiente, lo arranca y salta de la superficie metálica con cierta energía cinética.

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7 Cabe decir que el trabajo necesario para arrancar el electrón del metal depende de su energía de enlace con este. La energía más pequeña, correspondiente a los electrones más débilmente unidos, recibe el nombre de función trabajo del metal o trabajo de extracción y se mide en electrón-voltio (1𝑒𝑉 = 1,602 · 10^"01𝐽):

𝑾𝒆𝒙𝒕𝒓𝒂𝒄𝒄𝒊ó𝒏_𝒅𝒆𝒍_𝒆𝒍𝒆𝒄𝒕𝒓ó𝒏= 𝒉 · 𝒇_𝒖

Como resultado a sus trabajos, Einstein propuso su ecuación fotoeléctrica:

𝑬𝒇𝒐𝒕ó𝒏_𝒊𝒏𝒄𝒊𝒅𝒆𝒏𝒕𝒆 = 𝑾𝒆𝒙𝒕𝒓𝒂𝒄𝒄𝒊ó𝒏_𝒅𝒆𝒍_𝒆𝒍𝒆𝒄𝒕𝒓ó𝒏+ 𝑬𝒄𝒆𝒍𝒆𝒄𝒕𝒓𝒐𝒏_𝒂𝒓𝒓𝒂𝒏𝒄𝒂𝒅𝒐

𝒉 · 𝒇 = 𝒉 · 𝒇_𝒖+𝟏 𝟐𝒎𝒗_𝒆^𝟐

Por último, modificando el potencial externo podemos invertir la polaridad de las placas y lograr que, aunque la radiación luminosa consiga arrancar fotoelectrones, estos no lleguen a la otra placa. Al mínimo voltaje que logra este efecto se denomina potencial de frenado el cual depende de la frecuencia de la radiación incidente y se relaciona con la velocidad de escape de los fotoelectrones como sigue:

𝟏

𝟐𝒎𝒗_𝒆^𝟐= |𝒒_𝒆| · 𝑽_{𝒇𝒓𝒆𝒏𝒂𝒅𝒐}

Esta teoría daba respuesta a las cuestiones pendientes:

a) Como la mínima energía necesaria para arrancar un electrón es

𝑊!"#$%&&'ó)_+!,_!,!&#$ó), el fotón deberá aportar como mínimo esa energía.

b) Al duplicar la intensidad de luz, se duplica el número de fotones y, por tanto, también la intensidad de corriente. Esto no varía la energía de los fotones individuales y, en consecuencia, tampoco la energía cinética de cada fotoelectrón.

c) Debido a que la energía necesaria para extraer un electrón se suministra en paquetes (fotones) no tiene sentido la existencia de un tiempo de retraso (o arranca el electrón o no).

2. MECÁNICA CUÁNTICA

2.1 Dualidad onda-partícula. Hipótesis de De Broglie

En 1924 Louis de Broglie sugirió en su tesis doctoral que los electrones podían tener características ondulatorias. Su hipótesis consistió en ampliar el comportamiento dual de la radiación (corpuscular y ondulatoria) a todas las partículas.

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8 Para que esta doble naturaleza se pudiese admitir era necesario encontrar alguna relación matemática entre las características de la onda y la partícula. De Broglie la encontró para el fotón, relacionando su energía obtenida a partir de la relación de Planck con la energía relativista correspondiente a su masa obtenida de la expresión de Einstein:

𝐸 = ℎ · 𝑓

𝐸 = 𝑚 · 𝑐^$ → ℎ ·𝑓= 𝑚 · 𝑐^$ → ℎ ·𝑐

𝜆= 𝑚 · 𝑐^$ → 𝝀 = 𝒉 𝒎𝒄=𝒉

𝒑

donde 𝑝 es su cantidad de movimiento o momento lineal. El Principio de De Broglie generaliza el resultado para cualquier partícula:

Toda partícula en movimiento tiene una onda asociada cuya longitud de onda viene dada por la expresión

𝝀 =𝒉 𝒑

Esta propuesta fue considerada inicialmente como carente de realidad física por su falta de evidencias experimentales. Sin embargo, la confirmación llegó en 1927 cuando George Paget Thomson entre otros obtuvieron un diagrama de difracción para los electrones, demostrando así su naturaleza ondulatoria.

2.2 Principio de indeterminación de Heisenberg

En 1927 Werner Karl Heisenberg enunció su principio de indeterminación o principio de incertidumbre, el cual nos proporciona unos límites para la información que podemos conocer de un objeto cuántico. Este principio tiene dos partes:

• No es posible determinar simultáneamente el valor exacto de la posición 𝒙 y del momento lineal 𝒑 de un objeto cuántico. Las medidas del objeto observable sufrirán desviación estándar Δ𝑥 de posición y Δ𝑝 de momento lineal, quedando el principio expresado como:

Δ𝑥 · Δ𝑝 ≥ ℎ 4𝜋

• No es posible determinar simultáneamente el valor medido de la energía 𝑬 de un objeto cuántico y el intervalo de tiempo necesario para efectuar la medida. Esto exige que se cumpla:

Δ𝐸 · Δ𝑡 ≥ ℎ 4𝜋

Así, este principio hace evidente la necesidad de que los sistemas cuánticos se expresen en términos de probabilidad.