Resolver un problema de optimización Área máxima de un jardín rectangular

Resolución de un problema Método de Polya Página 0

Resolver un problema de optimización

Área máxima de un jardín rectangular

Se presenta el siguiente problema en un salón de clases de I Bachillerato:

Supongamos que se dispone de 60 metros de alambre para cercar un jardín rectangular; pero uno de los lados corresponderá a la pared de la casa.

¿Qué dimensiones del jardín garantizarán que se obtenga el área máxima?

(Sugerencia: no usar CÁLCULO, usar ALGEBRA)

Antecedentes: Se sabe que el estudiante tiene conocimientos previos de ALGEBRA y GEOMETRÍA BÁSICA, sabe calcular el área y el perímetro de un rectángulo, ha elaborado problemas de área máxima anteriormente, así como resolver y plantear ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Y ENCONTRAR EL VÉRTICE.

SIMBOLOGÍA:

(P): (Profesor) (E): (Estudiantes)

El problema se resolverá utilizando el método de G. POLYA (Heurístico) del libro

“Cómo plantear y resolver problemas”

Se aborda el problema teniendo como primera etapa:

I Comprender el problema (P): Leamos el problema y contestemos lo siguiente:

¿Qué es lo que se le pregunta? ¿Entienden todo lo que dice el problema?

¿Sabemos a qué queremos llegar? ¿Hay alguna variable o incógnita? ¿Cuáles son los datos que se nos proporcionan?

(E): ¡Se necesita encontrar el área máxima que se podría cercar para un jardín en forma rectangular con 60 metros de alambre y para encontrar el área tenemos que saber cuánto mide cada lado de la cerca!

Para una mejor idea del problema podemos utilizar la siguiente figura como referencia geométrica del rectángulo formado por la cerca.

Resolución de un problema Método de Polya Página 1 (P): Observemos atentamente las siguientes figuras y sus respectivas áreas, estas son posibles respuestas a diferentes medidas del rectángulo formado por la cerca de alambre: ¿Qué pueden notar en estas posibles respuestas?

550

A 250m²

40 10

A 400m²

30 15

A 450m²

(E): Podemos notar que hay muchas combinaciones posibles en las cuales obtenemos diferentes áreas cada una mayor que la otra, pero tenemos que encontrar cuál es el área máxima.

(P): ¡Muy bien! Observemos todos los aspectos del problema, ¿Pueden encontrar otros datos importantes en el problema? ¿Hay en el problema alguna condicionante? ¿Qué más podemos entender de los datos adicionales que podemos encontrar?

(E): Si, se nos dice que uno de los lados del jardín corresponde a una pared de la casa y por lo tanto no se tomará en cuenta y los 60 metros de alambre que se distribuirán entre los tres lados restantes dela cerca.

Nos adentramos en la segunda etapa:

II Concebir un plan

(P): ¡Excelentes observaciones! Ahora debemos buscar la forma de resolver el problema, contestando lo siguiente: ¿Han hecho un problema similar antes?

¿Conocen algún problema relacionado con este? ¿Han visto un problema similar más sencillo planteado?

(E): Si, hemos calculado el área de un rectángulo en problemas anteriores conociendo la longitud de sus lados, multiplicando su base “^b” por la altura “^a” y también el perímetro “^P” tomando en cuenta sus cuatro lados:

Donde su área es la superficie que encierra el perímetro del rectángulo y se calcula como:

a b

A  o Aab Y el perímetro como:

b a b a

P    2a2b  2





Jardín

P A R E D

Resolución de un problema Método de Polya Página 2 Pero en nuestro caso tendríamos que calcular la longitud de la cerca “^C” de 60 metros solamente en términos de tres lados.

(P): ¿Cómo podemos empezar a resolver este problema? ¿Pueden plantear el problema de otra manera? ¿Es necesario utilizar indicadores o conjuntos auxiliares en este problema para definir sus partes?

(E): Si, podemos darle nombre a cada lado del alambrado según la figura del rectángulo de referencia, una “ x ” a la altura o ancho y una “^y” a la base o largo y así formular la ecuación de la cerca “^C” que mide 60 metros de la siguiente forma:

x y x

C   o C 2xy donde C60 y entonces decimos que 60 2xy para encontrar los valores de “ x ” y “ y ” y determinar el área del rectángulo A xy

(P): ¿Para qué nos pueden servir esta ecuación de la longitud de la cerca “^C”?

(E): Podemos usar “^C” para deducir el valor de la base “ y ” como y602x, entonces la figura de referencia del rectángulo nos quedaría así:

Ancho: x Largo: 60 – 2x

Donde “ x ” es la altura o ancho y para la base o largo por deducción en “ y ” será

“602x”, esto es “^C” menos dos veces el valor de la altura.

(P): Entonces ¿Cuál es el plan?

(E): Debemos encontrar la longitud de cada lado utilizando las ecuaciones obtenidas anteriormente por medio del área Axy que nos quedaría





x

A  602 y desarrollando este producto nos dará una nueva ecuación cuadrática en la cual podremos encontrar el punto más alto en el vértice, “^V ” de la gráfica de la función que se define como “

a V b

2

  para encontrar la coordenada de “ x ” del vértice ” y así encontrar la longitud correcta de los lados para obtener el área máxima del jardín.

Llegamos al momento de la tercera etapa:

III Ejecución del plan

(P): Buen plan, lo han comprendido muy bien, entonces ¿Cómo lo plantearían algebraicamente y qué debemos calcular primero?

Resolución de un problema Método de Polya Página 3 (E): Si “ x ” es la altura y “602x” es la base, al definir la función del área nos queda:

o l ancho

Area_rectángulo  arg

 ^x





60x2x²

2x²60x Si lo escribimos en su forma canónica.

Es una función polinómica de grado dos, su gráfica es una parábola.

Como sabemos las parábolas pueden estar tristes (Cóncavas) o contentas (Convexas), en nuestro caso está triste y alcanzan su valor máximo en el vértice, ya que el término que tiene el segundo grado es negativo:

Donde el vértice “^V” ayuda a encontrar el valor máximo que puede alcanzar la función y que nos permite saber el valor de cada variable en ese punto y en cada coordenada para determinar las longitudes máximas del rectángulo de mayor área posible.

(P): Muy bien y ¿Ahora qué se debe hacer? ¿Cómo podemos garantizar que se obtenga el área máxima del jardín con esas dimensiones?

(E): Mediante la fórmula del vértice “ a

b 2

 para encontrar la coordenada de “ x ” del mismo” vamos a calcular el valor de “ x ” que es la altura o el ancho del rectángulo,

así: a

x b 2

  donde el valor de “b ” será 60 y el de “ a ” será – 2 tomados de la

función cuadrática 2x²60x que hemos encontrado anteriormente.

Resolvemos

 

60 2

2

60 



 



 

x y encontramos que x 15

Sustituimos este valor en el esquema del dibujo y encontramos el valor de la base:

Ya hemos encontrado la altura “ x ” que es igual a 15 m y la base “ y ” que es igual a 30 m.

 

f 2 ²60

Resolución de un problema Método de Polya Página 4 (P): Excelente ya tenemos lo que mide cada lado ahora ¿Cómo calcularían el área máxima del jardín rectangular?

(E): Fácil, solo multiplicamos la base “ y ” por la altura “ x ”:

x y Area_Máxima   (30)(15)

450 Entonces el área máxima del jardín es igual a 450 metros cuadrados.

(P): Excelente, ya tenemos el área máxima que es 450m² Culminamos en la última etapa:

IV Examinar la solución obtenida

(P): ¿Cómo pueden ustedes verificar que este resultado es el correcto?

(E): Podríamos suponer otros valores mayores y menores para distribuir los 60 metros de alambre entre la base “ y ” y las 2 alturas “ x ” de la figura del jardín y ver qué pasa:

Caso 1: si x5 entonces y50 y el área resulta ^a

  

  

  

  

En todos los casos posibles el área no supera los 450 metros cuadrados debido a que las medidas que encontramos se obtuvieron en el vértice de la función que es donde los variables alcanzan su valor máximo, por lo que nuestra respuesta es el área máxima posible en este problema y por lo tanto es CORRECTA.

(P): Muy impresionante jóvenes, han resuelto el problema de muy buena manera.

Ir más allá…

(P): Bien, ahora ¿Podemos obtener el mismo resultado pero con otro método?

¿Podemos resolver el problema de otra manera?

(E): Si profesor, podemos resolverlo por medio del cálculo diferencial, aplicando la primera y la segunda derivada en la ecuación encontrada utilizando el siguiente teorema:

Teorema de valor extremo

Si la función f es continua en el intervalo cerrado

 

 

Esto lo haríamos para conocer rápidamente los valores de “ x ” y “ y ” en ese intervalo, y posteriormente calcular el área máxima

Resolución de un problema Método de Polya Página 5 (P): Es correcto, ¿Conocen algún otro problema donde se nos pida una optimización o encontrar un máximo?

(E): Si, hemos resuelto algunos problemas anteriormente y hemos conocido otros problemas donde se nos pide encontrar el máximo de algo:

Ejemplo 1:

Se dispone de una tela metálica de 100 metros de longitud para vallar una región como la de la figura:

¿Cuáles son los valores de “ x ” e “ y ” que hacen que el área encerrada sea máxima?

Ejemplo 2:

De todos los rectángulos de diagonal 6 2, encontrar las dimensiones del rectángulo de perímetro máximo.

Ejemplo 3:

De todos los prismas rectos de base cuadrada, tales que el perímetro de una cara lateral es de 30 cm, halle las dimensiones del que tiene volumen máximo.

(P): Muy bien jóvenes, los felicito.