Gas ideal energy and temperature

(1)

Energ´ıa del Gas ideal y

Temperatura

(2)

Energ´ıa de Gas.

Explicaci´on de Obtenci´on.

A partir de la primer ley de la termodinámica en que sabemos que, la energ´ıa interna de un proceso es la transferencia ∆U = U_f − U_i ≥ 0 tal que, U_f es la energ´ıa final del proceso, y U_i la energ´ıa inicial del proceso térmico correspondientes con el calor Q que éste produce junto con el trabajo W producido en el proceso se obteniene que,

∆U ≡ Q + W , (1)

Pero, en que el proceso no se génera calor por lo que, Q ≡ 0 cómo los que se estud´ıan en la mecánica clásica tenemos que,

∆U ≡ W . (2)

(3)

Energ´ıa de Gas.

Hemos dicho que (2) es la expresión de la mecánica clásica, ¿En que sentido?, que por ejemplo si el proceso fuera la ca´ıda libre de un objeto de masa m a una altura h sujeto a la constante de aceleración gravitacional g , EN MOVIMIENTO el proceso de energ´ıa ∆U es la extracción de la energ´ıa cinética inicial U_k con respecto a la energ´ıa potencial U_P tal que,

∆U = 1

2mv_y²− (mg (h − y )) = m 1

2v_y²− g (h − y )

. (3)

Esto cayendo desde una altura h y con desplazando; h-y, Sin embargo;´ proponiendo que el objeto ahora no est´a sujeto a la influencia de un campo gravitacional, implicando que, g = 0 y tomando en cuenta p = mv se obtiene que,

∆U = 1

2mv² = p²

2m, (4)

(4)

Energ´ıa de Gas.

Sin embargo; aunque ahora hemos justificado que la termodinámica abarca a la mecánica clásica, no hemos tomado en cuenta sobre lo que pasa con los procesos en que la energ´ıa se transforma integramente en calor, que ocurren con la energ´ıa interna de un gas caliente por ejemplo el que sale de una tetera abierta en que por primer ley de la termodinámica en que el gas caliente no hace trabajo o bien que tal es W = 0, obtenemos que.

∆U = Q, (5)

de lo que el proceso infinitesimal de transferencia de energ´ıa

dU = dQ. (6)

(5)

Energ´ıa del Gas.

Calores espec´ıficos.

Para el caso de la ecuación anterior en que la transferencia de energ´ıa en un proceso es sólo función de la temperatura pues, el calor Q es función de la temperatura absoluta de un cuepo T .

Sin embargo; con base a la primer ley de la termodin´amica ahora podemos definir a la calor espec´ıfico C como,

C = δQ

δT = dU − dW

dT , (7)

pero, C resulta no ser restringido para alg´un valor en los n´umeros reales R y aqu´ı es dependiente de los valores que integren a W

(6)

Energ´ıa del Gas.

Calores especif´ıcos.

De lo que para el caso del trabajo mec´anico W = PV que se conoce desde Pascal, obtenemos de la ecuaci´on anterior

δQ

δT = dU − PdV − VdP

dT = dU − PdV

dT , (8)

con ello se pueden definir las constantes de calor espec´ıfico volum´etrico c_V ≡ ∂_TU

_V, (9)

y calor espec´ıfico de presi´on

c_P ≡ ∂_TU

P, (10)

Interesando el calor espec´ıfico volum´etrico.

(7)

Energ´ıa del Gas.

Obtenci´on de energ´ıa.

Partiendo de tratar a un gas ideal los experimentos nos dan qu´e, C_V = 3R/2, llamada R como constante universal de los gases, sin embargo; de ecuaciones diferenciales es posible que CV = ∂TU

V por lo que,

U = C_V Z

dT = 3n 2 R

Z

dT = 3n

2 R(T + C ), (11)

De partir de la temperatura de orig´en como constante de integraci´on, obtenemos finalmente que la energ´ıa del gas ideal es tal que,

U = 3

2RT , (12)

(8)

Energ´ıa del Gas.

Obtenci´on de energ´ıa en forma estad´ıstica 1.

Cómo hab´ıamos dicho la transferencia de energ´ıa por medios estrictamente mecánicos cuando se despreciabán las energ´ıas potenciales de las

part´ıculas depend´ıan de sus momentos, para el caso dimensional en que las particulas tienen fluctuaciones de impulsos impredecibles por lo que hemos de tomar el valor esperado de sus impulsos por cada dimensi´on de forma uniforme entre tales dimensiones tal que,

< p_x >=< p_y >=< p_z >=< p_i > de lo que por cada coordenada tendr´ıamos que la energ´ıa transferida por cada particula con base a su valor esperado de impulso es.

T= ∆Ux + ∆Uy + ∆Uz = 3n < pi >²

2m = 3nm < vi >²

2 (13)

(9)

Energ´ıa del Gas.

Obtenci´on de energ´ıa en forma estad´ıstica 2.

Con base a lo redactado en cuanto a la energ´ıa obtenida en el sentido termodinámico, depende en exclusiva de su temperatura pero, no hemos dicho algo con respecto a su equivalente de composición de particulas del gas, sin embargo; en un caso aplica la primer ley de la termodinámica para el caso mecánico y para el otro para el caso de calor en que la energ´ıa es la misma tanto para un caso como para el otro por lo que es inevitaible que

3

2RT = 3n < p_i >²

2m = 3nm < v_i >²

2 = nm < v_T >²

2 =_T (14)

(10)

Temperatura.

Breviario a mec´anica estad´ıstica.

Obtenci´on de temperatura en forma estad´ıstica.

Con ello podemos conocer en la escala de temperaturas absolutas a la temperatura en su signif´ıcado mec´anico estad´ıstico de part´ıculas componentes de un gas tal que,

T =< p_T >²

Rm = nm < vi >²

R = n < Ui >

R = _T

3k_B ∝_T (15) En tal sentido la temperatura es una manifestaci´on o emergencia del promedio de energ´ıas uniformemente distribuidas en el gas ideal, pero, no cualquier energ´ıa, puesto que hemos despreciado a la energ´ıa potencial la temperatura mide el promedio de la energ´ıa cin´etica del colectivo de las part´ıculas que componen al gas ideal.

(11)

Referencias y Agradecimientos

Referencias.

1.- Garc´ıa-Colin Scherer Leopoldo, Introducción a la Termodinámica Clásica, editorial Trillas, México D.F. 1990, págs 68-72. 2.- Greiner Walter, Neise Ludwig, Stöcker Horst, Thermodynamics and Statistical Mechanics, Springer, New York EUA 1995, págs 172-174 .

Agradecimiento por colaboraci´on a: Diego Rodrigo estudiante de licenciatura de ESFM.