PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE
FÍSICA II.
ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA, CIENCIA Y
TECNOLOGÍA.
CAPÍTULO 4: EL POTENCIAL ELÉCTRICO.
Ing. Willians Medina.
Maturín, julio de 2017.
CONTENIDO.
CONTENIDO... 2
PRESENTACIÓN. ... 5
ACERCA DEL AUTOR. ... 7
4.1.- POTENCIAL GENERADO POR CARGAS PUNTUALES. ... 9
Potencial eléctrico debido a una carga eléctrica... 9
Ejemplo 4.1. ... 9
Ejemplo 4.2. Modificación del Problema 37 del Tipler. Sexta Edición. Página 723. ... 9
Ejercicios propuestos. ... 9
Potencial eléctrico debido a múltiples cargas eléctricas. ... 12
Ejemplo 4.3. ... 12
Ejemplo 4.4. ... 12
Ejemplo 4.5. ... 12
Ejemplo 4.6. ... 13
Ejemplo 4.7. Modificación del Problema 7 del Serway. Séptima Edición. Página 666. ... 13
Ejemplo 4.8. ... 13
Ejemplo 4.9. ... 14
Ejemplo 4.10. ... 15
Ejemplo 4.11. ... 15
Ejemplo 4.12. Modificación del Problema 17 del Serway. Séptima Edición. Página 667... 16
Ejemplo 4.13. Modificación del Problema 76 del Tipler. Sexta Edición. Página 726. . 16
Ejemplo 4.14. ... 17
Ejemplo 4.15. Modificación Guía de Ejercicios Prof. Amenayda Figueredo. Periodo II- 90... 17
Ejercicios propuestos. ... 17
Potencial eléctrico debido a múltiples cargas eléctricas en el plano cartesiano. ... 23
Ejemplo 4.16. ... 23
Ejemplo 4.17. Modificación del Problema 44 del Tipler. Sexta Edición. Página 724. . 23
Ejemplo 4.18. ... 23
Ejemplo 4.19. Modificación del Problema 06 del Córdova. Página 23. ... 24
Ejercicios propuestos. ... 24
Interacción entre múltiples cargas eléctricas en el espacio. ... 27
Ejemplo 4.20. Modificación del Problema 59 del Serway. Séptima Edición. Página 671. Problema 13 del Resnick. Quinta Edición. Página 584. Problema PR-1.21 del Figueroa. Página 29. ... 27
Ejemplo 4.21. ... 27
Ejercicios propuestos. ... 28
Energía potencial electrostática. ... 32
Ejemplo 4.23. Trabajo para trasladar carga en un hexágono. Problema PR-4.03 del
Figueroa. Quinta Edición. Página 165. ... 32
Ejercicios propuestos. ... 32
4.2.- POTENCIAL GENERADO POR DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGA. 38 Placas. ... 38
Ejemplo 4.24. ... 38
Ejemplo 4.25. ... 38
Ejemplo 4.26. Problema 20 del Tipler. Sexta Edición. Página 795. ... 38
Ejercicios propuestos. ... 39
Cilindros. ... 43
Ejemplo 4.27. ... 43
Ejercicios propuestos. ... 43
Esferas. ... 44
Ejemplo 4.28. ... 44
Ejemplo 4.29. ... 45
Ejemplo 4.30. ... 45
Ejemplo 4.31. ... 45
Ejercicios propuestos. ... 46
Potencial de un conductor cargado... 49
Ejemplo 4.32. ... 49
Ejemplo 4.33. ... 49
Ejemplo 4.34. ... 49
Ejemplo 4.35. Problema 47 del Tipler. Sexta Edición. Página 797. ... 49
Ejemplo 4.36. ... 50
Ejemplo 4.37. ... 50
Ejercicios propuestos. ... 50
Obtención de E a partir del potencial eléctrico. ... 54
Ejemplo 4.38. ... 54
Ejemplo 4.39. ... 54
Ejemplo 4.40. Guía de Ejercicios Prof. Amenayda Figueredo. Periodo II-90. ... 54
Ejemplo 4.41. Guía de Ejercicios Prof. Amenayda Figueredo. Periodo II-90. ... 54
Ejercicios propuestos. ... 54
Varillas. ... 58
Ejemplo 4.42. Potencial eléctrico debido a una barra con carga. Problema 12 del Resnick. Quinta Edición. Página 660. Problema 55 del Tipler. Sexta Edición. Página 798. Problema PR-4.11 del Figueroa. Quinta Edición. Página 175. ... 58
Ejemplo 4.43. ... 58
Ejemplo 4.44. Potencial eléctrico debido a una línea de carga finita. Ejemplo 25.7 del Serway. Séptima Edición. Página 706. Modificación del Problema 6 del Resnick. Quinta Edición. Página 609. Modificación del Problema PR-2.08 del Figueroa. Quinta Edición. Página 64. ... 59
Ejemplo 4.45. Potencial de una barra con carga uniforme II... 59
Ejemplo 4.46. Potencial de una barra con carga uniforme II. Ejemplo 28-6 del Resnick.
Quinta Edición. Página 644. Problema PR-4.13 del Figueroa. Quinta Edición. Página
177... 60
Ejemplo 4.47. Modificación del Problema PR-2.07 del Figueroa. Quinta Edición. Página 64. ... 61
Ejercicios propuestos. ... 61
Ejemplo 4.48. ... 66
Ejemplo 4.49. Modificación del problema 53 del Serway. Séptima Edición. Página 671. ... 66
Ejemplo 4.50. Modificación del problema 38 del Serway. Séptima Edición. Página 717. ... 66
Ejercicios propuestos. ... 67
Anillos. ... 69
Ejemplo 4.51. Potencial eléctrico debido a un anillo con carga uniforme. Ejemplo 25.5 del Serway. Séptima Edición. Página 704. Ejemplo 28.6 del Resnick. Quinta Edición. Página 645. Problema PR-4.16 del Figueroa. Quinta Edición. Página 179. ... 69
Ejemplo 4.52. Potencial en un cascarón cilíndrico. Problema PR-4.23 del Figueroa. Página 185. ... 69
Ejemplo 4.53. ... 70
Ejercicios propuestos. ... 70
Discos. ... 72
Ejemplo 4.54. Potencial eléctrico debido a un disco con carga uniforme. Ejemplo 25.6 del Serway. Séptima Edición. Página 705. Ejemplo 28-6 del Resnick. Quinta Edición. Página 645. Ejemplo 23.9 del Tipler. Sexta Edición. Página 775. Problema PR-4.18 del Figueroa. Quinta Edición. Página 181. ... 72
Ejemplo 4.55. ... 73
Ejemplo 4.56. Guía de Ejercicios Prof. Amenayda Figueredo. Periodo II-90. Problema 54 del Tipler. Sexta Edición. Página 798. ... 73
Ejemplo 4.57. ... 74
Ejemplo 4.58. ... 74
Ejercicios propuestos. ... 75
Cáscaras semiesféricas. ... 78
Ejemplo 4.59. Potencial V de un cascarón semiesférico. Problema PR-2.21 del Figueroa. Quinta Edición. Página 75. Problema 12 del Córdova. Página 37. ... 78
Ejemplo 4.60. ... 78
Ejercicios propuestos. ... 79
BIBLIOGRAFÍA. ... 80
TÍTULOS DE LA SERIE PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE ELECTRICIDAD (FÍSICA II). ... 81
OBRAS DEL MISMO AUTOR. ... 82
OFERTA DE SERVICIOS. ... 85
PRESENTACIÓN.
El presente es un Manual de Ejercicios de Física II para estudiantes de Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería Ambiental, Civil, de Computación, Eléctrica, Electrónica, Industrial, Mecánica, de Petróleo, de Sistemas y Química de reconocidas Universidades en Venezuela.
El material presentado no es en modo alguno original, excepto la solución de algunos ejemplos, la inclusión de las respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos.
Dicho manual ha sido elaborado tomando como fuente la bibliografía especializada en la materia y citada al final de la obra, por lo que el crédito y responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma integrada de información existente en la literatura.
Este manual, cuyo contenido se limita al estudio del potencial eléctrico, contiene los fundamentos teóricos, 76 ejercicios resueltos paso a paso y 158 ejercicios propuestos para su resolución, y es ideal para ser utilizada por estudiantes autodidactas y/o de libre escolaridad (Universidad Abierta) y por estudiantes que están tomando un curso universitario de Electricidad (Física II), así como por profesores que estén impartiendo clases en el área de enseñanza de Electricidad y Física II para estudiantes de Ingeniería, Ciencia y Tecnología.
Antes de abordar los conocimientos involucrados en esta guía, el estudiante debe haber tomado un curso sobre Fuerza Eléctrica, Ley de Coulomb, Campo Eléctrico, Flujo de Campo Eléctrico y Ley de Gauss.
El concepto de potencial de una carga eléctrica es fundamental en el estudio de la Electricidad, pues es la base de algunas definiciones involucradas en el estudio de esta
materia, específicamente capacitancia y capacitores eléctricos, y en este manual el autor presenta de manera clara y rigurosa el espectro de situaciones involucradas en el manejo del potencial eléctrico tanto para cargas puntuales como para distribuciones continuas de carga en el plano y en el espacio.
Una vez comprendidos los conocimientos involucrados en esta guía, el estudiante puede abordar sin mayor dificultad temas avanzados tales como capacitancia y capacitores eléctricos.
Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta contribución en la enseñanza y aprendizaje de la Física y la Electricidad, así como las sugerencias que tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar directamente a través de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, correo electrónico: [email protected] ó [email protected], twitter: @medinawj ó personalmente en la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.
Ing. Willians Medina.
ACERCA DEL AUTOR.
Willians Medina (Barcelona, 1972) es Ingeniero Químico (1997), egresado de la Universidad de Oriente, Núcleo de Anzoátegui, Venezuela y recientemente (2016) culminó sus estudios conducentes al grado de Magister Scientiarum en Ciencias Administrativas mención Finanzas en el Núcleo de Monagas de la misma Universidad. Fue becado por LAGOVEN S.A (Filial de Petróleos de Venezuela, PDVSA) para cursar sus estudios universitarios de pregrado y durante el transcurso de su carrera universitaria se desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad. En 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, (PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000. Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé, Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral), Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos Numéricos, Termodinámica, Fenómenos de
Transporte y Estadística para estudiantes de Ingeniería. El autor de video tutoriales para la enseñanza de la matemática en el área de límites, derivadas y ecuaciones diferenciales a través del portal http://www.tareasplus.com/ y también es autor de compendios de ejercicios propuestos, ejercicios resueltos y formularios en el área de Matemáticas, Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística, Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería Económica.
En sus trabajos escritos el Ing. Medina ha dejado en evidencia su capacidad de integración de los conocimientos en el área de la enseñanza en Ingeniería, así como el análisis riguroso y detallado en el planteamiento y la solución de ejercicios en cada asignatura que aborda, siendo considerado un profesional prolífico en la generación de material académico útil a los estudiantes de Ingeniería y reconocido en lo personal y a través de sus escritos como una referencia importante de consulta por estudiantes y profesores. En la actualidad (2017) ha emprendido el proyecto de difusión de sus obras escritas en las áreas antes citadas a través de internet de manera pública y gratuita (versión de sólo lectura en línea y con privilegios limitados) en la página http://www.slideshare.net/asesoracademico/, en la cual cuenta con un promedio de 3500 visitas diarias, y en forma privada (versión completa) mediante la corporación http://www.amazon.com/. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.
4.1.- POTENCIAL GENERADO POR CARGAS PUNTUALES.
Potencial eléctrico debido a una carga eléctrica.
Ejemplo 4.1.
¿Cuál es el potencial que una partícula con carga q = 75 nC, colocada en el origen, produce en el punto (0.4 , 0.2 , –0.5).
Solución.
Ejemplo 4.2. Modificación del Problema 37 del Tipler. Sexta Edición. Página 723.
Una carga de 4.0C está en el origen. ¿Cuál es el potencial eléctrico sobre el eje x en a) x
= 6 m y b) x = –10 m? c) Hacer un esquema de la función Vx respecto a x, tanto para valores positivos como negativos de x.
Solución.
Ejercicios propuestos.
1. Una carga puntual q2106C está fija en el origen de un sistema se coordenadas.
¿Cuál es el potencial en el punto P que está a 5 m?
2. [TM] Una partícula puntual tiene una carga igual a 2.00C. Y está en el origen. a)
¿Cuál es el potencial eléctrico V en un punto que está a 4.00 m del origen, asumiendo que el potencial en el infinito es cero? b) ¿Cuánto trabajo deberá hacerse para llevar una segunda partícula con carga 3C desde el infinito hasta una distancia de 4.00 m de la de
C 00 .
2
?
3. [RH] Una carga puntual tiene q1.16C. Considere el punto A que está a 2.06 m de distancia y el punto B que se halla a 1.17 m de distancia en una dirección diametralmente opuesta, como se ve en la figura. a) Calcule la diferencia de potencial VA – VB. Repita el ejercicio si los puntos A y B están situados de igual manera que en la figura b.
q A
B
q A
B
4. [TM] En un acelerador de Van de Graaf se liberan los protones desde el reposo, a un potencial de 5 MW y éstos se desplazan a través del vacío hasta una región con potencial cero. a) Calcular la velocidad final de los protones de 5 MeV. b) Si la variación de potencial es uniforme a lo largo de una distancia de 2.0 m, calcular el campo eléctrico del acelerador.
5. [TM] Un cañón de electrones dispara estas partículas contra la pantalla de un tubo de televisión. Los electrones parten del reposo y se aceleran dentro de una diferencia de potencial de 30000 V. a) ¿Qué zona es de mayor potencial, la pantalla o la posición inicial del electrón? b) ¿Cuál es la energía de los electrones al chocar contra la pantalla, expresada en electronvolts y en joules? c) ¿Cuál es la velocidad de los electrones al chocar con la pantalla del tubo de televisión?
6. Una partícula de polvo de masa m5109kg y carga q0 2nC, inicialmente en reposo desde el punto A y se traslada en línea recta al punto B. ¿Cuál es su rapidez en el punto B, donde dos cargas qA3nCy qB 3nCestán separadas por 3 cm y el punto A está a 1 cm de la carga A por la derecha y el punto B está a 1 cm de la carga B por la izquierda.
7. [RH] a) A través de qué diferencia de potencial debe caer un electrón para adquirir, según la teoría de Newton, una velocidad v igual a la velocidad c de la luz? b) La mecánica newtoniana fracasa conforme v → c. Por tanto, empleando la expresión relativista correcta con la energía cinética
1
) / ( 1
1
2 2
c v c
m
Ec en vez de la expresión newtoniana
2 2 1mc
Ec , determine la velocidad del electrón, adquirida al caer por la diferencia de potencial calculada en a). Exprese esta velocidad como una fracción apropiada de la velocidad de la luz.
8. [TM] a) Una partícula cargada positivamente describe una trayectoria antes de colisionar de frente con un núcleo pesado cargado positivamente que inicialmente está en reposo. La
cargas en función de la energía cinética inicial Ec,i, de la partícula, la carga ze de la partícula y la carga Ze del núcleo, donde z y Z son enteros. b) Encontrar un valor numérico para la distancia mínima entre una partícula de 5.00 MeV y un núcleo de oro en reposo y entre otra partícula de 9.00 MeV y otro núcleo de oro en reposo (Los valores 5.00 y 9.00 MeV son las energías cinéticas de las partículas . Despreciar el movimiento del núcleo de oro después de la colisión). c) El radio del núcleo de oro es de 71015m. Si la partícula
se aproximase más de esa distancia, experimentaría la interacción fuerte además de la fuerza eléctrica de repulsión. En los primeros años del siglo XX, antes de que se descubriera la interacción nuclear fuerte Ernest Rutherford bombardeó núcleos de oro con partículas que tenían energías cinéticas de unos 5 MeV. ¿Podría poner de manifiesto esta experiencia interacción fuerte? Explique sus respuestas.
9. [RH] Un núcleo de oro contiene una carga positiva igual a la de 79 protones y tiene un radio de 7.0 fm. Una partícula alfa (constituida por dos protones y dos neutrones) tiene una energía cinética E en puntos lejanos del núcleo y se dirige directamente hacia él. La c partícula alfa apenas si toca la superficie del núcleo donde se invierte la dirección de su velocidad. a) Calcule E . b) Tenía una energía de 5 MeV la segunda partícula alfa que c Rutherford y sus colegas usaron en su experimento y que condujo al descubrimiento del concepto del núcleo atómico. ¿Qué conclusión obtiene usted de eso?
10. [RH] Se supone que una partícula de carga (positiva) Q ocupa una posición fija en P.
Una segunda partícula de masa m y de carga negativa –q se desplaza con velocidad constante en un círculo de radio r1 centrado en P. Deduzca una expresión para el trabajo W que debe efectuar un agente externo sobre la segunda partícula, a fin de aumentar a r2 el radio del círculo de movimiento, centrado en P.
Potencial eléctrico debido a múltiples cargas eléctricas.
Ejemplo 4.3.
Se dispone de dos cargas eléctricas: qA 3106C, qB 2106C, situadas en el mismo vacío y en línea recta separadas por una distancia de 10 cm como se muestra en la figura.
Calcular el potencial eléctrico resultante en el punto C.
Solución.
Ejemplo 4.4.
Se tienen dos cargas eléctricas q1 3105C y q2 desconocida, separadas entre sí a una distancia de 8 cm. El punto C está sobre la misma recta de las anteriores y a 4 cm a la derecha de q2. Si el potencial eléctrico resultante en el punto C por efecto de las dos cargas es de 7.425106V, calcular la magnitud de q2.
Solución.
Ejemplo 4.5.
Dos partículas de cargas q1 3106 C y q2 5106 C están separadas 2.4 metros.
a) ¿En qué punto sobre la línea que las une, el potencial eléctrico es cero?
b) Si q2 5C, ¿En qué punto sobre la línea que las une, el potencial eléctrico sería cero?
q1 q2
2.4 m
q2
4 cm 8 cm
q1
C qB
5 cm 10 cm
qA
C
Ejemplo 4.6.
Se colocan dos cargas en los vértices de un triángulo como se muestra en la figura.
Determinar el potencial eléctrico resultante sobre el vértice inferior (punto P), siendo C
10
8 9
1
q , q2 15109C.
Solución.
Ejemplo 4.7. Modificación del Problema 7 del Serway. Séptima Edición. Página 666.
En la figura se localizan dos cargas puntuales ubicadas en las esquinas de un triángulo equilátero. Calcule el potencial eléctrico neto sobre:
a) El vértice superior (Punto P).
b) el centro de la distribución (Punto M).
Solución.
Ejemplo 4.8.
[RS] Las tres cargas de la figura están en los vértices de un triángulo isósceles. Calcule el potencial eléctrico en el punto medio de la base, considerando q7.00C.
P
C 0 .
2 4.0C
60º
0.50 m
M
60º 5 cm
q1 q2
P
Solución.
Ejemplo 4.9.
Tres cargas +Q, –2Q, –Q, están localizadas en los vértices de un triángulo equilátero de lado “L”. Hallar el potencial resultante en el punto medio de la base (Punto B).
Solución.
q
q
q
2.00 cm
4.00 cm
P
Q Q
Q
2
B
Ejemplo 4.10.
En la figura hay cargas eléctricas cuyos valores son: q1 2C, q2 5C, C
3 7
q y. Hallar el potencial resultante sobre el vértice superior (Punto P) por efecto de las cargas.
Solución.
Ejemplo 4.11.
Tres cargas del mismo valor absoluto q están dispuestas en los vértices de un cuadrado de lado L, como muestra la figura.
Calcule el potencial eléctrico en el vértice inferior izquierdo (Punto P).
Solución.
L
q
P
q q q1
60º 12 cm
50º
P
q2
q3
Ejemplo 4.12. Modificación del Problema 17 del Serway. Séptima Edición. Página 667.
En las esquinas de un cuadrado de lado a, como se muestra en la figura, existen tres partículas con carga. a) Determine la magnitud del potencial eléctrico en la ubicación del punto P.
Solución.
Ejemplo 4.13. Modificación del Problema 76 del Tipler. Sexta Edición. Página 726.
Cuatro cargas del mismo valor están dispuestas en los vértices de un cuadrado de lado L, según se ve en la figura. Demostrar que el potencial eléctrico debido a las cuatro cargas en el punto medio de uno de los lados del cuadrado es nulo.
Solución.
L
q
q q
q a
q 2
q
3 4q
P
Ejemplo 4.14.
En cinco vértices de un hexágono regular se colocan cargas eléctricas de igual valor, q.
¿Qué carga Q habrá que colocar en el centro del hexágono para que el potencial eléctrico en el vértice restante (punto P) sea nulo?
Solución.
Ejemplo 4.15. Modificación Guía de Ejercicios Prof. Amenayda Figueredo. Periodo II-90.
Ocho esferitas de carga q están distribuidas en ángulos relativos de 4 en torno a un círculo de radio R. Calcule el potencial eléctrico en el eje del círculo a una distancia x de su centro.
Solución.
Ejercicios propuestos.
11. [RH] a) En la figura, obtenga una expresión para VA – VB. b) Se reduce el resultado a la respuesta expresada cuando d = 0? ¿Cuándo a = 0? ¿Cuándo q = 0?
R
x
P
q Q
q q
q q
P
a
12. [RH] Dos cargas puntuales q y q´ están separadas por una distancia a. En un punto a la distancia a/3 de q y a lo largo de la línea que une las dos cargas, el potencial es cero.
(Asumir que el potencial es cero lejos de las cargas). a) ¿Cuáles de estas afirmaciones son ciertas? 1) Las cargas tienen el mismo signo. 2) Tienen signo opuesto. 3) El signo no puede determinarse con los datos aportados. b) ¿Cuáles de estas otras afirmaciones son ciertas? 1)
q
q . 2) q q . 3) q q . 4) Los valores absolutos de las cargas no se pueden determinar con los datos del problema. c) Determinar la relación q/q´.
13. [RH] En la figura, localice los puntos, si los hay, a) donde V = 0 y b) donde E = 0.
Considere sólo puntos en el eje x y suponga que V = 0 en el infinito.
14. [TM] Se sitúa una carga puntual de +3e en el origen y una segunda carga de –2e en el eje x a la distancia x = a. a) Dibujar la función potencial V (x) en función de x para todo valor de x. b) ¿Para qué punto o puntos es V (x) igual a cero? c) ¿En qué puntos del eje x, si los hay, el campo eléctrico es cero? ¿Son estas posiciones las mismas que las encontradas en la parte b? Explicar las respuestas d) ¿Cuál es el trabajo que hay que realizar para llevar una tercera carga +e al punto x 21a sobre el eje x?
15. [RH] Tres cargas de +122 mC se colocan en los ángulos de un triángulo equilátero, de 1.72 m de lado. Si se les suministra energía con una rapidez de 831 W, ¿cuántos días se requerirán para trasladar una de las cargas al punto medio de la línea que une las dos restantes?
16. [RH] Una carga puntual q1 = +6e está fija en el origen de un sistema coordenado rectangular, y una segunda carga puntual q2 = –10e está fija en x = 9.60 nm, y = 0. Con V =
q 2q
2d
1
q
d
q
A B
a a
en el eje x, como se indica en la figura. Determine a) la posición de xc, el centro del círculo y b) el radio R del círculo. c) Es también un círculo el equipotencial V = 5 V?
17. [TM] Tres cargas puntuales están en el eje x: q1 en el origen, q2 en x = 3 m y q3 en x = 6 m. Calcular el potencial en el punto x = 0, y = 3 m si a) q1 q2 q32C, b)
C
2 2
1 q
q y q32C y c) q1q32C y q2 2C. (Asumir que el potencial es cero lejos de donde están las cargas).
18. [TM] Cuatro cargas puntuales de 2C se encuentran situadas en los vértices de un cuadrado de 4 m de lado. Calcular el potencial en el centro del cuadrado (tomando como potencial cero el correspondiente al infinito) si a) todas las cargas son positivas, b) tres de las cargas son positivas y la otra negativa y c) dos son positivas y las otras dos negativas.
19. Se dispone de un cuadrado de 20 cm de lado. En cada uno de los vértices hay una carga eléctrica cuyos valores son qA 8106C, qB 6106C, qC 5106C y
C 10
15 6
D
q . Calcular el potencial eléctrico resultante en el centro del cuadrado.
20. [TM] Los puntos A, B y C están en los vértices de un triángulo equilátero de 3 m de lado. Cargas positivas de 2C están en A y B. a) ¿Cuál es el potencial del punto C?
(Asumir que el potencial es cero lejos de donde están las cargas). b) ¿Cuánto trabajo se necesita para llevar una carga positiva de 5Cdesde el infinito hasta el punto C si se
x y
q1
9.60 nm q2
0 V
R
xc
mantienen fijas las otras cargas? c) ¿Cuánto trabajo adicional se requiere para mover los C
5 desde el punto C hasta la mitad del segmento AB?
21. [TM] Tres partículas puntuales idénticas con carga q se encuentran en los vértices de un triángulo equilátero circunscrito en una circunferencia de radio a que está en el plano z = 0 y centrada en el origen. La carga q y el radio a son 5C y 60.0 cm, respectivamente.
(Asumir que el potencial es cero lejos de las cargas). a) ¿Cuál es el potencial eléctrico en el origen? b) ¿Cuál sería si las cargas estuvieran en la circunferencia pero una de ellas no estuviera en un vértice del triángulo? Explique su respuesta.
22. [RH] En el rectángulo de la figura, los lados tienen longitudes de 5.0 cm y 15.0 cm, y C
0 .
2 2
q . a) ¿Cuáles son los potenciales eléctricos en los vértices B y A? (Suponga que V = 0 en el infinito). b) ¿Cuánto trabajo externo se requiere para mover una tercera carga q330C de B a A a lo largo de la diagonal del rectángulo? C) En este proceso,
¿se convierte trabajo externo en energía electrostática potencial o a la inversa? Explique su respuesta.
23. [TM] Dos cargas positivas +q están en el eje x en x = +a y x = –a. hallar el potencial V (x) como una función de x para todos los puntos situados en el eje x. b) Representar V (x) en función de x.
24. [TM] Dos cargas positivas +q están sobre eje y en y = +a e y = –a. a) Determinar el potencial para cualquier punto del eje x. b) Utilizar los resultados de a) para calcular el campo eléctrico en cualquier punto del eje x.
25. [RS] Considere el dipolo eléctrico que se ilustra en la figura.
B q1
q2
A
b) Demuestre que el potencial eléctrico en un punto distante sobre el eje x es 2 2 x
a q V k .
26. [TM] Un dipolo eléctrico está formado por una carga positiva de 4.81019C separada de una carga negativa de igual valor absoluto por 6.41010m. ¿Cuál es el valor del potencial eléctrico en un punto situado a 9.21010m de cada una de las cargas?
27. Un dipolo eléctrico consta de dos cargas puntuales q1 = 12 nC y q2 = –12 nC, separadas por una distancia de 10 cm. Calcule el potencial eléctrico en el punto: a) A, ubicado a 6 cm a la derecha de q1, b) B, ubicado a 4 cm a la derecha de q1, c) C, que está a 13 cm de la carga q1 y q2 en el eje y. d) Calcule la energía potencial asociada con una carga puntual de 4 nC si ésta se encuentra en los puntos A, B y C.
28. Dos cargas puntuales q y –q están separadas por una distancia 2 a + d. Si se ubica un punto A a una distancia a a la derecha de la carga positiva y un punto B a una distancia a a la izquierda de la carga negativa, demuestre que la diferencia de potencial viene dada por
) ( 2
d a a
d q V k
VA B
.
29. [RH] En la configuración de carga de la figura demuestre que, suponiendo que r >> d.
V (r) en los puntos del eje horizontal está dado por
r
d r
V q 2
4 1 1
0
. Haga V = 0 en el
infinito.
q
d
q d
P q
r
x y
q
a 2
q y
[Sugerencia: la configuración de la carga puede concebirse como la suma de una carga aislada y de un dipolo].
Potencial eléctrico debido a múltiples cargas eléctricas en el plano cartesiano.
Ejemplo 4.16.
Dos cargas puntuales de 3.0C están sobre el eje y de un sistema de coordenadas, una en el origen y la otra en y = 6 m. Calcular el potencial eléctrico sobre el eje x en x = 8 m (punto P).
Solución.
Ejemplo 4.17. Modificación del Problema 44 del Tipler. Sexta Edición. Página 724.
Dos cargas positivas iguales q están en el eje y; una está en y = a y la otra en y = –a. a) Demostrar que el potencial eléctrico en el eje x (punto P) está dirigido a lo largo de dicho eje con
2 1
) (
2
2
2 a
x q Vx k
. b) Demostrar que en las proximidades del origen, donde x es mucho menor que a,
a q Vx 2k
. c) Demostrar que para x mucho mayor que a,
x q Vx 2k
. Explicar por qué debería esperarse incluso antes de ser calculado.
Solución.
Ejemplo 4.18.
Dos cargas puntuales q1 6C y q2 6C, están ubicadas como muestra la figura.
q2
q1
P
x y
x a
a
a) ¿Cuál es la magnitud de V en el punto S?
b) ¿Cuál es la magnitud del potencial eléctrico en el punto P?
Solución.
Ejemplo 4.19. Modificación del Problema 06 del Córdova. Página 23.
Las cargas y coordenadas de dos partículas cargadas fijas en el plano x y son: q1 3C, x1 = 3.5 cm, y1 = 0.5 cm, y q2 4C, x2 = –2.0 cm, y2 = 1.5 cm. ¿En qué punto el potencial eléctrico es cero?
Solución.
Ejercicios propuestos.
30. [TM] Una carga puntual 5C está localizada en x = 4 m, y = –2 m. Una segunda carga puntual de 12C está localizada en x = 1 m, y = 2 m. a) Determinar el módulo del potencial eléctrico en x = –1 m, y = 0. b) Determine el punto en el cual el potencial eléctrico es igual a cero.
31. [TM] Una carga puntual 5C está localizada en x = 1 m, y = 3 m y otra carga de C
4
está localizada en x = 2 m, y = –2 m. a) Determinar el módulo del potencial eléctrico en x = –3 m, y = 1 m. b) Determine el punto en el cual el potencial eléctrico es igual a cero.
q2
q1
P
x y
4 cm 3 cm
3 cm
S
6 cm
32. Determinar el potencial eléctrico resultante en el punto P(2,2) si se colocan dos cargas de igual magnitud 3106 C en los puntos (2,0) y (–2,0) en un sistema de coordenadas cartesianas.
33. Determinar el potencial eléctrico resultante en el punto P(3,2) si se colocan tres cargas de igual magnitud q106C en los puntos (3,0), (2,0) y (0,2) en un sistema de coordenadas cartesianas.
34. [RH] En la figura, demuestre que, suponiendo y >> d, la magnitud de V en el punto P está dada por
y
V 2q
4 1
0
.
35. [TM] Dos cargas iguales positivas de valor q1 = q2 = 6.0 nC están sobre el eje y en puntos y = +3 cm e y = –3 cm. a) ¿Cuál es el valor del potencial eléctrico sobre el eje x en x
= 4 cm.
36. Determine el potencial eléctrico en P en las siguientes distribuciones. q1 2C, C
2 6
q , q3 6C y q4 10C.
x y
q
d
q y
P q2
q1
) cm ( x q1
P
y y
q2
q3
) cm ( x
37. [TM] Dos cargas de 3.0C están localizadas en x = 0, y = 2.0 m y en x = 0, y = –2.0 m. Otras dos cargas Q están localizadas en x = 4.0 m, y = 2.0 m y en x = 4.0 m, y = –2.0 m.
El potencial eléctrico en x = 0, y = 0 es 4.0103 V. Determinar Q.
y
q2
q1
q3
q4
P x(cm)
Interacción entre múltiples cargas eléctricas en el espacio.
Ejemplo 4.20. Modificación del Problema 59 del Serway. Séptima Edición. Página 671. Problema 13 del Resnick. Quinta Edición. Página 584. Problema PR-1.21 del Figueroa. Página 29.
Siete partículas con carga, cada una de magnitud q, están situadas en las esquinas de un cubo de arista a, como se observa en la figura. a) Determine el potencial eléctrico en el punto A.
Solución.
Ejemplo 4.21.
Los puntos A, C y D representan la ubicación de tres partículas cargadas qA 14C, C
21
C
q y qD 14C. Obtenga el potencial eléctrico resultante en el punto B.
x
y z
a
A
Solución.
Ejercicios propuestos.
38. Una partícula con carga + 5.8 nC está colocada en el origen de coordenadas. a) Determine el potencial eléctrico producido en los puntos a) (15cm,0,0), b)
) 0 , cm 15 , cm 15
( , c) (15cm,15cm,15cm) y d) (10cm,20cm,0).
39. En dos de los vértices de un cubo de arista a = 1 cm hay ubicadas dos cargas puntuales q1 y q2 (Ver figura). Si q1 2C y q2 4C, calcule el potencial eléctrico en el punto P.
x
y z
q1
q2
P
a
41. Los puntos A(4,8,6) y C(5,6,9) representan la ubicación de dos partículas cargadas qA = +14 nC, qC = +21 nC. Si las coordenadas están expresadas en mm, obtenga el potencial eléctrico resultante en el punto B(2,2,2).
42. [WM] Tres cargas de qA 25C, qB 16C y qD 8C están ubicadas como se indica en la figura. Determine el potencial eléctrico resultante en el punto C.
43. [WM] Cuatro cargas cuyas magnitudes son: qA 2C, qB 5C, qC 6C y C
4
D
q están ubicadas como se indica en la figura. Determine el potencial resultante en el punto A.
44. [RS] Considere la distribución de cargas que se muestra en la figura. a) Demuestre que la magnitud del potencial eléctrico en el centro de cualquiera de las caras del cubo tiene un valor de
a q )k 3 2
2
( 34 .
Respuesta: b) k
x
y z
a
45. [DF] Considere siete partículas con cargas Q1C están fijas en esquinas de un cubo de lado a = 1 cm. a) ¿Cuál es el potencial eléctrico en la esquina vacante, suponiendo V = 0 en el infinito? b) Determine la diferencia de potencial entre los puntos A y B.
x
y z
a
Q
Q Q
Q
Q
Q
Q A
B
Energía potencial electrostática.
Ejemplo 4.22.
Una partícula con carga de 27 C se encuentra en una posición donde el potencial es de 450 V. ¿Cuál es su energía potencial?
Solución.
Ejemplo 4.23. Trabajo para trasladar carga en un hexágono. Problema PR-4.03 del Figueroa. Quinta Edición. Página 165.
Seis cargas iguales, +Q, están fijas en las esquinas de un hexágono de lado a.
a) Calcule el potencial eléctrico en el centro O del hexágono y en el punto medio entre dos cargas (punto P).
b) Calcule el trabajo que hay que realizar para mover una carga Q0 desde el centro O hasta el punto P.
c) ¿Cuál será el trabajo requerido para ensamblar las seis cargas +Q en el hexágono de lado a?
Solución.
Ejercicios propuestos.
46. [RH] La diferencia de potencial entre cargas puntuales durante una tormenta es V
10 23 .
1 9 . ¿De qué magnitud es el cambio en la energía potencial eléctrica de un
q O
q q
q q
q
a P
electrón que se desplaza entre ellos? Exprese su respuesta en a) joules y b) en electrón volts.
47. [RH] En un relámpago típico, la diferencia de potencial entre los puntos de descarga es de unos 1.0109 V y la carga transferida es de 30 C aproximadamente. a) ¿Cuánta energía se libera? Si toda la que se libera pudiera usarse para acelerar un automóvil de 1200 kg a partir del reposo, ¿Cuál sería su velocidad final? c) Si pudiera usarse para derretir hielo,
¿cuánto se derretiría a 0ºC?
48. [RH] Calcule a) el potencial eléctrico creado por el núcleo de un átomo de hidrógeno en la distancia promedio del electrón circulante (r 5.891011m); b) la energía potencial eléctrica del átomo cuando el electrón está en este radio; c) la energía cinética del electrón, suponiendo que describe una órbita circular de éste radio centrado en el núcleo. d) ¿Cuánta energía se necesita para ionizar el átomo de hidrógeno? Exprese todas las energías en electrón-volt y suponga que V = 0 en el infinito.
49. [TM] La distancia entre los iones K+ y Cl– en el KCl es 2.801010m. Calcular la energía necesaria para separar los dos iones considerando que se trata de cargas puntuales que se encuentran inicialmente en reposo. b) Si se aporta dos veces la energía calculada en el apartado a), ¿cuál sería la energía cinética de los dos iones cuando lleguen al infinito?
Expresar la respuesta en eV.
50. [RH] Proyectamos un electrón con una velocidad inicial de 3.44105m/s hacia un protón esencialmente en reposo. Si al principio éste está muy lejos del protón, ¿a qué distancia de él su velocidad será instantáneamente el doble de su valor original?
51. [TM] Considerar dos partículas puntuales cargadas con +e separadas 1.501015m que están en reposo. a) ¿Cuánto trabajo se requiere hacer para llevarlas a su posición final desde una distancia muy larga? b) Si se les permite separarse, ¿qué velocidad adquirirán cada una de ellas cuando estén a una distancia doble de la que tenían en el momento inicial? c) La masa de cada partícula es 1.00 u (1.00 uma) ¿Qué velocidad tendrán cuando estén muy lejos la una de la otra?
52. [TM] Considerar un electrón y un protón que están inicialmente en reposo separados 2.00 nm. Despreciando el movimiento del protón por ser de mucha mayor masa que el electrón, ¿cuál es la mínima a) energía cinética y b) velocidad con la que el electrón deberá ser proyectado para que el electrón llegue a estar a 12.0 nm del protón? c) ¿A qué distancia llegará el electrón del protón cuando tenga el doble de la energía cinética inicial?
53. [RH] La figura contiene una representación idealizada de un núcleo de 238U (Z = 92) a punto de experimentar una fisión. Calcule la energía potencial eléctrica mutua de los dos fragmentos. Suponga que tienen el mismo tamaño y carga, que son esféricos y que apenas si se tocan. El radio del núcleo inicialmente esférico 238U es 8.0 fm. Suponga que el material que sale de los núcleos presenta una densidad constante.
54. [TM] Tres cargas puntuales se encuentran sobre el eje x: q1 en el origen, q2 en x = 3 m y q3 en x = 6 m. Determinar la energía potencial electrostática de esta distribución de carga si a) q1q2q3 2C, b) q1 q2 2C y q3 2C y c) q1q32C y q2 2C. (Asumir que la energía potencial es cero cuando las cargas están muy lejos entre sí).
55. Dos cargas puntuales están sobre el eje x: q1 = –e en x = 0 y q2 = +e en x = a. Halle el trabajo que debe realizar una fuerza externa para traer una tercera carga q3 = +e desde el infinito hasta x = 2 a. Halle la energía potencial total del sistema de tres cargas.
56. [RH] Las cargas mostradas en la figura están fijas en el espacio. Calcule el valor de la distancia x, de modo que la energía potencial eléctrica del sistema sea cero.
57. Una carga puntual q5106C está fija en el origen de un sistema de coordenadas. a)
¿Qué trabajo realiza la fuerza que ésta carga ejerce sobre otra puntual q18106C al
–19.2 nC 17.2 nC
25.5 nC
14.6 cm x
necesario especificar la trayectoria descrita por q1. b) ¿Cuál es la variación de energía potencial eléctrica de la carga q1 al moverse ésta desde P1 hasta el punto P2,
58. Tres cargas puntuales están colocadas en los vértices de un triángulo equilátero de lado 2 m. Calcule le energía potencial electrostática de este sistema si todas las cargas equivalen a 3106C.
59. [TM] En los vértices de un triángulo equilátero de lado 2.5 m se encuentran las cargas puntuales q1, q2 y q3. Determinar la energía potencial electrostática de esta distribución de carga si a) q1 q2 q3 4.2C, b) q1 q2 4.2C y q3 4.2C, c)
C 2 .
2 4
1 q
q y q3 4.2C. (Asumir que la energía potencial es cero cuando las cargas están muy lejos entre sí).
60. [RH] En el modelo de quark de las partículas elementales, un protón se compone de tres quark: dos quark “arriba”, cada uno con una carga e32 y un quark “abajo”, con una carga
3e
1 . Supóngase que los tres quark equidistan entre sí. Suponga que la distancia es m
10 32 .
1 15
a y calcule: a) la energía potencial de la interacción entre los dos quarks
“arriba” y b) la energía eléctrica potencial total del sistema.
61. [RH] Obtenga una expresión del trabajo requerido por un agente externo para colocar juntas las cuatro cargas como se indica en la figura. Los lados del cuadrado tienen una longitud a.
a
3e
1
3e e 2
3 2
62. [TM] Cuatro cargas puntuales de módulo 2C se encuentran en los vértices de un cuadrado de lado 4 m. Hallar la energía potencial electrostática si a) todas las cargas son negativas, b) tres de las cargas son positivas y una es negativa, c) las cargas de dos vértices adyacentes son positivas y las otras dos son negativas, y d) las cargas en dos vértices opuestos son positivas y las otras dos negativas. (Asumir que la energía potencial es cero cuando las cargas están muy lejos entre sí).
63. [TM] En los vértices de un cuadrado centrado en el origen y de lado 2a, se encuentran cuatro cargas del modo siguiente: q en (a,a); 2q en (a,a); –3q en (a,a); y – 6q en
) ,
(a a . Una quinta partícula que tiene masa m y carga +q se sitúa en el origen y se deja libre desde el reposo. Determinar el módulo de su velocidad cuando se encuentra a gran distancia del origen.
64. [RH] Dos cargas q2.13C están fijas en el espacio y separadas por una distancia d
= 1.96 cm, como se aprecia en la figura. a) ¿Cuál es el potencial eléctrico en el punto C?
Suponga que V = 0 en el infinito. b) Se trae una tercera carga Q1.91C lentamente desde el infinito hasta C. ¿Cuánto trabajo se debe realizar? c) ¿Cuál es la energía potencial U de la configuración cuando interviene la tercera carga?
a q
q q
q
65. [DF] Tres partículas de carga Q están en las esquinas de un rombo que tiene sus lados y una diagonal de longitud a. a) Determine el potencial electrostático en la esquina vacante del rombo (Punto P). b) ¿Cuál sería el trabajo realizado por un agente externo para traer una cuarta partícula de carga Q, inicialmente en reposo en el infinito y colocarla en reposo en el sitio vacante P. c) ¿Cuál es la energía potencial electrostática de la configuración final de las cuatro cargas?
66. [RH] Una década antes de que Einstein publicara su teoría de la relatividad, J. J.
Thomson propuso que el electrón podría estar constituido por pequeñas partes y que su masa provenía de la interacción eléctrica de ellas. Más aún, sostuvo que la energía es igual a m c2. Haga una estimación aproximada de la masa de los electrones en la siguiente forma:
suponga que el electrón se compone de tres partes idénticas reunidas del infinito y colocadas en los vértices de un triángulo equilátero cuyos lados son iguales al radio clásico del electrón, 2.821015m. a) Determine la energía eléctrica potencial de este arreglo. b) Divida entre c2 y compare el resultado con la masa aceptada del electrón (9.111031kg).
El resultado mejora si se suponen más partes. Hoy se piensa que el electrón es una partícula simple e indivisible.
a
a a
P
q
2d
1
q
2d
1
2d
1
4.2.- POTENCIAL GENERADO POR DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGA.
Placas.
Ejemplo 4.24.
Una lámina infinita tiene una densidad de carga 1C/m2. ¿Cuál es la distancia entre los planos equipotenciales cuya diferencia de potencial es 100 V?
Solución.
Ejemplo 4.25.
Dos placas metálicas de 1 m2 están colocadas frente a frente separadas 5 cm y tienen cargas iguales y opuestas en sus superficies inferiores. Si el campo eléctrico entre las placas es 55 N/C, Cuál es la carga en cada placa?
Solución.
Ejemplo 4.26. Problema 20 del Tipler. Sexta Edición. Página 795.
Dos placas conductoras paralelas poseen densidades de carga iguales y opuestas, de modo que el campo eléctrico entre ellas es aproximadamente uniforme. La diferencia de potencial entre las placas es 500 V y están separadas 10 cm. Se deja en libertad un electrón desde el reposo en la placa negativa. a) ¿Cuál es el valor del campo eléctrico entre las placas? b)
¿Qué placa está a potencial más elevado, la positiva o la negativa? c) Hallar el trabajo realizado por el campo eléctrico cuando un electrón se mueve desde la placa negativa a la positiva. Expresar su respuesta en joules y en electronvoltios. d) ¿Cuál es la variación de energía potencial del electrón cuando se mueve desde la placa negativa hasta la positiva? e)
Solución.
Ejercicios propuestos.
67. Una lámina plana infinita de densidad 1C/m2 está en el plano y z. a) ¿Cuál es el campo eléctrico creado por la lámina? (Considere tanto valores positivos como negativos de x. b) ¿Cuál es la diferencia de potencial, VB – VA si B es el punto (20 cm , 0 , 0) y A es el punto (50 cm , 0 , 0). c) ¿Cuál es el trabajo realizado por una fuerza externa que mueve una carga q0 = 1 nC desde A hasta B con velocidad constante?
68. Dos placas paralelas de igual área A están separadas por una distancia d, como en la figura. Una placa tiene carga Q, la otra, carga –Q. La carga por unidad de área sobre cualquier placa es Q /A. Si las placas están muy cercanas una de la otra (en comparación con su longitud y ancho), podemos ignorar los efectos de borde y suponer que el campo eléctrico es uniforme entre las placas y cero en cualquier otra parte. Determine la diferencia de potencial entre las placas.
69. [RH] La figura muestra el borde de una hoja “infinita” de densidad de carga positiva . a) ¿Cuánto trabajo realiza el campo de la hoja a medida que una pequeña carga positiva de prueba q0 es desplazada de una posición inicial en la hoja a una posición final situada a una distancia perpendicular z con ella? b) Utilice el resultado de a) para demostrar que el potencial eléctrico de una hoja infinita de carga puede escribirse V V z
0
0 2
, donde V0
es el potencial en la superficie de la hoja.
70. [RH] Una hoja infinita tiene una densidad de carga 3.901015N. ¿Qué distancia hay entre las superficies equipotenciales cuyos potenciales difieren en 48 V?
71. [TM] Una lámina infinita plana tiene una densidad superficial de carga igual a 3.5 μC/m2. ¿Qué separación tienen las superficies equipotenciales cuya diferencia de potencial es de 100 V?
72. Dos láminas paralelas, infinitas, una en el plano y z y la otra a una distancia x = a de la primera, tienen densidades de carga iguales y positivas. a) Calcule el potencial generado por estas láminas en punto que están entre las láminas, bajo ellas y sobre ellas, si V = 0 en x
= 0. b) Haga el mismo cálculo si la densidad de carga de la lámina que está en el plano y z es y la densidad de carga de la otra lámina es – .
73. [RH] Dos grandes placas metálicas paralelas están separadas por una distancia de 1.48 cm y tienen cargas iguales pero opuestas en sus superficies frontales. La placa negativa está aterrizada se supone que su potencial es cero. Si el potencial a la mitad entre las placas es +5.52 V, ¿cuál es el campo eléctrico en esta región?
74. [RH] Dos grandes placas conductoras paralelas están separadas por una distancia de 12.0 cm y transportan cargas iguales pero opuestas en sus superficies frontales. Un electrón colocado en la mitad entre ellas experimenta una fuerza de 3.901015N.¿Cuál es la diferencia de potencial entre las placas?
75. [RH] En el experimento de Millikan, un campo eléctrico 1.92105N/C es mantenido en equilibrio entre dos placas separadas por 1.50 cm. Obtenga la diferencia de potencial entre ellas.
76. Un protón se desplaza en línea recta del punto A al punto B de un acelerador lineal, una distancia total d = 0.50 m. El campo eléctrico es uniforme a lo largo de esta línea y su magnitud es E1.5107 V/m en la dirección desde A hasta B. Halle a) la fuerza sobre el protón; b) el trabajo que el campo realiza sobre el protón. c) la diferencia de potencial VA – VB.
77. [TM] Un campo eléctrico uniforme de valor 2 kN/m está en la dirección +x. Se deja en
es la diferencia de potencial V (4 m) – V (0)? b) ¿Cuál es la variación de energía potencial de la carga desde x = 0 hasta x = 4 m? c) ¿Cuál es la energía cinética de la carga cuando está en x = 4 m? d) Calcular el potencial V (x) si se toma V (x) como cero para x = 0.
78. En una región del espacio existe un campo eléctrico E = 200 N/C i. Una carga puntual C
10 3 6
q colocada en el origen del sistema de coordenadas con respecto al cual se ha medido E, inicia su movimiento a partir del reposo. a) ¿Cuál es la energía cinética de q en el momento que está en x = 4 m? b) ¿Cuál es la variación de la energía cinética de q al moverse desde x = 0 m hasta x = 4 m? c) ¿Cuál es la diferencia de potencial eléctrico?
79. [RH] Dos superficies conductoras paralelas y planas de espaciado d = 1.0 cm tienen una diferencia de potencial V de 10.3 kV. Se proyecta un electrón de una placa hacia la segunda. ¿Cuál es la velocidad inicial del electrón si se detiene exactamente en la superficie de ésta última? No tenga en cuenta los efectos relativistas.
80. Dos placas paralelas están separadas 1 cm. Tienen densidades de carga y – y el módulo del campo eléctrico entre ellas es 400 N/C. Calcule el trabajo que realiza la fuerza eléctrica sobre una carga q2104 C al moverse desde A hasta D por las siguientes trayectorias: a) ABCD, b) AED, c) AD por la línea que une estos puntos. d) Calcule la diferencia de potencial entre las placas.
8. [DF] En una región del espacio existe un campo eléctrico dado por j
y x i y x
E2 ( 2 2) .
a) Determine la diferencia de potencial entre el punto P(x0,y0) y el origen, y compruebe que el resultado es el mismo para las trayectorias:
→ → (x ,y )
A B
C D
E
Camino B: (0,0) → (0,y0) → (x0,y0)
b) Fijando el potencial en el origen, V(0,0)V0. Haga la operación inversa, es decir, determine el campo eléctrico.
Cilindros.
Ejemplo 4.27.
[RS] Un contador de Geiger – Muller es un detector de radiación que se compone de un cilindro hueco (el cátodo) de radio interior ra y un alambre cilíndrico coaxial (el ánodo) de radio rb. La carga por unidad de longitud del ánodo es , en tanto que la carga por unidad de longitud en el cátodo es – . a) Muestre que la magnitud de la diferencia de potencial entre el alambre y el cilindro en la región sensible del detector es
b a
r k r
V 2 ln . b) Muestre que la magnitud del campo eléctrico sobre esta región está dada por
r r r E V
b a
1 ln
Solución.
Ejercicios propuestos.
81. [TM] Dos cortezas cilíndricas conductoras de gran longitud poseen cargas iguales y opuestas. La corteza interior tiene un radio a y una carga +q; la exterior tiene un radio b y una carga –q. La longitud de cada corteza cilíndrica es L, siendo L mucho más larga que b.
hallar la diferencia de potencial existente entre las dos capas de la corteza Va – Vb. rb
ra
Respuesta:
a
b L V Q
Va b ln
20
82. [RH] Un contador Geiger tiene un cilindro metálico de 2.10 cm de diámetro a lo largo de cuyo eje se extiende un alambre de 1.34104cm de diámetro. Si entre ellos se aplican 1855 V, determine el campo eléctrico en la superficie de a) el alambre y b) el cilindro.
83. Dos cilindros huecos conductores coaxiales tienen radios R1 y R2. Si el cilindro interior tiene una densidad superficial de carga y el exterior se conecta a tierra, calcule el potencial del cilindro interno. Considere VTierra = 0.
Esferas.
Ejemplo 4.28.
Una gota esférica de agua que tiene una carga de 2106 C tiene un potencial de 500 V en su superficie. ¿Cuál es el radio de la gota. Si dos gotas iguales de la misma carga y radio se
R2
R1
Solución.
Ejemplo 4.29.
Una esfera aislante de radio R tiene una densidad de carga positiva uniforme con carga total Q. a) Determine el potencial eléctrico en un punto fuera de la esfera, es decir, en r > R.
Considere el potencial igual a cero en r = ∞. b) Encuentre el potencial en un punto dentro de la esfera cargada, es decir, para r < R. A partir del potencial calcule el campo tanto dentro como fuera
Solución.
Ejemplo 4.30.
Una esfera de radio R tiene una densidad de carga volumétrica constante. A esta esfera se le hace un hueco esférico de radio R1 en su centro. Determine el potencial para puntos situados a una distancia r del centro, siendo: a) r > R, b) R1 < r < R, c) r < R1
Solución.
Ejemplo 4.31.
En una gotita esférica de un líquido no conductor, cargada, la carga tenderá a ser empujada hacia la superficie exterior de radio R. Una posible distribución de carga es
R
0r
, R
D C
B
R R1
