Ing. Willians Medina. Maturín, septiembre de 2017.

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PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE

FENÓMENOS DE

TRANSPORTE.

MECÁNICA DE FLUIDOS PARA ESTUDIANTES

DE INGENIERÍA, CIENCIA Y TECNOLOGÍA.

CAPÍTULO 3: ECUACIONES DE VARIACIÓN

PARA SISTEMAS ISOTÉRMICOS.

Ing. Willians Medina.

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Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina. 2

CONTENIDO.

CONTENIDO. ... 2

PRESENTACIÓN. ... 4

ACERCA DEL AUTOR. ... 5

3.1.- ECUACIONES DE VARIACIÓN PARA SISTEMAS ISOTÉRMICOS. ... 7

Ejemplo 3.1. Flujo de una película descendente. Sección 2.2 del Bird. Página 2-4. .... 10

Ejemplo 3.2. Flujo a través de un tubo circular. Sección 2.3 del Bird. Página 2-10. .... 11

3.2.- FLUJO ROTACIONAL. ... 12

Ejemplo 3.3. ... 12

Ejemplo 3.4. ... 13

Ejemplo 3.5. Flujo tangencial de un fluido newtoniano en tubos concéntricos. Ejemplo 3.5-1 del Bird. Página 3-25. ... 14

Ejemplo 3.6. Distribución de velocidad en un viscosímetro de Stormer. Problema 3.F2 del Bird. Página 3-45. ... 15

Ejemplo 3.7. Momento de torsión necesario para hacer girar un cojinete de fricción. Problema 3.A-1 del Bird. Segunda Edición. Página 118. ... 16

Ejemplo 3.8. Pérdidas por fricción en cojinetes. Problema 3A.2 del Bird. Segunda Edición. Página 119. ... 17

Ejemplo 3.9. ... 17

Ejemplo 3.10. Distribución de velocidad entre dos cilindros que giran. Problema 3.H2 del Bird. Página 3-46. ... 18

Ejemplo 3.11. ... 18

Ejemplo 3.12. ... 19

Ejercicios propuestos. ... 19

Ejemplo 3.13. Flujo tangencial en tubos concéntricos de un fluido que obedece a la ley de potencias. ... 21

Forma de la superficie de un líquido que gira. ... 26

Caso a) El fluido no se derrama. ... 33

Resumen de ecuaciones. ... 38

Caso a) El fluido no se derrama. ... 38

Ejemplo 3.14. Problema 5.8 del Giles. Tercera Edición. Página 85. ... 40

Ejemplo 3.15. Ejemplo 3-13 del Çengel. Segunda Edición. Página 109... 40

Caso b) El fluido se derrama. ... 41

Resumen de ecuaciones. ... 46

Ejemplo 3.19. ... 48

Caso c) El recipiente es cerrado. ... 49

El fondo no está descubierto, z(0)0. El tope no es mojado z(R)H. ... 49

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El fondo no está descubierto z(0)0. El tope es mojado, z(R) H: ... 51

El fondo está descubierto z0 0. El tope es mojado, z(R) H:... 52

Ejemplo 3.21. Problema 3.C1 del Bird. Página 3-44. ... 58

3.3.- FLUJO RADIAL. ... 59 Ejemplo 3.22. ... 59 Ejemplo 3.23. ... 59 Ejemplo 3.24. ... 61 Ejercicios propuestos. ... 61 BIBLIOGRAFÍA. ... 63

TÍTULOS DE LA SERIE PROBLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS DE FENÓMENOS DE TRANSPORTE. ... 64

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PRESENTACIÓN.

La presente es una Guía de Ejercicios de Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería Civil, Industrial, Mecánica, de Petróleo y Química de reconocidas Universidades en Venezuela.

El material presentado no es en modo alguno original, excepto la solución de algunos ejemplos, la inclusión de las respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos.

Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Fenómenos de Transporte en los núcleos de Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además de la bibliografía especializada en la materia y citada al final de la obra, por lo que el crédito y responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma integrada de información existente en la literatura.

Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta contribución en la enseñanza y aprendizaje de los Fenómenos de Transporte, así como las sugerencias que tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar directamente a través de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, PIN: 58B3CF2D ó 569A409B, correo electrónico: [email protected] ó [email protected], twitter: @medinawj ó personalmente en la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.

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ACERCA DEL AUTOR.

Willians Medina (Barcelona, 1972) es Ingeniero Químico (1997), egresado de la Universidad de Oriente, Núcleo de Anzoátegui, Venezuela y recientemente (2016) culminó sus estudios conducentes al grado de Magister Scientiarum en Ciencias Administrativas mención Finanzas en el Núcleo de Monagas de la misma Universidad. Fue becado por LAGOVEN S.A (Filial de Petróleos de Venezuela, PDVSA) para cursar sus estudios universitarios de pregrado y durante el transcurso de su carrera universitaria se desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad. En 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, (PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000. Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé, Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral), Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos Numéricos, Termodinámica, Fenómenos de

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Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina. 6 Transporte y Estadística para estudiantes de Ingeniería. Desde el año 2010 ha sido autor de video tutoriales para la enseñanza de la matemática en el área de límites, derivadas y ecuaciones diferenciales a través del portal http://www.tareasplus.com/ y también es autor de compendios de ejercicios propuestos, ejercicios resueltos y formularios en el área de Matemáticas, Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística, Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería Económica. En sus trabajos escritos el Ing. Medina ha dejado en evidencia su capacidad de integración de los conocimientos en el área de la enseñanza en Ingeniería, así como el análisis riguroso y detallado en el planteamiento y la solución de ejercicios en cada asignatura que aborda, siendo considerado un profesional prolífico en la generación de material académico útil a los estudiantes de Ingeniería y reconocido en lo personal y a través de sus escritos como una referencia importante de consulta por estudiantes y profesores. En la actualidad (2016) ha emprendido el proyecto de difusión de sus obras escritas en las áreas antes citadas a través de internet de manera pública y gratuita (versión de sólo lectura en línea y con privilegios limitados) en la página http://www.slideshare.net/asesoracademico/, en la cual cuenta con un promedio diario de 3500 visitas, y en forma privada (versión completa) mediante la corporación http://www.amazon.com/. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.

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3.1.- ECUACIONES DE VARIACIÓN PARA SISTEMAS ISOTÉRMICOS. Coordenadas rectangulares. Ecuación de continuidad: ( ) ( ) ( )0            z y x v z v y v x t     Ecuación de movimiento. En función de  . Componente x . x x z x y x x x z x y x x x g z y x x p z v v y v v x v v t v    _  _                                    Componente y. y y z y y y x y z y y y x y g z y x y p z v v y v v x v v t v      _                                    Componente z . z z z z y z x z z z y z x z g z y x z p z v v y v v x v v t v    _  _                                   

En función de los gradientes de velocidad para un fluido newtoniano de  y  constantes. Componente x . x x x x x z x y x x x g z v y v x v x p z v v y v v x v v t v _ _  _                                    2 2 2 2 2 2 Componente y . y y y y y z y y y x y g z v y v x v y p z v v y v v x v v t v    _                                     2 2 2 2 2 2 Componente z . z z z z z z z y z x z g z v y v x v z p z v v y v v x v v t v _ _  _                                    2 2 2 2 2 2 Coordenadas cilíndricas. Ecuación de continuidad: 1 ( ) 1 ( ) ( )0            z r v z v r v r r r t      

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Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina. 8 Ecuación de movimiento. En función de  . Componente r . r z r r r r r z r r r r g z r r r r r r p z v v r v v r v r v v t v   _          _                                       1 ) ( 1 2 Componente .                _       g z r r r r r p r z v v r v v v r v r v v t v z r z r r                                       1 ) ( 1 1 2 2 Componente z . z z z z z r z z z z r z g z r r r r z p z v v v r v r v v t v  _      _  _                                     1 ) ( 1

En función de los gradientes de velocidad para un fluido newtoniano de  y  constantes. Componente r . r r r r r z r r r r g z v v r v r v r r r r r p z v v r v v r v r v v t v _         _                                                 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ) ( 1 Componente .           _       g z v v r v r v r r r r p r z v v r v v v r v r v v t v _r z r r                                                 2 2 2 2 2 2 2 1 ) ( 1 1 Componente z . z z z z z z z z r z g z v v r r v r r r z p z v v v r v r v v t v _      _                                             2 2 2 2 2 1 1

Componentes del tensor esfuerzo en coordenadas rectangulares.

              x v y vx y x y y x                  x v z v_x _z x z z x                  y v z vy _z y z z y   

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                           r r r v r r v r r 1               r v z vr z r z z r                        z z z v r z v 1 Caudal: 

 

R vd A Q

Elemento diferencial de área perpendicular al flujo longitudinal: d Arddr Elemento diferencial de área perpendicular al flujo rotacional: d Adrd z El elemento diferencial de área perpendicular al flujo radial: dArddz

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Ejemplo 3.1. Flujo de una película descendente. Sección 2.2 del Bird. Página 2-4.

Consideremos una superficie plana inclinada. Estas películas se han estudiado en relación con torres de pared mojada, experiencias de evaporación y absorción de gases y aplicación de capas de pintura a rollos de papel. Se supone que la viscosidad y densidad del fluido son constantes y se considera una región de longitud L, suficientemente alejada de los extremos de la pared, de forma que las perturbaciones de la entrada y la salida no están incluidas en L; es decir, que en esta región el componente v de velocidad es _z independiente de z .

Determinar:

a) Distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento. b) Distribución de velocidad. VER SOLUCIÓN. x z ) (x vz ) (x y x  _{Dirección de} la gravedad  L 

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Ejemplo 3.2. Flujo a través de un tubo circular. Sección 2.3 del Bird. Página 2-10.

Consideremos el flujo laminar en estado estacionario de un fluido de densidad constante  en un tubo <<muy largo>> de longitud L y radio R.

Determinar:

a) Distribución de la densidad de flujo de cantidad de movimiento. b) Distribución de velocidad. VER SOLUCIÓN. L R L R L p 0 p  , z r

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3.2.- FLUJO ROTACIONAL.

Ejemplo 3.3.

La varilla de un agitador es un cilindro de radio R y longitud muy larga. Se introduce el agitador en un fluido newtoniano en reposo y se hace girar la varilla alrededor de su eje a una velocidad angular constante, w . Suponga que el tanque donde está contenido el fluido es lo suficientemente grande como para considerar que, lejos de la superficie del cilindro, el fluido permanece en reposo. Determine:

La distribución de velocidades del fluido. La distribución de presiones del fluido.

La magnitud y dirección de la fuerza por unidad de longitud que el fluido ejerce sobre el cilindro en la dirección tangencial.

VER SOLUCIÓN. w L R 2 r z

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Ejemplo 3.4.

Un cilindro de 3 cm de radio rota a 300 rpm en un fluido newtoniano infinito. a) Halle el perfil de velocidad.

b) Encuentre y grafique la expresión para el esfuerzo de corte. c) Calcule la velocidad y esfuerzo para r = 1 m.

d) A qué distancia del cilindro la velocidad es nula?

Datos adicionales:  800kg/m3; 0.01Pa.s. Desprecie los efectos de borde.

VER SOLUCIÓN. w L R 2 r z

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Ejemplo 3.5. Flujo tangencial de un fluido newtoniano en tubos concéntricos. Ejemplo 3.5-1 del Bird. Página 3-25.

Determinar las distribuciones de velocidad y de esfuerzo cortante, para el flujo laminar tangencial de un fluido incompresible en el espacio comprendido entre dos cilindros verticales coaxiales, cuando el cilindro exterior gira con una velocidad angular ₀. Determine además el par necesario para hacer girar el cilindro exterior. Los efectos finales pueden despreciarse. VER SOLUCIÓN. R R k 0   ,

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Ejemplo 3.6. Distribución de velocidad en un viscosímetro de Stormer. Problema 3.F2 del Bird. Página 3-45.

Un viscosímetro de Stormer consta esencialmente de dos cilindros concéntricos, el interior de los cuales gira, mientras que el exterior permanece estacionario. La viscosidad se determina midiendo la velocidad de rotación del cilindro interior por efecto de la aplicación de un par conocido.

Deducir una expresión para la distribución de velocidad en este tipo de aparatos, en función del par aplicado, para el flujo laminar de un fluido newtoniano. Despréciense los efectos finales. VER SOLUCIÓN. R R k 1   ,

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Ejemplo 3.7. Momento de torsión necesario para hacer girar un cojinete de fricción. Problema 3.A-1 del Bird. Segunda Edición. Página 118.

Calcular el momento de torsión en lbf.ft, y la potencia en caballos que se necesitan para

hacer girar el eje del cojinete de fricción que se muestra en la figura. La longitud de la superficie de fricción sobre el cojinete es 2 pulg, el eje gira a 200 rpm, la viscosidad del lubricante es 200 cp, y su densidad es 50 lbm/ft3. Despreciar el efecto de la excentricidad.

Datos: kR1.00in,  0.002in. Sugerencia: T Fr; PTw VER SOLUCIÓN.  R k w

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Ejemplo 3.8. Pérdidas por fricción en cojinetes. Problema 3A.2 del Bird. Segunda Edición. Página 119.

Cada una de las dos hélices en una gran embarcación de motor es impulsada por un motor de 4000 hp. El eje que conecta el motor y la hélice mide 16 pulg de diámetro y reposa en una serie de cojinetes de manguito que proporcionan un espacio libre de 0.005 pulg. El eje gira a 50 rpm, el lubricante tiene una viscosidad de 5000 cp y hay 20 cojinetes, cada uno de 1 pie de longitud. Estimar la fracción de potencia del motor que se gasta para hacer girar los ejes en sus cojinetes. Despreciar el efecto de la excentricidad.

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 3.9.

Calcule el par torsión (T) que se requiere para hacer girar el cilindro de la figura a una velocidad constante de w30rpm. El radio del cilindro que se mueve es 2” y el radio de la cavidad es de 2₄1"_{. El espacio entre el cilindro y la cavidad está lleno con aceite de una} viscosidad de 200 cp y densidad 0.80 g/cc. Desprecie el efecto del fluido sobre la cara inferior del cilindro. Determine la presión que ejerce el fluido sobre la pared interna de la cavidad, asumiendo que la presión en la superficie del cilindro es nula.

VER SOLUCIÓN. rpm 30  w 2” " 2₄1 ft 2

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Ejemplo 3.10. Distribución de velocidad entre dos cilindros que giran. Problema 3.H2

del Bird. Página 3-46.

Determinar v_(r) entre dos cilindros coaxiales de radios R y kR que giran con velocidades angulares 0 y 1, respectivamente. Supóngase que el espacio comprendido entre dos cilindros está ocupado por un fluido isotérmico incompresible que se mueve con flujo laminar. Obtenga una expresión para la fuerza ejercida por el fluido sobre el cilindro interno.

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 3.11.

Dos cilindros concéntricos de longitud L se colocan verticalmente (gravedad en dirección z ) y el espacio que hay entre los dos cilindros se llena con un fluido newtoniano de densidad  y viscosidad . El cilindro interno tiene radio R y gira a una velocidad ₁ angular w , mientras que el cilindro externo tiene radio ₁ R y una velocidad angular ₂ w . ₂ Con los datos anteriores calcule:

a) El perfil de velocidades.

b) El radio donde la velocidad es cero.

c) Los torques M y 1 M (2 M aplicado al cilindro interno y 1 M al cilindro externo) que 2 hay que ejercer.

d) Si w1 w2 w y R2 2 R1, calcule la proporción M2 / M1 calculadas en c) y d). Comente. R R k 1   , 0 

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Nota: Torque = Fuerza  Brazo.

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 3.12.

Dos tubos concéntricos (D₁ 2cm, D₂ 10cm) verticales (muy largos) giran en direcciones opuestas (w₁ 20rpm, w₂ 15rpm). Un fluido newtoniano se encuentra entre estos dos cilindros. Calcule las fuerzas tangenciales (por unidad de longitud) que se deben aplicar a cada cilindro para mantener las respectivas velocidades. Datos: 3

kg/m 1250   ; Pa.s 0 . 1   ; Estado estacionario. VER SOLUCIÓN. Ejercicios propuestos.

1. Un cuerpo cilíndrico rota a una velocidad angular constante de 15 rad/s. Una película de aceite de motor separa el cilindro del recipiente que lo contiene. La temperatura promedio de aceite es de 20ºC y el espesor de la película de 210–3 cm. ¿Qué torque se requiere para mantener el movimiento del cilindro a la velocidad indicada? Torque = Fuerza  Distancia al eje. Respuesta: ₂ 2 2 1 4 k L R k w      .

2. Se tienen dos cilindros verticales concéntricos separados por un fluido de propiedades constantes. Se aplica un par torsor al cilindro interior y por transferencia de cantidad de

2 R 1 R 1 w  , 2 w

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Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina. 20 movimiento gira el cilindro exterior. Determine el perfil de velocidades en función de las velocidades angulares y los radios.

Si w1 30rpm, 492cp y

2 g/s 5 

v , cuál es la velocidad del cilindro exterior en rpm?

3. El cojinete de una máquina está formado por un eje cilíndrico giratorio de 0.025 m de diámetro, alojado en un orificio vertical también cilíndrico de 0.0252 m de diámetro interno y 0.2 m de longitud. Entre ambos cilindros se dispone de un aceite lubricante de 800 kg/m3 de densidad de 0.1 kg/m.s de viscosidad. Despreciando los efectos finales, determinar: a) La ecuación de distribución de velocidades.

b) La ecuación de distribución de flux de momento. c) La ecuación de distribución de presiones.

d) La potencia necesaria para hacer girar el eje del cojinete. rpm 30  w 2” " 2₄1 ft 2

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Ejemplo 3.13. Flujo tangencial en tubos concéntricos de un fluido que obedece a la ley de potencias.

Volver a trabajar el Ejemplo 3.5 para un fluido que obedece a la ley de potencias.

Ejemplo 3.5.

Determinar las distribuciones de velocidad y de esfuerzo cortante, para el flujo laminar tangencial de un fluido incompresible en el espacio comprendido entre dos cilindros verticales coaxiales, cuando el cilindro exterior gira con una velocidad angular ₀. Determine además el par necesario para hacer girar el cilindro exterior. Los efectos finales pueden despreciarse. VER SOLUCIÓN. R R k 0   , R R k 0   ,

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Ejercicios propuestos.

6. Un fluido que sigue el modelo de la potencia se encuentra entre dos cilindros concéntricos, tal como se muestra en la figura. El cilindro interno posee una velocidad angular w . Determine el perfil de velocidades y de presiones si se sabe que el esfuerzo cortante según el modelo de la potencia es:





n r r d r v d r m _         /  

7. Flujo tangencial de un plástico de Bingham en tubos concéntricos.

Determinar las distribuciones de velocidad y esfuerzo, para el flujo de un plástico de Bingham en el espacio comprendido entre dos cilindros verticales coaxiales, cuando el cilindro exterior gira con una velocidad angular 0, en función del par T comunicado al cilindro exterior. Supóngase flujo laminar incompresible y despréciense los efectos finales.

Sugerencia: Para un fluido de Bingham:          r v r d d r r      0 0 R R k 0  0 0, ,   R R a w  ,

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Respuesta: _                         0 0 0 2 0 2 0 0 ln 1 4 r r r r r L T r v      para kRrr₀,  r v_ para R r r₀  

8. Se planea producir y comercializar una excelente y nueva pasta de dientes de brillo cegador denominada <<Leer». Se ha construido ya una pequeña planta piloto y se dispone de muestras de «Leer» para ensayos. En la planta industrial se tendrá que bombear «Leer» a diversos sitios, y para hacer esto de una manera eficaz se necesita saber sus propiedades de flujo. Para ello se introduce «Leer» en un viscosímetro de capa rotatoria de las dimensiones mostradas a continuación:

Se encuentra que la capa es capaz de girar solamente cuando el par de torsión excede N.m

10 /

 ; y la capa gira a 3.8 r.p.m cuando el par de torsión es /5N.m. ¿Qué clase de fluido es <<Leer>> y cuáles son los valores de sus parámetros de flujo?

9. Encuéntrense las propiedades de flujo de una carga de 5 toneladas de un excelente chocolate caliente, después de 72 horas de mezclado, a partir de los siguientes datos obtenidos en un viscosímetro rotatorio de separación estrecha (R₁ 25mm,R₂ 28mm,L76.4mm)

Par de torsión (N.m) 0.0051 0.0077 0.0158 0.0414 Velocidad de rotación (r.p.m) Empieza justo a girar 0.39 2.62 14.81

9.9 cm 10.1 cm

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Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina. 24 10. Se sumerge un cilindro (R0.95cm,L4cm) en un recipiente de zumo de naranja concentrado a 0ºC, se hace girar y se mide el par de torsión, con los siguientes resultados:

Velocidad de rotación (s–1) 0.1 0.2 0.5 1.0 Factor de torsión (N.m) 6

10

42  63106 107106 152106 Encuéntrense las características de flujo de esta muestra de zumo de naranja.

11. Se tienen dos cilindros concéntricos de longitud L y radios R y ₁ R respectivamente 2 como puede verse en la figura. El cilindro interior (de radio R ) gira a una velocidad ₁ angular w , mientras que el cilindro exterior permanece fijo. Si el espacio entre estos dos cilindros se llena con un fluido tipo Bingham, determine:

a) El perfil de velocidades (aquí no calcule las constantes de integración, sólo plantee las ecuaciones necesarias para su solución).

b) El torque que el fluido ejerce sobre el cilindro interno.

c) El torque que el fluido ejerce sobre el cilindro externo y compárelo con el calculado en el apartado anterior. ¿Qué ocurre? Comente.

12. Se tienen dos cilindros concéntricos, como se muestra en la figura. Entre ambos cilindros se encuentran dos fluidos dispuestos de forma concéntrica, siendo el fluido más interno un fluido tipo Bingham (3cp, 800kg/m3; 0 5000Pa) y el más externo un fluido newtoniano (5Pa.s,  1000kg/m3). Si se aplica al cilindro interno una fuerza de 2000 N/m para hacerlo rotar y se mantiene el cilindro externo fijo, determine en estado estacionario:

i. El perfil de velocidades de los dos fluidos. 2 R 1 R w 0 0, ,  

(25)

ii. La fuerza por unidad de longitud que ejerce el fluido newtoniano sobre el cilindro externo.

iii. La velocidad angular del cilindro interno.

cm 4 1 

(26)

Forma de la superficie de un líquido que gira.

Un fluido de densidad y viscosidad constantes está contenido en un recipiente cilíndrico de radio R, tal como se indica en la figura. El recipiente rota alrededor de su eje con una velocidad angular . El eje del cilindro es vertical, de forma que gr g_ 0 y gz g. Hallar la forma de la superficie libre, una vez alcanzado el estado estacionario.

Solución. Condiciones: Estado estacionario. Flujo laminar. Fluido Newtoniano.

Propiedades del fluido constantes (,).

Flujo angular (en dirección  ): v_r 0, v_ 0, v_z 0. La velocidad tangencial varía en función de r : v_ v_(r). Ecuación de continuidad en coordenadas cilíndricas:

0 ) ( ) ( 1 ) ( 1           r vz z v r v r r r t d d _ _     Fluido incompresible: 0  t d d : 1 ( ) 1 ( ) ( )0         z r v z v r v r r r      0  r v : 1 ( ) ( )0      z v z v r     0 z R  i z r z H

(27)

0  z v : 1 ( )0      v r 0 ) (       v  es constante: 0     v 0     v (3.1)

Ecuación de movimiento en coordenadas cilíndricas: Componente r : r r r r r z r r r r g z v v r v r v r r r r r p z v v r v v r v r v v t v _         _                                                 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ) ( 1 Estado estacionario: 0   t vr r r r r r z r r r g z v v r v r v r r r r r p z v v r v v r v r v v          _                                              2 2 2 2 2 2 2 2 1 ) ( 1 0  r v : v g_r r r p r v _      _                      2 2₂ De la ecuación de continuidad: 0     v : gr r p r v _   _            2 0  r g : r p r v            2  r p r v    2   (3.2) Componente :

(28)

Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina. 28           _       g z v v r v r v r r r r p r z v v r v v v r v r v v t v _r z r r                                                 2 2 2 2 2 2 2 1 ) ( 1 1 Estado estacionario: 0   t v_          _       g z v v r v r v r r r r p r z v v r v v v r v r v v z r r r                                              2 2 2 2 2 2 2 1 ) ( 1 1 0  r v :    _    _      g z v v r v r r r r p r z v v v r v z                                       2 2 2 2 2 1 ) ( 1 1 0  z v :   _    _      g z v v r v r r r r p r v r v                                     2 2 2 2 2 1 ) ( 1 1 De la ecuación de continuidad: 0     v :  _   _  z g v v r r r r p r _                       1 1 ( ) 2 ₂ 0 ) (r v v_  _ :  _  _  r r r rv g p r _                    1 1 ( ) 0 0     p :  rv_ g_ r r r _                1 ( ) 0 0   g : _                 1 ( ) 0  rv_ r r r (3.3)              1 ( ) 0  rv_ r d d r r d d

Integrando la ecuación anterior:

1 ) ( 1 C v r r d d r  

Al separar las variables en la ecuación anterior: r d r C v r d( _) ₁

(29)



d(rv_) C₁rdr



d(rv)C1 rdr La integración conduce a: 2 2 1r C C v r _  

Al despejar v de la ecuación anterior: 

r C r C

v  1  2 (3.4)

Condición de borde: Para r 0, v_ . Al sustituir en la ecuación (3.4): ) 0 ( ) 0 ( 0 2 1 C C    ) 0 ( 0 C2  0 2  C r C v_  ₁ (3.5)

Condición de borde: Para rR, v_ R Al sustituir en la ecuación (3.5): R C R 1    1 C r v_  (3.6)

Al sustituir la ecuación (3.6) en la ecuación (3.2):

r p r r     2 ) (  r r p  2   _ (3.7) Componente z : z z z z z z z z r z g z v v r r v r r r z p z v v v r v r v v t v _      _                                             2 2 2 2 2 1 1

(30)

Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina. 30 Estado estacionario: 0   t v_z z z z z z z z z r g z v v r r v r r r z p z v v v r v r v v       _                                          2 2 2 2 2 1 1 0  z v : gz z p _      0 g g_z  : 0 ( g) z p        g z p _      0 g z p _     (3.8) De la ecuación (3.7): r r p  2   _ r r p     2 Integrando:



p 2rr



   r r p  2 ) ( 2 2 2 1 z f r p   (3.9)

Al derivar la ecuación (3.9) con respecto a z :

z d f d z p    (3.10)

Al igualar las ecuaciones (3.8) y (3.10):

g z d f d _   z d g f d  (3.11) Integrando la ecuación (3.11):

(31)



d f  gdz



  g dz f  2 C z g f   (3.12)

2 2 2 2 1 _r _g_z _C p    (3.13)

Condición de borde: Para r 0, z z0 y p p0 Al sustituir en la ecuación (3.13): 2 0 2 2 2 1 0 (0) g(z ) C p     2 0 0 gz C p   (3.14) Al despejar C de la ecuación (3.14): ₂ 0 0 2 p gz C   (3.15)

0 0 2 2 2 1 _r _g_z _p _g_z p     ) ( 0 2 2 2 1 0 r g z z p p     (3.16)

En cualquier punto que se encuentre sobre la superficie libre p p₀. De la ecuación (3.16): ) ( 0 1₂2_r2 _g _z_z₀ _(3.17) Al despejar z de la ecuación (3.17): 2 2 2 1 0) (z z r g     2 2 2 1 0) (z z r g    2 2 0 2g r z z _         2 2 0 2g r z z _         (3.18)

La ecuación (3.18) corresponde a una parábola y, tratándose de una superficie, un paraboloide, y proporciona la altura de la superficie del fluido en función de la altura del

(32)

Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina. 32 vórtice (z ), la velocidad angular (₀ ), la aceleración de la gravedad (g) y la distancia radial medida desde el centro del recipiente (r ).

Para generalizar, el punto de la superficie libre en el eje de rotación desciende una altura igual a la elevación que sufren los puntos del líquido en contacto con las paredes del recipiente.

Es conveniente expresar la ecuación (3.18) en términos de la altura inicial de fluido en el recipiente mientras se encuentra en reposo (z ) y para ello se consideran tres casos: i

Caso a) El fluido no se derrama. Caso b) El fluido se derrama. Caso c) El recipiente es cerrado.

La altura de la superficie, medida como la diferencia de altura en las paredes (con respecto a la altura inicial, z ) y la altura del vórtice _i z es: ₀

g R z 2 2 2   

De tal manera que para saber si el recipiente se derrama o no, o si parte del fondo queda descubierto o no, es necesario conocer el umbral de aplicación de esta altura.

La diferencia de altura se distribuye equitativamente entre el tope (H) y el fondo (z ), ₀ quedando el criterio como sigue:

Si H g R z_i   4 2 2 , el fluido se derrama. Si z_i g R   4 2 2

, parte del fondo queda descubierto.

Estas dos ecuaciones son válidas para el caso de un recipiente abierto. Si el recipiente es cerrado, el primer criterio sirve para determinar si el fluido moja o no el tope del recipiente. Para un recipiente cerrado se tiene entonces:

Si H g R zi    4 2 2

, el fluido moja el tope del recipiente.

(33)

Caso a) El fluido no se derrama.

Cálculo de z (Altura del vórtice). ₀

Volumen de fluido en reposo (volumen inicial): V_i  R2z_i (3.19) Volumen del fluido en movimiento: V 



RdV

0 (3.20)

Volumen de fluido en reposo = Volumen de fluido en movimiento: R z_i 



RdV 0 2

 .

La integral corresponde al volumen de un cuerpo de revolución determinado mediante el método de las capas cilíndricas.



 2 1 ) radio de l diferencia Elemento ( Altura) ( ) giro de Radio ( 2 r r V 



 2 1 ) ( 2 r r rz r dr V 



 R i rz r dr z R 0 2 ) ( 2  (3.21)



               R i r dr g z r z R 0 2 2 0 2 2 2 



               R i r dr g r z z R 0 3 2 0 2 2 2  La integración conduce a:                  R i r g r z z R 0 4 2 2 0 2 4 2 2 2                 4 2 2 2 4 2 2 0 2 R g R z z R _i   g R R z z R i 4 4 2 2 0 2          _  g R z R z R i 4 2 2 0 2 2  

(34)

Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina. 34 g R z zi 4 2 2 0    g R z z _i 4 2 2 0  

 Altura del vórtice. (3.22)

Altura de la superficie del fluido.

2 2 2 2 2 4g g r R z z _i _           2 2 2 2 2 4g gr R z z i                2 1 2 2 2 2 2 R r g R z z _i (3.23)

La ecuación (3.23) proporciona la altura de la superficie del fluido en función de la altura inicial (z ). _i

Si el vórtice toca el fondo: Para r0, z 0. Al sustituir en la ecuación (3.23):           2 1 ) 0 ( 2 ) 0 ( ₂ 2 2 2 R g R z_i          2 1 2 0 2 2 g R zi g R z_i 4 0 2 2    g R zi 4 2 2   (3.24)

- Altura mínima del recipiente. Para r R, zHmin.

(35)

2 2 0 min 2g R z H _         g R z H 2 2 2 0 min    (3.25)

En función de la altura inicial (z ). i

g R g R z H i 2 4 2 2 2 2 min      g R z H _i 4 2 2 min    (3.26)

La ecuación (3.26) proporciona la altura mínima del recipiente para que el fluido no se derrame.

- Velocidad angular mínima. Para r R, zH. Al sustituir en la ecuación (3.18): 2 2 min 0 2g R z H _         0 2 2 min 2g _R H z      2 0 2 min 2 R z H g    2 0 2 min ) ( 2 R g z H    R g z H ) ( 2 0 min    (3.27)

En función de la altura inicial (z ). _i Para r R, zH.

(36)

Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina. 36           2 1 2 2 2 2 2 min R R g R z H _i           2 1 1 2 2 2 min g R z H i g R z H _i 4 2 2 min    i z H g R    4 2 2 min 2 2 min ) ( 4 R g z H  i   R g z H _i) ( 2 min    (3.28)

La ecuación (3.28) proporciona la velocidad angular mínima del recipiente para que el fluido no se derrame.

Relación entre H , z y _i z cuando la velocidad angular es la mínima requerida para que el ₀ fluido no se derrame.

Al igualar las ecuaciones (3.27) y (3.28):

R g z H R g z H ) 2 ( _i) ( 2 ₀    g z H g z H ) 2 ( _i) ( 2  ₀   g z H g z H ) 4( _i) ( 2  ₀   ) ( 2 0 H zi z H   i z H z H 0 2 2 H z z₀ 2 _i  (3.29)

Radio del fondo descubierto. Para z0, rr₀.

(37)

2 0 2 0 2 0 r g z _         0 2 0 2 2g_r z      0 2 0 2 2g r z  2 0 2 0 2    gz r (3.30) 2 0 0 2    gz r (3.31)

En función de la altura inicial (z ). _i

2 2 2 2 0 4 2            g R z g r i 2 2 2 2 0 4 2           i z g R g r 2 2 2 2 0 2 2     gzi R r 2 2 2 0 2 2    R gzi r (3.32) 2 2 0 2 2    R gzi r (3.33)

Área del fondo descubierta. 2

0 r

A (3.34)

(38)

Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina. 38          2g₂z0 A  2 0 2    gz A  (3.35)

En función de la altura inicial (z ). i

         2 2 ₂ 2 i z g R A  2 2 2 2    R gzi A   (3.36) Resumen de ecuaciones.

Altura de la superficie del fluido: 2 2 0 2g r z z _         (3.18) Volumen inicial: V_i R2z_i (3.19) Volumen final: V_f 



R rzdr 0 2 , _     _  g R z R V_f 4 2 2 0 2 

Caso a) El fluido no se derrama.

Altura del vórtice:

g R z z _i 4 2 2 0    (3.22) 0 z R  i z r z H

(39)

Altura de la superficie del fluido: _          2 1 2 2 2 2 2 R r g R z z _i (3.23)

Si el vórtice toca el fondo:

g R zi 4 2 2   (3.24)

Altura mínima del recipiente:

g R z H _i 4 2 2 min    (3.26)

Velocidad angular mínima:

R g z H _i) ( 2 min    (3.27)

Radio del fondo descubierto: ₂ 2 0 2 2    R gzi r (3.33)

Área del fondo descubierto: ₂ 2

2

2  

 R gzi

(40)

Ejemplo 3.14. Problema 5.8 del Giles. Tercera Edición. Página 85.

Un depósito cilíndrico abierto, de 2 m de altura y 1 m de diámetro, contiene 1.5 m de agua. Si el cilindro gira alrededor de su eje geométrico, a) ¿qué velocidad angular se puede alcanzar sin que se derrame nada de agua? b) ¿Cuál es la presión en el fondo del depósito en C y D cuando w6.00rad/s?

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 3.15. Ejemplo 3-13 del Çengel. Segunda Edición. Página 109.

Un recipiente cilíndrico vertical de 20 cm de diámetro y 60 cm de alto, está parcialmente lleno con un líquido cuya densidad es 850 kg/m3 hasta una altura de 50 cm. Ahora se hace girar el cilindro a una velocidad constante. Determine la velocidad de rotación a la cual el líquido empezará a derramarse por los bordes del recipiente.

VER SOLUCIÓN.

2 m

1 m

C D

(41)

Un recipiente abierto de 45.72 cm de diámetro y lleno de agua está girando alrededor de su eje vertical a tal velocidad que la superficie del agua a 10.16 cm del eje forma un ángulo de 40º con la horizontal. Calcular la velocidad de rotación.

VER SOLUCIÓN.

Caso b) El fluido se derrama.

- Cálculo de z . 0 Para r R, zH. Al sustituir en la ecuación (3.18): 2 2 0 2g R z H _         g R z H 2 2 2 0    g R H z 2 2 2 0    (3.37)

Altura de la superficie del fluido.

2 2 2 2 2 2g g r R H z _           ) ( 2 2 2 2 R r g H z              1 2 2 2 2 2 R r g R H z                   1 2 2 2 2 R r g R H z (3.38)

(42)

Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina. 42 Si el vórtice toca el fondo: Para r0, z 0.

Al sustituir en la ecuación (3.38):                   0 1 2 ) 0 ( 2 2 2 R g R H ) 1 ( 2 0 2 2     g R H g R H 2 0 2 2    g R H 2 2 2   (3.39)

Radio del fondo descubierto. Para rr₀, z0. Al sustituir en la ecuación (3.38):                   1 2 0 2 0 2 2 R r g R H                   2 0 2 2 1 2 0 R r g R H H R r g R                  2 0 2 2 1 2 2 2 2 0 2 1 R H g R r          2 2 2 0 2 1 R H g R r          2 2 2 2 0 ₁ 2 R H g R r             2 ₂ ₂ 2 0 2 1 R H g R r (3.40)

(43)

R R H g r₀ 1 2₂ ₂    (3.41)

Área del fondo descubierta. 2

0 r

A (3.42)

               2 2₂ ₂ 1 R H g R A           2 2₂ ₂ 1 R H g R A  (3.43)

- Volumen que permanece en el recipiente. Si el vórtice no toca el fondo: V_f 



RdV

0 . Si el vórtice toca el fondo: 



R

r

f dV

V

0

Partiendo de la premisa que el vórtice no toca el fondo:



 R

f rzdr

V

0 2 (3.44)



               R f r dr g z r V 0 2 2 0 2 2



               R f r dr g r z V 0 3 2 0 2 2 La integración conduce a:                  R f r g r z V 0 4 2 2 0 4 2 2 2                4 2 2 2 4 2 2 0 R g R z V_f 

(44)

Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina. 44 g R R z Vf 4 4 2 2 0           _  g R z R Vf 4 2 2 0 2  (3-12-45)

En función de la altura del recipiente ( H ).

           g R g R H R V_f 4 2 2 2 2 2 2        _  g R H R Vf 4 2 2 2  (3.46) Volumen derramado. f i d V V V   (3.47)

Al sustituir las ecuaciones (3.19) y (3.46) en la ecuación (3.47):

      _   g R H R z R Vd i 4 2 2 2 2             H g R z R V_d _i 4 2 2 2  (3.48)

Si inicialmente en cilindro está lleno: z_i H . Al sustituir en la ecuación (3.48):

g R V_d 4 4 2   (3.49)

Partiendo de la premisa que el vórtice toca el fondo:



 R r f rzdr V 0 2 (3.50)



               R r f r dr g z r V 0 2 2 0 2 2

(45)



               R r f r dr g r z V 0 3 2 0 2 2 La integración conduce a:                  R r f o r g r z V 4 2 2 2 4 2 2 0                   4 ) ( 2 2 ) ( 2 4 0 4 2 2 0 2 0 r R g r R z V_f                   ( ) 8 ) ( 2 2 4 ₀4 2 2 0 2 0 r R g r R z V_f  (3.51)

                                                 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 0 2 1 8 2 1 2 2 R H g R R g R H g R R z V_f                                 0 ₂ 2 4 ₂2 4 2₄ 2 8 2 2 2 gR H g H g H g z Vf                               2 2 ₂ 2 2 0 2 1 2 gR H g H g H g z V_f                   0 ₂ 2 ₂2 2 2 2 z gH R H gH Vf              _    2 2 2 ₂ ₀ 2 H z H g H R V_f  ) 2 ( 2 2 0 2 H z H g H R V_f      (3.52)

En función de la altura del recipiente ( H ).

             _    H g R H H g H R Vf 2 2 2 2 2 2 2  

(46)

Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina. 46             H g R H H g H R V_f 2 2 2 2 2 2         _    g R H H g H R Vf 2 2 2 2 2   2 2 2 2 2 2 H R H g H R V_f       2 2   H g V_f  (3.53) Volumen derramado. f i d V V V   (3.54)

Al sustituir las ecuaciones (3.19) y (3.53) en la ecuación (3.54):

2 2 2    R z H g V_d  _i  (3.55)

Si inicialmente en cilindro está lleno: z_i H . Al sustituir en la ecuación (3.55):

2 2 2    R H H g V_d   (3.56) Resumen de ecuaciones.

g R H z 2 2 2 0    (3.37)

Altura de la superficie de fluido:

                  1 2 2 2 2 R r g R H z (3.38)

Si el vórtice toca el fondo:

g R H 2 2 2   (3.39)

Radio del fondo descubierto: R

R H g r₀ 1 2₂ ₂    (3.41)

Área del fondo descubierto: 

        2 2₂ ₂ 1 R H g R A  (3.43)

(47)

         g R H R V_f 4 2 2 2  (3.46)

Volumen que permanece en el recipiente cuando r₀ 0:

2 2 

 H g

V_f  (3.53)

Volumen derramado cuando z0 0:           H g R z R Vd i 4 2 2 2  (3.48)

Volumen derramado cuando r0 0: 2 2 2    R z H g V_d  _i  (3.55)

Volumen derramado cuando el recipiente está inicialmente lleno y z₀ 0:

g R Vd 4 4 2   (3.49)

Volumen derramado cuando el recipiente está inicialmente lleno y r₀ 0:

2 2 2    R H H g V_d   (3.56)

(48)

Un depósito abierto cilíndrico de 122 cm de diámetro y 183 cm de profundidad se llena de agua y se le hace girar a 60 rpm. ¿Qué volumen de líquido se derrama y cuál es la profundidad del eje?

VER SOLUCIÓN.

Un depósito abierto cilíndrico de 122 cm de diámetro y 183 cm de profundidad se llena de agua y se le hace girar a 60 rpm. ¿A qué velocidad debe girar el depósito para que en el centro del fondo del depósito la profundidad del agua sea nula?

VER SOLUCIÓN.

Ejemplo 3.19.

Se hace girar un cilindro lleno de agua según se muestra en la figura a una velocidad de 115 rpm. Determine si el agua se derrama y en caso afirmativo calcule la cantidad de agua que se pierde en kg. Propiedades del agua:  1000kg/m3 y 1cp.

Sugerencias:

a) Determine el perfil de presiones. 700 mm

300 mm

(49)

b) Halle la expresión para la curva que describe la superficie del fluido. c) Calcule el volumen final del fluido.

d) Compare con el volumen inicial.

VER SOLUCIÓN.

Caso c) El recipiente es cerrado.

Si el recipiente es cerrado, el volumen de aire dentro del mismo es constante.

Volumen de aire en reposo: V_i R2(Hz_i) (3.57) Volumen de aire en movimiento.

Depende si el fondo está descubierto o no, y si la parte superior del recipiente es mojada o no. En todos los casos se cumple la ecuación (3.18).

2 2 0 2g r z z _         (3.18)

Se define: r0: Radio del fondo descubierto.

s

r : Radio del tope mojado.

El fondo no está descubierto, z(0)0. El tope no es mojado z(R)H.

Criterios: i z g R   4 2 2 H g R zi    4 2 2

Se trata del mismo caso en que el fluido no se derrama.

g R z z _i 4 2 2 0    (3.22)

Altura de la superficie del fluido: _          2 1 2 2 2 2 2 R r g R z z _i (3.23)