Ejercicio 1.1:
Seax(t)una variablequecreceaunatasacontinuar. Calculeeltiemponecesario
para queel valorde esa variable seduplique.
Ejercicio 1.2:
Vamos acomprender losgra cos de escala logartmica.
(a)Considerelas relacionessiguientes: EnprimerlugarX
t
=rt siendor un valor
real y t la variable tiempo independiente. En segundo lugar Y
t
= rY
t 1
siendo r el
valorde antes. Dibuje larelaciondada por lospares (t;X
t
). Dibuje larelacion dada
porlos pares (t;Y
t ).
(b) Considere un gra co con eje de abcisas con valores 1, 2, 3, 4, etc. y con eje
de ordenadas con valores iguamente espaciados 2, 4, 8, 16, etc. y dibuje la relacion
(t;Y
t
). Este segundo gra co es un gra co logartmico(en base 2).
Ejercicio 1.3:
Vamos a aprender a representar tasas de creciemiento en tiempo discreto y en
tiempo continuo, as como sus transformaciones. Sabemos que si la varible discreta
X
t
creceatasag entonces X
t
=(1+g)X
t 1
,ysilavariblecontinuaY(t)creceatasa
g entonces _
Y(t)=gY(t).
(a) Represente elvalorde X
t
y de Y(t) en terminosde X
0
y de Y(0).
(b) Represente elvalorde g en amboscasos en terminosde las variables X e Y.
(c) Sabiendo que la derivada del logaritmoes
_
(logX(t))= _
X(t)=X(t)
calculelatasadecrecimientodeY
1 (t)Y
2
(t)ydeY
1 (t)=Y
2
(t)paralasvariblescontinuas
Y
i
(t) i=1;2.
Ejercicio 2.1:
Considere el modelo de crecimiento de Malthus. Razone cual es el efecto de un
descenso en latasa de nacimientossobre nivel de vidadel equilibrio.
Ejercicio 2.2:
Supongamos que un plan de desecacion de pantanos habilita nuevas extensiones
de tierra para el cultivo. Razone los efectos de un incremento puntual en la tierra
cultivada sobre el nivel de vida, el crecimiento de la poblacion y el tama~no de la
poblacion, en el corto y en el largo plazo.
Ejercicio 3.1:
Supongamos que la funcion de produccion del modelo de Solow es una Cobb-
DouglasY =K
(AL) 1
.
(a)Encuentre losvaloresde w y r.
(b) Encuentre losvaloresdel pago agregado altrabajo y al capital.
(c) Diga si secumplen la tercera y lacuarta regularidad de Kaldor.
(d) Encuentre una expresion para k
, y
y c
como funciones de los parametros
delmodelo.
(e) Diga cuales elvalor de k
G
de la regla de oro.
(f)Diga que tasade ahorrosenecesita paraobtener elstockde capitalde laregla
de oro.
Ejercicio 3.2:
Supongase que una reduccion del de cit presupuestario del gobierno incrementa
latasade ahorro,quepasadels
0
=0:15%inicialals
1
=3:5%. Supongaseque,como
eshabitual,la fraccionquese llevael capital es1=3.
(a) Diga cuanto seincrementael outputalargo plazo, en comparaciona suvalor
sino hubiese reduccion delde cit.
(b) Diga cuanto se incrementa el consumo a largo plazo, en comparacion a su
valorsi nohubiese reducciondel de cit.
(c) Diga cuales efecto inmediatode la reduccion delde cit en el consumo.
Ejercicio 3.3:
Supongamos que los factores de produccion del modelo de Solow reciben como
pago suproducto marginal. Sea w=
@F(K ;AL)
@L
y r=
@F(K ;AL)
@K
. Se pide:
(a) Muestre que el producto marginal del trabajo w puede escribirse A(f(k)
kf 0
(k)).
(b)Muestrequesielcapitalyeltrabajorecibencomopagosusproductosmarginales,
entoncesrendimientos constantesaescalaimplicanquelacantidadtotalpagadaalos
factores de produccionagota el output. Esto es quewL+rK =F(K;AL).
(c) Entre los hechos per lados por Kaldor en 1961 estan el que dice que el
rendimiento del capital r es aproximadamente constante y el que dice que las frac-
ciones del output que van al trabajo y al capital son aproximadamente constantes.
mueven wy r en el estadoestacionario.
(d) Suponagase que la economa comienza con un nivel de capital k
0
menor que
k
. Diga si w crece a tasa mayor, menor o igual que su tasa de crecimiento en el
estadoestacionario. Diga quepasa con r.
Ejercicio 3.4:
Supongaseelentorno dado parael ejercicio2.3. Supongase ademasque seahorra
elingresodel capitalyse consumeelingreso deltrabajo,de modoque _
K =rK _
K.
(a) Pruebe que esta economa converge a un estado estacionario con un valorde
capitalporunidadde trabajo efectivo k
e .
(b) Compare el valorde k
e
con el valor dado porla regla de oro k
g
. Comente la
intuicionque hay detras delresultado.
Ejercicio 3.5:
Malthus estaba preocupado por el hecho de que algunos factores de produccion,
comolatierraolosrecursosnaturales,sepresentabanen ofertalimitada. Estudiemos
elproblema en elentorno dadoporelmodelode Solow. Sealafunciondeproduccion
dadaporY =K
(AL)
R 1
dondeReslacantidadderecursosnaturales,cantidad
no modi cable. Supongase que > 0, > 0 y + < 1. Supongase que _
K =
sY ÆK, _
A=gA, _
L=nL y _
R =0.
(a) Diga si esta economia tiene un estado estacionario unico y estable donde Y,
K, L, A y R crecen a tasas constantes (no necesariamente unicas). Si es as cuales
son lastasas. Si noes as porque no.
(b) A la vista de la respuesta dada en (a) diga si el hecho de que el stock de
recursos naturales sea constanteafecta alcrecimiento. Expliquela respuesta.
Ejercicio 3.6:
Consideremos que A noesconstante y analicemosque variaciones en elproducto
percapitaimplicanlasvariacionesenelcapitalpercapita. Para ellotomeeny=Ak
ladiferencial totaly despeje la elasticidad delproductorespecto del capital.
Ejercicio 4.1:
Considere la economade capital humano de Mankiw-Romer-Weil. Suponga que
laeconomaestaen estadoestacionarioyqueocurreun incrementopermanenteen la
tasa de crecimientode lapoblacion. Digacomo afecta esto al outputportrabajador
alo largo del tiempo.
Ejercicio 4.2:
Considere la economa de Mankiw-Romer-Weil.
(a) Diga cual es el consumo por unidad de trabajo efectivo en el estado esta-
cionario,en terminos de losparametros.
(b) Diga que valorde s
H y s
K
maximiza talconsumo.
Ejercicio 4.3:
Siun pas rico tiene mascapital per capitaque uno pobre el capitaldebera uir
al pas pobre donde su productividad marginal es mayor. Veamos como podemos
explicarqueen realidadel capitalno uyede lospases ricos alospobres. Calculela
productiviadmarginaldel capitalfsicoy humano enel modelode Mankiw, Romery
Weil. A lavistade losresultados diga como se explica lo queocurre en larealidad.
Ejercicio 5.1:
Considere la economa de P. Romer.
(a)Justi que que valorde es razonable.
(b) Analice cual es el valor de la tasa de crecimiento del producto en estado
estacionario.
(c)Analicecualeselvalordelatasadecrecimientodecapitalpercapitaenestado
estacionario.
Ejercicio 5.2:
Considere la economa de P. Romer.
(a)Digacualeselefecto de dedicarmasgenteaI+D sobrelatasade crecimiento
delproducto en estado estacionario.
(b) Diga cual es elefecto de incrementar la productividaddeltrabajo fabricando
ideas, esdecir de pasar de
0 a
1 con
1
>
0 .
Ejercicio 5.3:
Considere la version simpli cada de la economa de P. Romer de nida por las
eecuaciones:
Y
t
= A
t K
t L
1
t
_
K
t
= sY
t
_
A
t
= BL
t A
t
_
L
t
= nL
t
donde , y estan en (0,1) y =1.
(a)Calculelatasa de crecimientoen estado estacionariode lasideasy del capital
en funcionde los parametros delmodelo.
(b) Diga como afecta a los niveles y a las tasas de crecimiento del capital per
capitaenestadoestacionariouna variacionenlaproductividaddeltrabajo y 1 .
Ejercicio 6.1
Supongase que la funcion de utilidad es R
1
t=1 e
t
ln(C
t )L
t
=H dt. Calcule la elas-
ticidadde sustitucion intertemporalentre dos instantes consecutivos de tiempo. Re-
suelva el problema de los hogares y encuentre una expresion para c
t
como funcion
de la riqueza inicial, del valor presente del ingreso laboral, del valor de r
t
y del los
parametrosdel modelo.
Ejercicio 6.2
Supongasequelafunciondeutilidades R
1
t=1 e
t
(C 1
t
=(1 ))L
t
=Hdtyquelatasa
de interes real r
t
es constantemente igual a r. Calcule la elasticidad de sustitucion
intertemporal entre dos instantes consecutivos de tiempo. Denotemos por W a la
riquezainicialdelhogarmaselvalorpresentede suingresode porvida. Proporcione
elvalor optimode lasucesion de c
t
dados r, W y losparametros delmodelo.
Ejercicio 6.3
Considerese el modelo de Ramsey en su estado estacionario, y suponga que hay
una ralentizacionde la tasa de crecimiento,es decir una caida permanenteen g.
(a) Diga si esto afecta a lacurva _
k =0,y si afecta diga como.
(b) Diga si esto afecta a lacurva c_=0,y si afecta diga como.
(c) Diga que pasa con cen elmomentode la caida en g.
(d) Encuentrese una expresion del impacto de un cambiomarginal en g sobre la
fraccion del outputque se ahorraen elestado estacionario.
ConsideremoslaeconomadeRamsey. Supongamosquehahabidounarevolucion
y que el nuevo gobierno impone impuestos a los ingresos derivados de la inversion,
de modo que el rendimiento del capital (per capita efectiva) es ahora (1 )f 0
(k)
(0< <1). Este gobiernoreparte lorecaudado medianteun impuesto-transferencia
t
(que espositivosi esuna transferenciay negativo sies un impuesto) de suma ja
acada individuo. Vamos a estudiarla poltica scal de este gobierno.
(a) Plantee las ecuaciones que describen la dinamica del consumo y del capital
en esta economa en que hay y , y describa (y dibuje) el diagrama de fases en
comparacioncon el caso en que noexiste ni ni . Considere para ellodos pares de
valores(
0
;
0 )y(
1
;
1
)con
0
<
1 y
0
<
1
. Digacomo afectan y alosestados
estacionariosE
0 y E
1 .
(b) Compare E
0 y E
1
y diga en dos lineas (2) como se producira la transicion
entre E
0 y E
1
. Comente en dos lineas (2) el efecto que ha tenido el incremento del
impuesto alos rendimentos delcapital.
(c) Veamoscomo respondenloshogares alimpuesto. Digasi latasa de ahorrode
esta economa en el estado estacionarios
=(y
c
)=y
crece odecrece con .
(d) Supongamos que el gobiernorecibeen cada periodoun "mana"del cielo que
dedica a subsidiar la inversion haciendo < 0 sin recaudar impuestos para ello.
Describa en una linea (1)el efecto delsubsidio sobre laeconoma.
(e) Supongamos que en el mundo hay dos paises N y S. Ambos son identicos en
todo excepto que los impuesto al capital son
N
<
S
. Diga en una linea (1) si esto
esunincentivo paraloshogaresde Nainvertir sus ahorrosen S.(Nota: compare sus
ganancias).
Ejercicio 7.1
Considere una economa donde los hogares se componen de un solo agente que
vive un solo periodo y no tiene dotacion inicial de riqueza. Su funcion de utilidad
sobre elconsumo c y eltrabajo l esta dada por
u(c;n)=ln(c)+ ln(1 n)
y su ingreso se reduce al producto w n donde w es el salario. Calcule su oferta de
trabajo en funciondelsalario.
Ejercicio 7.2
Considerelaeconomadelejercicio5.1perocuandoelindividuovivedosperodos,
de modoque su utilidadesta dada por
u(c;l)= 1
X
t=0
t
ln(c
t
)+ ln(1 n
t )
donde 0 < < 1 y donde c= [c
0
;c
1 ]
0
y n =[n
0
;n
1 ]
0
. El individuo puede ahorrar el
fruto de su trabajo e invertirlo, obteniendo por ello un rendimiento real R veces lo
ahorrado.
(a)Calculela oferta de trabajo delindividuorespecto de lossalariosw
0 y w
1 . Es
decircon una restriccionpresupuestaria
c
1
+s = w
1 n
1
c
2
= w
2 n
2
+R s
(b.1)Repitaelejerciciosuponiendoqueelindividuoofrecesutrabajoinelasticamente
en el primer periodo y no trabaja en el segundo. Es decir con una restriccion pre-
supuestaria
c
1
+s = w
1
c
2
= R s
en el primer periodo y no trabaja en el segundo. Sin embargo suponga ahora que
el consumo en cada periodo tiene un precio distinto. Es decir con una restriccion
presupuestaria
p
1 c
1
+s = w
1
p
2 c
2
= s
(c) Interprete conjuntamente losresultados de losapartados anteriores.
Ejercicio 7.3
Analicemos las perturbaciones de oferta. Supongamos una economa que consta
deunapoblacionconstantede individuosdevidain nita. Elindividuorepresentativo
maximiza
E
0
1
X
t=0
t
u(c
t )
donde 0 < < 1 y donde c
t
esta en un rango tal que que u 0
(c
t
) > 0. El producto
esta dado por y
t
= k
t +e
t
donde e
t
= e
t 1 +"
t
para j j < 1 y e
t
una sucesion
i.i.d.(0; 2
"
). Ladinamicadel capitales k
t
=k
t 1 +y
t 1 c
t 1
. Se pide:
(a) Calcule la ecuacion de Euler para el problema de los agentes, que ligac
t con
c
t+1 .
(b) Particularice la ecuacion de Euler para el caso en queu(c
t )=c
t
c 2
t
siendo
>0. Calcule elrango posible para c
t .
(c) Metodode coe cientes indeterminados: Supongaquelasoluciondelproblema
esde laformac
t
= + k
t + e
t
. Sustituya talesvalorespara dejark
t+1
en terminos
de k
t y e
t
. Suponga que (1+)=1 y encuentre losvalores de , y que hacen
quela ecuacionde Euler secumpla para todos losvaloresde k
t y e
t .
(d) Calcule la respuesta de k
t , y
t y c
t
ante un shock unitario de e
t
. Comente
brevemente.
y
2
<1si (1+)>1.
Ejercicio 7.4
Analicemoslas perturbaciones de demanda. Supongamoslaeconoma dadaen el
ejercicio 6.3pero considerando elcaso en que e
t
0 en todot. Se pide:
(a) Calcule la ecuacion de Euler para el problema de los agentes, que ligac
t con
c
t+1 .
(b) Particularice laecuacion de Euler para el caso en que u(c
t )=c
t
(c
t
t )
2
donde
t
es una sucesion i.i.d.(0; 2
), y (1+) = 1. Calcule el rango posible para
C
t .
(c) Suponga que la solucion del problema es de la forma c
t
= + k
t +
t .
Sustituya tales valores para dejark
t+1
en terminos de k
t y
t
. Encuentre losvalores
de , y que hacen que la ecuacion de Euler se cumpla para todos los valores de
k
t y
t .
(d) Calcule la respuesta de k
t , y
t y c
t
ante un shock unitario de
t
. Comente
brevemente.
