Tema 6 Crecimiento endógeno: el modelo de Rebelo

Tema 6 Crecimiento endógeno: el modelo de Rebelo

6.1 El modelo de familias productoras.

6.2 Equivalencia de las soluciones de mercado y del planificador central.

6.3 Dinámica de transición y la hipótesis de convergencia.

Bibliografía: Sala i Martin 5

1

6.1 El modelo de familias productoras

Supuestos

Familias: Determinan óptimamente consumo y ahorro.

Se dedican a la producción de bienes.

Comportamiento

Preferencias

∫

₋ ⁻

=

1 ) (

1 ) 1

0

( c dt

e

U

θ

ρ θ

[1]

Restricción presupuestaria

t t

t

t

Ak c n k

k ^ = − − ( δ + )

Hamiltoniano

) ) (

1 (

1

1

) (

t t

t t t t

n

c Ak c n k

e

H + − − +

−

=

− λ δ

θ

ρ θ

[3]

Condiciones de primer orden

t t

t n

c

e c

H = 0  →

= λ

t t

t

b

A n

H = − λ ^  → λ ( − δ − ) = − λ ^

Condición de transversalidad

0

lim =

∞

→ t t

t

λ k

Tasa crecimiento del consumo

[4] y [5] →

1 ( )

ρ θ δ

γ ≡ = A − − c

c

t t c



[7]

Estado estacionario

Se obtiene el mismo resultado que en el escenario de mercado.

) 1 (

*

*

*

*

δ ρ

γ θ γ γ

γ

=

=

= = A − −

[8]

Cuestiones

6.1.1 Calcula los efectos sobre la tasa de crecimiento de la renta per capita de una mejora tecnológica.

6.1.2 Calcula los efectos sobre la tasa de crecimiento del consumo per capita de una reducción en la tasa de crecimiento de la población.

6.1.3 Calcula los efectos sobre la tasa de crecimiento del consumo agregado de una reducción en la tasa de crecimiento de la población.

3

6.2 Equivalencia de las soluciones de mercado y de planificador central

6.2.1 EL MODELO DE MERCADO

Supuestos

Familias: Determinan óptimamente consumo y ahorro.

Propietarias factores productivos y de activos financieros

Empresas: Alquilan trabajo y capital Venden su producto.

3 mercados: Capital, trabajo y producto

Familias

Preferencias

∫

₋ ⁻

=

1 ) (

1 ) 1

0

( c dt

e

U

θ

ρ θ

[9]

Restricción presupuestaria

t t

t t t

t

w r b c nb

b  = + − −

Comportamiento familias

Maximizar [9] s. a. [10]

Hamiltoniano

) )

( 1 (

1

1

) (

t t t

t t t t

n

c w r n b c

e

H + + − −

−

=

− λ θ

ρ θ

[11]

Condiciones de primer orden

t t

t n

c

e c

H = 0  →

= λ

t t

t t

b

r n

H = − λ ^D  → λ ( − ) = − λ ^D

Condición de transversalidad

= 0

∞

→ t t

t

b

lim λ

Tasa crecimiento del consumo

[12] y [13] →

1 ( ρ ) γ ≡ = θ

−

t t

c

r

c c 

[15]

Empresas

Alquilan trabajo al salario w y capital a la tasa R.

Nota: Se cumple la paridad de rentabilidades R - δ = r

Venden su producto a precio 1.

Son competitivas.

Utilizan tecnología neoclásica: función de producción F(K,L) con:

- Rendimientos constantes de escala.

- Rendimientos factoriales decrecientes.

- Condiciones de Inada.

Objetivo: maximización de los beneficios

t t t t

t

t

L r K w L

K

F − + −

=

Π ( , ) ( δ )

- En términos per capita

t t t

t

r k w

k

f − + −

= ( ) ( δ )

π

- Condiciones maximización del beneficio:

) (

) (

' k

= r

+ δ

f

t t t

t

f k f k k

w = ( ) − ' ( )

Si la función es del tipo AK:

Y

= F ( k

) = AK

Único factor productivo: el capital → RCE y Rdtos. Ctes. Capital.

Interpretación: Capital y trabajo son dos tipos de capital diferentes (físico y humano), que precisan ambos de inversión, englobables bajo un mismo epígrafe.

t t

t

f k Ak

y = ( ) =

Entonces [18] y [19] se convierten en:

δ δ → = − +

= r r A

A (

)

= 0

−

=

t

Ak Ak

w

5

Equilibrio

Existe equilibrio en los mercados de trabajo, capital y producto y financiero.

Si b = k, a partir de [10], [21] y [22]:

t t

t

t

Ak c n k

k D = − − ( + δ )

Sustituyendo en las FOC y en la condición de transversalidad, se obtiene:

)

1 ( δ ρ

θ ^{− −}

= A c

c

t



[24]

= 0

∞

→ t t

t

k

lim λ

Observación de [16]: el consumo crece a una tasa constante en todo momento.

Estado estacionario

Tasa de crecimiento del capital en estado estacionario.

- A partir de [15]:

) ( + δ

−

−

= n

k A c k k

t t t



[26]

- Por definición de estado estacionario, las tasas de crecimiento son constantes. Operando se obtiene que:

) 1 (

*

*

*

*

δ ρ

γ θ γ γ

γ

=

=

= = A − −

[27]

6.2.2 EL MODELO DEL PLANIFICADOR

Mismo resultado que en los casos de familias productoras y mercados, dada la ausencia de externalidades, y dado que los agentes privados disponen de toda la información existente.

Cuestiones

6.2.1 Plantea y resuelve el modelo bajo el escenario del planificador.

6.3 Dinámica de transición y la hipótesis de convergencia

Dinámica de transición

De [27] → En estado estacionario, todas las variables per capita crecen a una tasa constante.

De [24] → El consumo siempre crece a la misma tasa.

Consecuencia: El consumo siempre se encuentra en estado estacionario.

El capital y el producto también crecen a la misma tasa.

Consecuencia: El modelo no presenta transición alguna hacia el estado estacionario.

Todas las variables crecen permanentemente a una tasa constante.

Hipótesis de convergencia

A diferencia del modelo neoclásico (Solow y Swan, Ramsey Cass y Koopmans), este modelo no predice la convergencia entre economías, ni absoluta ni condicional.

La tasa de crecimiento no está relacionada negativamente con la renta.

Cuestiones

6.3.1 Demuestra que el capital y el producto crecen a la misma tasa que el consumo.