Teoría de Funciones FUNCIONES

(1)

Teoría de Funciones

FUNCIONES

· Es toda relación de A en B tal que a cada valor de la variable independiente (dominio) le corresponde uno y sólo un valor de la variable dependiente (rango).

· Es el conjunto de pares ordenados en el que dos pares distintos nunca tienen la misma primera componente.

· Siendo A y B conjuntos, diremos que f es función si se cumple:

1) f Ì AxB.

2) (x,y) Î f Ù (x,z) Î f Þ y = z.

ó " xÎ Df ; $! y Î Rf / (x,y) Î f Û y = f(x).

De donde:

A: Conjunto de Partida.

B: Conjunto de Llegada.

Dominio de f: Df = {x ÎA/ $! y Î B Ù y = f(x) }

Rango de f , Codominio o Contradominio: Rf= {y = f(x) Î B/ xÎA}

NOTA:

1) Para que dos diagramas representen función de cada elemento de A debe salir una y solo una flecha hacia B.

2) Se dice que una ecuación graficada en el Plano Cartesiano, es función, si cualquier vertical trazada a la gráfica la corta en un solo punto.

3) Toda función es una relación, pero no toda relación es una función.

4) f : A®B.

y = f (x) “Regla de correspondencia”.

Esta regla de correspondencia nos da la definición de Notación Funcional.

NOTACIÓN FUNCIONAL

Es un operador que emplea la variable x para indicar el dato que ingresa y f(x) para indicar el resultado.

Se denota por f(x) y se lee “ f de x ”.

Ejemplo: si f(x) =

x(x 1) 2

-

Calcular:

E = [f(2) + 1]^f(1)

a)0 b) 1 c) 2 d)3 e) 8

(2)

Solución:

Si x = 2

f(2) = 2 (2-1)/ 2= 1 Si x= 1

f(1) = 1 (1-1)/ 2= 0

® E = [f(2) + 1]^f(1) = (1 + 1)⁰ = 1. Rpta. b CLASES DE FUNCIONES:

1) F. INYECTIVA ,UNIVALENTE O UNO A UNO

f: A®B, es inyectiva si "x1, x2 ÎDf Ù x1 ¹ x2 Þ f (x1) ¹ f (x2) Es decir, cuando los elementos se relacionan uno a uno.

2) F. SURYECTIVA, SOBREYECTIVA ,SUPRAYECTIVA O EPIYECTIVA f: A®B, es suryectiva si:

" y ÎB, x Î A / (x.y) Î f.

o y = f(x) “Regla de correspondencia”

Es decir, el Rango es igual al conjunto de llegada.

3) F BIYECTIVA: f: A®B, es biyectiva si f es inyectiva y suryectiva a la vez.

Ejm:

Dado A = {1 ; 2 ; 3 ; 4} y B = {a,b,c} y f = {(2,b), (3,a), (1,a), (4,c)}

a) f no es inyectiva por (3,a), (1,a)

b) f es suryectiva pues Rf = B.

c) f no es biyectiva, pues no es inyectiva y suryectiva a la vez.

4) F. INVERSA (f^-1ó f*)

Una función f tiene inversa solo si es inyectiva.

NOTA: Para toda f^-1 se cumple:

· Si fA®B Û f*B®A.

· Df = Rf* y Rf = Df*. Ejm:

f1 = {(2,4), (4,6), (6,8)} Þ f1-1 = {(4,2), (6,4), (8,6)} .Sí es inyectiva. Luego tiene f1-1. f2 = {(5,1), (6,1), (7,2)}

No es inyectiva ; luego no tiene f2-1.

5) APLICACIÓN: Dado fA®B, f es aplicación solo si Df = A.

NOTA:

· Toda función es una relación, pero no toda relación es una función.

· Toda aplicación es función, pero no toda función es aplicación.

(3)

FUNCIONES ESPECIALES 1) F. LINEAL:

Regla de Correspondencia:

y=f(x)=ax+b a, b son constantes.

Df = R Rf = R 2) F. CONSTANTE:

y=f(x)=b Df = R Rf = {b}

3) F. IDENTIDAD:

y=f(x)=x

Es una función lineal donde a=1, b=0 Df = R

Rf = R

4) F. VALOR ABSOLUTO:

y=f(x)=½x½

î í ì

<

-

= ³

= x; si x 0 0 x si f(x) x;

y

5) F. RAÍZ CUADRADA:

y=f(x)=

x

Df =

R

⁺₀

Rf =

R

⁺₀

(4)

6) F. CUADRÁTICA:

Regla de correspondencia:

y = f(x) = ax² + bx + c.

La gráfica es una parábola. Para hallar su vértice, completando cuadrados, la ecuación es llevada a la forma: y = a(x-h)² + k

ÁLGEBRA DE FUNCIONES

Dados “f” y “g” funciones y Df y Dg, los dominios de cada función.

A. f = g Þ

ïî ï í ì

=

= Î

=

g f

D D

D D y x g(x)

f(x)

B. (f+g)(x) = f(x) + g(x)

D(f+g) = Df Ç Dg.

C. (f-g)(x) = f(x) - g(x) D. (f.g) (x) = f(x).g(x)

D(f-g) = Df Ç Dg. D(f.g) = Df Ç Dg.

E. (f/g) (x) = f(x) / g(x), para g(x) ¹ 0 F. (fog) (x) = {(x,y)/y = f[g(x)]}

D(f/g) = Df Ç Dg. D(fog) = {x Î Dg Ù g(x) Î Df}

G. (gof) (x) = {(x,y)/y = g[f(x)]}

D(gof) = {x Î Df Ù f(x) Î Dg} Ejm:

Si f = {(2,4), (3,3), (5,6)}

g = {(3,2), (4,5), (5,6)}

Df Ç Dg = { 3 ; 5}

a) (f+g)(x) = {(3, 3+2), (5, 6+6)}= {(3, 1), (5, 12)}

b) (f-g)(x) = {(3, 3-2), (5, 6-6)} = {(3, 1), (5, 0)}

c) (g-f)(x) = {(3, 2-3), (5, 6-6)} = {(3, -1), (5, 0)}

d) (f.g) (x) = {(3, 3.2), (5, 6.6)} = {(3, 6), (5, 36)}

e) (f/g) (x) = {(3, 3/2), (5, 6/6)} = {(3, 3/2), (5, 1)}

f) (g/f) (x) = {(3, 2/3, (5, 6/6)} = {(3, 2/3), (5, 1)}

g) D(fog)= {3 ; 4}

®

(fog) (x) = {(3,4), (4,6)}

h) D(gof)= {2 ; 3}

®

(gof) (x) = {(2,5), (3,2)}

(5)

EJEMPLOS DE APLICACIÓN 1) Indicar cuales de las siguientes relaciones son funciones.

I.

^f ⁼ { ( ^{x y} ^, ) ^Î ^R

²

^/ ^y

²

⁼ ⁹ ^x

⁴

}

II.

^g ⁼ { ( ^{x y} ^, ) ^Î ^R

²

^/ ^y

³

⁼ ^x

⁸

}

III.

^h ⁼ { ( ^{x y} ^, ) ^Î ^R

²

^/ ^x ^{- =} ⁸ ^y }

IV.

^j ⁼ { ( ^{x y} ^, ) ^Î ^R

²

^/ ^x ⁼ ⁶ }

a) II b) I Y II c) III y II

d) III e) IV

Solución

Ø

^f ⁼ { ( ^{x y} ^, ) ^Î ^R

²

^/ ^y

²

⁼ ⁹ ^x

⁴

}

4

2 2

9 ® ± 3

= =

y x y x

Como para cada valor de x, hay 2 valores de y(excepto para x=0), f no es función

Ø

^g ⁼ { ( ^{x y} ^, ) ^Î ^R

²

^/ ^y

³

⁼ ^x

⁸

}

8

3

= ® =

3 8

y x y x

g sí es función porque para cada valor de x hay un solo valor de y

Ø

^h ⁼ { ( ^{x y} ^, ) ^Î ^R

²

^/ ^x ^{- =} ⁸ ^y }

x - = 8 y

( ^x ^- ⁸ )

²

⁼ ( ) ^y

²

( ^x ^- ⁸ )

²

⁼ ^y

( ) ( )

( )

2 2

2

, 0

,

8 8

8

0

, 0

ì - = ³

- = Þ íï

- = - <

ïî

ì = - >

Þ íï

= - - <

ïî

x y y

x y

x y y

y x y

(6)

Para cada “x”, “y” tiene dos valores por lo tanto h no es función.

Ø

^j ⁼ ( ^{x y} ^, ) ^Î ^R

²

^/ ^x ⁼ ⁶ }

x = 6

En cualquier par ordenado el primer elemento siempre es 6.

{ }

j = ...(6, 2),(6, 1),(6,0),...,(6,7),...(6,87),... - -

j no es función

Rpta: a

2) Dado el conjunto de pares ordenados

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

{ 3, 6 + 5 ^, ^{1, 5 ,} 5 + 3 , 3 3, 4 , 6, 7 2

²

+ , 3 2, 4 , 2 , 3 9 }

= x y - x y x y - x + y -

g

Hallar “X” e “Y” para que g sea función y dar como respuesta Dom g( ) ÙRang g( )

a)

{ ^{2, 2} ^- }

^b)

{ } ^2,1

^c)

{ } ^- ^1,1

d)

{ } ⁴

^e)

{ } ^{3, 4}

Solución:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ⁽ ^{) (} ⁾

{ 3, 6 + 5 ^, ^{1, 5 ,} 5 + 3 , 3 3, 4 , 6, 7 2

²

+ , 3 2, 4 , 2 , 3 9 }

= x y - x y x y - x + y -

g

de

( ^3, ⁶ ^x ⁺ ⁵ ^y ) ( ) ^y ^{3, 4}

se tiene que:

6 x + 5 y = 4

de

(

^{2, 4}-

) (

y ^2,x+³y-⁹

)

se tiene que

x + 3 y - 9 = - 4 ® + x 3 y = 5

Luego se tiene el sistema de ecuaciones:

(7)

6 5

3 5 6

5 4

( )

6 +

+ = -

ì = í î

+

x y

x y 4

6 18

= - - x y 30 ì

= - ï í

ïî

13 26

2 - = -

= y y

Ø

6 x + 5(2) = 4

6 10 4

5 6

1 - + =

= -

x

x x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

{ }

3; 4 , 1;5 , 1;3 , 6; 7 , 4;3 , 2; 4 3; 1;1, 6; 4; 2

4;5;3;7; 4 3; 4

g g

g D R

D R

= - -

= -

Ù =

Rpta: C

3) Hallar el Dominio de

Ø

^{( )} (

²

⁶ )

^{3 / 2}

³

₂

¹

6

-

+

= - - +

- - f x x x x

x x

a)

f

b)

( -¥ - È + +¥ ^{, 2} ) ( ^3, )

c)

¡

d)

é +¥ ë 0,

^e)

( ^{-¥ -} ^{, 2} )

Solución:

( ) ( )

2

2 3/ 2

3 1 6

6 6 6

1 3 1

-

+

- - - -

= +

= + +

f x f x

x x x

x x

x

( )

³

(

²

)

² ²

1

6 3 1

6 = + +

- - x - - f

x

x x x

x

(8)

Ø

( )( )

2

0 3 2 0

6 >

>

- -

- +

x x

+ - + -2 +3

( -¥ - È + +¥ ^{, 2} ) ( ^3, )

Ø

( ^x

²

^{- -} ^x ⁶ )

²

^> ⁰

( ) ( )

2

2 2

2 0

3 2 0

3 + >

é - ù

-

ë û

+ >

x x x x

+ + + -2 +3

CS = R

( ) ( )

{ }

( ) ( )

2 , ,

,

3 2 3,

= -¥ - È + +¥ Ç

= -¥ - È + + ¥

D

f

R

Rpta: b

4) Dada

f

_m

( ) x = mx b m + , Î¥

; sabiendo que:

f

_m

é ë f

_m

( ) 0 ù û = f

_m₊1

( ) b + b ,

^hallar

f

4

[ f

2

(3 ) ] ,

dar como respuesta la suma de las cifras del resultado.

a) 4 b) 5 c) 7 d) 3 e) 6

Solución:

( ) 0

1

( )

m m m

f é ë f ù û = f

₊

b + b

[ ] ( ¹ )

f

m

b = m + b + + b b mb + b = mb + + + b b b

2 b = 0

(9)

m

( ) f x mx

\ =

Ø

f

4

é ë f

2

( ) 3 ù û = f

4

[ ] 2.3 = f

4

[ ] 6 = 4.6 = 24

4 6

= 2

=

å ^cifras +

Rpta: e

5) Dadas las funciones

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

{ }

( ) ( ) ( )

{ }

3, 1 , 1,1 , 0,1 , 3, 2 , 4,1 , 5, 1 2, 3 , 0, 3 , 2, 4

- - - -

-

=

- -

= f g

Hallar máx

{ ^a

²

⁺ ^b

²

^/ ( ) ^{a b} ^, ^Î ^fog }

a) 5 b) 1 c) 13 d) 2 e) 4

Solución g f

( ) ( ) ( )

{ 2, 1 , 0, 1 , 2,1 }

= - - - -

f o g

f o g

a = 2, 0, -2 b = -1, 1

( )

²

( )

²

2 2

2 1

4 1 5

+ = +

= +

= a b

máx.

{ ^a

²

⁺ ^b

²

^/ ( ) ^{a b} ^, ^Î ^{f o g} } ⁼ ⁵

Rpta: a

2 0 -2

0 -3 -1 4 3 5

-1

1

2

(10)

6) Dada la función ^f ^:

( ^{2, 4} ] ^® ^[ ^{9, 1} ² ^]

definida por

f x ( ) = x

²

+ 5

De las siguientes afirmaciones:

I) f es inyectiva.

II) f es sobreyectiva.

III) f es biyectiva IV) f es una aplicación.

a) I y II b) II y III c) I y IV

d) III y IV e) II y IV

Solución:

I.

f x ( )

1

= f x ( )

2

® = x

1

x

2

1

( )

2

2 1

( ) 5

= +

f x f x x = + x

₂²

5

2 2

1 2

2 2

1 2

=

x x

1 2

x = x

( V )

II. f no es sobreyectiva por que para y=9 ,x=2, no existe como pre imagen ( F ) III. f no es biyectiva por que f no es sobreyectiva ( F )

IV. f si es una aplicación ( V )

Rpta: C

7) Dadas las funciones:

2 , 1

( ) 3 , 1

ì ³

= í î - < - x si x f x x si x

3 1, 0

) 2

, 10

( + <

-

= í ì

î >

x si x x si

x x

g

Hallar:

( ^f ⁺ ^g )( ) ( ¹² ⁺ ^f ^- ^g )( ) ^- ²

a) 3/2 b) 30 c) 35

d) -1/6 e) -10/3

(11)

solución:

- 3X 2x

1

3x+1 x – 2

( )( ) ² ^2, ¹⁰

3 3 1, 1

3 2, 10

1, 1

+ - >

+ ì í- + + î < - - >

= í ì î

=

< -

x x x

x x

x f g x

Ø

( ^f ⁺ ^g )( ) ( ¹ ² ⁺ ^f ^- ^g ) ( ) ^- ² 3(12) 2 1

= - +

= 3 5

Rpta. c

-1

0 10

g

f

1

(12)

8) Una función f:AèB, se ha representado mediante un diagrama sagital obteniéndose:

A f B

Según esto ¿Cuántas proporciones son ciertas?

I) f es una aplicación.

II) f es inyectiva III) f es suryectiva IV) f es biyectiva

a) ninguna b) 1 c) 2

d) 3 e) todas

solución

I) f no es aplicación por que sobran los elementos

4 y 6 en el conjunto de partida A (F)

II) f no es inyectiva por que al 1 le corresponde

tres preimágenes (2,7,8) (F)

III) f es suryectiva por que en el conjunto de llegada

no sobran elementos (V)

IV) f no es biyectiva por que f no es inyectiva (F) Rpta: b

2 4 6 7 8

3

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