= + g(x, y) = x + y 2x 4y + 5. a. Identifique g(x,y) y sus trazas con los planos z = 1 y y = 0. (2 puntos) lím

1. Sean las superficies f(x, y) = xy − 2x − + y 2 ^{y g(x, y)} = ^x

+ ^y

− ^2x − ^4y + ⁵ . a. Identifique g(x,y) y sus trazas con los planos z = 1 y y = 0 . (2 puntos) b. Discuta la existencia de

(x,y) (1,2)

f(x, y)

lím

g(x, y) . (2 puntos)

2. Sean la recta

x 1 t

L : y 2 t , t R z 7 2t

= − +

 

= + ∈

  = +



, la superficie S : z = x

+ y

y el plano

: 2x y z 3 π − + 2 = .

a. Halle los puntos P(x , y , z ) de intersección de L con S. (2 puntos)

b. En uno de los puntos P(x , y , z ) hallados anteriormente el plano

tangente a S es paralelo a π . Encuentre su ecuación. (2 puntos)

3. Sea F(x, y) = f(x

+ y ,5x

+ 7y − 1,3x y)

, donde f es un campo escalar diferenciable y ∇ f(2,1,3) = (3,2,1) . Determine la derivada direccional de F en el punto ( 1,1) − en la dirección del vector unitario u que forma un ángulo

θ = π / 3 con el gradiente en ese punto. (4 puntos)

4. Sea la curva C dada por

2 2

2 2

x y

z 9 4

x y 9

 = +

 

 + =



.

a. Encuentre las ecuaciones paramétricas de C. (1 punto) b. Halle los puntos más bajos y más altos de C usando multiplicadores de

Lagrange. (3 puntos)

5. Considere la curva plana C como la curva de nivel de un campo escalar F continuo con primeras y segundas derivadas parciales continuas y para el cual ∇ ≠ F 0 ∀ (x, y) . Pruebe que la curvatura de C viene dada por

2 2

y xx x y yx x yy

3

(F ) F 2F F F (F ) F F

− + −

κ = ∇ . (4 puntos)

PREGUNTA 1. (4 puntos)

Sean las superficies f(x, y)=xy−2x− +y 2 y g(x, y)=x²+y²−2x−4y+5. a. Identifique g(x,y) y sus trazas con los planos z=1 y y =0.

SOLUCIÓN. (2 puntos)

2 2 2 2 2 2

2 2

g(x, y) x y 2x 4y 5 z x y 2x 4y 4 1 z (x 2x 1) (y 4y 4)

z (x 1) (y 2)

= + − − + ⇒ = + − − + + ⇒ = − + + − +

⇒ = − + −

La superficie g(x,y) es un paraboloide. (1 punto) Traza con el plano z=1 : (0.5 puntos)

2 2

1=(x−1) +(y−2) que corresponde a la ecuación de una circunferencia en el plano xy.

Traza con el plano y =0 : (0.5 puntos) z=(x−1)2 +4 que corresponde a la ecuación de una parábola en el plano xz.

b. Discuta la existencia de

(x,y) (1,2)

f(x, y) lím→ g(x, y).

SOLUCIÓN. (2 puntos)

2 2 2 2

(x,y) (1,2) (x,y) (1,2) (x,y) (1,2)

2 2

(x,y) (1,2)

f(x, y) xy 2x y 2 x(y 2) (y 2)

lím lím lím

g(x, y) x y 2x 4y 5 (x 1) (y 2)

(x 1)(y 2) 0

lím (in det er min ación)

(x 1) (y 2) 0

→ → →

→

− − + − − −

= =

+ − − + − + −

− −

= =

− + −

.

Caminos: S: haz de rectas: y− =2 m(x−1)⇒y=m(x−1)+2.

2

2 2 2 2 2 2

(x,y) (1,2) x 1 x 1

(x,y) S

2 2

x 1

(x 1)(y 2) (x 1)(m(x 1) 2 2) m(x 1)

lím lím lím

(x 1) (y 2) (x 1) (m(x 1) 2 2) (m 1)(x 1)

m m

límm 1 m 1

→ → →

∈

→

− − = − − + − = −

− + − − + − + − + −

= =

+ +

Como el límite depende del parámetro de la familia, el límite no existe.

PREGUNTA 2. (4 puntos)

Sean la recta

x 1 t

L : y 2 t , t R z 7 2t

= − +



= + ∈



 = +



,

la superficie S : z=x² +y² y el plano z

: 2x y 3

π − +2 = ^.

a. Halle todos los puntos P(x , y , z )_{0 0 0} de intersección de L con S.

SOLUCIÓN. (2 puntos)

2 2 2 2 2 2

2 2

z(t) (x(t)) (y(t)) 7 2t (t 1) (t 2) 7 2t t 2t 1 t 4t 4

7 2t 5 2t 2 t 1

= + ⇒ + = − + + ⇒ + = − + + + +

⇒ = + ⇒ = ⇒ = ±

Puntos de intersección de L con S: P ( 2,1,5)₁ − y P (0, 3, 9) . ₂

b. En uno de los puntos P(x , y , z ) hallados anteriormente el plano tangente a S es paralelo _{0 0 0} a π. Encuentre su ecuación.

SOLUCIÓN. (2 puntos) Se tiene que z= x²+y² ⇒x²+y²− =z 0. Un vector normal de π es ( 4, 2, 1)− − .

Si F(x, y, z)= x²+y²−z, entonces ∇F(x, y, z)=(2x, 2y, 1)− .

Evaluando en los puntos hallados: ∇ −F( 2,1,5)= −( 4,2, 1)− y ∇F(0, 3, 9)=(0, 6, 1)− . De modo que en P ( 2,1,5)₁ − el plano tangente a S es paralelo a π. La ecuación de este plano tangente viene dada por

( 4, 2, 1) (x 2, y 1, z 5) 0 4(x 2) 2(y 1) (z 5) 0

4x 8 2y 2 z 5 0 4x 2y z 5

− − + − − = ⇒− + + − − − =

⇒ − − + − − + = ⇒− + − =

PREGUNTA 3. (4 puntos)

Sea F(x, y)=f(x²+y ,5x³ +7y−1, 3x y)² , donde f es un campo escalar diferenciable y f(2,1, 3) (3, 2,1)

∇ = . Determine la derivada direccional de F en el punto ( 1,1)− en la dirección del vector unitario u que forma un ángulo

3

θ = π con el gradiente en ese punto.

Solución.

Paso 1. Cálculo de la derivada parcial respecto a x. (1.5 puntos)

2 3 2

F(x, y)= f(x +y ,5x+7y−1, 3x y)= f(u, v, w)

x u x v x w x

u v w

x u v w

F (x, y) f (u, v, w).u (x, y) f (u, v, w).v (x, y) f (u, v, w).w (x, y) 2x.f (u, v, w) 5.f (u, v, w) 6xy.f (u, v, w)

F ( 1,1) 2.f (2,1, 3) 5.f (2,1, 3) 6.f (2,1, 3) 2.3 5.2 6.1 2

= + +

= + +

− = − + − = − + − = −

Paso 2. Cálculo de la derivada parcial respecto a y. (1.5 puntos)

y u y v y w y

2 2

u v w

y u v w

F (x, y) f (u, v, w).u (x, y) f (u, v, w).v (x, y) f (u, v, w).w (x, y) 3y .f (u, v, w) 7.f (u, v, w) 3x .f (u, v, w)

F ( 1,1) 3.f (2,1, 3) 7.f (2,1, 3) 3.f (2,1, 3) 3.3 7.2 3.1 26

= + +

= + +

− = + + = + + =

Paso 3. Cálculo de la derivada direccional. (1 punto)

u u u ^{1 2 1 1 2}

3 2 2 2

D F( 1,1)− = ∇ −F( 1,1)• = ∇ −F( 1,1) cos( )^π = 4+(26) = 680 = 2 .170 = 170

PREGUNTA 4. (4 puntos)

Sea la curva C dada por

2 2

2 2

x y

z 9 4

x y 9

 = +



 + =



.

a. Encuentre las ecuaciones paramétricas de C.

SOLUCIÓN. (1 punto) Proyectando en el plano xy, la curva proyección tiene ecuación x² +y² =9 , z =0. Parametrizando en sentido antihorario por ejemplo, se tiene:

rp(t)=(x(t), y(t), 0)=(3 cos(t), 3sen(t), 0) , 0≤ ≤ πt 2 . Por otro lado:

2 2 2 2

2 9 2

4

(x(t)) (y(t)) 9 cos (t) 9sen (t)

z(t) cos (t) sen (t) , 0 t 2

9 4 9 4

= + = + = + ≤ ≤ π

De modo que las ecuaciones paramétricas de la curva C vienen dadas por

r(t)=(3 cos(t),3sen(t), cos (t)² + ⁹₄sen (t))² , 0≤ ≤ πt 2

b. Halle los puntos más bajos y más altos de C usando multiplicadores de Lagrange.

SOLUCIÓN. (3 puntos) Paso 1. Planteamiento del modelo de optimización a usar.

2 2

2 2

x y

optimizar F(x, y, z) z sujeto a z 0 , x y 9

9 4

= + − = + = .

Paso 2. Planteamiento del sistema de ecuaciones no lineal a resolver. (0.5 puntos)

2 2

2 2

2 2

2 2

0 2 x 2 x

2 1 9

(0, 0,1) x, y, 1 (2x, 2y, 0)

9 2 1

0 y 2 y

x y 2

z 1

9 4

x y

x y 9 z

9 4

x y 9

 = λ + β

   

= λ − + β 

  

  

  = λ + β

 

+ = ⇒

  = −λ

 

 + =  + =

 

 

  + =

Paso 3. Resolución del sistema de ecuaciones no lineales planteado. (2 puntos) De la tercera ecuación se deduce que λ = −1. Sustituyendo este valor en la dos primeras ecuaciones se tiene que:

2 0 2 2 x

0 9x 2 x 9

1 1

0 y 2 y 0 2 y

2 2

  

 = − + β  = − + β 

 ⇒  

 

 

 = − + β  = − + β 

 

   

.

No puede ocurrir que x =y=0 porque la última ecuación no se satisface.

Si x=0 ∧ y≠ 0 :

2

1 2

z 9 9 9

y 4z 4 P 0, 3, , P 0, 3,

4 4

y 3 y 3

 =  =    

 

⇒ ⇒ −

     

= ±    

  = ±

Solución completa S(x, y, z, , ) :λ β

1 2

9 1 9 1

S 0, 3, , 1, , S 0, 3, , 1,

4 4 4 4

   

− − −

   

   

Si x≠0 ∧ y =0 :

2

3 4

z 1

x 9z

P ( 3, 0,1) , P (3, 0,1)

x 3

x 3

 =  =

 ⇒ ⇒ −

 

= ± = ±

 



Solución completa S(x, y, z, , ) :λ β

3 4

1 1

S 3, 0,1, 1, , S 3, 0,1, 1,

9 9

   

− − −

   

   

Paso 4. Clasificación de los puntos encontrados. (0.5 puntos) Puntos de máxima altura:

1 2

9 9

P 0, 3, , P 0, 3,

4 4

   

−

   

   

Puntos de mínima altura: P ( 3, 0,1)₃ − , P (3, 0,1)₄

PREGUNTA 5. (4 puntos)

Considere la curva plana C como la curva de nivel de un campo escalar F continuo con primeras y segundas derivadas parciales continuas y para el cual ∇ ≠F 0 ∀(x, y). Pruebe que la curvatura de C viene dada por

2 2

y xx x y yx x yy

3

(F ) F 2F F F (F ) F F

− + −

κ = ∇ .

SOLUCIÓN.

Paso 1. Cálculo de y' .

x

x x y

y

F(x, y) 0 F 0 F F .y ' 0 y ' F

= ⇒ = ⇒ + = ⇒ = −F .

Paso 2. Cálculo de y'' . (3 puntos)

x

x y x y y x y y

y

xx xy y xy yy

x x x

xx xy y xy yy

y y y

x

y ' F F y '.F 0 (F ) ' y ''.F y '.(F )' 0 (F )' y ''.F y '.(F )' 0 F

(F F .y ') y ''.F y '.(F F .y ') 0

F F F

F F . y ''.F . F F . 0

F F F

F

= − ⇒ + = ⇒ + + = ⇒ + + =

⇒ + + + + =

   

⇒ − + −  − =

   

⇒

2 3

x y xy x y y x xy y yy x

2 3 2

xx y xy x y y x xy y yy x

2 3 2

xx y x y xy y yy x

2

xx y x

.(F ) F .F .F y ''.(F ) F .(F .F F .F ) 0 F .(F ) F .F .F y ''.(F ) F .F .F F .(F ) 0 F .(F ) 2.F .F .F y ''.(F ) F .(F ) 0

F .(F ) 2.F y ''

− + − − =

⇒ − + − + =

⇒ − + + =

⇒ = − −

2

y xy yy x

3 y

.F .F F .(F ) (F )

+

Paso 3. Cálculo de κ. (1 punto)

2 2 2 2

xx y x y xy yy x xx y x y xy yy x

3 3

y y

2 3 /2 3 /2 3 /2

2 2 2

y x

x 2 2

y y

y

2 2

xx y x y xy yy x

3 y 2 y

F .(F ) 2.F .F .F F .(F ) F .(F ) 2.F .F .F F .(F )

(F ) (F )

y ''(t)

(1 (y ') ) F (F ) (F )

1 F (F ) (F )

F .(F ) 2.F .F .F F .(F ) (F )

(F ) (F

− + − +

κ = = =

+  +    + 

− +

=

2 2

xx y x y xy yy x

3 y

3 /2 3 /2

2 2 x

2 2 2

y y y

2 2

xx y x y xy yy x

2 2

3

y xx x y yx x yy

y

3 3

3 y

F .(F ) 2.F .F .F F .(F ) (F )

(F ) F

) (F ) (F )

F .(F ) 2.F .F .F F .(F )

(F ) F 2F F F (F ) F (F )

F F

F

− +

  =  ∇ 

 +   

   

   

− +

− + −

= =

∇ ∇