5. Propiedades de los Lenguajes Recursivamente Enumerables y de los Lenguajes Recursivos.

5. Propiedades de los Lenguajes Recursivamente

Enumerables y de los Lenguajes Recursivos.

5.1 Esquemas de representación de Máquinas de Turing.

5.2 Propiedades de cierre.

5.3 Codificación de Máquinas de Turing.

5.4 Un lenguaje no recursivamente enumerable: Lenguaje diagonal.

5.5 Un lenguaje rcursivamente enumerable no recursivo: Lenguaje

x SI NO

M

M. T. Aceptora que se detiene para todas las entradas:

Máquina de Turing Generadora _x

M

Máquina de Turing que utiliza a otra Máquinas de Turing como subrutina:

x SI NO START M x SI M

5.2 Propiedades de cierre

1. La clase de los Lenguajes Recursivamente Enumerables es cerrada bajo UNIÓN.

M1 M2 x x x SI SI SI M

2. La clase de los Lenguajes Recursivos es cerrada bajo la operación UNIÓN

.

3. La clase de los Lenguajes Recursivos es cerrada bajo la COMPLEMENTACIÓN M x x SI SI NO NO M

A partir de 4, dado cualquier par L, L siempre se dará una de las tres posibilidades L_R L₀ L, L L, L L, L

5. La clase de los Lenguajes Recursivos es cerrada bajo INTERSECCIÓN

.

7. La clase de los Lenguajes Recursivos es cerrada bajo la CONCATENACIÓN. M1 M2 x1 x x SI SI SI START M NO A x2 NO NO Σ* NO x x x SI START L₁ ∈ L_R⇒ ∃M₁: L(M₁) = L₁ L₂ ∈ L_R⇒ ∃M₂: L(M₂) = L₂ x ∈ L₁ L₂ ⇔ x = x₁ x₂, x₁ ∈ L₁, x₂ ∈ L₂ Funcionamiento de M:

• El módulo A divide x en dos mitades x₁ y x₂ comenzando por x₁ = λ y x₂ = x.

• La primera mitad se pasa a M₁, la segunda posiblemente a M₂.

5.3 Codificación de Máquinas de Turing.

Objetivo: Codificar una M.T. con {0,1}.

Sup L ⊆ (0+1)* rec. enumerable ⇒ ∃ M con Γ = {0, 1, B} tal que L = L(M). Sea M = ({q₁, q₂,..., q_n}, {0, 1}, {0, 1, B}, δ, q₁, B, {q₂}) Codificación de un movimiento Sea δ(q_i, X_j) = (q_k, X_l, D_m) con 1 ≤ i, k ≤ n 1 ≤ j, l ≤ 3 1 ≤ m ≤ 2 X₁ = 0 X₂ = 1 X₃= B D₁ = L D₂ = R Se codifica de forma unívoca como 0i₁₀j₁₀k₁₀l₁₀m

Una M.T. se codifica como

111código₁11código₂11...11código_r111

Una M.T. puede tener varios códigos, pero la decodificación es única. A una codificación de una M.T M le llamamos <M>

5.4 Un lenguaje no recursivamente enumerable: Lenguaje diagonal.

Si lo fuera, se tendría A = {f₁, f₂, f₃, ...}. Construimos f: f (i) = f_i (i) + 1(mod 2). Si f ∈ A se tendría f = f_j y sin embargo f (j) ≠ f_j (j).

Supongamos una tabla infinita en la que:

• En la primera columna se colocan las palabras de (0 + 1)* en orden canónico. • En la primera fila índices de M.T.

• (i, j) = 1 si la palabra i es aceptada por la máquina que se codifica en binario como j. • (i, j) = 0 si la palabra i no es aceptada por la máq. que se codifica en binario como j.

1 2 3 4 5 6 ... 1 2 3 4 palabras de (0 + 1)* en orden canónico

Consideramos la diagonal de la tabla anterior y construimos L_d = {w_i : w_i ∉ L(M_i)} - Si (i, i) = 0 w_i ∈ L_d - Si (i, i) = 1 w_i ∉ L_d L_d no es recursivamente enumerable: -Supongamos que sí lo es ⇒ ∃ M : L(M) = L_d .

-En las columnas están todas las M.T. ⇒ ∃ j : M_j = M. Entonces • Si x_j ∈ L_d = L(M_j) ⇒ (j, j) = 0 ⇒ x_j ∉ L(M_j) (contradicción) • Si x_j ∉ L_d = L(M_j) ⇒ (j, j) = 1 ⇒ x_j ∈ L(M_j)

Luego no existe M.T. capaz de reconocer L_d . Consecuencia L_d es • no recursivamente enumerable

Dados los problemas A y B, decimos que A se reduce a B (A α B) si, conocido un algoritmo que resuelve B, se puede resolver A.

Reducción de un problema a otro.

Si A α B entonces A es por lo menos tan duro como B

Ejemplo

AMB. Instancia: G = (N, Σ, P, S)

Cuestión: ¿Es G ambigua? Respuesta: Si/No

FIND. Instancia: G = (N, Σ, P, S)

Cuestión: Encontrar w ∈ L(G): w posee

más de un árbol de derivación.

Respuesta: w /No

5.5 Un lenguaje reursivamente enumerable no recursivo: Lenguaje

Universal.

Veamos que L_U = {< M, w> : w ∈ L(M)} es: 1. Recursivamente enumerable. 2. No Recursivo.

1. Sea M₁ la máquina con tres pistas:

La 1ª es la cinta de entrada (contiene < M, w> ). La 2ª simula la cinta de M.

La 3ª guarde el estado de M. inicialmente están en blanco Operaciones que tiene que realizar:

- Comprobar que la entrada es correcta. - Inicializar la 2ª cinta con w.

- Inicializar la 3ª cinta con 0. (código de q₁= estado inicial) Comportamiento de M₁

- Si en la 3ª cinta aparece “00” (cód. de q₂= estado final) M₁ para y acepta < M, w> . - Si en la 3ª cinta hay 0i _{y en la segunda 0}j_{, se busca en la 1ª un fragmento 0}i₁₀j_1...

- Si no se encuentra ese fragmento, M₁ para y rechaza < M, w> . - Si se encuentra ...

2. Veamos que L_U es no Recursivo.

Sabemos que L_d es • no recursivamente enumerable

• recursivamente enumerable no recursivo Sea L_d = {w_i : w_i ∈ L(M_i)}

Veamos que L_d se puede reducir a L_U. (si reconocemos L_U, tambien L_d ) Supongamos que M₁ : L(M₁) = L_U y M₁ para ante todas las entradas

M₁ < M_i, w_i> S N ⇒ w_i ∈ L(M_i) ⇒ w_i ∈ L_d ⇒ w_i ∉ L(M_i) ⇒ w_i ∉ L_d < M_i, w_i> ∉ L_U < M_i, w_i> ∈ L_U

Luego si L_U fuese recursivo también lo sería L_d (contradicción)

w

• L es un lenguaje de tipo 0 ⇔ L es recursivamente enumerable

Autómata de memoria acotada linealmente (AMLL):

- M.T. no determinista con la entrada enmarcada entre dos símbolos ($ y # por ejemplo).

- Los movimientos que hace la cabeza no pueden salirse de los límites. - Las marcas no pueden ser sustituidas.

• L es un lenguaje de tipo 1 ⇔ L es aceptado por un AMLL

L. R. E. = Tipo 0