La recta de pendiente 3 que pasa por el origen, se corta con la parábola de ecuación 2 4 en los puntos de abscisa: y x

CBC FINAL DE MATEMÁTICA DICIEMBRE 2000 CÁTEDRA GUTIERREZ-FAURING

Por cada ítem hay cuatro respuestas, siendo verdadera exactamente una de ellas. Marque con una cruz la respuesta que considere correcta. Para aprobar este examen hay que tener al menos 8 respuestas correctas, y la cantidad de correctas debe ser mayor que la cantidad de incorrectas. Los ítems no contestados no se tendrán en cuenta.

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1. 1

¿Qué cuadrante no es atravesado por el gráfico de ( ) 1 ? f x = − 2x+

,^{el primero} ,^{el tercero} ,^{el segundo} ,^{el cuarto}

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2. La recta de pendiente 3 que pasa por el origen, se corta con la parábola de ecuación ² 4

en los puntos de abscisa: y x= −

,0 y 3 , −4 y 1 ,−2 y 2 ,−1 y 4

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3. Si ( )f x =e^x , ( )g x = x² −9 y B={x R∈ / (f g xD )( ) 1} entonces es igual a:> B

,{ 3 ; 3}− ,(−∞ − ∪; 3) (3 ;+ ∞) ,(3 ;+ ∞) ,^\

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4. 3 ¹

Si ( ) entonces , la función inversa de , es igual a:

1

f x x f f

x

− −

= +

, ¹

3 x x +

− , ³

1 x x

−

+ , ^{3 1}

1 x x

− −

+ , ³

1 x x

− +

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5. El mayor valor que puede alcanzar ( ) 2 sen es igual af x = − x

,² ,¹ ,³ ,^{−π/ 2}

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6. ¿Cuál de los siguientes valores no pertenece a la imagen de ( ) 1 (f x = − x−2) ?²

,¹ ,² ,⁰ ,^{−1/ 2}

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7. Los gráficos de las funciones y =e^2x−1 e y=e^6x+1 se cortan en el punto de abscisax=

, ¹

2 , ¹

− 2 ,no se cortan , ^ln1

− 2

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8. En el intervalo [−π ; 2 ] la función ( ) 1 sen(2 ) tiene exactamenteπ f x = − x

, ^{un cero} ,seis ceros ,^{dos ceros} , ^{tres ceros}

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9. ln( 2)

El dominio de ( ) es 4 f x x

x

= +

,^{( 2,− +∞)} −,( 2, 4) (4,− ∪ +∞) ,^\−{4} ,^{( 1,− +∞)}

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10. 1

Si ( ) x , entonces

f x x

= −

, lim0 ( ) y lim ( ) 1

x ₊ f x x f x

→ − ∞

→ = −∞ = ,

lim ( )0 y lim ( ) 1

x ₊ f x x f x

→ − ∞

→ = +∞ =

, lim0 ( ) 1 y lim ( ) 1

x ₊ f x x f x

→ − ∞

→ = = ,

lim ( )0 y lim ( ) 0

x ₊ f x x f x

→ − ∞

→ = −∞ =

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11. es una función polinomial de segundo grado que se anula en 1 y en 1, y además (3) 1. Entonces (0) es igual a:

f x

f f = − x=

,^{2 / 3} = , ^{−1/ 8} , ⁻¹ ,^{1/ 8}

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12. La ecuación de la recta tangente a ( )f x = x² +3x+1 tiene pendiente 1 para−

, ^x=2 ,^{ningún x} , ^{x= −5 / 2} , ^{x= −2}

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(² )²

El valor positivo de que hace que ( )a f x tenga un punto crítico en x 1/ 2 es:

= x a+x =

13.

,¹ ,⁴ ,³ ,²

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14. La función ( ) (f x = x−1)³ −3(x− +1) 1 es creciente

,sólo en (2 ;+ ∞) , ^{sólo en (−∞; 0)} ,^{en (}−∞; 0) y en (2 ;+ ∞),^{en \}

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15. La ecuación de la recta tange te en el punto donde ( )n f x =x e⋅ ^−x alcanza su máximo s e

, ^y=1 , ^y=1 , ^{x 1}

e = , ^{x 1}

=e

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16. Una primitiva de ( )f x =(x+1)sen(x² +2 ) ex s

, ^{1cos( 2 2 )}

2 x x

− + , ^{1cos( 2 2 )}

2 x + x ,^{−cos(x2 +2 )x} ,^{cos(x2+2 )x}

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17. Dada :f → , se sabe que su derivada es ( )f′ x =(x+1) (² x−2) (³ x−4).

Entonces la cantidad de extremos relativos de es\ \ f

,² ,³ ,¹ ,^ninguno

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18. ¹ t

0 2

La es igual a

1

+t

∫ ^{t d}

,^ln2 ,^{ln 4} , ^{ln(1 2)}

2 t

1 + , ^{1ln 2}

2

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19. Da s las irmac nes :da af io

( ) I ∫(x−2) cosx dx=∫xcosx dx−2 cos∫ x dx ( ) (II ∫ x−2)(x+3)dx=∫(x−2)dx ⋅∫(x+3)dx

, (I) y (II) son verdaderas , (I) y (II) son falsas

,(I) es verdadera y (II) es falsa ,(I) es falsa y (II) es verdadera __________________________________________________________________________________________

20. El área de la región encerrada entre las curvas y=x³ e y= x es:

,_∫−¹₁^{(x3−x dx)} ,_∫−¹₁^{(x x dx− 3)}

,_∫−⁰₁^{(x3−x dx) +}_∫0^{1(x x dx− 3)} , _∫−⁰₁^{(x x dx− 3) +}_∫0^{1(x3−x dx)}

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Este mismo examen, en forma de quiz y con los resultados, está disponible en http://www.rinconmatematico.com/tests/quizzes.htm