INSTITUTO TECNOL ´OGICO DE COSTA RICA 23 de enero de 2006 ESCUELA DE MATEM ´ATICA Total: 34 puntos C ´ALCULO Y ´ALGEBRA LINEAL Tiempo: 2 h. 30 m.
TERCER EXAMEN PARCIAL (Per´ıodo Intensivo)
1. Determine las ecuaciones param´etricas de la recta que pasa por el punto (1, −1, 2) y que adem´as pasa por el punto de intersecci´on de la recta:
L1 : x
−2 = y − 4
3 = z − 2
con el plano x − 2y + z = 1. (5 puntos)
2. Determine la distancia del punto (1, −3, 1) al plano con ecuaci´on
2x − 3y − z = 7. (3 puntos)
3. Determine la distancia del punto (−1, 2, 0) a la recta con ecuaci´on L : −x + 1
−2 = y + 2
3 = z − 3
(4 puntos) 4. Determine la ecuaci´on del plano que cumple con:
(a) contiene al punto de intersecci´on de las rectas L1 y L2 donde L1 : x + 2 = y − 1 = z − 5
6
L2 =
x = 1 − 2t y = 2 − t y = −3 + t
(b) es perpendicular a la recta que contiene a los puntos (1, 2, 4) y (3, −5, 1).
(6 puntos)
5. Determine el ´area del tri´angulo cuyos v´ertices son los puntos:
(0, 2, −5), (−1, 2, 0) y (3, 5, 7). (3 puntos) 6. Dados los vectores u = (1, 0, −1), v = (0, 1, 1) de IR3, encuentre
un vector w de IR3, que cumpla:
(a) w ⊥ u
(b) w · v = ||v||2 (c) ||w|| = √
8 (6 puntos)
7. Sea p(x) = −4x2 + 4x − 6 un vector del espacio vectorial P2. Exprese a p como combinaci´on lineal de los vectores x2 + x + 1, 2x2 − x + 3, −x + 1.
(4 puntos) 8. Determine los valores de α de manera que el conjunto de vectores {(1, α +1, 2), (−2, −1, α), (0, −1, 2)} sea una base del espacio vec- torial IR3.
(3 puntos)