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DINÁMICA DE UNA PARTÍCULA

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ÍNDICE

MOTIVACIÓN ... 3  

PROPÓSITOS ... 4  

PREPARACIÓN PARA LA UNIDAD ... 5  

1. CONCEPTO DE FUERZA ... 7  

1.1. SISTEMA DE FUERZAS ... 8 

1.1.1.  F UERZAS DE LA MISMA DIRECCIÓN Y MISMO SENTIDO ... 8 

1.1.2.  F UERZAS DE LA MISMA DIRECCIÓN Y DISTINTO SENTIDO ... 9 

1.1.3.  F UERZAS CONCURRENTES ... 9 

1.1.4.  F UERZAS PARALELAS DEL MISMO SENTIDO ... 10 

1.1.5.  F UERZAS PARALELAS DE DISTINTO SENTIDO ... 10 

1.2. EFECTOS DE UNA FUERZA ... 11 

2. LEYES DE NEWTON ... 12  

2.1. PRIMERA LEY DE NEWTON ... 12 

2.2. SEGUNDA LEY DE NEWTON ... 13 

2.3. TERCERA LEY DE NEWTON ... 13 

3. EL PESO, LA NORMAL Y LA FUERZA DE ROZAMIENTO ... 15  

3.1. LA NORMAL ... 15 

3.2. PESO DE UN CUERPO ... 16 

3.3. LA FUERZA DE ROZAMIENTO ... 18 

3.4. FUERZA ELÁSTICA ... 20 

4. IMPULSO Y MOMENTO LINEAL ... 22  

4.1. MOMENTO LINEAL ... 22 

4.2. IMPULSO MECÁNICO ... 23 

5. CONCEPTO DE TRABAJO MECÁNICO ... 25  

5.1. UNIDADES EN LAS QUE MEDIMOS EN TRABAJO ... 27 

6. POTENCIA ... 28  

6.1. UNIDADES EN LAS QUE MEDIMOS LA POTENCIA ... 29 

6.2. EJERCICIO RESUELTO ... 30 

7. ENERGÍA CINÉTICA Y ENERGÍA POTENCIAL DE UNA PARTÍCULA. TEOREMA DE LAS FUERZAS VIVAS ... 32  

7.1. ENERGÍA CINÉTICA DE UNA PARTÍCULA ... 32 

7.1.1.  T EOREMA DE LAS FUERZAS VIVAS ... 33 

7.2. ENERGÍA POTENCIAL ... 33 

8. ENERGÍA MECÁNICA. PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA ... 35  

8.1. FUERZAS CONSERVATIVAS Y FUERZAS NO CONSERVATIVAS ... 35 

8.2. PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA ... 36 

8.2.1.1.   Ejercicio resuelto ... 37  

9. MOMENTO ANGULAR. CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR ... 39  

9.1. CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR ... 40 

CONCLUSIONES ... 41  

RECAPITULACIÓN ... 42  

AUTOCOMPROBACIÓN ... 43  

SOLUCIONARIO ... 49  

PROPUESTAS DE AMPLIACIÓN ... 50  

BIBLIOGRAFÍA ... 51  

MOTIVACIÓN

¿Cómo afecta la aplicación de fuerzas sobre los cuerpos? De dar respuesta a esta pregunta se ocupa la dinámica.

La dinámica es una parte de la física que se ha estudiado desde siempre, puesto que son cuestiones que revisten mucha utilidad en la vida cotidiana. Pero solo desde la época de Galileo y con Newton como principal referente avanzó la di- námica como parte importante de la física.

Dada su importancia es, por lo tanto, necesario hacer un pequeño esfuerzo e

intentar establecer una base adecuada desde donde avanzar hacia un estudio

más complejo de la física del movimiento.

PROPÓSITOS

Con el estudio de esta unidad didáctica, conseguirás:

 Definir el concepto de masa y fuerza.

 Profundizar en ejemplos concretos de fuerzas: rozamiento, peso y fuerzas elásticas.

 Enunciar las leyes de Newton.

 Trabajar sobre cada una de dichas leyes.

 Definir conceptos de trabajo, potencia y energía.

 Conocer el significado de energía cinética y de energía potencial.

 Estudiar los teoremas de conservación de la energía mecánica.

 Conocer qué es impulso y momento lineal.

 Conocer el significado de momento angular y el teorema de conservación.

PREPARACIÓN PARA LA UNIDAD

En esta unidad didáctica nos introducimos en el campo de la dinámica.

La dinámica estudia las causas de los movimientos de los cuerpos y cómo el movimiento de algunos cuerpos influye sobre el movimiento de otros.

Llamaremos interacción a cualquier mecanismo por el cual dos o más partículas que se encuentren lo suficientemente próximas cambien su estado de movimiento.

La intensidad de estas interacciones se representa cuantitativamente mediante una magnitud vectorial llamada fuerza.

De estas fuerzas vamos a hablar mucho durante toda la unidad didáctica, de los tipos de fuerzas que encontramos y de las leyes que las rigen.

En una segunda parte de la unidad estudiaremos conceptos relacionados con la

dinámica como son el trabajo, la potencia o la energía.

1. CONCEPTO DE FUERZA

Podemos definir la fuerza como toda causa capaz de deformar un cuerpo o modificar su estado de reposo o movimiento.

Para definir una fuerza se precisa conocer:

 Su intensidad (valor del segmento AB).

 Su punto de aplicación (A).

 La dirección o línea de acción (recta que con- tiene la flecha).

 El sentido (punta de la flecha).

Para obtener las unidades de la fuerza en los distintos sistemas de unidades,

aplicaremos la ecuación F = m · a que más tarde enunciaremos.

Unidades de fuerza:

 Sistema Internacional: Newton (N) = kg · m / s

 Sistema Cegesimal: dina = g · cm/s

 Sistema Técnico: kilopondio (kp) = 1 kg · 9,8 m/s

Al kilopondio también se le denomina kilogramo-fuerza o kilogramo-peso.

La relación entre las unidades es la siguiente:

 1 kp = 9,8 N = 980.000 dinas.

 1 N = 100.000 dinas = 10 ⁵ dinas.

1.1. SISTEMA DE FUERZAS

Entre un cuerpo es muy raro que actúe solamente una fuerza. Lo más normal es que actúen varias fuerzas a la vez.

Se denomina sistema de fuerzas al conjunto de fuerzas que actúan simultá- neamente sobre un cuerpo. A cada una de estas fuerzas se la denomina com- ponente del sistema.

La resultante de un sistema de fuerzas es otra fuerza que por sí sola realiza el mismo efecto que sus componentes.

A continuación, procederemos al estudio de algunos casos de composición de fuerzas.

1.1.1. F UERZAS DE LA MISMA DIRECCIÓN Y MISMO SENTIDO

La resultante es otra fuerza de la misma dirección y sentido, cuya intensidad es

la suma de las intensidades de las componentes.

1.1.2. F UERZAS DE LA MISMA DIRECCIÓN Y DISTINTO SENTIDO

La resultante es otra fuerza de la misma dirección, sentido el de la de mayor y cuya intensidad es la diferencia de las intensidades de las componentes.

1.1.3. F UERZAS CONCURRENTES

Se denominan fuerzas concurrentes a aquellas cuyas direcciones se cortan formando un cierto ángulo.

En dichos sistemas la resultante es otra fuerza que tiene una dirección que no coincide con ninguna de las direcciones de las componentes, pero que están comprendidas entre ambas.

Trataremos el caso particular en el que las fuerzas son perpendiculares.

En este caso, aplicando el teorema de Pitágoras:

2 2

1 2

R  F  F

1.1.4. F UERZAS PARALELAS DEL MISMO SENTIDO

La resultante de dos fuerzas paralelas y del mismo sentido tiene por intensidad la suma de las intensidades de las fuerzas componentes y la misma dirección y sentido que las componentes.

El punto de aplicación de la fuerza se encuentra entre los puntos de aplicación de las componentes, de tal manera que se cumple que:

F a · OA = F b · OB

1.1.5. F UERZAS PARALELAS DE DISTINTO SENTIDO

La resultante de dos fuerzas paralelas de sentido contrario es otra fuerza que tiene de intensidad la diferencia de las intensidades de las componentes y el sentido el de la mayor de las fuerzas.

El punto de aplicación de la resultante está fuera del segmento que une los puntos de aplicación de las componentes y del lado de la fuerza mayor, a una distancia que cumple:

F · OA = F · OB

1.2. EFECTOS DE UNA FUERZA

Los efectos que causa una fuerza son muy diferentes según la dirección y el objeto sobre el que se apliquen:

 Deformación de los cuerpos.

 Hacer que los cuerpos se muevan o se detengan.

 Equilibrar otras fuerzas para que el cuerpo se mantenga en reposo (este

es el campo de estudio de la Estática).

2. LEYES DE NEWTON

Una vez conocido el concepto de fuerza, nos adentramos de lleno en el campo de la dinámica.

Para ello estudiaremos primero, la base fundamental de dicha teoría, las leyes de Newton. Estas leyes no tienen demostración y se trata de una simple com- probación de lo que se ha observado en la naturaleza.

2.1. PRIMERA LEY DE NEWTON

También denominada como principio de inercia, podríamos enunciar la primera ley de Newton como:

“Toda partícula sobre la que no se ejerce ninguna fuerza se encuentra en estado de reposo o en movi- miento rectilíneo uniforme”.

Esto nos dice que mientras la partícula no esté sometida a la interacción de otra

lleva un movimiento constante, es decir con aceleración nula o se encuentra en

reposo, con velocidad nula.

2.2. SEGUNDA LEY DE NEWTON

La segunda ley de Newton la podemos enunciar de la siguiente forma:

“Si en un sistema inercial (sistema con un movimiento relativo de traslación rectilíneo y uniforme) una partícula de masa m posee una aceleración a es porque sobre ella actúa una fuerza neta exterior F y se verifica que:

· F m a   

Donde m es un coeficiente escalar que depende solo de la partícula y que recibe el nombre de masa inercial.

A esta ecuación se la llama principio fundamental de la dinámica.

Newton nació el año en que falleció Galileo.

2.3. TERCERA LEY DE NEWTON

Denominado también como principio de acción y reacción, y vendría dada por el siguiente enunciado:

“Las fuerzas mutuas que se ejercen dos partículas

entre sí son siempre de igual módulo y dirección

opuesta”.

A dichas fuerzas opuestas se las llama fuerzas de acción y reacción y tienen las siguientes características:

1. Aparecen y desaparecen simultáneamente.

2. Nunca están aplicadas sobre el mismo cuerpo, es decir, cada partícula ejerce una fuerza sobre la otra.

3. Sus magnitudes son iguales y dirigidas en sentidos contrarios.

Un ejemplo de fuerzas de acción y reacción sería, por ejemplo, un hombre ti- rando de una cuerda que al final tiene una caja. El hombre ejerce una fuerza sobre la cuerda y la cuerda sobre el hombre. Ahí tenemos el primer par de ac- ción y reacción. Por otro lado, encontramos otra pareja de acción y reacción en la fuerza que ejerce la cuerda sobre la caja y la caja sobre la cuerda.

Un Newton es equivalente a:

a) 9,8 kp.

b) 10

dinas.

c) 1 kp.

d) 100 dinas.

Solución:

b) 10

dinas.

3. EL PESO, LA NORMAL Y LA FUERZA DE ROZAMIENTO

Vamos a estudiar a continuación tres fuerzas presentes en todos los problemas de dinámica, como son el peso de un cuerpo y la fuerza de rozamiento, que aunque en algunos casos se suele despreciar a la hora de la realización de los problemas, la realidad demuestra que existe en la mayoría de las circunstancias que se puedan plantear.

3.1. LA NORMAL

Cuando un cuerpo está apoyado sobre una superficie, ejerce sobre esta una fuerza cuya dirección es perpendicular a la de la superficie.

De acuerdo con la tercera ley de Newton, la superficie debe ejercer una fuerza sobre el cuerpo de igual dirección y magnitud pero de sentido contrario, que denominamos normal.

Así la normal es la fuerza de reacción del peso del cuerpo que ejerce la superfi- cie sobre la que se encuentre y hace que no se mueva de la horizontal, con lo que N = P = m·g.

La fuerza normal es siempre perpendicular a la su-

perficie de contacto y está dirigida hacia arriba, es

decir, hacia fuera de la superficie de contacto.

3.2. PESO DE UN CUERPO

El peso de un cuerpo (P) es la “fuerza con que la Tierra atrae dicho cuerpo”.

Se obtiene mediante el producto de su masa (m) y la aceleración de la gravedad (g).

· P m g   

La diferencia entre masa y peso estriba en lo siguiente: la masa nos indica la canti- dad de materia que contiene un cuerpo y por lo tanto, tendrá un valor fijo. El peso de un cuerpo, como se aprecia en su definición, dependerá del valor de la acelera- ción de la gravedad g, es decir, del lugar donde se halle situado. En la Tierra se sue- le tomar g = 9,8 m/s ² .

Por ejemplo, un objeto pesará más en la Tierra que en la Luna, ya que la aceleración de la gravedad tiene un valor mayor en nuestro planeta que en la Luna.

El peso, como fuerza que es, va a ser un vector, con

una dirección y sentido. La dirección siempre es per-

pendicular a la horizontal y el sentido hacia el centro

de la Tierra.

Supongamos un cuerpo sobre un plano inclinado según se muestra en la siguiente figura:

Descomposición del peso

Tenemos una fuerza F que “tira” hacia arriba en diagonal y a la que se opone el peso del cuerpo, pero no todo el peso, puesto que este va en dirección vertical.

Así, el peso debemos descomponerlo en el sistema de referencia cuyos ejes son la fuerza que tira del cuerpo como eje OX y la normal como eje OY.

Entonces, solo la “parte” del peso que va en la dirección del movimiento, P x , es la que se opone a la fuerza F. La otra componente del peso, P y , contribuye a guar- dar el equilibrio en la vertical contrarrestando a la normal N.

Hemos visto pues gráficamente, que tomado un sistema de referencia en la dirección del movimiento, en ocasiones es necesaria la descomposición del vector peso.

Para ello es necesario observar que el ángulo que forma el plano inclinado con la horizontal es el mismo que el formado por P y P y . Con esto, podemos calcular las componentes del peso de la siguiente forma:

 P x = P·sen 

 P y = P·cos 

3.3. LA FUERZA DE ROZAMIENTO

Siempre que las fuerzas aplicadas tienden a desplazar, una sobre otra, dos su- perficies materiales, aparecen como respuesta las fuerzas de rozamiento.

Las causas del rozamiento hay que buscarlas en la naturaleza microscópica de

las superficies en contacto y su estudio es muy complejo.

La fuerza de rozamiento es independiente del tamaño de la superficie de contacto de los cuerpos pero sí que depende en gran medida de la naturaleza de dichos cuerpos.

Supongamos un bloque sobre una superficie plana y una fuerza que tira de él.

Podemos representarlo en siguiente dibujo:

Representación de fuerzas sobre un plano horizontal

Si la fuerza F aplicada es pequeña y el bloque no se mueve, es porque hay una fuerza de rozamiento Fr que equilibra estáticamente a la fuerza F.

 F = Fr

A este valor de Fr se le denomina Fr estático.

Conforme vamos aumentando la fuerza F también aumenta la fuerza de roza- miento, hasta que alcanza un punto máximo en el que deja de crecer y enton- ces F > Fr, con lo que el bloque comienza a moverse. A partir de ahí la fuerza de rozamiento permanece constante con módulo dicho valor máximo. Se le deno- mina Fuerza de rozamiento dinámica y es de magnitud constante que se opone a un movimiento uniforme relativo una vez que este se ha iniciado.

Experimentalmente se comprueba que: Fr =  ·N

Donde:

  = coeficiente de rozamiento, que depende de los materiales que constituyen las superficies de contacto y de su estado. El valor de  se obtiene en cada caso empíricamente y es constante.

 N = normal.

Mediante una fuerza de 200 N se hace subir un cuerpo de 12 kg de masa por un plano inclinado que forma un ángulo de 35º con la horizontal. Si el coefi- ciente de rozamiento es 0,25, calcula la aceleración con que se mueve el cuerpo.

Solución:

Podemos representar la situación del problema en la siguiente figura:

3.4. FUERZA ELÁSTICA

Cuando sobre un cuerpo elástico, por ejemplo un resorte, se hace una fuerza que lo deforma, aparecen en el cuerpo unas fuerzas de reacción, llamadas fuerzas elásticas que hacen que el cuerpo tienda a su posición inicial.

Dichas fuerzas son proporcionales a la deformación producida, siendo la cons-

tante de proporcionalidad distinta para cada cuerpo elástico.

Supongamos que si tiramos de un muelle, este se alarga una longitud x y la fuerza de reacción que aparece es:

F = - kx

donde k es la constante del muelle.

El signo menos denota que es una fuerza recuperadora que se opone a la de- formación x.

La fuerza recuperadora no devuelve directamente al resorte a la posición de equilibrio, sino que desenca- dena un movimiento vibratorio que se mantendría indefinidamente si no existiese rozamiento.

La constante elástica del muelle depende de su natu-

raleza y geometría. Es, por lo tanto, un valor que pro-

porciona el fabricante de dicho muelle sobre su

producto.

4. IMPULSO Y MOMENTO LINEAL

En el siguiente punto vamos a avanzar en conceptos como momento lineal e impulso mecánico.

4.1. MOMENTO LINEAL

El momento lineal es una cantidad vectorial que tiene la misma dirección de la velocidad.

El momento lineal o cantidad de movimiento se obtiene mediante la fórmula:

p m v    

Donde m es la masa de la partícula y v 

la velocidad que lleva.

Aplicando la segunda ley de Newton:

F = m·a

tenemos: F m a m · dv d ( · ) m v dp

dt dt dt

   

Con esto observamos que si la partícula no está sometida a ningún tipo de fuerzas:

0 0

F   dp     p cte 

Es decir, si no hay fuerzas sobre la partícula, la cantidad de movimiento permanece constante.

4.2. IMPULSO MECÁNICO

El impulso mecánico es una magnitud vectorial de la misma dirección y sentido que los de la fuerza aplicada y se calcula mediante la fórmula:

2 1 2 1

I    p p  p mv   mv

Vamos a ver cómo se obtiene dicha ecuación. Por la segunda ley de Newton tenemos:

F = m·a = m·dv/dt

con lo que:

F·dt = m·dv

Integrando la expresión anterior:

2 2

1 1 2 1 2 1

t v

t v

I   Fdt   mdv mv   mv  p  p   p

Lo que nos dice: “El impulso I dado a una partícula se invierte en variar la cantidad de movimiento”.

Las unidades en las que se mide el impulso I son N · s.

5. CONCEPTO DE TRABAJO MECÁNICO

Sea una partícula que bajo la acción de una fuerza F se mueve recorriendo una trayectoria como la de la siguiente figura:

Definiremos el trabajo realizado por una fuerza F al desplazar la partícula de r a r + dr, como:

dW=F·dr= F d r cosθ= F cosθd r =F ·d r

donde F t llamada fuerza tangencial, es la componente de la fuerza en la direc- ción del desplazamiento.

El trabajo se denomina W porque proviene de la palabra inglesa work.

Cuando la fuerza es constante, podemos calcular el trabajo como el producto de dicha fuerza por el desplazamiento realizado:

W = F·  r

Si queremos calcular el trabajo total realizado entre los puntos A y B, lo obten- dremos sumando todos los trabajos elementales

Sintetizando:

 El trabajo es una magnitud escalar.

 La forma más simplificada de calcular el trabajo es W F d    

, siendo d 

el desplazamiento que sufre el cuerpo al serle aplicada la fuerza.

 Si la fuerza es perpendicular al desplazamien-

to, el trabajo realizado es nulo.

5.1. UNIDADES EN LAS QUE MEDIMOS EN TRABAJO

Si partimos de la base que trabajo es fuerza por desplazamiento tenemos las siguientes unidades en las que medir el trabajo:

 Ergio = dina · cm

 Julio = Newton · metro

 Kilopondímetro = kilopondio · metro Las relaciones entre ellas:

 1 julio = 10 ⁷ ergios

 1 kilopondímetro = 9,8 julios =9,8 · 10 ⁷ ergios

La definición de julio es el trabajo realizado por una

fuerza de 1 Newton a los largo de 1 metro.

6. ^POTENCIA

Definimos el concepto de potencia como el ritmo con el cuál se hace el trabajo, es decir el trabajo realizado por unidad de tiempo. Así tenemos:

1. Potencia media desarrollada por un agente: P W

 t

2. Potencia instantánea desarrollada por un agente: P

dW

 dt

Si la potencia es constante en el tiempo, la potencia media y la instantánea coinciden.

¿Cómo se denomina a la potencia?

Solución:

Al trabajo realizado por unidad de tiempo.

Supongamos que se ejerce una fuerza constante sobre un cuerpo mientras este realiza un desplazamiento en la dirección de la fuerza. El trabajo ejercido por la fuerza sobre ese cuerpo será:

W = F·  _r

La potencia media será:

med med

W F· r

P F·v

t t

   

 

donde v

es la velocidad media.

Si el intervalo de tiempo es infinitamente pequeño, la potencia instantánea valdrá:

· ·

ins

dW F dr

P F v

dt dt

  

donde v ins es la velocidad instantánea.

6.1. UNIDADES EN LAS QUE MEDIMOS LA POTENCIA

Podemos medir la potencia en las siguientes unidades:

 Ergio / segundo.

 Watio = julio/segundo

 Kilopondímetro/segundo

 Caballo de vapor: CV

 Caballo de vapor inglés: HP

El watio es la potencia de un mecanismo que realiza

un trabajo de un Julio en un segundo.

Las relaciones entre ellas son:

 1 watio = 10 ⁷ ergios/segundo

 1 kilopondímetro/segundo = 9,8 julios = 9,8·10 ⁷ ergios/s

 1CV = 75 kilopondómetros/s

 1HP = 746 watios

¿Cuál de estas unidades no es de potencia?

a) Watio.

b) Ergio/sg.

c) Julio.

d) Caballo de vapor.

Solución:

Julio.

6.2. EJERCICIO RESUELTO

Un caballo marcha a razón de 4 km/h a lo largo de un camino horizontal y ejerce una fuerza de 50 kp, para arrastrar un carro. ¿Cuántos caballos de vapor son desarrollados?

Solución:

Sabemos que podemos calcular la potencia como P = F·v luego:

P = 50·4 = 200 kp·km/h

la clave del problema está en convertir este resultado en caballos de vapor. Pri-

mero lo pasamos a watios, para luego, una vez comprobados los watios que

tiene un caballo de vapor, poderlo pasar a esta unidad.

Por otro lado:

2 2

· · 1000

200 200·9,8· · 200·9,8· · · 544,4

3600

Kp km kg m km kg m m watios

h  s h  s s 

Entonces: 1 CV 75 kpm 75· 9,8 Julios 735 watios

sg s

  

Luego:

1 CV  735 watios

x  544,4 watios

Así, x = 544,4 / 735 = 0,74 CV.

7. ENERGÍA CINÉTICA Y ENERGÍA POTENCIAL DE UNA PARTÍCULA.

TEOREMA DE LAS FUERZAS VIVAS

Vamos ahora a estudiar la energía cinética y la energía potencial de una partícu- la, así como el Teorema de las fuerzas vivas.

7.1. ENERGÍA CINÉTICA DE UNA PARTÍCULA

Todos los cuerpos, por el mero hecho de moverse, tienen una energía. Así te- nemos una partícula de masa m que se mueve con una velocidad v.

Definimos energía cinética de dicha partícula como:

1

2

E  mv

La E c de los cuerpos en movimiento es lo que llamamos energía cinética.

7.1.1. T EOREMA DE LAS FUERZAS VIVAS

Supongamos una partícula de masa m moviéndose a una velocidad v. Sea F la fuerza total que se ejerce sobre la partícula.

El trabajo realizado por la fuerza para llevar la masa m desde r 1 hasta r 2 será:

2 2 2 2

1 1 1 1

2 2

2 1

1 1

· 2 2

r r r r

r r r r C

dp dv

W F dr dr m dr mvdv mv mv E

dt dt

           

El teorema de las fuerzas vivas dice que el trabajo total aplicado a una partícula se invierte en modificar su energía cinética, es decir:

 

2 2 2 2

2 1 2 1

1 1 1

2 2 2

W  mv  mv  m v  v

7.2. ENERGÍA POTENCIAL

La energía potencial se denota como E P y su fórmula analítica sería:

E P = m·g·h

Donde:

m = masa del cuerpo.

g = gravedad.

h = altura a la que se encuentra el cuerpo.

De esta forma observamos que la energía potencial depende de la altura a la

que se encuentre el cuerpo.

La energía potencial es una función de las coordenadas tal que la diferencia entre sus valores en las posiciones inicial y final es igual al trabajo efectuado sobre una partícula para volverla de su posición inicial a la final.

B B

p

A A

W   F dr m g dr m g h E ^  ^     ^    

8. ENERGÍA MECÁNICA. PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA

Definimos energía mecánica de una partícula como la suma de la energía cinética más la energía potencial.

Esto es:

2

1

2

C P

E  E  E  mv  m g h

8.1. FUERZAS CONSERVATIVAS Y FUERZAS NO CONSERVATIVAS

Se denominan fuerzas conservativas a aquellas que tienen la propiedad de

devolver el trabajo que se realiza para vencerlas, dicho de otro modo, fuerzas

conservativas son aquellas que se caracterizan por realizar un trabajo que solo

depende de la posición inicial y final y no de la trayectoria del recorrido.

Pensemos en un cuerpo que está sobre el suelo. Ha- cemos una fuerza F para elevarlo hasta una altura y en ese momento lo dejamos caer. Entonces debido al pe- so cae hasta el suelo. El peso es una fuerza conserva- tiva ya que ha devuelto el trabajo que habíamos hecho con la fuerza F para levantar el objeto (y vencer al peso que es lo que se opone a la elevación del objeto).

También es ejemplo de fuerza conservativa la fuerza elástica.

Sin embargo, podemos destacar como fuerza no conservativa la fuerza de ro- zamiento.

8.2. PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA

En los campos conservativos la suma de la energía cinética y potencial (esto es, la energía mecánica) permanece constante.

Si el campo no es conservativo, es decir, la fuerza que crea el campo no lo es, no podemos asegurar la conservación de la energía.

Supongamos una partícula sobre la que actúan fuerzas conservativas y no con- servativas, el trabajo realizado por cada una de ellas repercute en la variación de la energía de la siguiente forma:

total

conservativas

no conservativas

F C

F P

F

W E

W E

W E

 

 

 

8.2.1.1. Ejercicio resuelto

Desde una altura de 15 m se deja caer una piedra de 6 kg. Calcula la velocidad de la piedra en el punto medio de su recorrido.

Solución:

Por el teorema de la conservación de la energía (ya que sobre la piedra solo se ejerce el peso y es una fuerza conservativa), se tiene que la energía que posee la piedra en el momento en que se suelta es la misma que debe tener el punto medio de su recorrido.

En el inicio la piedra no tiene energía cinética puesto que se parte del reposo y, por lo tanto, la velocidad es nula. Entonces toda la energía que tiene la piedra en el inicio es potencial.

E 1 = E P1 = m · g · h = 6 · 9,8 · 15 = 882 julios

En el punto medio de su recorrido la piedra tendrá energía cinética y potencial, puesto que ya llevará una velocidad de caída.

E 2 = E C2 + E P2 = ½ mv ² + mgh = ½ · 6 · v ² + 6 · 9,8 · 7,5 = 3v ² + 441

Como E 1 debe ser igual a E 2 tenemos:

882 = 3v ² + 441

3v ² = 882 – 441 = 441

v ² = 441/3 = 147

s 147 12 ,12 m/

v  

De donde obtenemos v = 12,12 m/s, que es la velocidad que llevará la piedra en

el punto medio de su recorrido.

~2 DVD000122(01)

Para repasar el los diferentes tipos o formas de energía, échale un vistazo al vídeo que te hemos preparado.

(Tienes el vídeo en el Campus Virtual).

9. MOMENTO ANGULAR. CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR

El momento angular es importante en la mecánica debido a que, gracias a su relación con simetrías rotacionales que se dan en sistemas físicos, se trata de una magnitud que se mantiene constante en el tiempo a medida que el sistema evoluciona lo cual da lugar a ley de conservación del momento angular.

Supongamos que una partícula de masa m se mueve con velocidad v, respecto cierto punto O.

El momento angular (L) de la partícula respecto al punto O es el producto vectorial del vector posición (r) por el vector cantidad de movimiento (p), ambos medidos en el sistema de referencia O.

L r p     

El momento angular es un vector perpendicular al plano formado por los vecto- res r y p, cuyo sentido lo marca la regla de sacacorchos.

Su módulo es:

L = r·p·sen 

siendo  el ángulo que forman los vectores r y p. La unidad de momento angu- lar en el SI es kg·m ² /s.

9.1. CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR

Si derivamos la expresión del momento angular obtenemos dL r F dt   .

Para que L se mantenga constante, su derivada debe ser 0, lo que ocurrirá cuando lo sea el producto vectorial r F.

Esto puede suceder en dos casos:

 Cuando no actúa ninguna fuerza (F = 0).

 Si la dirección de la fuerza que actúa sobre la partícula es paralela al

vector posición del punto donde se aplica (es decir, si los vectores r y F

son paralelos, entonces su producto vectorial es 0, ya que el ángulo

que forman es 0º y su seno es 0).

CONCLUSIONES

Por fuerza entendemos toda aquella causa capaz de perturbar el estado de re- poso o movimiento de cuerpo o deformarlo.

Varias fuerzas que actúan a la vez sobre un cuerpo producen una fuerza resul- tante total que puede determinarse mediante varios métodos.

El concepto de fuerza es un elemento básico para el desarrollo de las leyes de Newton, que son la base fundamental de lo que en física se conoce como dinámica.

En cualquier caso de dinámica que se estudie, aparecen una serie de fuerzas que siempre están presentes, como son la normal, el peso y la fuerza de rozamiento.

A partir del concepto de fuerza desarrollamos conceptos como son el momento

lineal, el impulso mecánico, el trabajo mecánico o la potencia, que nos permiten

extraer leyes y teoremas que propician un mayor alcance de la dinámica y la

ampliación de los conocimientos físicos sobre otras ramas de la física.

RECAPITULACIÓN

A lo largo de esta unidad didáctica se han introducido conceptos importantes como el concepto de fuerza, momento lineal, impulso mecánico...

Se ha destacado principalmente las leyes de Newton, pues son la base de toda la dinámica de una partícula. Son muy utilizadas para aspectos de la vida real que muchas veces no nos paramos a pensar: peralte de una curva, movimiento de un ascensor y sin ir más lejos, movimiento de un coche frente al rozamiento que ofrece el suelo.

Hemos tratado en esta unidad didáctica los conceptos de trabajo y energía que, como se ha visto, están muy relacionados.

Asociado al concepto de trabajo, aparecía la potencia como forma de estudiar dicho trabajo por unidad de tiempo.

En el apartado de la energía cinética y potencial, hemos estudiado sus propie-

dades y sobre todo lo más importante que hemos visto ha sido el concepto de

conservación de la energía.

AUTOCOMPROBACIÓN

1. El principio de conservación del momento lineal de la partícula se de- duce inmediatamente de:

a) La ecuación F ext = dP/dt.

b) La definición de velocidad.

c) La definición de impulso.

d) La fuerza de Coriolis.

2. Según la primera ley de Newton, cuando las fuerzas aplicadas sobre todo cuerpo que se mueve con velocidad constante se anulan mutua- mente ocurre que:

a) El cuerpo permanece en estado de reposo.

b) El cuerpo se mueve con movimiento uniformemente acelerado.

c) El cuerpo se mueve con movimiento uniformemente retardado.

d) El cuerpo continúa con velocidad constante.

3. Un móvil de 80 kg de masa sube una cuesta de pendiente 30º. Calcula la fuerza que ejerce el motor si el móvil lleva velocidad constante.

a) 400 N.

b) 452 N.

c) 679 N.

d) 45,2 N.

4. Un disco de peso 1,5 N resbala por una pista de hielo 20 m y se detie- ne. Si su velocidad inicial es de 10 m/s, ¿cuál es la fuerza de rozamien- to entre el disco y el hielo?

a) 0,191 N.

b) 0,183 N.

c) 0,382 N.

d) 1,5 N.

5. En el problema anterior, ¿cuánto vale el coeficiente de rozamiento?

a) 0,191.

b) 0,183.

c) 2,4.

d) 0,255.

6. La razón constante entre una fuerza que actúa sobre una partícula y la aceleración a que esta fuerza la somete se denomina:

a) Peso.

b) Inercia.

c) Masa inerte.

d) Gravedad.

7. Toda fuerza instantánea sobre una partícula en reposo produce:

a) Movimiento uniforme.

b) Movimiento uniformemente acelerado.

c) Fricción.

d) Impulso angular.

8. Un astronauta lanza en un planeta una piedra hacia arriba con veloci- dad inicial de 10 m/s y la recoge 6 segundos después. ¿Cuánto pesará en ese planeta el astronauta cuya masa es de 72 kg?

a) 720 N.

b) 630 N.

c) 360 N.

d) 240 N.

9. Un cuerpo de medio kilo de masa recorre una trayectoria plana dada por x = 3cos2t, y = 3sen2t. El cuerpo está impulsado por una fuerza de:

a) 8 N.

b) 6 N.

c) 4 N.

d) 0 N.

10. Un cuerpo de 2 kg de masa se mueve con una velocidad constante de 4 m/s en el sentido positivo del eje X. Se le aplica una fuerza de 10 N constante sobre el cuerpo, en el sentido negativo del eje X. Calcular la cantidad de movimiento al cabo de 5 s.

a) – 42 kg·m/s.

b) –12 kg·m/s.

c) 42 kg·m/s.

d) 0 kg·m/s.

11. Un cuerpo de 20 kg de peso se encuentra en lo alto de un plano incli- nado 30º respecto de la horizontal. Si la longitud del plano es de 10 m, la energía potencial del cuerpo será (considerar g = 10 m/s ² ):

a) 10 ³ julios.

b) 10 ¹⁰ ergios.

c) 10 ¹⁰ dinas · cm.

d) Todas las anteriores son ciertas.

12. Un coche de 1.000 kg de masa va a una velocidad de 100 km/h y frena hasta parar en 200 m. La fuerza de frenado valdrá:

a) 2.000 N.

b) 25.000 N.

c) 19.680 N.

d) 2.134 N.

13. Una potencia de 75 CV equivale a:

a) 75.000 watios.

b) 56 kilovatios.

c) 3.373 watios.

d) 55.125 julios/s.

14. El trabajo total realizado por la fuerza que actúa sobre una partícula se puede medir como:

a) La variación del momento angular.

b) El producto de la fuerza por el tiempo que ha actuado.

c) La variación de la energía cinética de la partícula.

d) La variación de su momento de inercia.

15. El producto escalar de una fuerza por la velocidad que le produce es:

a) La energía cinética.

b) El trabajo.

c) La energía potencial.

d) La potencia.

16. Un hombre empuja un bloque de peso 267 N una distancia de 9,14 m en un piso horizontal, aplicando una fuerza inclinada 45º hacia abajo.

Si el coeficiente de rozamiento es 0,2, ¿cuánto valdrá el trabajo?

a) 210 julios.

b) 0 julios.

c) 610 julios.

d) 57 julios.

17. Un niño tira de un trineo de 5 kg de masa una distancia de 10 m en una superficie horizontal con velocidad constante. ¿Qué trabajo tiene que hacer sobre el trineo si el coeficiente de rozamiento es de 0,2 y la cuerda sobre la que tira el trineo forma un ángulo de 60º con respecto a la horizontal?

a) 145,6 julios.

b) 14,6 julios.

c) 50,8 julios.

d) 72,8 julios.

18. Un proyectil de 2 kg de masa es lanzado en el vacío con una velocidad inicial de 100 m/s y un ángulo de tiro de 60º. La energía cinética míni- ma en toda la trayectoria será:

a) 1.250 julios.

b) 0 julios.

c) 2.500 julios.

d) 3.000 julios.

19. Dos masas iguales m se lanzan desde la misma altura en el vacío, una con velocidad v 0 hacia arriba y otra con la misma velocidad v 0 hacia abajo. ¿Cuál de las dos llega con mayor energía cinética al suelo?

a) La que se lanza hacia arriba.

b) La que se lanza hacia abajo.

c) Las dos llegan con la misma energía.

d) Faltan datos.

20. Sobre una partícula actúan de forma simultánea las fuerzas F 1 = i – 3j + 6k, F 2 = - 2i + 6j - 4k y F 3 = 2i + 3j – 6k. ¿Cuál es la fuerza resultante que actúa sobre la partícula?

a) F = i + 6j – 4k.

b) F = -2i + 3j+ k.

c) F = i - 2j + 6k.

d) Ninguna es correcta.

SOLUCIONARIO

1. a 2. d 3. a 4. c 5. d

6. c 7. b 8. d 9. b 10. a

11. d 12. b 13. d 14. c 15. d

16. c 17. d 18. b 19. c 20. a

PROPUESTAS DE AMPLIACIÓN

Te proponemos que compruebes si tienes materiales complementarios, o cla- ses grabadas dentro de la unidad. Si es así, descárgalos para ampliar la informa- ción sobre el tema y recuerda marcar he terminado.

Te proponemos también que entres en la sección de agenda y compruebes

qué clases en directo y/o talleres tienes disponibles, para complementar tus

estudios, o tu preparación a la hora de afrontar los exámenes.

BIBLIOGRAFÍA

 ALONSO, M., FINN, E. J. Física. Madrid: Fondo Educativo Interamericano, 1976.

 BUECHE, F. Fundamentos de física. Madrid: Ediciones del Castillo,1968.

 TIPLER, P.A. Física. Barcelona: Reverte, 1978.

 FEYNMAN, R.P. The Feynman Lectures on Physics. Madrid: Fondo Educativo

Interamericano, 1971.